Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Châu 2010-2011.

PHÒNG G D&Đ T PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC GIỎI CẤP HUYỆN CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU Năm học :2010-2011
Môn :TOÁN,LỚP 9
Thời gian làm bài :150 phút(không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI.
Câu 1:(3.0điểm)
Chứng minh rằng:

3 7 11 15 4 1
7
2 4 8 16 2
n
n −
+ + + + + <
với mọi số nguyên dương n.
Câu 2:(3,0điểm)
Cho hai biểu thức f(x)=(x-2)
2008
+ (2x-3)
2007
+2006x
và g(x)=y
2009
-2007y
2008
+2005y
2007
Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tìm được tổng tất cả các số hạng của nó là k.Hãy tính k
và tính giá trị của g(k).
Câu 3:(4.0điểm)
Giải phương trình :

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0(1)x x x x+ + − + − − − =
Câu 4: ( 3, 0 điểm)
Cho a
≥
0, b
≥
0, c
≥
0 , chứng minh rằng:
a
4
+ b
4
+ c
4

≥
abc ( a+b+c)
Câu 5:(3,0điểm)
Cho tam giác ABC có AB =a;AC=b;AB=c .Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao
cho
a b c
x y z
+ +
có GTNN .Trong đó x,y,z thứ tự là khoảng cách từ M đến BC, AC, AB.
Câu 6 :(4,0điểm)
Cho tam giác ABC ,các tia phân giác trongBM, CN (M thuộcAC,N thuộc AB) cắt nhau tạiD
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi 2BD.CD=BM.CN
…………………………………………….Hết ………………

PHÒNG GD&ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG MÔN TOÁN 9
Câu 1: (3,0điểm)
Với mọi
2m
≥
ta có
1
4 1 4 3 4 7
2 2 2
m m m
m m m
−
− + +
= −
(1,0đ)

Ap dụng hệ thức trên với mỗi m bằng 2,3, ,n ta có:
S=
1
3 7 11 15 4( 1) 1 4 1

2 4 8 16 2 2
n n
n n
−
− − −
+ + + + + +
=

2 2 3 2 1 1
3 11 15 15 19 4 1 4 3 4 3 4 7

2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
n n n n
− − −
− + + +
       
+ − + − + + − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
(1,25đ)
=
4 7
7 7
2
n
n +
− <
(0,50đ)
Vậy S<7 với mọi số nguyên dương n. (0,25đ)
Câu 2:(3,0điểm)
Dễ thấy rằng tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x)
tại x=1.Ta có
s=f(1)=(1-2)
2008
+(2.1-3)
2007
+2006.1

=2006 (1,50đ)
Khi đó thay 2007=s+1,2005=s-1 ta được
g(s)= s
2009
-(s+1)
2008
+(s-1)
2007

=-2006
2007
(1,25đ)
Vậy s=2006 và g(s)=-2006
2007
(0,25đ)
Câu 3:(4.0điểm)
Đặt a=
3
3 1x +
,b=
3
5 x−
,c=
3
2 9x −
(0,5đ)
Suy ra a
3
+b
3

+c
3
=4x-3.Khi đó từ (1) có
(a+b+c)
3
= a
3
+b
3
+c
3
(0,5đ)
⇔
a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a)= a
3
+b
3
+c
3
⇔
(a+b)(b+c)(c+a)=0
0
0
0

a b
b c
c a
+ =


⇔ + =


+ =

(1,0đ)
3 3
3 3
3 3
3 1 5
5 9 2
9 2 3 1
x x
x x
x x

+ = −

⇔ − = −


− = +



(0,75đ)
3
4
8
5
x
x
x


= −

⇔ =


=


(1,0đ)
Vậy phương trình có ba nghiệm là x=-3;x=4;x=
8
5
(0,25đ)
Câu 4: ( 3, 0 điểm)
Ap dụng bất đẳng thức côsi với các số không âm, ta có
a
4
+b
4
+c

4
=
222
444444
accbba +
+
+
+
+
(0,75đ)
≥

44
ba
+
44
cb
+
44
ac
= a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2

a
2
(0,5đ)
= a
2

222
22
2
22
2
22
ba
c
ac
b
cb +
+
+
+
+
(0,5đ)
≥
a
2

22
cb
+ b
2

22
ac
+ c
2

22
ba
(0,5đ)
= a
2
bc + b
2
ca +c
2
ab = abc (a+b+c) (0,5đ)
Vậy ta có điều phải chứng minh (0,25đ)
Câu 5:(3,0điểm)
-HS vẽ hình và lập luận được 2S=ax+by+cz (1,0đ)
-Khi đó ta có
2
( ).( ) ( )
a b c
ax by cz a b c
x y z
+ + + + ≥ + +

(BĐT Bunhiacopxki) (1,0đ)
2
( )

2
a b c a b c
x y z S
+ +
⇒ + + ≥
(0,5đ)
-Do đó min
2
( )
( )
2
a b c a b c
x y z S
+ +
+ + =
.
-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khix=y=z hay M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC(0,5đ)
Câu 6:(4,0điểm)
-HS vẽ hình và lập luận được :
BM là phân giác góc B
MA AB
MC BC
⇒ =

MA AB c bc
MA
MA MC AB BC c a c a
⇒ = = ⇒ =
+ + + +
(1,0đ)

AD là phân giác góc BAM
BD AB BD AB a c
DM AM BM AB AM a b c
+
⇒ = ⇒ = =
+ + +
(0,75đ)
Tương tự :
CD b a
CN a b c
+
=
+ +
(0,75đ)
Từ trên ta có các phép biến đổi tương đương sau :
2BD.CD=MB.CN
2(c+a)(b+a)=(a+b+c)
2
b
2
+c
2
=a
2
Hay tam giác ABC vuông. (1,5đ)
*Ghi chú:Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa.
y
z
x
A

B
C
M
D
A
B
C
M
N