120 bài tập tích phân vận dụng cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.14 MB, 67 trang )
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1:
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Giá trị của tích
1
f ' x d x bằng
phân
0
A. 0.
Câu 2:
B.
1
.
2
C. 1.
D.
3
.
2
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 1. Biết rằng
1
e
x
f x f x d x ae b. Tính Q a 2018 b2018 .
0
A. Q 2 2017 1 .
B. Q 2 .
C. Q 0 .
D. Q 22017 1 .
2
Câu 3:
Cho các hàm số y f x , y g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
f ' x g x d x 2,
0
2
2
/
f x g ' x d x 3. Tính tích phân I f x g x d x .
0
0
A. I 1.
C. I 5.
B. I 1.
x2
Câu 4:
Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và thỏa
0
1
A. f .
4
2
1 1
B. f .
4 2
D. I 6.
1
f t d t x . sin x . Tính f .
4
1
1
C. f 1.
4
f t
x
Câu 5:
Cho hàm số f x liên tục trên a; với a 0 và thỏa
D. f 1 .
4
2
t2
a
d t 6 2 x với mọi x a. Tính
f 4.
A. f 4 2.
B. f 4 4.
C. f 4 8.
D. f 4 16.
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
2017
Câu 6:
Cho
f x d x 2 . Tính tích phân I
0
A. I 1.
e2017 1
0
x
. f ln x 2 1 d x .
x 2 1
B. I 2.
9
Câu 7:
Cho hàm số f x liên tục trên và
D. I 5.
C. I 4.
x dx 4,
f
x
1
2
f sin x cos xd x 2. Tính tích phân
0
3
I f x d x.
0
A. I 2.
Câu 8:
B. I 6.
Cho hàm số f x liên tục trên và
C. I 4.
4
D. I 10.
1
f tan x d x 4,
0
0
x 2 f x
x 2 1
d x 2. Tính tích phân
1
I f x d x.
0
A. I 6.
B. I 2.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. I 3.
D. I 1.
1 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
Câu 9:
TÍCH PHÂN
4
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
tan x . f cos x d x 1,
2
f 2 x
2
x
1
4
f ln 2 x
e
0
phân I
e2
x ln x
d x 1. Tính tích
dx.
A. I 1.
B. I 2.
C. I 3.
D. I 4.
1
1
1
Câu 10: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ;2 , thỏa f x f x 2 2 2. Tính tích phân
2
2
I
1
2
x
x
f x
d x.
x 2 1
3
2
A. I .
5
2
C. I .
B. I 2.
D. I 3.
Câu 11: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa f x f x 2 2 cos 2 x với mọi x .
3
2
Tính I
f x d x .
3
2
A. I 6 .
C. I 2 .
B. I 0 .
D. I 6 .
Câu 12: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f x 5 4 x 3 2 x 1 với mọi x . Tích
8
phân
f x d x bằng
2
A. 2.
B. 10.
C.
32
.
3
D. 72.
Câu 13: Cho các hàm số f x , g x liên tục trên 0;1, thỏa m. f x n. f 1 x g x với m, n là số thực
1
khác 0 và
0
A. m n 0.
1
f x d x g x d x 1. Tính m n.
0
1
2
B. m n .
C. m n 1.
D. m n 2.
Câu 14: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0;1, thỏa mãn f ' x f ' 1 x với mọi x 0;1. Biết
1
rằng f 0 1, f 1 41. Tính tích phân I f x dx .
0
A. I 41.
B. I 21.
C. I 41.
D. I 42.
Câu 15: Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 3 x f x x với mọi x . Tính
2
I f x d x.
0
4
5
A. I .
5
4
4
5
C. I .
B. I .
5
4
D. I .
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
3
Câu 16: Cho hàm số f x thỏa mãn
x . f x .e
f x
3
d x 8 và f 3 ln 3 . Tính I e
0
A. I 1.
B. I 11.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
f x
dx.
0
C. I 8 ln 3.
D. I 8 ln 3.
2 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
2
Câu 17: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
2
phân
2
f ' x cos 2 xd x 10 và f 0 3. Tích
0
f x sin 2 xd x bằng
0
B. I 7.
A. I 13.
C. I 7.
D. I 13.
2
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
f x 1 d x 3 và f 1 4. Tích
1
1
phân
x
3
f ' x 2 d x bằng
0
1
2
B. .
A. 1.
C.
1
.
2
D. 1.
Câu 19: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 . Biết f 0 1 và
x 3 3x 2 f ' x
2
f x f 2 x e2 x
2
4 x
với mọi x 0;2 . Tính tích phân I
f x
0
A. I
14
.
3
B. I
32
.
5
C. I
16
.
3
d x.
D. I
16
.
5
2
2 cot x
Câu 20: Cho biểu thức S ln 1 2 sin 2 x e d x , với số thực m 0. Chọn khẳng định đúng trong các
n
4 m 2
khẳng định sau.
A. S 5.
B. S 9.
C. S 2 cot
2 ln sin
.
2
4 m
4 m 2
2 ln
.
2
4 m 2
4 m
D. S 2 tan
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
2
Câu 21: Biết
ln 9 x dx a ln 5 b ln 2 c
2
với a, b, c . Tính P a b c .
1
A. P 13.
1
Câu 22: Biết
0
B. P 18.
C. P 26.
D. P 34.
x 3 2 x ex 3 2 x
1
1
e
dx
. ln p
với m , n, p là các số nguyên dương. Tính tổng
m e ln n
e
e.2 x
P m n p.
A. P 5.
2
Câu 23: Biết
x 2 2 x cos x cos x 1 sin x
x cos x
0
5
4
ln 8
ln 3
B. P .
D. P 8.
c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P ac3 b.
C. P 2.
D. P 3.
1
1 b
d x 1 ln a a b với a, b . Tính P a b.
2 a
e 1 e
2x
x
A. P 1.
2
Câu 25: Biết
d x a 2 b ln
3
2
A. P .
Câu 24: Biết
C. P 7.
B. P 6.
x 1
1
A. P 12 .
B. P 1.
dx
x x x 1
a b c
B. P 18 .
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. P 3.
D. P 5.
với a, b, c . Tính P a b c .
C. P 24 .
D. P 46 .
3 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
4
TÍCH PHÂN
sin 4 x
Câu 26: Biết
cos2 x 1 sin 2 x 1
0
A. P 10.
4
Câu 27: Biết
2
2 x
0
D. P 36.
B. P 2.
e
Câu 29: Biết I
1
ln 2 x ln x
ln x x 1
3
x cos x
1 x 2 x
6
D. P 3.
C. P 3.
D. P 4.
1
b
dx
a e 2 2
với a, b . Tính P b a.
B. P 6.
C. P 6.
A. P 8.
6
C. P 3.
d x a b 2 c với a, b, c . Tính P a b c.
A. P 1.
dx a
A. P 37.
2
3
b
c
D. P 10.
với a, b, c là các số nguyên. Tính P a b c.
B. P 35.
C. P 35.
D. P 41.
Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh
x 1
e2 x
khi x 0
Câu 31: Cho hàm số f x
3e 1
.
2 e2
khi x 0
2
A. I
C. P 14.
B. P 4.
2 x
với a, b, c . Tính P a b c .
B. P 12.
A. P 5.
Câu 30: Biết
a 2 b 6 c
6
1
x ex
d x a eb ec với a, b, c . Tính P a b c.
4x
x e2 x
1
Câu 28: Biết
dx
2
. Tính tích phân I f x d x .
1
7e 1
.
2 e2
2
B. I
9e 1
.
2 e2
2
C. I
1
D. I
11e2 11
.
2 e2
Câu 32: Cho hàm số f x xác định trên \ , thỏa f x
, f 0 1 và f 1 2. Giá trị của biểu
2
2 x 1
2
thức f 1 f 3 bằng
B. 2 ln 15.
A. ln 15.
C. 3 ln 15.
D. 4 ln 15.
Câu 33: Cho hàm số f x xác định trên \ 2;1, thỏa mãn f x
1
f 0 .
3
A.
1
x2 x 2
Giá trị biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng
1
1
ln 20 .
3
3
B.
1
1
ln 2 .
3
3
C. ln 80 1.
D.
Câu 34: Cho hàm số f x xác định trên 0; \ e, thỏa mãn f x
1 8
ln 1.
3 5
1
,
x ln x 1
1
f 2 ln 6 và
e
1
Giá trị biểu thức f f e3 bằng
e
A. 3 ln 2 1.
B. 2 ln 2.
f e2 3.
, f 3 f 3 0 và
C. 3 ln 2 1.
Câu 35: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
1
1 sin 2 x
D. ln 2 3.
4
với x \ k , k . Biết
11
F 0 1, F 0 , tính giá trị biểu thức P F F
.
12
12
A. P 0.
B. P 2 3.
C. P 1.
D. Không tồn tại P.
Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
4 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
0
2
2
1
Câu 36: Cho hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên 4;4 . Biết rằng f x d x 2 và f 2 x dx 4. Tính
4
I f x dx .
tích phân
0
A.
I 10.
B.
I 6.
C.
I 6.
D.
I 10.
2
3
1
1
Câu 37: Cho hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên 1;6 . Biết rằng f x dx 8 và f 2 x d x 3. Tính
6
I f x dx .
tích phân
1
A.
I 2.
B.
I 5.
C.
I 11.
D.
I 14.
7
Câu 38: Cho hàm số f x liên tục trên 3;7 , thỏa mãn f x f 10 x với mọi
và f x dx 4. Tính
x 3;7
3
7
I xf x d x .
tích phân
3
A.
I 20.
B.
I 40.
C.
I 60.
D.
I 80.
Câu 39: Cho hàm số
y f x
là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn ; , thỏa mãn f x d x 2018. Giá trị
0
của tích phân
A.
I 0.
Câu 40: Biết
0
A.
I
f x
2018 x 1
dx
B.
x sin 2018 x
a
dx
2018
sin
x cos x
b
2018
P 6.
B.
bằng
I
1
.
2018
C.
a, b .
với
Tính
I 2018.
D.
I 4036.
D.
P 12.
P 2 a b.
P 8.
C. P 10.
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm
2 2
Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục trên ; và thỏa mãn 2 f x f x cos x. Tính tích phân
2
I f x dx.
2
A. I 2.
2
3
B. I .
3
2
C. I .
D. I 2.
Câu 42: Cho hàm số y f x liên tục trên 2;2 và thỏa mãn 2 f x 3 f x
1
.
4 x2
Tính tích phân
2
I f x d x.
2
A. I
.
10
B. I
.
20
C. I
.
20
D. I
.
10
Câu 43: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn x 2 f x f 1 x 2 x x 4 . Tính tích phân
1
I f x d x.
0
1
2
A. I .
3
5
B. I .
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
2
3
C. I .
4
3
D. I .
5 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
2
1
1
f x
dx.
Câu 44: Cho hàm số f x liên tục trên ;2 và thỏa mãn f x 2 f 3x . Tính tích phân I
2
1
2
x
3
2
A. I .
1
2
5
2
B. I .
x
7
2
C. I .
D. I .
Câu 45: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Tính tích phân
1
I f x d x.
0
A.
.
20
B.
.
16
C.
.
6
D.
.
4
Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46: Cho hàm số f x thỏa f x f x 3x 5 6 x 2 . Biết rằng f 0 2, tính f 2 2.
A. f 2 2 64.
B. f 2 2 81.
C. f 2 2 100.
D. f 2 2 144.
Câu 47: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; , thỏa f 1 0,
e2 f x . f x 4 x 2 4 x 1 với mọi x 1; . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. 1 f 4 0.
B. 0 f 4 1.
C. 1 f 4 2.
D. 2 f 4 3.
Câu 48: Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 15 x 4 12 x với mọi x và f 0 f 0 1.
Giá trị của f 2 1 bằng
2
A.
5
.
2
B.
9
.
2
C. 8.
D. 10.
Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn f x 0, x 1;2 . Biết rằng
2
2
f x d x 10 và
1
1
f x
f x
A. f 2 20.
d x ln 2. Tính f 2 .
B. f 2 10.
C. f 2 10.
D. f 2 20.
Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;1 , thỏa mãn f x 0, x và f ' x 2 f x 0 .
Biết rằng f 1 1 , giá trị của f 1 bằng
A. e2 .
B. e3 .
C. e4 .
D. 3.
Câu 51: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
f x 0, x
x
2
f ' x e f x , x .
1
f 0
2
Tính giá trị của f ln 2.
1
4
1
3
A. f ln 2 .
B. f ln 2 .
1
2
C. f ln 2 ln 2 .
1
2
D. f ln 2 ln 2 2 .
Câu 52: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , biết f ' x 2 x 3 f 2 x 0, f x 0 với mọi
x0
1
6
và f 1 . Tính P 1 f 1 f 2 ... f 2018.
A. P
1009
.
2020
B. P
2019
.
2020
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. P
3029
.
2020
D. P
4039
.
2020
6 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
Câu 53: Cho hàm số f x liên tục trên 0; 3 , thỏa mãn f x 1, f 0 0 và f x x 2 1 2 x f x 1.
Giá trị của f 3 bằng
A. 0.
B. 3.
C. 7.
D. 9.
Câu 54: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 1;4 , đồng biến trên 1;4 , thoản mãn
4
3
x 2 xf x f x với mọi x 1;4 . Biết rằng f 1 , tính tích phân I f x d x .
2
1
2
A. I
1186
.
45
B. I
1187
.
45
C. I
1188
.
45
9
2
D. I .
2
2
Câu 55: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0; , thỏa f x . f ' x cos x 1 f 2 x với mọi x 0;
và f 0 3. Giá trị của f bằng
2
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 2 2.
Câu 56: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0;3, thỏa f x . f x 2 x f 2 x 1 với mọi x 0;3 và
f 0 0. Giá trị của f 3 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 3 11.
Câu 57: Cho hàm số f x có đạo hàm không âm trên 0;1, thỏa mãn f x 0 với mọi x 0;1 và
f x . f ' x . x 2 1 1 f x . Biết f 0 2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
4
2
3
sau đây.
A.
3
f 1 2.
2
5
2
B. 2 f 1 .
C.
5
f 1 3.
2
7
2
D. 3 f 1 .
Câu 58: Cho hàm số f x liên tục trên \ 0;1, thỏa mãn x x 1. f x f x x 2 x với mọi
x \ 0;1 và f 1 2 ln 2. Biết f 2 a b ln 3 với a, b , tính P a 2 b2 .
1
2
3
4
A. P .
B. P .
C. P
13
.
4
9
2
D. P .
Câu 59: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 1 và
f x 2 f x
với mọi x 0;1. Đặt P f 1 f 0 , khẳng định nào sau đây đúng?
f x 0
A. 2 P 1.
B. 1 P 0.
C. 0 P 1.
D. 1 P 2.
Câu 60: Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm liên tục trên 0;2, thỏa mãn f ' 0. f ' 2 0 và
2
g x . f ' x x x 2 e x . Tính tích phân I f x . g ' x d x .
0
A. I 4.
B. I 4.
C. I e 2.
D. I 2 e.
x
g x 1 2018 f t d t
.
Câu 61: Cho hàm số f x 0 xác định và có đạo hàm trên đoạn 0;1, thỏa mãn
0
2
g x f x
1
Tính I g x d x .
0
1009
A. I
.
2
B. I 505.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. I
1011
.
2
D. I
2019
.
2
7 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
f 1 g 1 4
Câu 62: Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;4 , thỏa mãn g x xf x với mọi x 1;4 . Tính
f x xg x
4
tích phân I f x g x d x .
1
A. I 3 ln 2.
B. I 4 ln 2.
C. I 6 ln 2.
D. I 8 ln 2.
Câu 63: Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;2, thỏa mãn f 1 g1 0 và
x
g x 2017 x x 1 f x
x 12
, x 1;2 .
x 3
2
g x f x 2018 x
x 1
2
x
x 1
g x
f x d x .
x 1
x
Tính tích phân I
1
1
A. I .
2
B. I 1.
3
2
C. I .
D. I 2.
f 3 x . f x 1
Câu 64: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;3, thỏa mãn
với mọi x 0;3 và
f x 1
3
xf ' x
1
f 0 . Tính tích phân I
dx.
2
2
2
0 1 f 3 x . f x
1
2
A. I .
B. I 1.
3
2
C. I .
5
2
D. I .
Câu 65: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn af b bf a 1 với mọi a, b 0;1. Tính
1
tích phân I f x dx .
0
1
A. I .
2
1
4
B. I .
2
C. I .
4
D. I .
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng
Câu 66: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thoả mãn 3 f x xf x x 2018 với mọi x 0;1.
1
Tính I f x dx .
0
A. I
1
.
2018 2021
B. I
1
.
2019 2020
C. I
1
.
2019 2021
D. I
1
.
2018 2019
Câu 67: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;4 , thỏa mãn f x f x ex 2 x 1 với mọi
x 0;4 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. e4 f 4 f 0
26
.
3
B. e4 f 4 f 0 3e.
C. e4 f 4 f 0 e4 1.
D.
e4 f 4 f 0 3.
Câu 68: Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn f ' x 2018 f x 2018 x 2017 e2018 x với mọi x và
f 0 2018. Tính giá trị f 1.
A. f 1 2018e2018 .
B. f 1 2017e2018 .
C. f 1 2018e2018 .
D. f 1 2019e2018 .
Câu 69: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f x xf x 2 xe x và f 0 2.
2
Tính f 1.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
8 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
1
e
A. f 1 e.
2
e
B. f 1 .
2
e
C. f 1 .
D. f 1 .
x
Câu 70: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn hệ thức f x tan xf x 3 .
2
cos x
Biết rằng 3 f f a 3 b ln 3 trong đó a, b . Tính giá trị của biểu thức P a b.
3
6
4
9
2
9
A. P .
7
9
B. P .
C. P .
D. P
14
.
9
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
Câu 71: Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa
2
2
f
0
2
2
. Tính tích phân
x 2 2 f x sin x dx
4
2
2
I f x d x.
0
4
B. I .
A. I 0.
2
D. I .
C. I 1.
1
Câu 72: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa
0
2
f x 2 ln 2
2
d x 2 f x ln x 1 d x . Tích phân
e
0
1
1
I f x d x.
0
e
4
e
2
4
e
A. I ln .
2
e
C. I ln .
B. I ln .
D. I ln .
Câu 73: Cho hàm số f x có đạo liên tục trên 0;1, f x và f ' x đều nhận giá trị dương trên 0;1 và
1
thỏa mãn f 0 2 và
1
f ' x . f x 2 1 d x 2
0
0
15
A. I .
4
15
B. I .
2
1
f ' x . f x d x . Tính I f x d x .
3
0
17
C. I .
2
D. I
19
.
2
Câu 74: Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 1,
1
1
2
1
3 f ' x . f x d x 2
9
0
0
3
A. I .
2
1
f ' x . f x d x . Tính I f x d x .
3
0
5
B. I .
4
5
6
7
6
C. I .
D. I .
Câu 75: Cho hàm số y f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1, thỏa f 1 f 0 1 và
1
1
f ' x f 2 x 1 d x 2
0
0
A.
3
.
2
1
f ' x f x d x . Giá trị của tích phân
f x
3
d x bằng
0
B.
5 33 27
.
18
C.
5 33
.
18
D.
5 33 54
.
18
Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2
Kỹ thuật Holder
1
Câu 76: Cho hàm số
y f x
1
1
liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn f x dx xf x dx 1 và f x
0
0
2
dx 4
. Giá
0
1
trị của tích phân f x
3
dx
bằng
B.
8.
0
A.
1.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C.
10.
D.
80.
9 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
1
Câu 77: Cho hàm số
y f x
1
liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn xf x dx
0
1
x f x d x 1
và f x
0
2
d x 5.
0
1
Giá trị của tích phân f x
3
dx
bằng
0
A.
5
.
6
B.
Câu 78: Cho hàm số
y f x
6
.
5
C.
D.
8.
1
1
0
0
10.
liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn xf 2 x dx x 2 f x dx 1 . Giá trị của tích
16
1
phân f x dx bằng
0
A.
1
.
5
B.
1
.
4
C.
1
.
3
D.
2
.
5
D.
3
.
2
Câu 79: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;8 và thỏa mãn
2
1
2
8
1
1
2
f x 3 d x 2 f x 3 d x 2 f x d x 38 .
3
15
8
Tích phân
f x d x bằng
1
A.
8 ln 2
.
27
B.
ln 2
.
27
C.
4
.
3
1
Câu 80: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 0 ,
f x
2
d x 7 và
0
1
0
1
x 2 f x d x . Tích phân
3
A. 1 .
B.
1
f x d x bằng
0
7
.
5
C.
7
.
4
D. 4 .
1
Câu 81: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 1 ,
x
5
f x dx
0
1
f x d f x
0
A. f 2 2.
11
và
78
4
. Tính f 2.
13
B. f 2
251
.
7
C. f 2
256
.
7
D. f 2
261
.
7
1
Câu 82: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 2, f 0 0 và
f ' x
2
d x 4. .
0
1
Tích phân
f
3
x 2018 x d x . bằng
0
A. 0.
B. 1011.
C. 2018.
D. 2022.
2
Câu 83: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 , thỏa mãn
x 1
2
1
2
f ' x
f 2 0 và
2
2
d x 7. Tích phân
1
A.
1
f x dx ,
3
f x d x bằng
1
7
.
20
B.
7
.
20
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
7
5
C. .
7
5
D. .
10 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
1
f ' x
Câu 84: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 1,
2
dx
0
1
f x dx 5 .
2
9
và
5
1
Tích phân
0
f x d x bằng
0
1
4
1
5
3
4
3
5
B. I .
A. I .
D. I .
C. I .
1
Câu 85: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 0,
f ' x cos x d x
0
1
và
1
f 2 x d x . Tích phân
2
0
A.
1
.
B.
2
1
f x d x bằng
0
2
.
C. .
D.
3
.
2
Câu 86: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
f ' x sin xd x 1 và
0
f 2 x dx
0
2
.
Tích phân
xf x d x
bằng
0
6
4
A. .
B. .
C.
2
.
D.
4
.
1
Câu 87: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa f 1 0,
f ' x
0
1
x
1
cos 2 f x d x 2 .
1
.
2
.
C.
.
2
D. .
1
1
f ' x sin x d x và
0
0
4
B. .
C.
Câu 89: Cho hàm số f x có đạo hàm
x
sin x x f 2 dx 6. Tích phân
0
2
A. .
0
2
f 2 x d x 2.
0
f x
4
.
D.
liên tục trên 0; ,
2
f x
3
thỏa
6
.
f 0,
2
2
f 2 x d x 3
và
f 1 0
và
0
d x bằng
0
C. 3.
B. 0.
Câu 90: Cho hàm số
x
f d x bằng
2
6
A. .
1
và
f x d x bằng
Câu 88: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
Tích phân
2
8
0
B.
1
dx
1
Tích phân
0
A.
2
D. 9 .
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1,
1
thỏa mãn
1
2
2
f ' x d x x 1 e x f x d x e 1 . Tính tích phân I f x d x .
4
0
0
A. I
e 1
.
2
B. I
e2
.
4
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. I e 2.
e
2
D. I .
11 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
f ' x
dx 1 .
ex
e 1
2
1
Câu 91: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 0, f 1 1 và
0
1
Tích phân
f x d x bằng
0
A.
e2
.
e 1
B.
f x
Câu 92: Cho hàm số
1
1 x 2 f ' x d x
A.
D.
1
e 1e 2
.
C. 1.
có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
2
0
e 1
.
e2
1
1
ln 1 2
1 2
ln 1 2 .
2
B.
.
Tích phân
0
f x
1 x 2
2 1 2
ln 1 2 .
2
C.
f 0 0, f 1 1
và
d x bằng
1
ln 1 2 .
2
D.
2 1 ln 1 2 .
1
f ' x
Câu 93: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;1, thỏa mãn f 1 0,
2
d x 112 và
1
1
1
x 2 f x dx
1
A. I
16
. Tính tích phân I f x d x .
3
1
84
.
5
B. I
35
.
2
C. I
35
.
4
D. I
168
.
5
1
Câu 94: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 0,
f ' x
2
dx
0
1
f x
x 1
2
0
A.
3
d x 2 ln 2 .
2
1 ln 2
.
2
3
2 ln 2 và
2
1
Tích phân
f x d x bằng
0
B.
1 2 ln 2
.
2
C.
3 2 ln 2
.
2
D.
3 4 ln 2
.
2
Câu 95: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2, đồng biến trên 1;2 , thỏa mãn f 1 0 ,
2
f x d x 2 và
2
1
A.
2
2
f x .f ' x d x 1. Tích phân
1
2
.
2
f x d x bằng
1
B. 2.
C. 2.
D. 2 2.
1
Câu 96: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 0 ,
f 2 x d x 1 và
0
1
f x
2
0
3
f 2 x d x . Giá trị của f 2
4
3
2
A. .
B.
2 bằng
3
.
2
C.
3 1 2
2
.
D.
3 1 2
2
.
2
Câu 97: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;2 , thỏa mãn f 2 1 ,
x
0
2
f ' x
0
3
2
A. .
4
dx
32
. Giá trị của tích phân
5
2
3
B. .
2
f x dx
8
và
15
2
f x d x bằng
0
7
3
C. .
7
3
D. .
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
12 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
Câu 98: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 ef 0
1
và
1
2
dx
f ' x d x 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
f 2 x 0
0
2e
.
e 1
A. f 1
B. f 1
2 e 2
e 1
.
C. f 1
2 e2
.
e2 1
D. f 1
2 e 2
e 1
.
Câu 99: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0;1, có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1, thỏa mãn
1
f 0 1 và
f
3
0
A. I 2 e 1.
1
1
0
0
3
x 4 f ' x dx 3 f ' x f 2 x d x . Tính I f x dx .
B. I 2 e2 1.
e 1
.
2
C. I
D. I
e2 1
.
2
Câu 100: Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0;1, có đạo hàm dương liên và tục trên 0;1, thỏa mãn
1
0
xf ' x
f x
dx 1
1
và f 0 1, f 1 e2 . Tính giá trị của f .
2
1
1
A. f 1.
2
B. f 4.
2
1
1
C. f e.
2
D. f e.
2
1
Câu 101: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
f x f ' x
2
d x 1 và f 0 1,
0
f 1 3.
1
Tính giá trị của f .
2
1
1
A. f 2.
2
B. f 3.
2
1
1
C. f e.
2
D. f e.
2
Câu 102: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên 1;2, thỏa mãn
2
1
f ' x
d x 24
xf x
2
A. f 2 1.
và f 1 1, f 2 16. Tính giá trị của f 2 .
B. f 2 2.
C. f 2 2.
D. f 2 4.
Vấn đề 13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân
Câu 103: Cho hàm số f x liên tục trên , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x. f x e x x và f 2 2e,
f 0 e2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f 2 4 e 1.
B. f 2 2e e2 .
C. f 2 e2 2e.
D. f 2 12.
Câu 104: Cho hàm số f x dương và liên tục trên 1;3, thỏa max
f x 2, min f x
1;3
1;3
3
3
S f x dx.
1
A.
3
.
5
1
1
và biểu thức
2
3
1
d x đạt giá trị lớn nhất, khi đó hãy tính I f x d x .
f x
1
7
5
B. .
C.
7
.
2
D.
5
.
2
Câu 105: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f x f x 1 với mọi x và
f 0 0. Giá trị lớn nhất của f 1 bằng
A. e 1.
B.
e 1
.
e
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C.
e
.
e1
D. e.
13 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
Câu 106: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f x liên tục trên 0;1, thỏa mãn
1
2
d x f x d x
f x 2
0
0
A. ln 2018.
1
1
f 1 2018 f 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M
C. m 2 e.
B. 2 ln 2018.
D. m 2018 e.
1
Câu 107: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 và
bằng
1 x
2
0
1
f x d x . Giá trị nhỏ nhật của
3
1
biểu thức
f x
2
d x f 0 bằng
0
1
3
A. .
B.
2
.
3
1
3
2
3
C. .
D. .
1
xf x dx 0
Câu 108: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn
và max f x 1. Tích phân
[0; 1]
0
1
e
x
f x d x thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
0
5
A. ; .
3
B. ; e 1.
4
2
5 3
C. ; .
4 2
D. e1; .
x
Câu 109: Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên 0;1. Đặt
g x 1 f t d t .
Biết
0
1
gx
f x với mọi x 0;1 , tích phân
0
1
3
A. .
B.
1
dx có giá trị lớn nhất bằng
g x
1
.
2
C.
2
.
2
D. 1.
Câu 110: Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
x
1
f 2 x 1 3 f t d t g x với mọi x 0;1 , tích phân
0
A.
g x d x có giá trị lớn nhất bằng
0
4
.
3
B.
7
.
4
C.
9
.
5
D.
5
.
2
Câu 111: Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
x
1
f x 2018 2 f t d t với mọi x 0;1. Biết giá trị lớn nhất của tích phân
0
f x d x có dạng
0
ae2 b với a, b . Tính a b.
A. 0.
B. 1009.
C. 2018.
D. 2020.
x2
Câu 112: Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1. Đặt g x 1 f t d t. Biết
0
g x 2 xf x 2
1
với mọi x 0;1 , tích phân
g x dx
có giá trị lớn nhất bằng
0
B. e 1.
A. 1.
C. 2.
D. e 1.
Câu 113: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa f ' x f x 0, x 0;1. Giá trị lớn nhất
1
của biểu thức f 0.
0
A. 1.
1
d x bằng
f x
B.
e 1
.
e
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C.
e 1
.
e
D. e 1.
14 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
Câu 114: Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa mãn
f x d x cos xf x d x 1. Giá trị nhỏ nhất của
0
0
tích phân
f 2 x d x bằng
0
2
A. .
B.
3
.
C.
4
.
D.
Câu 115: Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa mãn
3
.
2
sin xf x dx cos xf x dx 1.
0
Giá trị nhỏ nhất
0
của tích phân
f 2 x d x bằng
0
2
A. .
B.
3
.
C.
4
.
D.
1
Câu 116: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1, thỏa mãn
3
.
2
1
f x d x e x f x d x 1. Gọi m là giá trị nhỏ
0
0
1
nhất của tích phân
f x
2
d x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
0
A. 0 m 1.
B. 1 m 2.
Câu 117: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn
C. 2 m 3.
1
1
f x dx
0
0
D. 3 m 4.
x f x d x 1. Giá trị nhỏ nhất của tích
1
phân
f 2 x d x bằng
0
A.
2
.
3
8
3
B. 1.
C. .
D. 3.
2
Câu 118: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;2, thỏa
x
3
f x d x 31. Giá trị nhỏ nhất của
1
2
tích phân
f 4 x d x bằng
1
A. 961.
B. 3875.
C. 148955.
D. 923521.
Câu 119: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên 0;2 thỏa f 0 2 f 1 f 2 1. Giá trị
2
nhỏ nhất của tích phân
f '' x
2
d x bằng
0
A.
2
.
3
B.
3
.
2
C.
4
.
5
D.
5
.
4
Câu 120: Cho hàm số f x có đạo hàm trên 1;3 và f 1 0, max f x 10. Giá trị nhỏ nhất của tích
1;3
3
phân
f ' x
2
d x bằng
1
A. 1.
B. 5.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. 10.
D. 20.
15 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
ĐÁP ÁN
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1:
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Giá trị của
1
tích phân
f ' x dx bằng
0
A. 0.
B.
Lời giải. Ta có
1
.
2
C. 1.
1
1
f x dx f x f 1 f 0 .
D.
3
.
2
0
0
2
f 0
2
f
0
3
f
1
1
5
Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x 2
.
f 1 3
2 f 1 3 f 0 0
5
1
Vậy I f ' x dx f 1 f 0
0
Câu 2:
3 2
1. Chọn
5 5
C.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn f 0 f 1 1. Biết rằng
1
e
x
f x f x dx ae b. Tính Q a 2018 b2018 .
0
A. Q 22017 1.
B. Q 2 .
1
D. Q 22017 1 .
C. Q 0 .
1
1
/
Lời giải. Ta có e x f x f x dx e x f x dx e x f x
0
0
ef 1 f 0
f 0 f 1 1
e 1.
0
a 1
2018
Suy ra
Q a 2018 b2018 12018 1 2. Chọn B.
b
1
Câu 3:
Cho các hàm số y f x ,
2
2
f ' x g x dx 2,
0
2
/
0
B. I 1.
2
và thỏa mãn
f x g ' x dx 3. Tính tích phân I f x g x dx.
0
A. I 1.
0; 2
y g x có đạo hàm liên tục trên
C. I 5.
/
D. I 6.
2
Lời giải. Ta có I f x g x dx f ' x g x f x g ' x dx
0
2
0
2
f ' x g x dx f x g ' x dx 2 3 5. Chọn
0
C.
0
x2
Câu 4:
Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và thỏa
f t dt x.sin x . Tính
0
1
A. f .
2
4
1 1
B. f .
4 2
1
f .
4
1
D. f 1 .
2
4
1
C. f 1.
4
x2
Lời giải. Từ
f t dt x.sin x , đạo hàm hai vế ta được 2 xf x sin x x cos x .
2
0
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
16 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
Cho x
TÍCH PHÂN
1
1
ta được 2. . f
2
2
1
sin cos 1
2 2
2
4
1
f 1. Chọn
4
x
Câu 5:
Cho hàm số f x liên tục trên a; với a 0 và thỏa
a
C.
f t
dt 6 2 x với mọi x a.
t2
Tính f 4 .
A. f 4 2.
B. f 4 4.
Lời giải. Từ
C. f 4 8.
D. f 4 16.
f x
f t
1
dt 6 2 x , đạo hàm hai vế ta được
.
2
2
x
t
x
x
a
f 4 4 4 8. Chọn C.
Suy ra f x x x
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
e 2017 1
2017
Câu 6:
f x dx 2 . Tính tích phân
Cho
I
0
0
A. I 1.
x
. f ln x 2 1 dx.
x 1
2
B. I 2.
C. I 4.
2 xdx
xdx dt
Lời giải. Đặt t ln x 2 1 , suy ra dt 2
2
.
x 1
x 1 2
x 0 t 0
Đổi cận:
.
2017
x e 1 t 2017
Khi đó I
1
2
2017
f t dt
0
1
2
2017
1
f x dx 2 .2 1. Chọn A.
0
9
Câu 7:
D. I 5.
Cho hàm số f x liên tục trên và
1
f
dx 4,
x
x
2
f sin x cos xdx 2.
Tính tích phân
0
3
I f x dx.
0
A. I 2.
B. I 6.
9
Lời giải. Xét .
f
C. I 4.
x dx 4. . Đặt t
x
1
9 f
x 1 t 1
Đổi cận
. Suy ra 4
x 9 t 3
1
x t 2 x, suy ra 2tdt dx.
x dx 2
x
D. I 10.
3
3
f t dt 2.
f t 2dt
1
1
2
Xét
f sin x cos xdx 2. Đặt u sin x,
suy ra du cos xdx.
0
x 0 u 0
1
2
Đổi cận
. Suy ra 2 f sin x cos xdx f t dt.
0
0
x 2 u 1
3
1
3
Vậy I f x dx f x dx f x dx 4. Chọn
0
0
C.
1
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
17 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
Câu 8:
TÍCH PHÂN
Cho hàm số f x liên tục trên và
4
x2 f x
0 x 2 1 dx 2. Tính tích phân
1
f tan x dx 4,
0
1
I f x dx.
0
A.
B. I 2.
C. I 3.
D. I 1.
4
Lời giải. Xét
f tan x dx 4.
0
Đặt t tan x, suy ra dt
1
dt
dx tan 2 x 1 dx
dx
.
cos 2 x
1 t2
x 0 t 0
1
1
4
f t
f x
Đổi cận:
. Khi đó 4 f tan x dx 2 dt 2 dx.
t 1
x 1
0
0
0
x 4 t 1
1
1
Từ đó suy ra I f x dx
0
Câu 9:
0
1 2
f x
x f x
d
x
dx 4 2 6. Chọn A.
2
x 1
x2 1
0
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
4
e2
tan x. f cos x dx 1,
2
e
0
2
tích phân I
1
4
f ln 2 x
x ln x
dx 1. Tính
f 2x
dx.
x
A. I 1.
B. I 2.
C. I 3.
D. I 4.
4
Lời giải. ● Xét A tan x. f cos 2 x dx 1 . Đặt t cos2 x.
0
Suy ra dt 2sin x cos xdx 2cos 2 x tan xdx 2t.tan xdx
tan xdx
dt
.
2t
x 0
t 1
Đổi cận:
1.
t
x
4
2
1
1
1
1
f x
1 2 f t
1 f t
1 f x
Khi đó 1 A
dt
dt
dx
dx 2.
21 t
21 t
21 x
x
1
2
e
● Xét B
2
e
Suy ra du
f ln x
2
2
2
x ln x
dx 1. Đặt u ln 2 x.
2ln x
2ln 2 x
2u
dx
du
dx
dx
dx
.
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u
x e
u 1
Đổi cận:
.
2
u 4
x e
4
4
4
f x
1 f u
1 f x
Khi đó 1 B
du
dx
dx 2.
21 u
21 x
x
1
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
18 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
2
● Xét tích phân cần tính I
f 2x
x
1
2
dx.
1
dx 2 dv
Đặt v 2 x, suy ra
. Đổi cận:
x v
2
4
Khi đó I
1
2
1
1
v
x
4
2.
x 2
v 4
4
1
4
f v
f x
f x
f x
dv
dx
dx
dx 2 2 4. Chọn
v
x
x
x
1
1
1
2
D.
2
1
Câu 10: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ; 2 , thỏa f x
2
2
f x
tích phân I 2 dx.
1 x 1
1
1
f x 2 2 2. Tính
x
x
2
3
A. I .
2
5
C. I .
2
B. I 2.
D. I 3.
1
x
t 2
1
1
2
Lời giải. Đặt x , suy ra dx 2 dt. Đổi cận:
.
t
t
1
x 2
t
2
1
2
Khi đó I
2
1
f
t . 1
2
1
t
1
t2
2
dt
1
1
1
f
2 f
t dt
x dx.
1 x2 1
t2 1
2
2
1
1
1
2
2
2 f
2 f x f
2 x
f x
x
x dx
x2
Suy ra 2 I 2 dx 2 dx
1 x2 1 dx
x2 1
1 x 1
1 x 1
1
2
2
2
1
2
2
2
x2 1
1
1
dx 1 2 dx x
2
x
x
x
1
2
2
1
2
2
3
3
I . Chọn
2
A.
2
Câu 11: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa f x f x 2 2 cos 2 x với mọi x .
3
2
f xd x .
Tính I
3
2
C. I 2 .
3
3
x 2 t 2
Lời giải. Đặt t x
dx dt. Đổi cận:
.
x 3 t 3
2
2
A. I 6 .
B. I 0 .
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
D. I 6 .
19 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
3
2
3
2
3
2
f t dt f t dt f x dx.
Khi đó I
3
2
3
2
3
2
Suy ra 2 I
3
2
f t f t dt
3
2
3
2
3
2
2 2 cos 2t dt
3
2
CASIO
2 cos t dt 12
I 6. Chọn D.
3
2
Câu 12: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f x5 4 x 3 2 x 1 với mọi x .
8
Tích phân
f x dx bằng
2
A. 2.
B. 10.
C.
32
.
3
D. 72.
x 2 t 1
Lời giải. Đặt x t 5 4t 3, suy ra dx 5t 4 4 dt. Đổi cận
.
x 8 t 1
8
Khi đó
2
1
1
f x dx f t 5 4t 3 5t 4 4 dt 2t 1 5t 4 4 dt 10. Chọn
1
B.
1
Câu 13: Cho các hàm số f x , g x liên tục trên 0;1 , thỏa m. f x n. f 1 x g x với m, n là
1
số thực khác 0 và
0
1
f x dx g x dx 1. Tính m n.
0
1
B. m n .
C. m n 1.
D. m n 2.
2
Lời giải. Từ giả thiết m. f x n. f 1 x g x , lấy tích phân hai vế ta được
A. m n 0.
1
1
m. f x n. f 1 x dx g ( x)dx
0
1
0
1
Suy ra m n f 1 x dx 1 (do
0
1
f x dx g x dx 1 ). 1
0
0
1
Xét tích phân
x 0 t 1
f 1 x dx. Đặt t 1 x , suy ra dt dx. Đổi cận: x 1 t 0 .
0
1
Khi đó
0
1
1
f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 1. 2
0
1
0
Từ 1 và 2 , suy ra m n 1 . Chọn
0
C.
Câu 14: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0;1 , thỏa mãn f ' x f ' 1 x với mọi
1
x 0;1 . Biết rằng f 0 1, f 1 41. Tính tích phân I f x dx.
0
A. I 41.
B. I 21.
C. I 41.
D. I 42.
Lời giải. Ta có f ' x f ' 1 x
f x f 1 x C.
C 42.
Suy ra f 0 f 1 C
f 0 1, f 1 41.
f x f 1 x 42
Suy ra f x f 1 x 42
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
20 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
1
1
f x f 1 x dx 42dx 42. 1
0
0
1
1
Vì f ' x f ' 1 x
f x dx f 1 x dx. 2
0
0
1
Từ 1 và 2 , suy ra
1
f x dx f 1 x dx 21. Chọn
0
B.
0
Câu 15: Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 3 x f x x với mọi x . Tính
2
I f x dx.
0
4
A. I .
5
4
B. I .
5
5
C. I .
4
5
D. I .
4
Lời giải. Đặt u f x , ta thu được u3 u x. Suy ra 3u 2 1 du dx.
1
x 0 u 0
5
Từ u 3 u x , ta đổi cận
. Khi đó I u 3u 2 1 du . Chọn
4
x 2 u 1
0
D.
Cách khác. Nếu bài toán cho f x có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau:
f 3 0 f 0 0 f 0 0
Từ giả thiết f 3 x f x x
3
. *
f 2 f 2 2 f 2 1
Cũng từ giả thiết f 3 x f x x , ta có f ' x . f 3 x f ' x . f x x. f ' x .
2
Lấy tích phân hai vế
2
3
f ' x . f x f ' x . f x dx x. f ' x dx
0
4
0
2
2
2
f x
2
2
5
*
f x xf x f x dx
f x dx .
4
2
0
4
0
0
0
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
3
Câu 16: Cho hàm số f x thỏa mãn
3
f x
f x
x. f x .e dx 8 và f 3 ln 3 . Tính I e dx.
0
A. I 1.
0
B. I 11.
C. I 8 ln 3.
u x
du dx
Lời giải. Đặt
. Khi đó
f x
f x
dv f x .e dx v e
3
D. I 8 ln 3.
3
f x
f x
x. f x .e dx x.e
0
3
0
3
e f x dx.
0
3
Suy ra 8 3.e f 3 e f x dx
e f x dx 9 8 1. Chọn
0
A.
0
Câu 17: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
2
2
f ' x cos
2
xdx 10 và f 0 3.
0
2
Tích phân
f x sin 2 xdx bằng
0
A. I 13.
B. I 7.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
C. I 7.
D. I 13.
21 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
2
Lời giải. Xét
0
TÍCH PHÂN
u cos 2 x
du sin 2 xdx
.
f ' x cos 2 xdx 10 , đặt
2
dv f ' x cos xdx v f x
2
Khi đó 10 f ' x cos 2 xdx cos 2 xf x
0
2
2
0
2
f x sin 2 xdx
0
2
10 f 0 f x sin 2 xdx
f x sin 2 xdx 10 f 0 13. Chọn D.
0
0
2
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn
f x 1 dx 3 và f 1 4.
1
1
Tích phân
x f ' x dx bằng
3
2
0
1
B. .
2
A. 1.
C.
2
Lời giải. Ta có
1
D. 1.
1
1
t x 1
f x 1 dx 3
f t dt 3 hay
0
1
Xét
1
.
2
1
f x dx 3.
0
u x
1
du dx
1
1
.
tf ' t dt xf ' x dx. Đặt
x f ' x dx
2
2
dv f ' x dx v f x
3
t x2
2
0
0
1
Khi đó
0
1
2
3
2
t x
x f ' x dx
0
1 1
1
1
1
1
tf
'
t
d
t
xf
x
f x dx 4 3 . Chọn
20
2
2
0 0
2
C.
Câu 19: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0; 2 . Biết f 0 1 và
2
f x f 2 x e
2 x2 4 x
với mọi x 0; 2 . Tính tích phân I
x
14
.
3
B. I
32
.
5
C. I
Lời giải. Từ giả thiết f x f 2 x e 2 x
2
Ta có I
x
3
3x 2 f ' x
f x
0
4x
16
.
3
D. I
dx.
16
.
5
x 2
f 2 1.
u x 3 3x 2
du 3x 2 6 x dx
.
dx. Đặt
f ' x
dv f x dx v ln f x
2
Khi đó I x3 3 x 2 ln f x
2
f 2 1
2
3x 2 6 x ln f x dx 3 x 2 2 x ln f x dx 3J .
0
2
2
3x 2 f ' x
f x
0
A. I
3
0
0
x 2 t
Ta có J x 2 2 x ln f x dx
0
0
2 t
2
2
0
2 2 t ln f 2 t d 2 t
2
2
2 x 2 2 x ln f 2 x d 2 x x 2 2 x ln f 2 x dx.
2
0
2
2
2
Suy ra 2 J x 2 2 x ln f x dx x 2 2 x ln f 2 x dx x 2 2 x ln f x f 2 x dx
0
0
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
0
22 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
2
2
x 2 2 x ln e2 x
2
4 x
0
Vậy I 3J
dx x 2 2 x 2 x 2 4 x dx
0
16
. Chọn
5
32
16
J .
15
15
D.
2
2cot x
Câu 20: Cho biểu thức S ln 1 2 sin 2 x e dx , với số thực m 0. Chọn khẳng định đúng
n
4 m 2
trong các khẳng định sau.
A. S 5.
B. S 9.
C. S 2 cot
2 ln sin
.
D. S 2 tan
2ln
.
2
2
2
2
4m
4m
4m
4m
2
2
2 sin 2 x e
Lời giải. Ta có
2cot x
dx 2
2
sin 2 xe 2cot x dx
sin 2 x.e
2
2cot x 2
4 m2
4 m 2
sin 2 xe2cot x dx. 1
4 m2
e 2cot x d sin 2 x sin 2 x.e
4 m2
2
e2cot x dx
4 m 2
Xét
2
4 m2
2
sin 2 x 2 e2cot x dx
sin x
4 m2
2
2cot x 2
2
4 m
2
e2cot x dx. 2
4 m 2
Từ 1 và 2 , suy ra I sin x.e
2
2cot x 2
2cot
4 m2
1 sin
.
e
.
2
4m
2
4 m2
2cot
4 m2
S ln sin 2
.
e
2 ln sin
. Chọn C.
2 cot
2
2
2
4
m
4
m
4
m
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
2
Câu 21: Biết ln 9 x 2 dx a ln 5 b ln 2 c với a, b, c . Tính P a b c .
1
A. P 13.
B. P 18.
C. P 26.
D. P 34.
u ln 9 x 2 du 2 x dx
Lời giải. Đặt
9 x2 .
v x 3
dv dx
Khi đó I x 3 ln 9 x
2
2
2
1
2
5ln 5 12 ln 2 2 x 3ln 3 x
1
2
1
x x 3
9 x
2
2
3
dx 5ln 5 4ln 8 2 1
dx
3 x
1
a 5
5ln 5 6 ln 2 2
b 6 P 13. Chọn A.
c 2
Nhận xét. Ở đây chọn v x 3 thay bởi x để rút gọn cho 9 x 2 , giảm thiểu biến đổi.
1
Câu 22: Biết
x 3 2 x ex3 2 x
1
1
e
0 e.2 x dx m e ln n .ln p e với m, n, p là các số nguyên dương. Tính
tổng P m n p.
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
23 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
A. P 5.
B. P 6.
1
3
x
C. P 7.
3
1
x
D. P 8.
x
x 2 ex 2
2
1
dx x 3
dx x 4
x
x
e.2
e.2
4
0
0
Lời giải. Ta có I
1
Tính A
0
1
A
0
1
A.
4
1
2x
dx. Đặt t e.2 x
dt e.ln 2.2 x dx
2 x dx
dt .
x
e.2
e ln 2
x 0 t e
Đổi cận:
.
x 1 t 2e
2 e
1
dt
1
Khi đó A
.
ln t
e.ln 2 e t e.ln 2
2 e
e
1
2e
1
e
ln
ln 1
.
e ln 2 e e ln 2 e
m 4
1
1
e
Vậy I
ln 1
n 2 P m n p 7. Chọn
4 e ln 2 e
p 1
2
Câu 23: Biết
x 2 2 x cos x cos x 1 sin x
x cos x
0
P ac3 b.
5
A. P .
4
3
B. P .
2
2
Lời giải. Ta có I
x
2
x cos x
x cos x
0
2
2
dx
0
c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính
C. P 2.
2 x cos x cos 2 x 1 sin x
x cos x
0
2
dx a 2 b ln
2
C.
D. P 3.
dx
2
d x cos x
1 sin x
dx x cos x dx
x cos x
x cos x
0
0
1
x 2 sin x ln x cos x
2
2
1
1
2
2 1 ln 2 1 ln
8
2 8
0
1
a 8
b 1
P ac3 b 2. Chọn C.
c 2
ln 8
Câu 24: Biết
ln 3
1
1 b
dx 1 ln a a b với a, b . Tính P a b.
2 a
e 1 e
2x
x
A. P 1.
B. P 1.
ln 8
Lời giải. Ta có I
ln 3
ln 3
1
2x
e 1 e
x
dx
ln 3
2x
x
e 1 e dx
D. P 5.
ln 8
ln 8
2x
e 1dx
ln 3
e x dx e x
e x dx.
ln 3
2 2 3.
ln 3
ln 8
ln 8
ln 8
C. P 3.
ln 8
e2 x 1dx. Đặt t e2 x 1 t 2 e2 x 1 , suy ra 2tdt 2e 2 x dx dx
ln 3
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
tdt
tdt
2 .
2x
e
t 1
24 | TY2
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
TÍCH PHÂN
x ln 3 t 2
Đổi cận:
.
x ln 8 t 3
ln 8
Khi đó
3
3
3
t 2 dt
1
1 t 1
1 3
dt 1 2 dt t ln
1 ln .
2
t 1
t 1
2 2
2 t 1 2
2
2
e 2 x 1dx
ln 3
a 2
1 3
Vậy I 1 ln 2 2 3
P a b 5. Chọn
2 2
b 3
2
Câu 25: Biết
x 1
1
D.
dx
a b c với a, b, c . Tính P a b c .
x x x 1
A. P 12 .
C. P 24 .
B. P 18 .
2
Lời giải. Ta có I
1
2
dx
x x 1
x 1 x
1
D. P 46 .
x 1 x
x x 1
x 1 x
3 2
2 1
du
2
2
u
u
3 2
2 1
dx.
x x 1
1
1
Đặt u x 1 x , suy ra du
2du
dx
2 x 1 2 x
x 2 u 3 2
Đổi cận
. Khi đó I 2
x 1 u 2 1
2
x x 1
1
1
2
2 1
3 2
a 32
3 2
2 1
2
b 12
P 46. Chọn
32 12 2
2 1
3 2
c 2
4
Câu 26: Biết
sin 4 x
2
dx
2
cos x 1 sin x 1
A. P 10.
B. P 12.
0
4
Lời giải. Ta có I
0
dx.
D.
a 2 b 6 c
với a, b, c . Tính P a b c .
6
C. P 14.
4
sin 4 x
2
2
cos x 1 sin x 1
dx 2
0
D. P 36.
2 sin 2 x cos 2 x
dx.
3 cos 2 x 3 cos 2 x
x 0 t 1
Đặt t cos 2 x
dt 2sin 2 xdx. Đổi cận:
.
x 4 t 0
0
Khi đó I 2
1
1 2
2 3
3 t
3
1
t
t
1
dt 2
dt
3t 3t
3 t 3t
2
0
2
3
3 t
3
1
0
1
3 t 3 t dt
0
a 16
16 2 12 6 8
b 12 P 36. Chọn D.
6
c 8
4
1
x ex
b
c
1 4 x xe 2 x dx a e e với a, b, c . Tính P a b c.
A. P 5.
B. P 4.
C. P 3.
D. P 3.
Câu 27: Biết
4
Lời giải. Ta có
1
x
4
2x
1
x e
e 4 x 4e
dx
2x
4x
4 xe2 x
xe
1
CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI
x
2
e 2 x dx
x
dx
2e x
4
1
x
x
2
25 | TY2
