TICH PHAN HAM AN ,KE

Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM

HÀM CHẴN, LẺ
Câu 1.

Nếu hàm số y  f  x  liên tục và là hàm số chẵn trên  a; a  ( a  0 ) thì I 

a

 f  x  dx bằng:

a

A. 0.
Câu 2.

a

1
B. .
2

a

C. 2 f  x  dx .

D. 2 f  x  dx .

0

0

Nếu hàm số y  f  x  liên tục và là hàm số lẻ trên  a; a  ( a  0 ) thì I 

a

 f  x  dx bằng:

a
a

a

B. 2 f  x  dx .

A. 0.

C. 2 f  x  dx .

0

0

Câu 3. Nếu hàm số y  f  x  liên tục và là hàm số chẵn trên  thì I 
m

A.



f  x  dx .

D.

m

C. 2

B. 0.

m

f  x

x

dx (với m  0, a  0 ) bằng:
1
m

dx .
ax 1
0

0

f  x

a

m

1
.
2

D.

 f  x  dx .

m

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2; 2 và có đồ thị đối xứng
0

qua gốc tọa độ như hình dưới đây. Biết

 f  x  dx  2 . Tính

2

2

I   f  x  dx .
0

A. I  2 .

B. I  4 .

C. I  0 .

D. I  2 .

1

Câu 5.

Cho hàm số y  f  x  liên tục và là hàm số lẻ trên  1;1 . Biết  f  x  dx  2 . Tính I 
0

A. I  0 .
Câu 6.

B. I  2 .

C. I  2 .

Cho hàm số y  f  x  liên tục và là hàm số chẵn trên  1;1 . Biết

 f  x  dx .

1

D. I  4 .
0



1

Câu 7.

0

1

f  x  dx  2 . Tính I   f  x  dx .
0

A. I  0 .
B. I  2 .
C. I  1 .
D. I  4 .
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2; 2 và có đồ thị đối xứng qua trục tung như hình dưới đây. Biết
2


0

0
12
f  x  dx  .Tính I   f  x  dx .
5
2

A. I 

12
.
5

B. I 

5
.
12

C. I 

24
.
5

D. I  0 .

1


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
Câu 8. Cho hàm số f  x liên tục trên  và có

A. I  0.

B.

3
I .
2

2

1

0

1

 f  x  dx  3. Tính I   f  2 x  dx.
D. I  6.

C. I  3.

Lời giải.
1

1

f  2 x  dx  2 f  2 x  dx là do hàm f  2 x  là hàm chẵn



Ta có

1

0

1

1

1

1

0

0

I   f  2 x  dx  2 f  2 x  dx  2 f  2 x  dx . Vì 2 x  2 x, x  0;1

x  0  t  0
.
Đặt t  2 x  dt  2dx . Đổi cận: 
x  1  t  2
2

2

0

0

Khi đó I   f  t  dt   f  x  dx  3. Chọn C.
(SỞ GD HÀ NỘI) Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6. Biết rằng

Câu 9.

2

 f  x  dx  8

1
3

và


1

6

f  2 x  dx  3 . Tính I   f  x  dx
1

A. I  11.

B. I  5.

C. I  2.
Hướng dẫn giải

D. I  14.

Chọn D.
Vì f  x  là hàm số chẵn nên

a



a
3

3

1

1

2

2

1

1

f  x  dx  0   f  x  dx   f  x  dx  8

 f  2 x  dx  f  2 x  dx  3
3

Xét tích phân K   f  2 x  dx  3
1

Đặt u  2 x  du  2dx  dx 

du
2

Đổi cận: x  1  u  2; x  3  u  6 .
6

6

6

1
1
K   f  u  du   f  x  dx  3   f  x  dx  6
22
22
2
6

6

2

6

1

1

1

2

Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14.
ĐỎI BIẾN
Câu 10. Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x) liên tục và luôn dương trên đoạn  0; a  thỏa mãn
a

1
.dx ?
1  f ( x)
0

f ( x). f (a  x)  1. Tính tích phân I  
A. I 

2a
3

a
B. I  .
2

a
C. I  .
3

D. I  a.

2


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM

a

a

a

1
1
f (t )
.dt  
.dt  
.dt
Giải: Đặt t = a – x dt = -dx; I  
1
1  f (a  t)
f (t )  1
0
0 1
0
f (t )
a

I I 
0

a

a

f (t )

1
a
.dt  
.dt   dt  a  I 
f (t )  1
f (t )  1
2
0
0

Câu 11. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1;9 thỏa mãn

3



f  3x  dx  2 và

1

 x

9

 f  3  dx  3 . Tính tích phân
3

9

I   f  x  dx .

1

B. I  1 .

A. I  7 .
2

Câu 12. Cho


1

C. I 

14
3

D. I  4 .

.

 x
f   x  dx  a . Tính I   f    dx theo a .
3
3
6

a
.
D. I  9a .

3
Câu 13. Cho hàm số f(x) liên tục trên [1; 2] và f(x) + f(3 – x) = 6x2 – 18x + 21. Hãy tính tích phân
A. I  a .

B. I  3a .

C. I 

2

I   f(x)dx
1

A. I = 8.

B. I = 4.
2

C. I = 2.

D. 1

2

Giải: Ta có  (6x 2 – 18x  21)dx   (f(x)  f(3  x))dx
1

1

2

2

1
2

1
1

1

2

Suy ra 8   f(x)dx   f(3  x)dx . Đặt t = 3 – x dt = -dx, đổi cận
2

2

2

1

1

Suy ra 8   f(x)dx   f(t) dt   f(x)dx   f(x) dx  2  f(x) dx I = 4
2

Câu 14. Cho biết

 xf(x

2

1

3

16

2

9

)dx  4 ,  f(z)dz  0 ,

0



f( t )dt
t

4

 6 . Tính I =  f(x)dx
0

A. 12

B. 13.

C. 10.
D. 9.
2
2
2
2
1
1
Giải: Ta có  xf(x 2 )dx  4   f(x 2 )d(x 2 )  4   f(t)d(t)  4   f(x)dx  8
2 0
20
0
0
16



f( t )dt
t

9

16

4

4

3

3

 6  2  f( t )d( t )  6  2  f(x)d(x)  6   f(x)d(x)  3
9

4

2

3

4

0

0

2

3

 I   f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx  8  0  4  12
Câu 15. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f 10  x  , x và

7

 f  x  dx  4 . Tính tích phân
3

7

I   x. f  x  dx .
3

A. I  40 .

B. I  80 .

C. I  20 .

D. I  60 .

7

7

7

7

3

3

3

3

Giải: đặt t = 10 – x,  I   (10  t ). f 10  t  dt  (10  t ). f t  dt 10 f t  dt   t. f t  dt

3


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
I = 10.4 – I  I = 20
Câu 16. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa f  x   f   x   e  e , x   . Tính I 
x

A. I  2  e  e
2

2

x

2

 f  x  dx .

2

.

2

B. I  e  e .
2

D. I  2  e  e2  .

2

C. I  e  e .
2

2

Câu 17. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa f   x   2017 f  x   e . Tính I 
x

1

 f  x  dx .

1

e2  1
e2  1
.
B. I  0 .
C. I 
.
D. I  e2017 .
2018e
2018e
Câu 18. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa f  x   f   x   2  2cos 2 x , x  . Tính

A. I 

3

2

I



 f  x  dx .
3
2

A. I  6 .

B. I  0 .
3
2

Giải: đặt t = -x  I 



2I 

3
2



3
2

D. I  6 .

C. I  2 .
3
2

3
2

 f  t  dt  2I   f  x  dx   f   x  dx
3
2



3
2



3
2

3
2

0

0

2  2 cos 2 xdx  2  2  2 cos 2 xdx  I 



3
2

2  2 cos 2 xdx  6 , vì g ( x)  2  2cos 2 x là

hàm chẵn
Câu 19. Cho

6

2

0

0

 f  x  dx  12 . Tính I   f  3x  dx .
B. I  36 .

A. I  4 .

C. I 

4
.
3

D. I  12 .

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1; 3] thỏa mãn

đó giá trị của f(3) là:
A. 3.

B. 4.

3

3

1

1

 f '  x  dx  8 và  2

C. 9.

f '( x)
dx  2 . Khi
f ( x)

D. 2.

Lời giải:
Đặt t  f ( x)  t 2  f ( x)  2tdt  f '( x)dx

3

f '( x)
1 2 f ( x) dx  2  2 

f (3)



2tdt
2t
2t

f (3)

f (3) 

f (1) (1)

 f '  x  dx  8  f (x) 1  f (3)  f (1)  8  f (3)  8  f (1)

(2)

3

3

f (1)



f (1)

1

Từ (1) suy ra f(1) > 0 vì nằm trong căn, nên từ (2) suy ra f(3) > 8, trong 4 đáp án chỉ có C thỏa f(3) =
9 và f(1) = 1
4


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
Câu 21. Biết hàm số f  x liên tục trên  và có

2017



f  x dx  2 . Giá trị của tích phân

0

e2017 1

x
.f
x2 1



I

0

 ln  x 2  1 dx bằng:



B. I  2.

C. I  4.
2 xdx
xdx
dt
Lời giải. Đặt t  ln  x 1 
 dt  2

 2
 .
x 1
x 1 2
x  0  t  0

.
Đổi cận: 
2017


x  e 1  t  2017

A. I  1.

D. I  5.

2

Khi đó I 

1
2

2017

f t  dt 


0

1
2

2017



1
2

f  x dx  .2  1. Chọn A.

0

Câu 22. Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn 2 f  x  3 f x 

I .
10

A.

B.

2

. Tính tích phân I   f  x dx.
2


C. I  .
D.
20
1
, ta được
2 f  x  3 f x 
4  x2


I  .
10

Lời giải. Lấy tích phân hai vế của biểu thức
2

1
4  x2

2

2


I  .
20

2

1

dx 
 2 I  3 f x dx  .
2
4
4

x
2
2

2  f  x dx  3 f x dx  
2

2


x  2  t  2
 dt  dx . Đổi cận: 
.
Xét J   f x dx . Đặt t  x 
2



x  2  t  2

2

2

2

2

Suy ra J   f t  dt   f t  dt   f  x dx  I .
2

2

2

2





f x dx  
 2 I  3I  
I  .
4
4
20

Vậy 2 I  3

2

Chọn C.

Câu 23. Ký hiệu F  x là một nguyên hàm của hàm số y 
4

I 

cos 2 x

x

1

dx

cos x
2x

bằng:

A. I  2.F 8 F 2. B. I  2.F 8  F 2.
I  2.F 8  2.F 2.
4

Lời giải. Xét I  

cos 2 x

1

8

Khi đó I  
2

8



cos x

x

2

trên khoảng 0; . Khi đó tích phân

x

C. I  2.F 8 2.F 2.

dt  2dx



dx . Đặt t  2 x 

t . Đổi cận

x


2


D.


x 1 t  2


.



x  4  t  8

8

cos t dt
cos t

dt
t 2 2 t
2
8

dx  

cos x

2

x

8

dx  2 
2

8

cos x
dx 2.F  x  2 F 8 2 F 2. Chọn C.
2x
2

Câu 24. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn

1
3


0

f  x dx  1 ,

1
2



f 2 x dx  13 . Tính tích phân

1
6

1

I   x 2 f  x3  dx.
0

5


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
B. I  7.

A. I  6.
1
2

Lời giải. Xét



1

t 2 x
f 2 x dx  13 


1
6

D. I  9.

C. I  8.

1

1

1
f t  dt  13 
  f t  dt  26
2 1

1
3

hay

1
3

3

1

f  x dx  26.



1
3

Tích phân I   x2 f  x3  dx. Đặt t  x3 
 dt  3x2 dx  x2 dx  dt .
0

Đổi cận


x0t0


.




x  1  t  1

1

1
1
1
3
 1
1
1
1 
Khi đó I   f t  dt   f  xdx    f  x dx   f x dx   1  26  9. Chọn D.
3 0
3 0
3 0
 3
1


3
Câu 25. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  , thỏa mãn f 1  a, f 2  b với a, b   và a, b  0 .
2

tích phân I  
1

f '  x
dx bằng:
f  x

B. I  ln b  a.

A. I  b  a.

Giá trị của

b
a

C. I  ln .

a
b

D. I  ln .


x  1  t  f 1  a
 dt  f '  xdx . Đổi cận 
Lời giải. Đặt t  f  x 
.


 x  2  t  f 2   b
b

Khi đó I  
a

dt
 ln t
t

b

b
Chọn C.
a

 ln b  ln a  ln .

a

Câu 26. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 2016  a , f 2017  b a; b   . Giá trị
2016

I



2015. f   x. f 2014  x.dx

bằng:

2017

A. I  b2017  a2017 . B. I  a2016  b2016 .

C. I  a2015  b2015 .

D. I  b2015  a2015 .


 x  2016 
 t  f 2016  a
 dt  f   xd x . Đổi cận: 
Lời giải. Đặt t  f  x 
.

 t  f 2017  b


 x  2017 
a

a

Khi đó I   2015t 2014 dt  t 2015  a 2015  b2015 . Chọn C.
b

b

5

Câu 27. (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết



1

A. P  15

B. P  37

2

f ( x)dx  15 . Tính giá trị của P   [f (5  3x)  7]dx

C. P  27
Hướng dẫn giải
dt
t  5  3x  dx  
3
x 0t 5
Để tỉnh P ta đặt
nên
x  2  t  1
1
5
5
5

dt
1
1
P   [f (t )  7]( )   [f (t )  7]dt    f (t )dt  7  dt 

3
3 1
3  1
5
1

1
1
 .15  .7.(6)  19
3
3
chọn đáp án D
ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT

0

D. P  19

6


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
b

Câu 28. Cho a  b  c,



b

f  x  dx  12,  f  x  dx  4 . Khi đó,

a

c

A. 3.

c

 f  x  dx bằng:
a

B. 4.

C. 16.

D. 8.

Câu 29. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 1;3 , f 1  3 , f  3  7 . Tính I 

 f   x  dx .
1

B. I  8 .

A. I  2 .

3

C. I  4 .

D. I  1 .

b

Câu 30. Tìm số dương b để I 

  x  x dx có giá trị lớn nhất.
2

0

A. b  1 .

B. b  2 .

C. b  3 .

Câu 31. Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 2] và
2

2

0

0

D. b  4 .
2

0 g ( x). f ( x)dx  2 ,

 g( x). f ( x)dx  3 . Tính tích phân I   [ f ( x).g ( x)dx .
A. I  1 .
Giải:

C. I  5 .

B. I  6 .

2

2

0

0

D. I  1 .

I   [ f ( x).g ( x)dx   [f '( x).g ( x)  f ( x).g '( x)]dx  2  3  5
Câu 32. Cho hàm số y  f  x có 1  f '  x  4 với mọi x  2;5 . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định

đúng?
A. 3  f 5 f 2  12.
C. 1  f 5 f 2  4.

B. 12  f 5 f 2  3.
D. 4  f 5 f 2 1.

5

Lời giải. Đầu tiên ta phải nhận dạng được f 5 f 2   f '  x dx .
2

5

5

5

Do 1  f '  x  4, x  2;5 
  1dx   f '  x dx   4 dx .
2


2


2

3

12

Vậy 3  f 5 f 2  12. Chọn A.
3

Câu 33. Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa:  f  x   3g  x   dx  10 .


1

3

 2 f  x   g  x  dx  6 .
1

3

Tính   f  x   g  x   dx .
1

A. 8.

B. 9.

C. 6.
Hướng dẫn giải

D. 7.

Chọn C.
3



3

1




3

Ta có   f  x   3g  x   dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 .
1

1

3

3

3

1

1

1

Tương tự   2 f  x   g  x   dx  6  2 f  x  dx   g  x  dx  6 .
3
3
u  3v  10
u  4

Xét hệ phương trình 

, trong đó u   f  x  dx , v   g  x  dx .
2u  v  6
v  2
1
1

7


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
3

3

3

1

1

Khi đó   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  4  2  6 .
1

Câu 34. Tìm f  9  , biết rằng

x2

 f  t  dt  x cos  x 
0

1
A. f  9   
6
Đáp án A

B. f  9  

1
6

C. f  9   

1
9

D. f  9  

1
9

x2

Ta có: F  t    f  t  dt  F'  t   f  t  , đặt G  x    f  t  dt  F  x 2   F  0 
Suy ra G '  x   F'  x

0

  2xf  x 
Đạo hàm hai vế ta được 2xf  x   x sin  x   cos  x 
1

1
Khi đó 2.3.f  3   3 sin  3   cos  3   f  9    . Suy ra f  9   
6
6
2

2

2

2

Câu 35.

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên đoạn  2;6 và thỏa mãn
3


2

6

6

f ( x)dx  3;  f ( x)dx  7;  g ( x)dx  5 . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
3

3

6

3

3

2

ln e6

A.  [3g ( x)  f ( x)]dx  8 B.  [3 f ( x)  4]dx  5

C.

 [2f ( x)  1]dx  16

ln e6

D.

 [4 f ( x)  2 g ( x)]dx  16
3

2

Hướng dẫn giải
3

6

6

3

2

 f ( x)dx   f ( x)dx   f( x)dx  10
2

6

6

6

Ta có:  [3g ( x)  f ( x)]dx  3 g ( x)dx   f ( x)dx  15  7  8 nên A đúng
3

3

3

3

3

3

2

2

2

 [3 f ( x)  4]dx  3 f( x)dx  4 dx  9  4  5 nên B
ln e6

6

6

6

2

2

2

2

đúng

 [2f ( x) 1]dx   [2f ( x) 1]dx  2 f( x)dx 1 dx  20  4  16 nên C

ln e6


3

6

6

6

3

3

3

đúng

[4f ( x)  2 g ( x)]dx   [4f ( x)  2 g ( x)]dx  4  f( x)dx  2  g ( x)dx  28  10  18

Nên D sai
Chọn đáp án D
1

Câu 36.

(LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử



f  x  dx  3 và

0

A. 12.

5



f  z  dz  9 . Tổng

0

B. 5.

3


1

C. 6.
Hướng dẫn giải

5

f  t  dt   f  t dt bằng
3

D. 3.

Chọn C.
1

Ta có


0

1

f  x  dx  3   f  t  dt  3 ;
0

5


0

5

f  z  dz  9   f  t  dt  9
0

8


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
5

1

3

5

3

5

0

1

3

1

3

9   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  3   f  t  dt   f  t  dt
0

3

5

1

3

  f  t  dt   f  t  dt  6.
Câu 37. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa:
3

3

3

  f  x   3g  x  dx  10 .  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx .
1

1

A. 8.

1

B. 9.

C. 6.
Hướng dẫn giải

D. 7.

Chọn C.
3



Ta có

3

1



3

  f  x   3g  x  dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 .
1

1

3

3

3

1

1

1

 2 f  x   g  x  dx  6  2 f  x  dx   g  x  dx  6 .

Tương tự



3
3

u  3v  10
u  4

Xét hệ phương trình 
, trong đó u   f  x  dx , v   g  x  dx .
2u  v  6
v  2
1
1



Khi đó

3

3

3

1

1

1

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  4  2  6 .
DẠNG KHÁC

x

Câu 38. Nếu



f  t  dt
t2

a

 6  2 x với x  0 thì hệ số a bằng :

A. 9.

B. 19.

Giải:
a

Cách 1: chọn x = a  
a

x

Cách 2: Giả sử


a

x



f  t  dt
t2

a



f  t  dt

f  x
x

2



t

2

C. 5.

f  t  dt
t2

D. 6.

6 2 a  6 2 a  a 9

x
 6  F (t )  6  F ( x)  F (a)  6
a

 6  2 x  F ( x)  F (a)  6  2 x đạo hàm hai vế theo biến x
1
 f ( x)  x x ....tự làm
x
4

Câu 39. Cho hàm số f  x liên tục trên [-1; 4] và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó I   f x dx là
1

9


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
y

5
2
11
I .
2
I  5.
I  3.

A. I  .

B.
C.
D.

2

3
-1 O

1

4

x

2

-1

Lời giải. Gọi A1;0, B 0;2, C 1;2, D2;0, E 3;1, F 4;1, H 1;0, K 3;0, L4;0 .

4

0

1

2

3

4

Khi đó I   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  xdx   f  xdx   f  xdx
1

0

1

1

0

2

1

3

2

3

4

  f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx .
1

0

1

2

3

(do f  x  0, x  1;2 và f  x  0, x  2;4  )
1
1
1
5
 S ABO  SOBCH  SHCD  SDKE  SEFLK  .2.1  2.1  .2.1 .1.11.1  . Chọn A.
2
2
2
2

Câu 40. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  có đồ thị như hình. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

b

A.



f  x  dx là diện tích hình thang cong ABMN. B.

b

f  x  dx là độ dài đoạn cong AB.

a

C.



b

 f  x  dx là diện tích tam giác cong ABP.
a

a

b

D.

 f  x  dx là độ dài đoạn MN.
a

Câu 41. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  có đồ thị như hình và f   x   g  x  . Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

10


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM

b

b

A.  g  x  dx là độ dài đoạn NM.

B.  g  x  dx là diện tích hình thang cong ABMN.

a

a

b

b

C.  g  x  dx là độ dài đoạn BP.

D.  g  x  dx là độ dài đoạn cong AB.

a

b

Giải : f   x   g  x    g ( x)dx  f ( x)
a

a

b
 f (b)  f (a)  BM  MP  BP
a

Câu 42. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  0;18 có đồ thị như hình.

x

Đặt S  x    f  t  dt , x   0;18 . Khi đó S  6  có giá trị là :
0

A. 9 .
Giải :

B. 3 .

C. 6 .

D. 18 .

6

S (6)   f (t )dt
0

Lưu ý f(x) và f(t) đều có cùng một đồ thị
6

Từ hình vẽ nhận thấy S (6)   f (t )dt chính là diện
0

1
 .62
tích hình tròn bán kính bằng 6  S (6) 
 9
4
4

Câu 43. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  0;18 có đồ thị như hình.

11


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM

x

Đặt S  x    f  t  dt , x   0;18 . Khi đó S 18 có giá trị là :
A. 9  18 .
Giải :

0

B. 18  18 .

C. 6  18 .

D. 18  36 .

18

12

18

12

0

0

12

0

S (18)   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt , Từ hình vẽ thấy  f (t )dt là diện tích nửa hình tròn bán kính 6,
18



f (t )dt là diện tích tam giác vuông.  S (18) 

12

 .62
2



6.6

 18  18
2

Câu 44. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4 có đồ thị trên  0; 4 như hình dưới.

4

Tính

 f  x  dx .
0

A. 0.
Giải :

B. 1

4

2

4

0

0

2

C. 5.

D. 8

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
2

Gọi S1 là diện tích hình thang phía trên trục Ox 

 f  x  dx  S , S2 là diện tích hình tam giác phía
1

0

4

dưới trục Ox 

 f  x  dx  S

2

2

4

  f  x  dx  S1  S2 
0

2 1
2.2

.2 
1
2
2

Câu 45. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4 có đồ thị trên  0; 4 như hình dưới.

12


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
a

a

0

2

Đặt G  a    f  x  dx , H  a    f  x  dx với a  0; 4 . Tính G  a   H  a  .
A. 0.

B.

3
2

C. 6.

a

a

a

0

2

0

D. 3.
2

2

a

0

Giải : G  a   H (a)   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
2

Gọi S1 là diện tích hình thang phía trên trục Ox   f  x  dx  S1 
0

2 1
.2  3
2

Câu 46. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2;3 có đồ thị trên  2;3 như hình dưới.

a

Đặt M  a    f  x  dx . Tìm giá trị của M  1 .
1

A. M  1  1 .

B. M  1  0 .



.
D. Không tồn tại M  1 .
2
Câu 47. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2;3 có đồ thị trên  2;3 như hình dưới.
C. M  1 

a

Đặt M  a    f  x  dx . Tìm giá trị của của M  2  .
1

A. M  2  



.

B. M  2   



.

C. 0.

D. M  2  

4
4
Câu 48. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  2;3 có đồ thị trên  2;3 như hình dưới.

3
.
4

13


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM

3

giá trị của

5
A. 
.

4

 f  x  dx bằng :

2

B. 


.
4

C.

Câu 49. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình. Biết

hiệu

F  3  F  0 



3

 f  x  dx  2,3

5
.
2

và F   x   f  x  , x  0;4 . Tính

.

B. 1,3.
3

f  x  dx   F '  x  dx  F ( x)

0

D.

1

A. 0,3.
Giải :
3


.
2

0

3

1

3

0

0

1

C. 3,3.

D. 4,3.

3
 F (3)  F (0)
0

Mà  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  S1  2,3 , với S1 là diện tích
hình chữ nhật như hình bên

 F (3)  F (0)  1*2  2,3  4,3
Câu 50. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , thỏa mãn f  x   0, x   và f '  x   2 f  x   0 . Tính

f 1 , biết rằng f 1  1 .

A. e 2 .

B. e3 .

C. e 4 .

Lời giải. Ta có f '  x  2 f  x  0  f '  x  2 f x 

1

Lấy tích phân hai vế, ta được



1

D. 3 .
f '  x
 2 (do f  x  0 ).
f  x

1
f '  x
dx  2  dx 
 ln  f  x
f  x
1

1
1

 2 x

1
1


 ln  f 1  ln  f 1  4 

 ln1 ln  f 1  4


 ln  f 1  4 
 f 1  e4 .

Chọn C.

14


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
Câu 51. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f ( x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành

độ a  b  c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (c)  f (a)  f (b).
B. f (c)  f (b)  f (a).
C. f (a)  f (b)  f (c).

D. f (b)  f (a)  f (c).

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đồ thị của hàm số y  f ( x) liên tục trên các đoạn  a; b
và b; c  , lại có f ( x) là một nguyên hàm của f ( x) .

 y  f ( x )
y  0

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 

là:
x  a
 x  b
b

b

a

a

S1   f ( x)dx    f ( x)dx   f  x  a  f  a   f  b  .
b

Vì S1  0  f  a   f  b  1

 y  f ( x )
y  0

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
là:
x  b
 x  c
c

S2  
b

c

f ( x)dx   f ( x)dx  f  x  b  f  c   f  b  .
c

b

S2  0  f  c   f  b   2  .
Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1  S2  f  a   f  b   f  c   f b   f  a   f  c   3 .
Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.
(có thể so sánh f  a  với f  b  dựa vào dấu của f ( x) trên đoạn  a; b  và so sánh f  b  với f  c  dựa
vào dấu của f ( x) trên đoạn b; c  ).
4

Câu 52. Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ. Tính



y

f '( x) dx

1

A.0.
B. 2.
C. 4.
D. 6.
Giải:
Với x thuộc khoảng (1; 2) đồ thị f(x) đi lên nên f(x) đồng biến nên f’(x) > 0,
với x thuộc khoảng (2; 4) đồ thị f(x) đi xuống nên f(x)
nghịch biến nên f’(x) < 0. Do đó:

4


1

2

4

2

4

1

2

1

2

f '( x) dx   f '( x) dx   f '( x) dx   f '( x)dx    f '( x)dx

2
4
 f ( x)  f ( x)  f (2)  f (1)  f (4)  f (2)  3  0  0  3  6
1
2

y  f ( x)

3

O

1

2

4

x

Câu 60. Cho y = f(x) liên tục trên [1; 2] thỏa f(1) = -1 và ( x  1) f '( x)  f ( x)  3x 2  2 x . Giá trị f (2) là
2
5
A. 2.
B. .
C. 3.
D. .
3
2
15


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
2

2

2

2

1

1

Giải:  [( x  1) f '( x)  f ( x)]dx   (3x  2 x)dx   ( x  1)d ( f ( x))   f ( x)dx  4
2

1

1

2

2

2
2
 ( x  1) f ( x)   f ( x)dx   f ( x)dx  4  3 f (2)  2 f (1)  4  f (2) 
1 1
3
1

Câu 61. Cho y = f(x) liên tục trên [1; 2] thỏa f(1) = -2ln2 và x( x  1) f '( x)  f ( x)  x 2  x . Giá trị
f (2)  a  b ln 3 . (a, b là các phân số tối giản). Tính a2 + b2.
25
9

5
13
A.
B. .
C. .
D. .
.
2
2
4
4
Giải:
2
2
2
x
1
x
x
1
x
2
x( x  1) f '( x)  f ( x)  x  x 
f '( x) 
f ( x) 

f '( x)dx  
f ( x)dx  
d
2

2
x 1
( x  1)
x 1
x 1
( x  1)
x 1
1
1
1
2
2
2
2
2 2 1
x
1
1
x
1

d ( f ( x))  
f ( x)dx   (1 
)dx 
f ( x)  
f ( x)dx  
f ( x)dx
2
2
1 1 ( x  1)

x 1
( x  1)
x 1
x 1
( x  1) 2
1
1
1
1

2
2
3
 x  ln x  1  1  ln
1
1
2
2
x
3
2
1
3
2
1
3
f ( x)  1  ln  f (2)  f (1)  1  ln  f (2)  .(2ln 2)  1  ln
1
x 1
2

3
2
2
3
2
2
2
3
3 3
9
 f (2)  ln 2  1  ln  f (2)   ln 3  a 2  b 2  .
3
2
2 2
2


TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Câu 53. Trong các hàm số f  x  dưới đây, hàm số nào thỏa mãn đẳng thức




f  x .cos xdx  f  x  sin x

0

0

A. f  x   6 x 2 .

B. f  x   



4

x
.
2

C. f  x  

4

x
.
2



  2 x3 sin xdx ?
0

D. f  x   2 x3 .



u  f  x 
du  f '  x  dx

Lời giải. Đặt 
.




dv  cos xdx
v  sin xdx




0

0

  f  x .cos xdx  f  x  sin x



  f '  x  sin xdx .
0

Từ đó suy ra f '  x   2 x3 nên chỉ có f  x  

x4
là thỏa mãn. Chọn C.
2

Câu 54. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f '  x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  1 và

1



f  x dx  2 .

0

1

Tính tích phân I   f '  x  dx.
0

A.

I  1.

B. I  1.

C. I  2.

D.

I  2.

1

 t 2  x 
 2tdt  dx

Lời giải. Xét I   f '  x  dx. Đặt t  x 
0

Đổi cận

1

x0t0


. Khi đó I  2  tf ' t  dt  2 A .



x  1  t  1
0

16


Mai Đình Kế - 0902834487 – Quận 12 TP HCM
u  t

Tính A   tf ' t  dt . Đặt 

du  dt

.






dv  f ' t  dt
v  f t 



1

0

1

1

 I  2 A  2. Chọn D.
Khi đó A  tf t    f t  dt  f 1 2  1 2  1 
0

0

Câu 55. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

1

  x  2 f '  x  dx  3 và
0

A. I  1 .

0

C. I  1 .

B. I  5 .
u  x  2

1

3 f 1  2 f  0   2 . Tính I   f  x  dx .

du  dx

D. I  5 .


Giải: đặt 
   x  2  f '  x  dx  ( x  2) f ( x)   f  x  dx  3 f (1)  2 f (0)  I

0 0
dv

f
'
x
dx
 

v  f  x 

0


Từ giả thiết suy ra 2 – I = 3 hay I = -1.

Câu 56. Cho hàm số y  f  x  thỏa A 

1

1

1

1

  x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính
0

A. I  8 .

1

I   f  x  dx .
0

C. I  8 .

B. I  12 .

D. I  12 .

Câu 57. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x  thỏa mãn F  2018  

2017

 F  x  1 dx  1 . Tính

1

2018

I



x f  x  dx .

0

A. I  2018 .
B. I  2019 .
u  x
du  dx


Giải: đặt 

dv  f  x  dx 
v  F  x 


Câu 58. Cho hàm số y  f  x  thỏa

C. I  2017 .

D. I  2016 .





2

2

 sinx. f  x  dx  f  0  1 . Tính I   cosx. f   x  dx .
0

0

A. I  1 .

B. I  1 .
u  cos x
du   sinx dx


Giải: đặt 

dv  f '  x  dx 
v  f  x 



Câu 59. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết

C. I  0 .

D. I  2 .

1

 e  f  x   f   x   dx  ae  b , tính Q  a
x

2017

 b2017 .

0

A. Q  0 .

B. Q  2 .

1

D. Q  2 .

C. Q  1 .

1

1

Giải:  e x  f  x   f   x   dx   e x f ( x)dx   e x f '( x)dx  I1  I 2
0

0

0

u  e


du  e dx
Với I2 Đặt 

dv  f '  x  dx 
v  f  x 

x

x

Câu 60. Cho hàm số f  x thỏa mãn

2

2

0

0

 ( x  3) f '( x)dx  50 và 5 f 2 3 f 0  60 . Tính.  f ( x)dx

A. I 10 .

B. I  8 .
C. I 12 .
D. I  12 .
2
2 2


u  x  3
du  dx
Giải: đặt 
Do đó  ( x  3) f '( x)dx  50  ( x  3) f ( x)   f ( x)dx  50

0 0

0
dv  f '  x  dx 
v  f  x 
2

2

2

0

0

0

 5 f (2)  3 f (0)   f ( x)dx  50  60   f ( x)dx  50   f ( x)dx  10

17