Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện khoái châu năm học 2018 2019 có đáp án

UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Năm học: 2018-2019
Môn: Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1:(3,0điểm). Cho biểu thức P 

x x  26 x  19 2 x
x 3


x 2 x 3
x 1
x 3

a) Rút gọn P .
b) Tìm x để P.  x  3  10 x .
c) Tìm GTNN của P .
Bài 2: (3,0điểm).
a) Cho x = 3  5  3  5  1 . Tính giá trị của biểu thức P  2 x3  3x2  4 x  2
b) Chứng minh:



1

3 1 2



 5

1
2 3



 7

1
3 4



 ... 
4037



1
2018  2019





1
2

Bài 3: (3,0điểm). Cho hàm số y   2m – 3 x –1 (1)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm  2; 3 
b) Đồ thị của (1) là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 3.
Bài 4: (4,0điểm).
mx  y  3
a) Cho hệ phương trình 
( m là tham số)
 x  my  2m  1
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn 2x +y =
b) Giải phương trình:



x+8 x+3



7
m 1



x 2  11x + 24  1  5

Bài 5: (6 điểm). Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp

tuyến với đường tròn (O) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của BH và HC
a) Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
b) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH.
c) Hai đường kính AH và DE của (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để điện tích
tam giác AMN bé nhất.
Bài 6: (1điểm). Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: S = x 2  x 

9 61

2x 4

Họ và tên thí sinh............................................................. Số báo danh............................
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm


UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán 9

A. Hướng dẫn chung.
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần như hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong hội đồng chấm thi.
3. Không làm tròn điểm dưới mọi hình thức.

B. Hướng dẫn cụ thể

Nội dung

Điểm

Bài 1: (3đ)
a) ĐKXĐ x  0, x  1
P

0,25

x x  26 x  19 2 x
x 3


x 2 x 3
x 1
x 3

 x  3   x  3 x 1
 x  1 x  3  x 1 x  3  x 1 x  3
x x  26 x  19  2 x  x  3   x  3 x  1

 x  1 x  3
x x  26 x  19



0,25

x x  26 x  19  2 x  6 x  x  4 x  3







x 1

x x  16 x  x  16







x 1








x  16
x 3

b) P.



2 x






x  1

x 3





x 3



x  x  16    x  16 





x 1

x 3

0,25



x  1  x  16 
x 3


0,25



x  3  10 x

x  16
.
x 3





x  3  10 x

0,25

 x  16  10 x
 x 10 x  16  0
 x 10 x  25  9




x 5



2

9

0,25


 x 5  3

 x  5  3
c) P 

0,25
0,25

  x  3 
x 3 

x  16 x  9  25

 x 3
x 3
x 3

Áp dụng BĐT Cô sit a có

x 3

25 
  6
x  3

25

25
2
x 3

x 3

25
x 3

= 10

0,5

0,25

Do đó P  10 – 6 = 4

Vậy: Cmin = 4 khi x = 4

0,25

Bài 2: (3,0đ)
a) Nên x = 3  5  3  5  1
62 5
62 5

1 
2
2

=





5 1
2

2







5 1
2

2

1

5 1
5 1

1  2 1
2
2
Suy ra: x + 1 = 2 nên x2 + 2x = 1

0,5



0,5

Có P  2 x  3x  4 x  2 = 2x(x + 2x) – (x + 2x) -2x +2
Thay x2 + 2x = 1 vào biểu thức P = 2x – 1 – 2x + 2 = 1
Vậy P = 1
b Có
3

 2n  1 

2

2

1
n  n 1



2

n 1  n
n 1  n
n 1  n 1  1
1 


 .


2
2
2n  1
n 1 
4n  4n  1
4n  4n 2  n



Do đó



1

3 1 2



 5

1
2 3



 7

1
3 4



 ... 
4037



1
2018  2019

1 
1
1
1
1
1
1
1 
 . 1 




 ... 


2 
2
2
3
3
4
2018
2019 
1 
1  1
 . 1 

2 

2019  2



0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 3.(3,0đ)
a) Vì đồ thị hàm số (1) đi qua điểm  2; 3 .

Nên tọa độ  2; 3 thỏa mãn phương trình (1).

0,5

Thay x  2; y  3 vào pt (1) ta được:  2m – 3 .  2  –1  3

0,5

 4m  8  m  2

0,5


b) Xét OAB vuông tại O
1

1
1
SOAB  OA.OB  .
.1  3
2
2 2m  3


0,5

1
6
2m  3

 2m  3 

1
6

0,5

1
 2m  3  
6
19
17
 m  ;m 
12
12
19

17
Vậy m  ; m  .
12
12

0,5

Bài 4: (4,0đ)
a) ĐKXĐ: x  3




x+8






x  11x + 24  1   x + 8  x + 3  x + 8 
x + 3   x  11x + 24  1  x + 8  x + 3   0


x + 3

x+8 x+3

x+8

x+8 x+3

x  11x + 24  1  5
2

2





x + 8 1

b) Từ (1) có y = 3 – mx

1
m
2m  3
;y=3=
m 1
m 1
m 1

7
1
2m  3
7
thì 2.
+
=

m 1
m 1
m 1
m 1

Do đó 2m + 5 = 7 nên m = 1

Bài 5: (6,0đ)



0,5







2
Thay vào (2) được x + m(3 - mx) = 2m +1  1  m x  1  m
Hệ có nghiệm duy nhất khi m≠±1

Đế 2x +y =

x+3

0,5

x + 3 1  0

 x + 8  x + 3  0  x  8  x  3(VL)

 x  7
  x + 8 1  0
  x  8  1

 x  2

 x  3  1
x
+
3

1

0

Kết hợp ĐKXĐ có x = -2

Ta có x =

0,25

2

0,5

0,25

0,25
0,25
0,75
0,75


A
E
O
D
B

K
I

M

H

C

N

a) Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
ODH  OHD (vì tam giác DHO cân tại O).
MDH  MHD (vì tam giác DM là trung tuyến của tam giác vuông BDH).
ADHE là hình chữ nhật => OHD  MHD  900  ODH  MDH  900 MD  DO
=>MD là tiếp tuyến của (O;R).
Tương tự NE là tiếp tuyến của (O;R)

0,75

0,75
0,5

b) ) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
Gọi I là trung điểm của OH; gọi K là giao điểm của MI và AN
 ABC

vuông tại A, đường cao AH => AH2 = BH.CH =>

AH CH

BH AH

AH
CH
OH NH



  BHO   AHN (c.g.c)
2.BH 2AH
BH AH
 OBH  NAH  BO  AN
Lại có MI là đường trung bình của  HBO => MI// BO  MK  AN


Mặt khác AH  MN . Vậy trung điểm I của OH là trực tâm của tam giác
AMN

c) Hai đường kính AH và DE của (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để
điện tích tam giác AMN bé nhất.
AH.MN
R
R
 R.MN  (BH  HC)  2 BH.HC  R AH 2  2R 2
2
2
2
Đẳng thức xẩy ra
BH = HC  ABC vuông cân tại A
AH  DE

Ta có SAMN 

Vậy Min SAMN = 2R2

AH  DE

0,5
0,5
0,5
0.5

1
0,5
0,5

Bài 6.(1,0đ)
Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: S = x 2  x 

9 61

2x 4

0,25


2

9 61
3
9
Ta có: S = x  x     x     2 x    13
2x 4 
2 
2x 
2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:
9
9
2x 
 2 2x 
 6 . Dấu ‘=’ xảy ra khi
2x
2x

9


4 x 2  9
3
2 x 

x
2x


2
x  0
 x  0

2

Mà:

3
3

 x    0 x . Dấu ‘=’ xảy ra khi x  2
2


0,25

0,25

2

3

3 
9 

Nên: S   x     2 x    13  0  6  13  19 . Dấu ‘=’ xảy ra khi x 
2
2 
2x 

3
2
5
104
Vậy: MinS = 19 khi x  Vậy: 2 2 2 
(ĐPCM)

2
x y z
xy  yz  zx
5

0,25