05 ĐAHS ôn tập các đường đặc biệt trong tam giác

Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 04.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu. Trong trường hợp
các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp. Sau
khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô.

Hình lớp 8 CB
Bài: Ôn tập Các đường đặc biệt trong tam giác
Bài 1: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
tại A
Hướng dẫn:
Ta có AM = ½ BC  AM = MB = MC

A

∆AMB cân tại M  MAB  MBA (1)
∆AMC cân tại M  MAC  MCA (2)
Từ (1) và (2) suy ra BAC  MAB  MAC  MBA  MCA
Mà BAC  MBA  MCA  1800

B

Do đó BAC  900

C

M

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH vuông góc với BC. Tia phân giác của góc CAH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tam giác ABD cân
b) Các tia phân giác của góc BAH và BHA cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
rằng ba điểm B, I, M thẳng hàng

C

Hướng dẫn :

D

Vì BAD  A4  90 ; ADH  A3  90 và A3  A4 nên BAD  BDA
0

a)

0

M

Vậy tam giác ABD cân tại B
Xét ∆ABH, vì I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc H

b)

Nên BI là tia phân giác của góc B

4 3
2
1

A

H
I
B

Mặt khác, ∆ABD cân tại B, suy ra phân giác BI cũng là trung tuyến ứng với cạnh AD
Do đó BI đi qua trung điểm của AD hay ba điểm B, I, M thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, AC lấy ba điểm theo thứ tự D, E, F sao cho AD = BE
= CF
a) Chứng minh rằng tam giác DEF đều
Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017

1


Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 04.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

b) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng O cũng là giao điểm
các đường trung trực của tam giác DEF
A

Hướng dẫn :
a)

∆ADF = ∆BED (c.g.c)  DF = DE (1)
D

∆BED = ∆CFE (c.g.c)  DE = EF (2)

F

O

Từ ( 1) và (2) suy ra DE = EF = FD
Suy ra ∆DEF đều
b)

O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC

B

C

E

Nên OA = OB = OC và các tia OA, OB, OC lần lượt là các tia phân giác của các góc BAC, ABC, ACB
Ta có ∆DAO = ∆OBE (c.g.c)  OD = OE (3)
∆DAO = ∆FCO (c.g.c)  OD = OF (4)
Từ (3) và (4) suy ra OD = OE = OF
Vậy O là giao điểm các đường trung trực của tam giác DEF
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, có A  450 , đường phân giác AD. Đường trung trực của AB cắt AC tại
M. Trên cạnh AB lấy một điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BM, CN đồng
quy
Hướng dẫn :

A

Vì MA = MB và BAC  450 nên ∆AMB vuông cân tại M  BM  AC
Vì ∆NBC = ∆MCB (c.g.c) nên BNC  BMC (hai góc tương ứng)

M

N

 BNC  900  CN  AB
Xét ∆ABC, vì AD, BM, CN là ba đường cao nên chúng đồng quy

B

C

D

Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Trên tia AC lấy điểm D sao cho C
là trung điểm của AD và gọi N là trung điểm của BD. Chứng minh rằng ba

A

Hướng dẫn:
Xét ∆ABD, có trung tuyến BC. M là điểm trên BC và MB =

2
BC
3

 M là trọng tâm tam giác ABD

Suy ra M thuộc trung tuyến AN hay ba điểm A, M, N thẳng hàng

Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017

điểm A, M, N thẳng hàng

C
B

M
N

D
2


Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 04.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

Bài 6*: Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I
là trung điểm của đoạn AH và K là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh rằng FK  FI
b) Biết AH = 6cm, BC = 8cm. Tính IK
Hướng dẫn:
a)

Xét ∆AFH vuông ở F, có trung tuyến FI  FI = ½ AH = IA

Do đó ∆FAI cân tại I  IFA  IAF (1)

A

Xét ∆BFC vuông ở F, có trung tuyến FK  FK = ½ BC = BK
Do đó ∆FBK cân tại K  KFB  KBF (2)

F

Từ (1) và (2) suy ra IFA  KFB  IAF  KBF  900

I

E

H

Từ đó suy ra IFK  900 , do vậy FK  FI
b)

Từ chứng minh trên ta có ∆IFK vuông tại F

Suy ra FI = ½ AH = 3cm; FK = ½ BC = 4cm

B

D

K

C

Áp dụng định lí Py-ta-go cho ∆IFK vuông tại F, ta có:
IK 2  FI2  FK 2  25  IK  5cm

Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017

3