Bài giảng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§3 Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tơ Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
bài giảng theo chơng trình chuẩn
Chúng ta đều đà đợc học về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở những
lớp dới, và phơng pháp thờng đợc sử dụng để thực hiện dạng toán này là:
a. Phơng pháp đánh giá, thí dụ với hàm số f(x) = sinx + cosx ta có đánh giá nh
sau:
 −1≤sin t ≤1

f (x) = 2 sin  x + ÷ ⇒ − 2 ≤ f (x) ≤ 2
4

Do đó:



max f (x) = 2 , đạt đợc khi sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + 2k.
4
4





3

min f (x) = 2 , đạt đợc khi sin  x + ÷ = −1 ⇔ x = + 2k.
4
4

Hoạt động
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có)
của hàm số:
f (x) = 3sin x + 4cos x.

b. Phơng pháp tam thức bậc hai, thÝ dơ víi hµm sè f(x) = x2 + x + 1 ta cã biÕn
®ỉi nh sau:
2

3
1
1 3 3

f (x) =  x + ÷ + ≥ ⇒ min f (x) = , đạt đợc khi x = .
4
2
2 4 4

Hoạt động
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của
hàm số:
1
f (x) = x 2 + 2 .
x

c. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, thí dụ với hàm số f (x) = x 2 +
C ôsi

f (x) 2 x 2 .

Hoạt ®éng

4

1
ta cã:
x2

1
= 2 ⇒ min f (x) = 2 , đạt đợc khi x = 1.
x2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của
hàm số:
1
f (x) = x 3 + 2 , víi x > 0.
x


Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trªn tËp D ( D ∈ ¡ ).
a. NÕu tån tại một điểm x0 D sao cho:
f(x) f(x0) với mọi x D
thì số M = f(x0) đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ
hiƯu M = max f(x) .
xD
b. Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho:
f(x) ≥ f(x0) víi mäi x ∈ D
th× sè m = f(x0) đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu, kÝ
hiÖu m = min f(x) .
x∈D


NhËn xÐt: Nh vËy, muèn chứng minh rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D cần chỉ rõ:
a. f(x) M (hoặc f(x) ≥ m) víi mäi x ∈ D.
b. Tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iĨm x0 ∈ D sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m).
Trong bài học này, chúng ta sẽ học thêm một phơng pháp để tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp bằng việc lập bảng biến thiên của hàm số trên tập
hợp đó. Thí dụ sau sẽ minh học cách thực hiện:
Thí dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm sè:

f(x) = sin4x + cos4x.



Gi¶i
Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai cách:
Cách 1: (Sử dụng đạo hàm): Vì hàm số tuần hoàn với chu kì và là hàm số chẵn nên ta

xét trên D = 0; .
2
Đạo hàm:
y' = 4cosx.sin3x 4sinx.cos3x = 2(sin2x − cos2x)sin2x = −sin4x,
kπ
π
π
y' = 0 ⇔ sin4x = 0 ⇔ x =
⇒ x = 0, x = vµ x = .
4
4

2
Bảng biến thiên:
x 0
/4
/2
y'
0
+

1
1/2
1
y
CT
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1

k
yMin = , đạt đợc khi x =
+
, k ∈ Z.
2
4
2

5


k
, k Z.

2
Cách 2: (Sử dụng cách đánh giá): Ta có:



yMax = 1, đạt đợc khi x =

f(x) = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 − 2sin2x.cos2x = 1 −

1 2
sin 2x
2

Tõ ®ã, suy ra:
1
1
1
= ⇒ Min f(x) = , đạt đợc khi:
xR
2
2
2

k
sin22x = 1 cos2x = 0 ⇔ x =
+
, k∈Z.
4
2
f(x) ≤ 1 ⇒ Max f(x) = 1, đạt đợc khi:

f(x) 1

xR

k
, kZ.
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
f(x) = x2 + 2x 5 trên ®o¹n [−2; 3].

sin22x = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x =

Hoạt động


Chú ý: Ngời ta chứng minh đợc rằng"Nếu hàm số liên tục trên một đoạn thì
đạt đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó". Từ đó, để tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = f(x)
trên [a; b], với f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b), ta thực hiện
theo các bớc:
Bớc 1:
Tính đạo hàm y.
Bớc 2:
Tìm các điểm tới hạn thuộc (a; b) của hàm số (thông thờng là giải phơng
trình y' = 0 để tìm các nghiệm x (a; b)). Giả sử các nghiệm là x1, x2, ...
Bớc 3:
Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2), ...
Bớc 4:

Từ đó:
xMin y = Min{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), ...}.
∈[a, b]
Max
 x∈[a, b] y = Max{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), ...}.
ThÝ dô 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt (nÕu cã) cđa hµm sè:

f(x) =



6

x3
+ 2x2 + 3x 4 trên đoạn [4; 0].
3

Giải
Đạo hàm:
f'(x) = x2 + 4x + 3,
f'(x) = 0 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0 ⇔ x = −1 hc x = −3.


Ta cã:
16
16
, f(−3) = −4, f(−1) = −
vµ f(0) = 4.
3
3

Vậy, ta nhận đợc:
Max f(x) = Max{ 16 , 4} = 4 đạt đợc khi x = 3 hoặc x = 0.

x∈[ −4;0]
3
Min f(x) = Min{− 16 , −4} = 16 đạt đợc khi x = 4 hoặc x = 1.

x[ 4;0]
3
3

f(4) =

Hoạt động

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) =

2x 2 + 5x + 4
trên đoạn [0; 1].
x+2


Chú ý: Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đợc ứng
dụng rất nhiều trong thực tế, thí dụ sau là một minh hoạ.
Thí dụ 3: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Ngời ta dựng một hình chữ nhật
MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh
AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện
tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Giải
Đặt BM = x điều kiện 0 x

a
, suy ra:
2

MN = a − 2x;
µ
MQ = BM.tan B = x.tan600 = x 3 .
Tõ ®ã:
SMNPQ = MN.MQ = x 3 (a − 2x) = − 2x 2 3 + ax 3 .
a
Ta xÐt hµm sè y = − 2x 2 3 + ax 3 trên đoạn [0; ], ta cã:
2
y' = − 4x 3 + a 3 ,

y' = 0 ⇔ − 4x 3 + a 3 = 0 ⇔ x =

Q
B

M

A
1

P
N

C

a
.
4

Ta cã:
a
a
a2 3
y(0) = 0, y( ) = 0, y( ) =
.
2
4
8
Vậy, ta nhận đợc:
Max y
a
a2 3
a2 3
a
= Max{0,
}=
đạt đợc khi x = .
x 0;
2
4

8
8

bài tËp lÇn 1
7


Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
x
f(x) = 2
.
x +1
Bµi tËp 2: Cho parabol (P): y = x2 vµ điểm A(3; 0). Xác định điểm M thuộc

parabol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tính khoảng cách ngắn nhất đó.
Bài tập 3: Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V. Cạnh đáy của hình lăng
trụ đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó là nhỏ nhất ?
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:




f(x) = x sin2x trên đọan ; .
2
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

y = x + 2 x2 .
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè:
y = cos x + sin x .
Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = 2sin2x + 2sinx 1.
Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y=

1 + sin 6 x + cos6 x
.
1 + sin 4 x + cos4 x

Bài tập 9: Tìm m để phơng tr×nh sau cã nghiƯm:

x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x )
Bµi tËp 10: Cho bất phơng trình (a + 2)x a |x + 1|.
a. Giải bất phơng trình khi a = 1.
b. Tìm a để (1) có nghiệm x[0; 2].
Bài tập 11: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng tr×nh:
12x2 − 6mx + m2 − 4 +

12
= 0.
m2

3
T×m m sao cho x1 + x 3 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2
Bài tập 12: Tìm m để bất phơng tr×nh:
−4 (2 + x)(4 − x) ≤ x2 − 2x + m 18
nghiệm đúng với mọi x[2; 4].
Bài tập 13: Cho hÖ:

 x 2 − 4x + 3 ≤ 0


.
 2
 x − 8x + 14 + m ≤ 0


Với giá trị nào của m thì:
a. Hệ vô nghiệm.
8


b. HƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
c. HƯ cã nghiƯm lµ một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.
Giỏo ỏn in t ca bài giảng này giá: 850.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
9

Bài toán 1: Phơng pháp khảo sát trực tiếp.
Phơng pháp áp dụng

Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Miền xác định.
Bớc 2:
Đạo hàm y', rồi giải phơng trình y = 0.
Bớc 3:
Lập bảng biến thiên.
Bớc 4:
Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng biến thiên.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
x
f(x) = 2
.
x +1

Hớng dẫn: Sử dụng kién thức trong phần phơng pháp giải toán.
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
1 − x2
f' = 2
, f' = 0 ⇔ 1 − x2 = 0 ⇔ x = ±1.
(x + 1)2
Giíi h¹n lim y = 0.
x

Bảng biến thiên:

x
1
1
f'
0
0

+
CT
CĐ
0
f
1/2
1/2
Vậy, ta nhận đợc:
1

max f(x) = đạt đợc khi x = 1.
2
1

min f(x) = đạt đợc khi x = 1.
2



+
0

Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện bài toán toán trên đà lập sai bảng
biến thiên (bỏi bỏ qua bớc tính giới hạn) dẫn tới kết luận hàm số không có giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x2 và điểm A(3; 0). Xác định điểm M thuộc parabol

(P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tính khoảng cách ngắn nhất
đó.

Hớng dẫn: Thiết lập độ dài AM .
Giải
2

(P) y

Điểm M (P) có hoành độ x nên M(x, x2).
Khoảng cách AM đợc xác định bởi
10

(d)
M
F
A

O
L

x


AM2 = (x + 3)2 + x4 = x4 + x2 + 6x + 9

Tới đây, ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: (Sử dụng đạo hàm): XÐt hµm sè y = x4 + x2 + 6x + 9 trªn ¡ ta cã:
y' = 4x3 + 2x + 6,
y' = 0 ⇔ 4x3 + 2x + 6 = 0 ⇔ (x + 1)(2x2 − 2x + 3) = 0 x = 1
Bảng biến thiên:
x
1
+
y'
0
+

5
+
+
y
CT
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
minAM2 = 5 minAM = 5 , đạt đợc khi x = 1 suy ra M(1; 1).
Vậy, với điểm M(1; 1). thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Ta biến đổi:
AM2 = (x2 1)2 + 3(x + 1)2 + 5 ≥ 5
Do ®ã, ta đợc AMMin = 5 , đạt đợc khi:
x2 1 = 0
⇔ x = −1 ⇒ M(−1; 1).

x + 1 = 0

Vậy, với điểm M(1; 1). thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 3: Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V. Cạnh đáy của hình lăng

trụ đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó là
nhỏ nhất ?

Hớng dẫn: Thiết lập công thức tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ dựa trên
cạnh đáy x.



Giải
Gọi x là cạnh đáy và h là đờng cao của lăng trụ, ta cã:
V
V = x2.h ⇔ h = 2 .
x
DiÖn tÝch toàn phần của lăng trụ là:
4V
Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 +
.
x
Vậy diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất khi 2x2 +

4V
nhỏ nhất.
x

Tới đây, ta có thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
4V
C¸ch 1: Ta xét hàm số y = 2x2 +
trên tập D = (0; +∞), ta cã:
x

4V
4V
y' = 4x − 2 ,
y' = 0 ⇔ 4x − 2 = 0 ⇔ x = 3 V .
x
x
11


Bảng biến thiên:
x
0
y'

3

+



6 V
CT
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
y

+

V
0

3

Miny = 6 3 V 2 , đạt đợc khi x =

+
+

2

3

Vậy MinStp = 6 3 V 2 đạt đợc khi x =

V.
3

V.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta cã:
2x 2 +

4V
2V 2V C «si
2 2V 2V
3
2
+
= 2x 2 +
≥ 3 3 2x . x . x = 6 V .
x

x
x

 2 4V 
2V
2
Do ®ã Min  2x +
x=
ữ = 6 3 V 2 , đạt đợc khi 2x =
x
x


3

V.

Bài toán 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng quy tắc trong phần lý thuyết.
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè:
 π 
f(x) = x − sin2x trên đọan ; .
2



Giải
Đạo hàm:
f'(x) = 1 2cos2x,

f'(x) = 0 1 − 2cos2x = 0 ⇔ cos2x =

1
2

 π 
 − 2 ; π



x=±

π
5π
vµ x =
.
6
6

⇔
VËy, ta cã:
  π   π   π   5π 

Max f(x)
 x∈− π ; π
= max f  − ÷; f  − ÷; f  ÷; f  ÷; f ( π ) 
 2 


  2  6 6  6 



3 π
3 5π
3 
 π π

; −
;
+
; π  = 5π + 3
= max − ; − +
6 2 6 2 6
2
6
2
2



5
đạt đợc khi x =
.
6
 π   π   π   5π 

Min f(x)
 x∈− π ; π
= min f  − ÷; f  − ÷; f  ÷; f  ÷; f ( π ) 
 2 



  2  6 6  6 


12




 π π
3 π
3 5π
3 
π


; −
;
+
; π = −
= min ; +
6 2 6 2 6
2
2
2

đạt ®ỵc khi x = − .
2

Chó ý: Trong nhiỊu trêng hợp bằng việc tìm miền xác định của hàm số dẫn
tới việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất cđa hµm sè: y = x +

2 − x2 .

 Hớng dẫn: Tìm tập xác định của hàm số để đa bài toán về dạng 2.
Giải
Điều kiện:
2 x2 ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2 ⇒ D = [ 2 ; 2 ].
Đạo hàm:
x
x 0
y' = 1 −
, y' = 0 ⇔ 2 − x 2 = x ⇔ 
2
2 ⇔ x = 1.
2 − x2
2 − x = x
Ta cã:
f(− 2 ) = − 2 , f(1) = 2 vµ f( 2 ) = 2 .
Vậy, ta đợc:
Max y = Max{ 2 , 2, 2 } = 2 đạt đợc khi x = 1.
x∈D



Min y = Min{− 2 , 2,
x∈D

2 } = − 2 đạt đợc khi x = 2 .


Chú ý:
1. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên, chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng bất
đẳng thức, cơ thĨ:
Bunhiac«pxki
(1 + 1)(x 2 + 2 − x 2 ) = 2 = 2
y = x + 2 − x2


suy ra Max y = 2, đạt đợc khi:
xD
2. Với các hàm số lợng giác do đặc thù chúng thờng có tính tuần hoàn và khi đó
chúng ta chỉ cần xét hàm số trên một chu kỳ.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

y=



cos x +

sin x .

Giải
Điều kiện:

13


cosx ≥ 0
π
⇔ 2kπ ≤ x ≤
+ 2kπ, k∈ ¢ .

2
sin x 0

Do hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét trong D = 0; .
2
Đạo hàm:
sin x
cos x
sin x
cos x
π
y' = −
+
, y' = 0 ⇔
=
⇔x = .
4
2 cos x
2 sin x
2 cos x 2 sin x
VËy, ta cã:


 π   π 
 Miny = Min y ( 0 ) , y  ÷, y  ÷ = Min 1, 4 8, 1 = 1, đạt đợc khi x = 2kπ
 4   2 

π
hc x =
+ 2kπ , k∈ ¢ .
2

 π   π 
 Maxy = Max y ( 0 ) , y  ÷, y  ÷ = Max 1, 4 8, 1 = 4 8 , đạt đợc khi
x
4 2


=
+ 2k , k  .
4

{

}

{

}

Bài toán 3: Phơng pháp khảo sát gián tiếp.
Phơng pháp áp dụng

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phơng pháp khảo sát gián tiếp
đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới t để đa hàm số ban đầu về dạng y =
F(t) đơn giản hơn.
Vậy, để sử dụng phơng pháp chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác định ẩn phụ
y = F((x)).
Bớc 2: §Ỉt t = ϕ(x), ta cã:
 §iỊu kiƯn cđa Èn t là Dt.
y = F(t).
Bớc 3: Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè y = F(t) trên Dt.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = 2sin2x + 2sinx − 1.

 Híng dÉn: Sư dơng Èn phơ t = sinx với điều kiện t 1.
Giải
Đặt t = sinx, điều kiện t 1. Hàm số đợc viết lại dới dạng:
y = 2t2 + 2t 1.
Đạo hàm:

14


1
y' = 0 ⇔ 4t + 2 = 0 ⇔ t = − .
2

y' = 4t + 2,
Ta cã:

1
3
y(−1) = −1, y(− ) = − , y(1) = 3.
2
2
VËy, ta nhận đợc:
Max y = Max{1, 3 , 3} = 3 đạt đợc khi:

xR
2

t = 1 sinx = 1 ⇔ x = + 2kπ , k∈ ¢ .
2
Min y = Min{1, 3 , 3} = 3 đạt ®ỵc khi:

x∈R
2
2
π

 x = − 6 + 2kπ
1
1
t = − ⇔ sinx = − ⇔ 
, k∈ ¢ .
2
2
 x = 7 + 2k

6

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y=

1 + sin 6 x + cos6 x
.
1 + sin 4 x + cos4 x

 Híng dÉn: Sư dơng phÐp h¹ bËc toán cục để đa hàm số về dạng y = f(sin 2x).
Giải
2

Biến đổi hàm số về dạng:
3
2 sin 2 2x
8 − 3sin 2 2x
3sin 2 2x − 8
4
y=
=
=
.
1
8 − 2sin 2 2x
2sin 2 2x − 8
2 − sin 2 2x
2
2
Đặt X = sin 2x điều kiện 0 X ≤ 1. Khi ®ã:

3X − 8
y = F(X) =
.
2X 8
Miền xác định D = [0; 1].
Đạo hàm:
8
y' =
< 0, XD hàm số nghịch biến trên D.
(2X 8)2
Ta có ngay:
5
Min y = F(1) = đạt đợc khi:
X∈D
6
π
kπ
X = 1 ⇔ sin22x = 1 ⇔ cos2x = 0 ⇔ x =
+
, k∈ ¢ .
4
2

15




Max y = F(0) = 1 đạt đợc khi:
XD

X = 0 ⇔ sin22x = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x =

k
, k  .
2

Bài toán 4: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải

phơng trình, bất phơng trình và hệ.

Phơng pháp áp dụng
1. Để sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào việc giải phơng
trình:
f(x, m) = g(m).
ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1:
Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x, m) và
đờng thẳng (d): y = g(m).
Bớc 2:
Xét hàm số y = f(x, m)
Tìm miền xác định D.
Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bớc 3:
Kết luận:
Phơng trình cã nghiÖm
⇔ min f(x, m) ≤ g(m) ≤ max f(x, m).
xD

xD

Phơng trình có k nghiệm phân biệt
(d) cắt (C) tại k điểm phân biệt.
Phơng trình vô nghiệm (d)(C) = .

2. Để sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào việc giải bất phơng trình:
f(x, m) g(m),
ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1:
Xét hàm số y = f(x, m):
Tìm miền xác định của hàm số.
Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bớc 2:
Kết luận cho các trờng hợp nh sau:
Bất phơng trình có nghiệm với xD min y g(m).
x
D



Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x∈D ⇔ max y ≤ g(m).
x∈
D

T¬ng tù cho bÊt ph¬ng trình f(x, m)g(m) với lời kết luận:

Bất phơng trình cã nghiƯm víi x∈D ⇔ max y ≥ g(m).
x∈
D



16

BÊt ph¬ng trình nghiệm đúng với mọi xD min y g(m).
x∈
D


3. Để sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào việc giải hệ đại
số ta chia làm hai dạng:
Dạng 1: Với hệ một ẩn, chúng ta chuyển nó về " Tìm điều kiện của tham số để
bất phơng trình có nghiệm với xD ".
D¹ng 2: Víi hƯ hai Èn ta thùc hiƯn theo các bớc sau:
Bớc 1:
Biến đổi hệ về việc xét phơng trình f(x, m) = 0 hoặc bất phơng
trình f(x, m)0 (có thể là ẩn phụ t) trên miền D.
Bớc 2:
Xét hàm số y = f(x, m)
Miền xác định D.
Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bớc 3:
Kết luận.
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

x x +

x + 12 = m( 5 − x +

4−x )

Hớng dẫn: Sử dụng phép nhân liên hợp để biến đổi phơng trình về dạng f(x) = m.
Giải
Điều kiÖn:
x ≥ 0
 x + 12 ≥ 0

⇔ 0 ≤ x ≤ 4.

5 − x ≥ 0
4 − x ≥ 0

Viết lại phơng trình dới dạng:
(x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m.
XÐt hµm sè y = f(x) = (x x + x + 12 )( 5 − x − 4 x ).
Miền xác định D = [0, 4].
Nhận xÐt r»ng:
- Hµm sè h(x) = x x + x + 12 đồng biến trên D.
- Hàm số g(x) = 5 − x − 4 − x cã:

(1)

(2)

5−x − 4−x

> 0, xD là hàm đồng biến trên D.
2 5 − x. 4 − x
⇒ Hµm sè y = f(x) = h(x)g(x) là hàm đồng biến trên D.
Vậy, phơng trình cã nghiƯm khi vµ chØ khi
f(0) ≤ m ≤ f(4) ⇔ 12 ( 5 − 4 ) ≤ m ≤ 12.

g '(x) =

Ví dụ 2: Cho bất phơng trình

(a + 2)x a |x + 1|.

(1)

c. Giải bất phơng trình khi a = 1.
d. Tìm a để (1) có nghiÖm x∈[0; 2].

17




Giải
Biến đổi tơng đơng bất phơng trình về dạng:
(1) (a + 2)x − a ≥ (x + 1)2 ⇔ x2 − ax + a + 1 ≤ 0.
a. Víi a = 1, ta đợc:
(2) x2 x + 2 ≤ 0 v« nghiƯm.
VËy, víi a = 1 bÊt phơng trình vô nghiệm.
b. Biến đổi tiếp (2) về dạng x2 + 1 ≤ a(x − 1) .
NhËn xÐt r»ng x = 1 không phải là nghiệm của (3), do ®ã:

 x2 + 1
≥ a víi 0 ≤ x < 1 (I)

 x −1
(3) ⇔ 2
.
 x +1
≤ a víi 1 < x ≤ 2 (II)
 x −1

x2 + 1
XÐt hàm số f(x) =
.
x 1
Miền xác định D = [0; 2]\{1}.
Đạo hàm:
x 2 2x 1
y' =
, y' = 0 ⇔ x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 .
(x − 1) 2
Bảng biến thiên:
x 0
1
2
+
y'


1
+

y
5

Khi đó:
(I) có nghiệm Max f (x) ≥ a ⇔ f(0) ≥ a ⇔ −1 ≥ a ⇔ a ≤ −1.
x∈[0,1)

Min
(II) cã nghiÖm ⇔ x∈(1,2] f (x) ≤ a ⇔ f(2) ≤ a ⇔ 5 ≤ a ⇔ a ≥ 5.

VËy, ®Ĩ (1) cã nghiệm x[0; 2] điều kiện là a 1 hoặc a 5.
Ví dụ 3: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình:
12
12x2 6mx + m2 4 + 2 = 0.
m
3
3
T×m m sao cho x1 + x 2 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

(1)

Hớng dẫn: Sử dụng h thc Viét của phơng trình bậc hai.
Giải
Phơng trình (1) có nghiệm khi:
12
) 0 4 ≤ m2 ≤ 12 ⇔ 2 ≤ |m| ≤ 2 3 .
m2
Khi đó theo định lí Viét, phơng trình (1) cã hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n:

∆' ≥ 0 ⇔ 9m2 − 12(m2 − 4 +

18

(2)

(3)


m

 x1 + x 2 = 2


 x .x = 1 (m 2 − 4 + 12 )
 1 2 12
m2

Khi ®ã:
3
x1 + x 3 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) =
2

Xét hàm số y =

m
3

.
2
2m

m
3

trên tập D = [ 2 3 ; 2][2; 2 3 ].
2
2m

Đạo hàm:
1
3
y' = +
> 0 mD.
2
2m 2
Do đó:
3 3
3 3
3
Max y = y(2 3 ) =
⇔ Max( x1 + x 3 ) =
, đạt đợc m = 2 3 .
2
xD
4
4
3 3
3 3
3
3

 Min y =y(−2 3 )=−
⇔ Min( x1 + x 2 ) =
, đạt đợc m= 2 3 .
xD
4
4


Chú ý: Trong bài toán trên ta chỉ xét hàm số trªn tËp:
D = [− 2 3 ; −2]∪[2, 2 3 ].
Nếu quên điều kiện 0 thì bài toán hoàn toàn sai.
Ví dụ 4: Tìm m để bất phơng tr×nh −4 (2 + x)(4 − x) ≤ x2 − 2x + m − 18

nghiƯm ®óng víi mäi x∈[−2; 4].

 Híng dÉn: Sư dơng Èn phơ t =
 Gi¶i

(2 + x)(4 x).

Đặt t = (2 + x)(4 x) , với x[2; 4] ta nhận đợc điều kiện của t là 0 t 3.
Khi đó bất phơng trình có dạng:
t2 4t + 10 m.
Xét hàm sè y = t2 − 4t + 10.
 MiỊn x¸c định D = [0; 3].
Đạo hàm:
y' = 2t 4,
y' = 0 ⇔ 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2.
Bảng biến thiên:
t

2
3 +
0
y'
0
+

19


10
7
y
6
Vậy, để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x[2; 4] lµ m ≥ 10.
VÝ dơ 5: Cho hƯ:
 x 2 − 4x + 3 ≤ 0

.
 2
 x − 8x + 14 + m 0


Với giá trị nào của m thì:
a. Hệ vô nghiệm.
b. Hệ có nghiệm duy nhất.
c. Hệ có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Giải
Kí hiệu hệ các bất phơng trình của hệ theo thứ tự là (1), (2).
Giải (1), ta đợc:
1 x 3 tập nghiệm của (1) là X1 = [1, 3].
Giải (2), ta có:
(2) m ≤ − x2 + 8x − 14.
XÐt hµm sè f(x) = − x2 + 8x − 14 trªn tËp X1.
Đạo hàm:
f '(x) = 2x + 8,
f '(x) = 0 ⇔ −2x + 8 = 0 ⇔ x = 4
Bảng biến thiên:
x
3
4 +
1
f '(x)
+
+ 0
f(x)
Khi đó:
a. Hệ v« nghiƯm ⇔ m > f(3) ⇔ m > 1.
b. HÖ cã nghiÖm duy nhÊt ⇔ m = f(3) ⇔ m = 1.
c. Hệ có nghiệm là một đoạn có ®é dµi b»ng 1 ⇔ m = f(2) ⇔ m = 2.

C. bài tập rèn luyện
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1
a. y = x
trên nửa khoảng (0; 2].
x

16
b. y = x2 +
víi x > 0.
x
Bµi tËp 2: Ngêi ta định làm một cái hộp kim loại có thể tích V cho trớc. Tính bán kính
đáy r và đờng cao h của hình trụ sao ít tốn kim loại nhất.

20


Bài tập 3: Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh của tam giác là 6cm.
Tính độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a. f(x) = x2 + 2x + 4 trên đoạn [2; 4].
x3
b. f(x) =
+ 2x2 + 3x − 4 trªn đoạn [4; 0].
3
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất vµ nhá nhÊt cđa hµm sè:
sin x
2x 2 + 5x + 4
a. f(x) =
trên đoạn [0; 1]. b. f(x) =
, víi x ∈ [0; π].
2 + cos x
x+2
Bµi tËp 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sè:
a. f(x) = x + 4 − x 2 .
b. y = x − 2 + 4 − x .
Bµi tập 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cđa hµm sè:

2 cos2 x + | cos x | +1
a. y = cos22x − sinx.cosx + 4.
b. y =
.
| cos x | +1
Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
2x
4x
a. y = sin
+ cos
+ 1.
b. y = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx|.
2
1+ x
1 + x2
Bµi tËp 9: Cho x, y thoả mÃn x 0, y 0 và x + y = 1. HÃy tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
P=
+
trên khoảng 0 < x < +.
y +1
x +1
Bài tập 10:Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
 a 2 b2  a
b
a4
b4
F= 4 + 4 −  2 + 2 ÷+

+
víi a, b 0.
a b
a
b
a
b
D. hớng dẫn đáp số
Bài tập 1:
3
Max
a. x(0;2] f(x) = y(2) =
đạt đợc khi x = 2.
2
b. Min y = 12, đạt đợc khi x = 2.
x∈D

3 3 V2 π

V
4V
vµ h = 3
.
2π
π
4
Bµi tËp 3: MaxS = 12, đạt đợc khi a = 5 và b = 5.
Bµi tËp 4:
a. Ta cã:
Max f(x) = 4 đạt đợc khi x = 2.

x[2;4]

Bài tập 2:



3

, đạt đợc khi:r =

3

Min f(x) = 4 đạt đợc khi x = 4.

x∈[2;4]

21


b. Ta có:
Max f(x) = 4 đạt đợc khi x = −3 hc x = 0.

x∈[ −4;0]
Min f(x) = − 16 đạt đợc khi x = 4 hoặc x = 1.
3
Bài tập 5:
a. Ta có:
Max f(x) = 11 đạt đợc khi x = 1.

x[ 0;1]
3
Min f(x) = 2 đạt đợc khi x = 0.

x∈[0;1]
b. Ta cã:
1
1
2π
 Max y = Max{0,
}=
, đạt đợc khi x =
.
xD
3
3
3
1
Min y = Min{0,
} = 0, đạt đợc khi x = 0 hoặc x = π.
x∈D
3
Bµi tËp 6:
a. Ta cã:
 Max f(x) = 2 2 , đạt đợc khi x = 2 .
xD
Min y = 2, đạt đợc khi x = 2.

x[ 4;0]

xD

b. Ta có:
Max y = 2, đạt đợc khi x = 3.
xD
Min y = 2 , đạt đợc khi x = 2 hoặc x = 4.

xD

Bài tập 7:
a. Ta có:
x = + k
Max y = 81 đạt đợc khi sin2x = − 1 = sin2α ⇔ 
¢

x∈R
 x = π − α + kπ , k∈ .
16
4

2

Min y = 7 đạt đợc khi x = + k , k ¢ .

x∈R
2
4
b. Ta cã:

π
 Min y = f(0) = 1, đạt đợc khi x =
+ k, k  .
tD
2
Max y = f(1) = 2, đạt đợc khi x = k, k  .
tD
Bài tập 8:
2x
a. Đặt t = sin
, ta cã:
1 + x2
 π π
2x
− ; 
−1 ≤
2 ≤ 1 vµ [−1; 1]⊂ 
1+ x
 2 2

22


do ®ã:
2x
≤ sin1 ⇔ −sin1 ≤ t ≤ sin1.
1 + x2
Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng:
y = 2t2 + t + 2 = f(t).
Miền xác định D = [ sin1; sin1].

Đạo hàm:

sin(1) sin

f' = 4t + 1,


Bảng biến thiên:
t
sin1
f'
f

f' = 0 ⇔ − 4t + 1 = 0 ⇔ t =
sin1

1/4

+

0



1
D.
4

+

17/8

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1. Min f = min{f(sin1), f(sin1)} = 2sin21 sin1 + 2, đạt ®ỵc khi:
t∈D

2x
= −1 ⇔ x = −1.
1 + x2
 1 17
1
2x
1
2. Max f = f ữ =
, đạt ®ỵc khi t = ⇔ sin
= .
2
t∈D
8
4
1+ x
4
4

t = −sin1 ⇔

b. Miny = 3 − 1, Maxy = 2( 2 +1).
Bµi tËp 9: Ta cã:
x
x(x + 1) + y(y + 1)

(x + y)2 − 2xy + 1 2 − 2xy
y
P=
+
=
=
=
.
y +1
(x + 1)(y + 1)
2 + xy
xy + x + y + 1
x +1
Đặt t = xy, ta có t 0 và vì
1
1
1 = x + y 2 xy ⇔ xy ≤ hay t ≤ .
4
4
1
VËy ®iỊu kiƯn lµ 0 ≤ t ≤ .
4
 1
2 − 2t
XÐt hµm sè f(t) =
trªn D =  0;  .
2+t
 4
 Đạo hàm:
6

f'=
< 0 tD hàm số luôn nghịch biến trªn D.
(2 + t)2
Ta cã:
1
2
2
 Min f = f( ) = MinP = đạt đợc khi:
tD
4
3
3

23




x + y = 1
1
1

t= ⇒ 
1 ⇔x=y= .
xy =
4
2


4

Max f = f(0) = 1 MaxP = 1 đạt đợc khi:
tD

x + y = 1
x = 0 và y = 1
t=0⇔ 
⇔
.
xy = 0
 x = 1 vµ y = 0
Bài tập 10:MinF = 2, đạt đợc khi a = −b ≠ 0.

24