TÓM TẮT KHIẾN THỨC TOÁN THPT

1


Phần 1 – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
1. Các tập hợp số đã học
 Tập số tự nhiên: N = {0, 1, 2, 3, …}
N* = {1, 2, 3, …}
 Tập số nguyên: Z = {…, –2,–1, 0, 1, 2, …}
a
 Tập số hữu tỉ: Q = { / a, b  Z, b ≠ 0}
b
 Tập số thực: R (gồm các số hữu tỉ và vô tỉ)

Q

R

Z

N

2. Các tập con của R
Khoảng:

(a; b)   x  R / a  x  b

(a; )   x  R / a  x
(; b)   x  R / x  b
Đoạn:

[a; b]  x  R / a  x  b

//////////(––––––––––)///////>
a

b

//////////(–––––––––––––––>
a

––––––––––––––––)///////>
b

//////////[––––––––––]///////>
a

Nửa khoảng: [a; b)  x  R / a  x  b

(a; b]  x  R / a  x  b

b

//////////[––––––––––)///////>
a

b

//////////(––––––––––]///////>
a

b

[a; )  x  R / a  x

//////////[–––––––––––––––>

[a; )  x  R / a  x

––––––––––––––––]///////>

a

3. Các phép toán trên tập hợp
Phép toán
Định nghĩa
Phép giao
A  B = {x/ x  A và x  B}

b

Biểu đồ Ven
B
A

C

AB

Phép hợp

A  B = {x/ x  A hoặc x  B}

B

A

C=AB

Phép trừ

B

A

A \ B = {x/ x  A và x  B}
C=A\B

Phần bù

B

A

CAB = A \ B với B  A
C AB

2


4. Dấu hiệu chia hết
Số chia hết cho

2
3
4
5
6
8
9

Nhận biết
Chữ số cuối là số chẵn
Tổng các chữ số chia hết cho 3
Hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4
Chữ số cuối là 0 hoặc 5
Đồng thời chia hết cho 2 và 3
Ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8
Tổng các chữ số chia hết cho 9

5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1) ( A  B)2  A2  2 AB  B 2 ;
2) ( A  B)2  A2  2 AB  B 2 ;
3) A2  B 2  ( A  B)( A  B);
4) ( A  B)3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3 ;
5) ( A  B)3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3 ;
6) A3  B 3  ( A  B)( A 2  AB  B 2 )
7) A3  B 3  ( A  B )( A 2  AB  B 2 )
 A2  B2  ( A  B)2  2 AB
 A2  0, A; A2  0  A  0
 ( A  B  C)2  A2  B2  C 2  2 AB  2BC  2CA
6. Phân số

a a.m

(m  0);
b b.m
a b ab
 
 Cộng , trừ:
;
m m
m
 Biến đổi:

 Nhân:

a c a.c
. 
b d b.d

a a:m

(m  0)
b b:m
a b an  bn
 
m n
mn

 Chia:

 So sánh: 2 phân số cùng mẫu:

3

a c a d
:  .
b d b c

a b
 ab
m m


m m
 ab
a b
a c
ab cd
a
c
 



b d
b
d
ab cd

2 phân số cùng tử:

7. Tính chất tỉ lệ thức:

8. Trị tuyệt đối:
 Định nghĩa: Trị tuyệt đối của số x, kí
hiệu x là khoảng cách từ điểm x tới
điểm 0 trên trục số.
 Tính chất: x  0, x ;

x
x 
 x

2

x  x2 ;

khi x  0
khi x  0

x.y  x . y

9. Căn bậc hai: x là một căn bậc hai của a  x 2  a
 Tính chất:

A  0, A

A có nghĩa  A  0 ;

A2  A ;

A.B  A . B ;

A : B  A : B ; ( A, B  0)

10. Công thức nghiệm của phƣơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a  0)
(1)

  b2  4ac

Kết luận

>0

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 

=0

(1) có nghiệm kép x  

<0

(1) vô nghiệm

b  
2a

b
2a

 Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

c
.
a

c
 Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =  .
a
b
 Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b  .
2
b
Khi đó:  '  b '2  ac ; Nghiệm kép x   ;
a
b '  '
Hai nghiệm phân biệt: x1,2 
a
4


11. Định lí Vi – ét: Phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có hai
nghiệm x1 , x2 thì S  x1  x2  

b
c
và P  x1x2  .
a
a

12. Dấu của nghiệm phƣơng trình ax2  bx  c  0 ( a  0) (1)
 (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0
 (1) có hai nghiệm cùng dấu    0 và P  0

  0

 (1) có hai nghiệm dương   P  0
 S  0
  0

 (1) có hai nghiệm âm   P  0
 S  0
(Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0)
13. Xét dấu biểu thức bậc nhất f ( x)  ax  b ( a  0)

b
a
0

ax+b







x

trái dấu với a

cùng dấu với a

14. Xét dấu biểu thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c ( a  0)
0

0

X

f(x) cùng dấu với a
X
f(x)

0





x1

x2

0 trái dấu với a

0 cùng dấu với a

b
2a

cùng dấu với a
0
cùng dấu với a
f(x) luôn cùng dấu với a


  0
 ax 2  bx  c  0, x  R  
a  0
  0
 ax 2  bx  c  0, x  R  
a  0
5






15. Bất phƣơng trình tích
 Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1)( với P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
 Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm.
16. Bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu
P( x )
 Dạng:
 0 (2) (với P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Q( x )

P( x )
. Từ đó suy ra tập nghiệm.

Q( x )
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

 Cách giải: Lập bảng xét dấu của

17. Phƣơng trình – Bất phƣơng trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta
thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất để khử dấu GTTĐ.
 f ( x)  0
C1  g( x )  0
C2  
f ( x )  g( x )

 Dạng 1: f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )   
  f ( x )   g( x )   f ( x )  0
  f ( x )   g( x )
 f ( x )  g( x )
 Dạng 2: f ( x )  g( x )  
 f ( x )   g( x )
 g( x )  0
 Dạng 3: f ( x )  g( x )  
 g( x )  f ( x )  g( x )

  g( x )  0
  f ( x ) coù nghóa

 Dạng 4: f ( x )  g( x )    g( x )  0

   f ( x )   g( x )
   f ( x )  g( x )


 Dạng 5: a f ( x )  b g( x )  h( x ) . Đối với phương trình có dạng này ta
thường dùng phương pháp khoảng để giải
Chú ý:
 A  A  A  0;
 A  A  A  0
 A  B
 Với B > 0 ta có: A  B  B  A  B ; A  B  
.
A  B
 A  B  A  B  AB  0 ;
 A  B  A  B  AB  0
6


18. Phƣơng trình – Bất phƣơng trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta
thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

 g( x )  0
 Dạng 1: f ( x )  g( x )  
2

 f ( x )   g( x )
 f ( x )  0 (hoaëc g( x )  0)
 Dạng 2: f ( x )  g( x )  
 f ( x )  g( x )

t  f ( x ), t  0
 Dạng 3: a. f ( x )  b. f ( x )  c  0   2


at  bt  c  0

u  f ( x )
; u, v  0 đưa về hệ u, v.
 Dạng 4: f ( x )  g( x )  h( x ) .Đặt 
v

g
(
x
)


 f ( x)  0
 Dạng 5: f ( x )  g( x )  
 g( x )  0
 f ( x )   g( x )2

  g( x )  0
 f ( x)  0

 Dạng 6: f ( x )  g( x )    g( x )  0

  f ( x )   g( x )2
 
 Dạng 7:

f ( x )  g( x )  f ( x ).g( x )  h( x )

Đặt t 

f ( x )  g( x ), t  0 .

19. Giải và biện luận phƣơng trình ax + b = 0
ax + b = 0 (1)
Hệ số
Kết luận
a0
a=0

(1) có nghiệm duy nhất x  
b0
b=0

(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

20. Một số hệ phƣơng trình thƣờng gặp:
* Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
7

b
a


a1x  b1y  c1

a2 x  b2 y  c2
Giải và biện luận:

Tính các định thức: D 
Xét D

(a12  b12  0, a22  b22  0)
a1

b1

a2

b2

, Dx 

c1

b1

c2

b2

, Dy 

a1

c1

a2

c2

.

Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất


Dy 
D
 x  x ;y 


D
D 
Dx  0 hoặc Dy  0 Hệ vô nghiệm
Dx = Dy = 0
Hệ có vô số nghiệm

D0

D=
0

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách
giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
* Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

* Hệ đối xứng loại 1
 f ( x, y)  0
Hệ có dạng: (I) 
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
 g( x , y )  0
(Khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
 Đặt S = x + y, P = xy.
 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
 Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
 Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2  SX  P  0 .
* Hệ đối xứng loại 2
 f ( x, y)  0
(1)
Hệ có dạng: (I) 
(2)
 f ( y, x )  0
(Khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)
 f ( x, y)  f ( y, x )  0 (3)
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I)  
(1)
 f ( x, y)  0
8


 Biến đổi (3) về phương trình tích:

x  y
(3)  ( x  y).g( x, y)  0  
.
 g( x , y )  0

 f ( x, y)  0
 f ( x, y)  0
 Như vậy, (I)  
hoặc. 
x  y
 g( x , y )  0
 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
* Hệ đẳng cấp bậc hai
2
2

a x  b xy  c1y  d1
Hệ có dạng: (I)  1 2 1
.
2
a
x

b
xy

c
y

d

 2
2
2
2

 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
 Khi x  0, đặt y  kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x
ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta
tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
Chú ý:
– Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm
số để giải.
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì

( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì

x0  y0 .

9


21. Lƣợng giác
 Công thức lƣợng giác:
Các công thức cơ bản:

sin2 a  cos2 a  1
tana.cota  1

1  tan2 a 

Công thức hạ bậc:
1  cos2a
sin2 a 
2

cos2 a 

1
cos2 

1  cos2a
2

1  cot 2 a 

tan2 a 

1
sin2 a

1  cos2a
1  cos2a

Công thức nhân đôi:

sin 2a  2sin a.cos a
1
 sin a.cos a  sin 2a
2

cos2a  cos2 a  sin2 a  2 cos2 a  1
 1  2sin2 a

Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab

ab
ab
ab
sin a  sin b  2sin
.cos
cos a  cos b  2 cos
.cos
2
2
2
2

sin a  sin b  2 cos

ab
ab
ab
ab
.sin
cos a  cos b   2sin
.sin
2
2
2
2

Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
1
sin a cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] cos a sin b  [sin(a  b)  sin(a  b)]

2
2
1
1
cos a cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sin a sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
2

Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau
Hai góc bù nhau
Hai góc hơn kém 
cos( )  cos 
cos(   )   cos 
sin (   )  sin 
sin ( )  

 b cùng phương với a  0  k  R: a  kb
 Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI 
 Toạ độ trọng tâm G của ABC:
xG 

x A  xB  xC

; yG 

x A  xB
y y
; yI  A B
2

2

y A  yB  yC

3
3
II. Phƣơng trình đƣờng thẳng
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một


VTCP u hoặc một VTPT n
y


n

y0

M0


u




M

O

x0

x

1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng

Cho  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .

 x  x0  tu1
Phương trình tham số của : 
(1) ( t là tham số).
 y  y0  tu2
2. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng

Cho  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  (a; b)
Phương trình tổng quát của  là: a( x  x0 )  b(y  y0 )  0
Nhận xét: Nếu  có phương trình dạng tổng quát ax  by  c  0





(a2  b2  0) thì  có VTPT là n  (a; b) và VTCP u  (b; a)
31


3. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng

Cho  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .

x  x 0 y  y0

(2) (u1,u2  0).
u1
u2
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng
không có phương trình chính tắc.
Phương trình chính tắc của :

4. Các trƣờng hợp đặc biệt:
  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b)   đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và
(a, b  0) thì  có phương trình theo có hệ số góc k thì  có phương
x y
trình: y  y0  k ( x  x0 )
đoạn chắn là:   1 .
a b

xAv,   900.
Chú ý: Hệ số góc của đường thẳng là k = tan, với  = 
y

y

v
v






O

A

x

O



A

x

5. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Cho 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .
 Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1x  b1y  c1  0
(1)

a2 x  b2 y  c2  0
 1 cắt 2

a1 b1

(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2

 1 // 2 

a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2
6. Góc giữa hai đƣờng thẳng

Cho 1: a1x  b1y  c1  0 có VTPT n1  (a1; b1 )
 1  2 



và 2: a2 x  b2 y  c2  0 có VTPT n2  (a2 ; b2 ) .
32


 
n1.n2
 


cos(1, 2 )  cos(n1, n2 )   

n1 . n2

Chú ý:  0o  (1, 2 )  90o

 1  2  a1a2  b1b2  0 .

 Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì:
1 // 2  k1 = k2
1  2  k1. k2 = –1.
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
Cho : ax  by  c  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) .

d ( M0 , ) 

ax0  by0  c
a2  b2

8. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một đƣờng thẳng :
Cho : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; yN )  .
 M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0
 M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0
9. Phƣơng trình các đƣờng phân giác của các góc tạo bởi hai đƣờng
thẳng: Cho 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
a x  b1y  c1
a x  b2 y  c2
 2
thẳng 1 và 2 là: 1
a12  b12
a22  b22

III. Phƣơng trình đƣờng tròn:
1. Dạng 1: Đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R có phương trình:

( x  a)2  ( y  b)2  R2 .
2. Dạng 2: Phương trình x 2  y2  2ax  2by  c  0 với a2  b2  c  0,
là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R =

a2  b2  c

3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng . Ta có:
 tiếp xúc với (C)  d (I , )  R
33


IV. Phƣơng trình Elip
1. Định nghĩa : Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0).

M  (E )  MF1  MF2  2a (a > c)
F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự.
2. Phƣơng trình chính tắc của elip
x2
2



y2
2

 1 (a  b  0, b2  a2  c2 )

a
b
3. Hình dạng của elip

y
b B2 M(x; y)
A1
–a

F1
–c

F2 A2
c
a

O

x

– b B1

 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm
tâm đối xứng.
 Toạ độ các tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) .
 Tiêu cự: F1F2  2c
 Toạ độ các đỉnh: A1(a;0), A2 (a;0), B1(0; b), B2 (0; b)
 Độ dài các trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b

c
(0 < e < 1)
a
 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x  a, y  b
(ngoại tiếp elip).
 Với M(x; y)  (E), MF1, MF2 là các bán kính qua tiêu điểm của M.
 Tâm sai của (E): e 

MF1  a 

c
c
x , MF2  a  x
a
a

34


Phần 4

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của vectơ:
a) Định
nghĩa:


  
u   x; y; z   u  xi  y j  zk
b) Tính chất:


Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 )

 

 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )



 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b
3
 3














 0  (0; 0; 0), i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0), k  (0; 0;1)

 







 a cùng phương b (b  0)  a  kb (k  R)

a1  kb1
a
a a

 a2  kb2  1  2  3 , (b1, b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a  kb
3
 3
 
 3 điểm A, B, C không thẳng hàng  AB, AC không cùng phương



 Tích vô hướng: a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3





 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0



 a  a12  a22  a22


 cos(a, b )    
 

a.b

a1b1  a2 b2  a3b3

a.b

a12  a22  a32 . b12  b22  b32

 

2. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:

M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) (x: hoành độ; y: tung độ; z: cao độ)
Chú ý:  M(Oxy)  M ( x; y;0) ;
 M  Oy  x = z = 0;
 M(Oyz)  M (0; y; z ) ;

 M  Ox  y = z = 0
 M  (Oxz)  M ( x;0; z) ;
 M  Oz  x = y = 0
35



(với a, b  0 )


b) Tính chất:
Cho A( x A ; y A ; zA ), B( xB ; yB ; zB )



 AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA )

 Độ dài đoạn thẳng AB  AB
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
 x  xB y A  yB zA  zB 
M A
;
;


2
2
2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 x  xB  xC y A  yB  yC zA  zB  zC 

G A
;
;

3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zC 
G A
;
;


4
4
4


 
AB. AC
 Tính góc A của tam giác ABC: cos A  cos( AB, AC )   
AB . AC
4. Tích có hƣớng của
hai
vectơ:



a) Định nghĩa: Cho a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) .





 a2

a1 a2 


 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
  a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1 

 a, b   a  b  

a3

;

a3

a1

;

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của
hai vectơ là một số.
b) Tính chất:

 



 



 [a, b]  a; [a, b]  b

 

 



 

 

 

 





 [a, b]  a . b .sin  a, b 

 





 a, b cùng phương  [a, b]  0  i , j   k ;  j , k   i ;  k , i   j
c) Ứng dụng của tích có hƣớng:
 Điều kiện
 đồng phẳng của ba vectơ:
  
a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0

 

 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB, AD 
36


Din tớch tam giỏc ABC: S ABC

1
AB, AC
2



Th tớch khi hp: VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD].AA '
Th tớch t din ABCD:

VABCD

1
[ AB, AC ]. AD
6

Chỳ ý:
Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh
hai ng thng vuụng gúc, tớnh gúc gia hai ng thng.
Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch
tam giỏc; tớnh th tớch khi t din, th tớch hỡnh hp; chng minh
cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh cỏc vect
cựng phng.


a b a.b 0



a vaứ
b
cuứ
n
g
phửụng

a
,b 0

a, b , c ủong phaỳng a, b .c 0
5. Phng trỡnh mt cu:
Dng 1: Phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R l:

( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
Dng 2: Phng trỡnh x2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 vi
a2 b2 c2 d 0 l phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I (a; b; c) v

bỏn kớnh R= a2 b2 c2 d .
III. Phng trỡnh mt phng
1. Vect phỏp tuyn Cp vect ch phng ca mt phng


Vect n 0 l VTPT ca () nu giỏ ca n vuụng gúc vi ().

Hai vect a , b khụng cựng phng l cp VTCP ca () nu cỏc giỏ
ca chỳng song song hoc nm trờn ().
Chỳ ý:


Nu n l mt VTPT ca () thỡ kn (k 0) cng l VTPT ca ().


Nu a , b l mt cp VTCP ca () thỡ n a, b l mt VTPT ca ().
2. Phng trỡnh tng quỏt ca mt phng

Ax By Cz D 0 vụựi A2 B2 C 2 0

Nu () cú phng trỡnh Ax By Cz D 0 thỡ n ( A; B; C) l mt
37

VTPT của ().
 Phương trình mặt phẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT



n  ( A; B; C) là: A( x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0
Chú ý:  Nếu trong phương trình của () không chứa ẩn nào thì ()
song song hoặc chứa trục tương ứng.
x y z
 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:    1
a b c
() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:
(): A1x  B1y  C1z  D1  0
(): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

 (), () cắt nhau  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
 () // () 

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

 ()  () 

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

 ()  ()  A1 A2  B1B2  C1C2  0
5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho M0(x0; y0; z0) và (): Ax + By + Cz + D = 0
Ax0  By0  Cz0  D
d  M0 ,( )  
A2  B 2  C 2
IV. Phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng

 x  xo  a1t


ñi qua M(x0 ; y0 ; z0 )
 (d ) :  y  yo  a2t
(d): 


z  z  a t
coù VTCP laø a  (a1 ;a2 ;a3 )
o
3

2. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng:
38

( t  R)


(d ) :

x  x0
a1



y  y0
a2



z  z0
a3

(a1a2a3  0)

2. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng
Cho hai đường thẳng
 x  x0  ta1
 x  x0  ta1


và
d :  y  y0  ta2
d  :  y  y0  ta2

 z  z  ta
 z  z  ta
0
3
0
3



 

a , a cùng phương
  x  ta  x   ta
1
0
1
 d // d    0
hệ  y0  ta2  y0  ta2 (ẩn t, t) vô nghiệm

  z0  ta3  z0  ta3

 

 

a, a cùng phương
a, a cùng phương

   
 M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d 

a, M0 M0 không cùng phương

 a , a  0
      
  a, M0 M0   0
 x0  ta1  x0  ta1

 d  d  hệ  y0  ta2  y0  ta2 (ẩn t , t) có vô số nghiệm
 z  ta  z  ta
3
0
3
0

 
a, a cùng phương

 M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d 

 
  
  a, a  a, M0 M0   0

 x0  ta1  x0  ta1

 d, d cắt nhau  hệ  y0  ta2  y0  ta2 (ẩn t, t) có đúng một nghiệm
 z  ta  z  ta
3
0
3

 0



 

 a , a  0
a, a không cùng phương
    
    
 a, a .M0 M0  0
a, a, M0 M0 đồng phẳng
 
a , a không cùng phương
  x  ta  x   ta
1
0
1
 d, d chéo nhau   0
hệ  y0  ta2  y0  ta2 (ẩn t, t) vô nghiệm


  z0  ta3  z0  ta3
39




a, a, M0 M0 khoõng ủong phaỳng a, a .M0 M0 0

d d a a
a.a 0
3. V trớ tng i gia mt ng thng v mt mt phng
Cho mt phng (): Ax By Cz D 0

x x0 ta1

v ng thng d: y y0 ta2
z z ta
0
3

Xột phng trỡnh: A( x0 ta1) B( y0 ta2 ) C(z0 ta3 ) D 0 (n t) (*)

d // () (*) vụ nghim
d ct () (*) cú ỳng mt nghim
d () (*) cú vụ s nghim

4. V trớ tng i gia mt ng thng v mt mt cu
x x0 ta1

Cho ng thng d: y y0 ta2 (1)
z z ta
0
3

v mt cu (S): ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 cú tõm I (a; b; c)
d v (S) khụng cú im chung d(I, d) > R
d tip xỳc vi (S)

d(I, d) = R
d ct (S) ti hai im phõn bit d(I, d) < R
5. Khong cỏch t mt im n mt ng thng

Cho ng thng d i qua M0 v cú VTCP a v im M.



M M , a
0

d (M , d )

a

6. Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau
Cỏch 1: Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau d1, d2 bng
khong cỏch gia d1 vi mt phng () cha d2 v song song vi d1.
Cỏch 2: Cho hai ng thng chộo nhau d1 v d2.


a1, a2 .M1M2

d1 ủi qua M1 vaứ coự VTCP laứ a1
d (d1, d2 )
vi


a1, a2

d2 ủi qua M2 vaứ coự VTCP laứ a2
7. Khong cỏch gia mt ng thng v mt mt phng song
song vi ng thng ú:
40


Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó
bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().
8. Góc giữa hai đƣờng thẳng
 
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 .

 

Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .

 

 

a1.a2

cos  a1, a2    
a1 . a2

9. Góc giữa một đƣờng thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng () có



VTPT n  ( A; B; C) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường
thẳng d với hình chiếu d của nó trên ().
Aa1  Ba2  Ca3
sin 
d ,( ) 
A2  B 2  C 2 . a12  a22  a32





41