Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán chuyên Chuyên đề biến đổi đại số (có lời giải)

Chủ đề 1: Biến đổi đại số

1

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:


Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2  a .



Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
x mà bình phương của nó bằng a :
a  0
x  0

 2

 ax
x  a




Với hai số thực khơng âm a, b ta có:



Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
A0
A
+ A2  A  
nếu
A0
 A
+

A2 B  A B  A B với A, B  0 ;

+

A

B

+

+

A.B

B2

a là một số thực không âm

a  b  a  b.

A2 B  A B   A B với A  0; B  0

A.B
với AB  0, B  0
B

M
M. A

với A  0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
A
A





M A
B
M

với A, B  0, A  B (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
A B
A B

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:


Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là



Cho a  R; 3 a  x  x 3 



Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.



Nếu a  0 thì

3

a 0.



Nếu a  0 thì

3

a 0.



Nếu a  0 thì

3

a 0.

 a
3



3

a 3a

với mọi b  0 .
b 3b



3

ab  3 a . 3 b với mọi a, b .



ab 3 a  3 b.



A 3 B  3 A3 B .

Biên soạn: WiKi Way

3

3

a là số x sao cho x3  a

a

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số




A

B

3

3

3

2

AB 2
với B  0
B

A 3 A

B
B3

3

3

1

A3 B

AB  3 B 2
với A  B .
A B

A2

3

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a  R, n  N ; n  2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng
a.
 Trường hợp n là số lẻ: n  2k  1, k  N

Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k 1

a  x  x2k 1  a , nếu a  0 thì

2 k 1

a  0 , nếu a  0 thì

2 k 1

a  0 , nếu a  0 thì

a 0
Trường hợp n là số chẵn: n  2k , k  N .
2 k 1



Mọi số thực a  0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là
(gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a ,

2k

2k

a

a  x  x  0 và

x 2k  a ; 2k a  x  x  0 và x 2k  a .
Mọi số thực a  0 đều khơng có căn bậc chẵn.

Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) P  x4  4
b) P  8x3  3 3
c) P  x4  x2  1
Lời giải:




3  4 x



a) P   x 2  2  x 2  2   x  2 x  2  x 2  2  .
b) P   2 x  
3

 3   2x 
3

2



 2 3x  3 .

c) P   x 2  1  x 2   x 2  x  1 x 2  x  1 .
2

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) A  x  x  x 

1
khi x  0 .
4

b) B  4 x  2 4 x  1  4 x  2 4 x  1 khi x 

1
.
4

c) C  9  5 3  5 8  10 7  4 3
Lời giải:
Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

3
2

a) A  x  x  x 

x

+ Nếu
x

1
1

 x  x   x
4
2


1
1
 x  thì
2
4

1
1
 0  x  thì
2
4

x

x

x

1
2

1
1
1
 x   A .
2
2
2

+ Nếu

1
1
1
 x   A2 x 
2
2
2

b)
B  4x  2 4x 1  4x  2 4x 1  4x 1  2 4x 1  1  4x 1  2 4x 1  1



Hay B 



2

4x 1 1 





2

4x 1  1 

+ Nếu

4x 1 1  0  4x 1  1  x 

+ Nếu

4x 1 1  0  4x 1  1 



c) Để ý rằng: 7  4 3  2  3



4x 1 1  4x 1  1 

1
thì
2

4 x  1  1  4 x  1  1 suy ra B  2 4 x  1 .

1
1
 x  thì
4
2
2

4x 1 1  4x 1  1

4 x  1  1   4 x  1  1 suy ra B  2 .

 74 3  2 3

Suy ra



C  9  5 3  5 8  10(2  3)  9  5 3  5 28 10 3  9  5 3  5 5  3



2

.

Hay C  9  5 3  5(5  3)  9  25  9  5  4  2 .
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A  7  2 6  7  2 6 là số nguyên.

84 3
84
là một số nguyên (Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT
 1
9
9
chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).

b) B  3 1 

c) Chứng minh rằng: x  3 a 



a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
1
 a
với a  là số tự nhiên.
8
3
3
3
3

d) Tính x  y biết x  x 2  2015

 y 



y 2  2015  2015 .

Lời giải:
a) Dễ thấy A  0,
Tacó A2 



72 6  72 6

  7  2 6  7  2 6  2 7  2 6. 7  2 6  14  2.5  4
2

Suy ra A  2 .
Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

4

b) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v3  3uv  u  v  . Ta có:
3

3



84 3
84 
84
84
84 3
84 
  1

B3   3 1 
 1
1
 3 3 1 
. 1


9
9 
9
9
9
9 







84 3
84 
 3 1
 . Hay
 1

9
9 



84 
84 
84
3
3 1
B3  2  3 3 1 
1

.
B

B


2

3
B  B3  2  B  B3  B  2  0




9
9
81



2

1 7

  B  1  B 2  B  2   0 mà B 2  B  2   B     0 suy ra B  1 . Vậy B là số nguyên.
2 4

c) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v3  3uv  u  v 
3

Ta có x3  2a  1  2a  x  x3   2a  1 x  2a  0   x  1  x 2  x  2a   0
Xét đa thức bậc hai x2  x  2a với   1  8a  0
+ Khi a 

1
1

1
ta có x  3  3  1 .
8
8
8

1
1
+ Khi a  , ta có   1  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x  1 Vậy với mọi a  ta
8
8

có: x  3 a 

a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
 a
 1 là số tự nhiên.
3
3
3
3

d) Nhận xét:



x 2  2015  x

Kết hợp với giả thiết ta suy ra







x 2  2015  x  x 2  2015  x 2  2015 .

x 2  2015  x 

y 2  2015  y

y 2  2015  y  x 2  2015  x  x 2  2015  x  y 2  2015  y  x  y  0 Ví dụ 4)

a) Cho x  4  10  2 5  4  10  2 5 . Tính giá trị biểu thức:

x 4  4 x3  x 2  6 x  12
P
.
x 2  2 x  12
b) Cho x  1  3 2 . Tính giá trị của biểu thức B  x5  2 x4  x3  3x2  1942 . (Trích đề thi vào
lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho x  1  3 2  3 4 . Tính giá trị biểu thức: P  x5  4x4  x3  x2  2x  2015
Giải:

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119

Chủ đề 1: Biến đổi đại số

5
2



a) Ta có: x   4  10  2 5  4  10  2 5   8  2 4  10  2 5 . 4  10  2 5


2

 x2  8  2 6  2 5  8  2





2

5 1  8  2





5 1  6  2 5 





2

5  1  x  5  1 . Từ đó

ta suy ra  x  1  5  x 2  2 x  4 .
2

x
Ta biến đổi: P 

2

 2 x   2  x 2  2 x   12
2

x 2  2 x  12

42  3.4  12

 1.
4  12

b) Ta có x  1  3 2   x  1  2  x3  3x 2  3x  3  0 . Ta biến đổi biểu thức P thành:
3

P  x 2 ( x3  3x 2  3x  3)  x  x3  3x 2  3x  3   x 3  3x 2  3x  3  1945  1945

c) Để ý rằng: x  3 22  3 2  1 ta nhân thêm 2 vế với

3

a  b   a  b   a  ab  b  . Khi đó ta có:
3

3

2

  2 1  2  2  1
  2  1 x  1  2 x  x  1  2 x



3

2 1 x 

3

3

3

2  1 để tận dụng hằng đẳng thức:

2

2

3

3

3

  x  1  x3  3x 2  3x  1  0 .
3

Ta biến đổi: P  x5  4 x 4  x3  x 2  2 x  2015   x 2  x  1 x3  3x 2  3x  1  2016  2016 .
Ví dụ 5) Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  1 .

1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y 
2

a) Tính giá trị biểu thức: P  x
b) Chứng minh rằng:

2

2

1  x2

x
y
z




2
2
1 x 1 y 1 z2

2

2

1 y2

2

1 z2

2 xy

1  x 1  y 1  z 
2

2

2

Lời giải:
a) Để ý rằng: 1  x2  x2  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z)
Tương tự đối với 1  y 2 ;1  z 2 ta có:

1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x  y  z 
2

x

2

1  x2

 x  y  x  z 

Suy ra P  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2  xy  yz  zx   2 .
b) Tương tự như câu a)

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số
Ta có:


6

x
y
z

x
y
z





2
2
2
1 x 1 y 1 z
 x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x 

x  y  z  y  z  x  z  x  y
2 xy


 x  y  y  z  z  x 
 x  y  y  z  z  x 

2 xy

1  x 1  y 1  z 
2

2

.

2

Ví dụ 6)
a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:

1 2
x1  x2 2  ...  xn 2 

2

x12  12  2 x2 2  22  ..  n xn 2  n2 

4n  4n2  1
b) Cho f (n) 
với n nguyên dương. Tính f (1)  f (2)  ..  f (40) .
2n  1  2 n  1
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:



 



2

x12  12  1 

2

x22  22  2  ... 



xn 2  n2  n

 0
2

Hay x1  2, x2  2.22 ,..., xn  2.n2

 x 2  y 2  4n

b) Đặt x  2n  1, y  2n  1   xy  4n 2  1 .
 x2  y 2  2

Suy ra f (n) 

x 2  xy  y 2 x3  y 3 1 3
1
 2
  x  y3  
2
x y
x y
2
2

toán ta có:

f 1  f  2   ..  f  40  



1
2





1
2 



 

33  13 

  2n 1 
3



53  33  .. 



 2n  1

3

 . Áp dụng vào bài



813  793 


813  13  364

Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng:

1
1
1

 .... 
 4 . Đề thi chuyên ĐHSP 2011
1 2
3 4
79  80
1
1
1
1
1 




 ... 
 2 1 
.
1 2 2 3 3 4
n n 1
n 1 


c) Chứng minh: 2 n  2 

1
1
1
1
1



 ... 
 2 n  1 với mọi số nguyên dương
1
2
3
4
n

n  2.

Lời giải:
a) Xét A 

1
1
1
1
1
1

 .... 

 .. 
, B
1 2
3 4
79  80
2 3
4 5
80  81

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

7

Dễ thấy A  B .

1
1
1
1
1


 .... 

1 2
2 3
3 4
79  80
80  81

Ta có A  B 

1

Mặt khác ta có:

k  k 1



Suy ra A  B 

 

2 1 







k 1  k

k 1  k



3  2  ... 







k 1  k



 k 1  k



81  80  81  1  8 . Do A  B suy ra

2A  A  B  8  A  4 .
1
1
1
1
với mọi k nguyên dương.



k
k 1
2k k  1
k (k  1) k  1  k

b) Để ý rằng:





1   1
1 
1 
1 
 1





Suy ra VT  2 1 
  ..  2 
  2 1 
.
  2
2  2
3
n 1 
n 1 

 n


c) Đặt P 

2

Ta có:

n  n 1

Từ đó suy ra 2

2



1
1
1
1
1



 ... 
1
2
3
4
n





n 1  n 


T  1  2 


Do đó: 2 


1

2
2
với mọi số tự nhiên n  2 .


n 2 n
n  n 1





n 1  n 
2
2
n



2
2
2


2
n 1  n 2 n
n  n 1

n  n 1





n  n  1 hay



  3  2   ...   n  1  n   T và
2  1   3  2   ....  n  n  1  .

2 1 

Hay 2 n  2  T  2 n 1.
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 1  b 2  b 1  c 2  c 1  a 2 
a 2  b2  c 2 

3
.Chứng minh rằng:
2

3
.
2

a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x 1  y 2  y 2  z 2  z 3  x 2  3 . (Trích đề
thi tuyến sinh vào lớp 10 chun Tốn- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

8

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có

a 1  b2  b 1  c 2  c 1  a 2 

a 2  1  b2 b2  1  c 2 c 2  1  a 2 3


 .
2
2
2
2

a  1  b 2
a 2  1  b 2


3


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b  1  c 2  b 2  1  c 2  a 2  b 2  c 2  (đpcm).
2

c 2  1  a 2
2
c

1

a


b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1  y 2  2 y 2  z 2  2 z 3  x 2  6 .
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab  a2  b2 ta có:
2 x 1  y 2  2 y 2  z 2  2 z 3  x 2  x 2  1  y 2  y 2  2  z 2  z 2  3  x 2  6 . Suy ra VT  VP . Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ

 x 2  y 2  z 2  3; x, y, z  0
 x, y , z  0
x  1 y2
 2
 2
2

2

x  y  1
x  y  1
2


 x  1; y  0; z  2 Ví dụ 9) Cho
khi:  y  2  z   2
 2
2
2
y

z

2
y

z

2



2
2
 z  3  x
 z 2  x2  3
 2

z  x  3

A

x



x4 x4  x4 x4
x 2  8 x  16

 với x  4

a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x  4 .


x
A 
x





x4 2



2





 x  4

x4 2

x4 2

2

2 
x4 2  x






x4 2 

x4 2

x4





x4
+ Nếu 4  x  8 thì

x  4  2  0 nên A 

x



x4 22 x4
x4



4x
16
 4
x4
x4

Do 4  x  8 nên 0  x  4  4  A  8 .

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số
+ Nếu x  8 thì

x



9

x  4  2  0 nên

x4 2 x4 2

  2x

x4

x4

2x
8
 2 x4 
 2 16  8 (Theo bất đẳng
x4
x4
x4
8
thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x  4 
 x4 4 x 8.
x4
A

Vậy GTNN của A bằng 8 khi x  8 .

16
16
, ta thấy A  Z khi và chỉ khi
 Z  x  4 là ước số
x4
x4
nguyên dương của 16 . Hay x  4  1; 2; 4;8;16  x  5;6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy ra

b) Xét 4  x  8 thì A  4 

x  5 hoặc x  6 .
+ Xét x  8 ta có: A 
A

2  m2  4 
m

 2m 

2x
, đặt
x4

 x  m2  4
x4  m 
khi đó ta có:
m  2

8
suy ra m  2; 4;8  x  8; 20;68 .

m

Tóm lại để A nhận giá trị ngun thì x  5;6;8; 20;68 .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với x  0 , cho hai biểu thức A 

2 x
và B 
x

x 1 2 x 1

.
x
x x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x  64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để  .
B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức A 

x 4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x 2



x
4  x  16
2) Rút gọn biểu thức B  
(với x  0, x  16 )

:
x  4  x  2
 x 4
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu
thức B  A  1 là số nguyên.

Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A 

x
10 x
5


, với x  0, x  25 .
x  5 x  25
x 5

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119

Chủ đề 1: Biến đổi đại số

10

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x  9 .
1
3) Tìm x để A  .
3
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho P 

x
2 x
3x  9


, với x  0, x  9 .
x 3
x 3 x 9

1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P  .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .

Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
A

5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

x
1  
2
6 

B


 : 1 

x 3 
x x3 x 
 x3 x

 x  0 .

Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:

x
3  x 3

với x  0, x  9 .
A  

.
x  3  x  9
 x 3



B  21

2  3  3 5

 
2

6

2 3  3 5

 15 15 .
2

Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức P 

x 2
2x  2

, với x  0, x  2 .

x2
2 xx 2

Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho A 

1
1
1
1


 ... 
và
1 2
2 3
3 4
120  121

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

B  1

11

1
1
.
 ... 
2
35

Chứng minh rằng B  A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức P 

x3  y 3
x y
. 2
,x  y.
2
2
x  xy  y x  y 2

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x  7  4 3 và y  4  2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a, b ; a  b .

Chứng minh rằng:



 a  b

3

a b



3

 b b  2a a


a a b b

3a  3 ab
0.
ba

Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
A

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x


; x  0, x  9 .
x 9
x  x  12 x  4 x

Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)

Cho biểu thức A 

1
1
2 x


2 x 2 x 4 x

 x  0, x  4  .

1
Rút gọn A và tìm x để A  .
3

Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
1) Cho biểu thức P 

3
3
x xx


. Tìm tất cả các giá trị của x để
x 3  x
x 3  x
x 1

P2.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y   x 2 và đường thẳng  d  : y  mx  1 ( m là tham

số). chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng  d  luôn cắt  P  tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số
Cho biểu thức C 

12

a
2
2
.


a  16
a 4
a 4

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a  9  4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
 2

3
5 x 7  2 x 3
Cho biểu thức A  


 :
 x  2 2 x  1 2 x  3 x  2  5 x 10 x

 x  0, x  4  .

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
1) Tính giá trị của biểu thức A 

x 1
, khi x  9 .
x 1

1  x 1
 x2
2) Cho biểu thức P  
với x  0 và x  1 .

.
x  2  x 1
 x2 x
a) Chứng minh rằng P 

x 1

.
x

b) Tìm các giá trị của x để 2P  2 x  5 .
Câu 17) Cho a  3  5  2 3  3  5  2 3 . Chứng minh rằng a2  2a  2  0 .
Câu 18) Cho a  4  10  2 5  4  10  2 5 .
Tính giá trị của biểu thức: T 

a 2  4a 3  a 2  6a  4
.
a 2  2a  12

Câu 19) Giả thiết x, y, z  0 và xy  yz  zx  a .

 a  y  a  z   y  a  z   a  x 
2

Chứng minh rằng: x

2

2

a  x2

a  y2

2

 a  x  a  y   2a .

2

z

2

a  z2

Câu 20. Cho a  2  7  3 61  46 5  1.
a) Chứng minh rằng: a4 14a2  9  0 .
b) Giả sử f  x   x5  2 x 4  14 x 3  28 x 2  9 x  19 . Tính f  a  .
Câu 21. Cho a  3 38  17 5  3 38  17 5 .

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

13

Giả sử có đa thức f  x    x3  3x  1940 
Câu 22. Cho biểu thức f  n  

2016

. Hãy tính f  a  .

2n  1  n  n  1
n  n 1

.

Tính tổng S  f 1  f  2   f  3  ...  f  2016  .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1

1 1 1
1 5
 2  2  ...  2  .
2
1 2 3
n
3

Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 , ta có

1 1 1
1 65
 3  3  ...  3 
.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:

43
1
1
1
44


 ... 

44 2 1  1 2 3 2  2 3
2002 2001  2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1
1
1
1

 ... 
 1
.
2 2 1 1 3 3  2 2
n 1
 n  1 n  1  n n
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 , ta có:

1 4 7 10 3n  2 3n  1
1
. . . ....

.

.
3 6 9 12
3n 3n  3 3 n  1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x  64 ta có A 
B





 

2  64 2  8 5

 .
8
4
64



x 1 . x  x  2 x 1 . x



x. x  x

Với x  0 , ta có:





x x  2x
1
 1

x xx
x 1

A 3
2 x 2 x 3
 
:
 
B 2
x
x 1 2

x 2
x 1

x 1 3

2
x

 2 x  2  3 x  x  2  0  x  4 (do x  0 ).

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

14

2. Lời giải:
36  4 10 5

 .
36  2 8 4

1) Với x  36 , ta có A 
2) Với x  0, x  16 ta có:



 

 x x 4 4 x 4
B



x  16
x  16


 





x  2  x  16  x  2
x 2


.
 x  16  x  16  x  16 
x  16


x 2 x 4 x 2
2

 
x  16 
x 2
 x  16

3) Biểu thức B  A  1 

B  A  1 nguyên, x nguyên thì x  16 là ước của 2 , mà U  2   1; 2 . Ta có bảng giá
trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên thì x  14;15;16;17 .
3). Lời giải:

 x  5
 x  5 x  5
 x  5  A 
x  5 x  10 x  5 x  25
x  10 x  25



 x  5 x  5
 x  5 x  5  x  5 x  5
A

x
10 x
5



x  5 x  25
x 5

x.





x  5  10 x  5.

2

x  3 . Vậy A 

có:

x 5
. Với x  9 ta
x 5

3  5 2
1

 .
35 8
4

4). Lời giải:
1) P 

x





x 3  2 x



x 3







x  3  3x  9
x 3





3
x 3

3
1
  x  3  9  x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3 3
3
3
3) Với x  0, P 


 1  Pmax  1 khi x  0 (TM).
x 3 03
2) P 

1

3

5. Lời giải:
A



5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

5  5 
 5  2


5  2 

5 2

Biên soạn: WiKi Way

5





5 1



5 1





3 5 3 5



 3  5 3  5 

5 1

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119

Chủ đề 1: Biến đổi đại số
 3 5 5

15

5  5 9 5  15
5  5  9 5  15

 3 5 5
4
4
4

 3 5 55 2 5  5 .
x
1  
2
6 

B


 : 1 
  x  0
x 3 
x x3 x 
 x3 x




x
1   x 2
6
 


 :
x 3 
x
x x 3
 x 3



x 1 
:
x 3 















 x  3  6  


x  x  3


x 1 .

x 2

 x  x x  1.

6. Lời giải:
Với x  0 và x  9 ta có:



x 3 x 3 x 9  x 3 1
A
.

 3.
 x 3
x
x 3  x 9









 





2
2
21
4  2 3  6  2 5  3 4  2 3   6  2 5 15 15
2
2
2
2
21
15

3  1  5  1  3 3  1  5  1  15 15 
3  5  15 15  60 .
2
2

B













7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
P
2x



x 2
2 x



 

2



x 2

x 2





x 2





x
2

 1.
2 x
x 2

8. Lời giải:
Ta có: A 





1
1
1

1


 ... 
1 2
2 3
3 4
120  121

1 2



1  2 1  2  

2 3
2 3



2 3



 ... 



120  121
120  121



120  121



1 2
2 3
120  121

 ... 
 2 1  3  2  ...  121  120  1  121  10 (1)
1
1
1

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số
Với mọi k 

B  1

*

16

1
2
2


2
k
k k
k  k 1

, ta có:

1
1
 ... 
2
35

B2





k 1  k





Do đó





2  1  3  2  4  3  ...  36  35  B  2  1  36  2  1  6   10

(2) . Từ (1) và (2) suy ra B  A .
9. Lời giải:

x3  y 3
x y
x y
.
.

2
2
x  xy  y  x  y  x  y  x  y

1) P 

2) Với x  7  4 3  2  3 và y  4  2 3  3  1
Thay vào P ta được: P 

2  3  3 1

2  3  



3 1



1
3 2 3
.

3
3 2 3

10.Lời giải:

Ta có: Q 









a b


3



3

a b

a b



3

 b b  2a a


a a b b

a b



a  b





3

3

 b b  2a a



a  b a  ab  b



a  b a  ab  b

3 a





a a  3a b  3b a  b b  2a a



3a  3 ab
ba









a b

3 a
a b

3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a





a  b a  ab  b





a b





a b



0



 0 (ĐPCM).

11. Lời giải:
A



x  x  6 x  7 x  19 x  5 x



x 9
x  x  12 x  4 x

x  2 x  8  x  7 x  19  x  8



x 3



x 4



x 2

x 3

x  7 x  19



 x  3 x  4
x 1
x  15  x  1 x  4 


.
 x  3 x  4 x  3

x 5
x 4

12. Lời giải:

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119

Chủ đề 1: Biến đổi đại số

17





1
1
2 x
4
2 x 2 2 x
2
1
2
1






. Với A  

4 x
3
2 x 2 x 4 x 4 x 4 x
2 x
2 x 3

1
 x  4  x  16 (nhận). Vậy A  khi x  16 .
3
A

13. Lời giải:
1) ĐKXĐ: x  3
P






3
3
x x  x 3 x  3  3 3  3 x  3  3 x x x 1




 x  3  x
x 1
x 3  x
x 3  x
x 1

6 x 3
 x  x2 x3 .
3

Vì P  2  x  2 x  3  2   x  3  2 x  3  1  0






2

x  3  1  0  x  3  1  0  x  3  1  x  4 .Vậy x  3 và x  4 .

2) Phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và  d  là: x2  mx 1  0 .
có   m2  4  0 với mọi m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức
Viet ta có: x1  x2  m và x1 x2  1
  x1  x2    m   x12  x22  2 x1 x2  m 2   x1  x2   4 x1 x2  m 2   x1  x2   4.  1  m 2
2

2

2

2

  x1  x2   m 2  4  4 với mọi m  x1  x2  2 với mọi m (ĐPCM).
2

14. Lời giải:

a  0

a  0
a  16  0
a  16



 a  0, a  16 .
1) Biểu thức C có nghĩa khi: 
 a  4  0 a  16
 a  4  0 a  0

Rút gọn C 

a
2
2



a  16
a 4
a 4



a

a 4



a 4

 a  4  2  a  4  a  2 a  8  2 a  8 
 a  4 a  4
 a  4 a  4 
a  a  4
a


.
a

4
a

4
a

4





a2





2
2

a 4
a 4
a4 a

a 4



a 4



2) Giá trị của C khi a  9  4 5 .



Ta có: a  a  9  4 5  4  4 5  5  2  5
Vậy C 



a
a 4





Biên soạn: WiKi Way



2

 a

2  5 

2

 5 2

5 2
5 2

 94 5 .
5 24
5 2

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

18

15. Lời giải:
1) Với x  0, x  4 biểu thức có nghĩa ta có:
 2
3
5 x 7  2 3 3
A  


 :
x

2
2
x

1
2
x

3
x

2

 5 x  10 x

 
 : 2 x 3

5 x  x  2
 x  2 2 x  1
5 x  x  2
2 x 3
5 x

.

.
2
x

3
2
x

1
x

2
2
x

1







 

2 2 x 1  3

x 2  5 x 7

Vậy với x  0, x  4 thì A 
2) Ta có
A

5 x
.
2 x 1

x  0, x  0, x  4 nên A 

5 x
 0, x  0, x  4
2 x 1

5 x
5
5
5
5
 
 , x  0, x  4  0  A  , kết hợp với A nhận giá trị là một số
2
2 x 1 2 2 2 x 1 2





nguyên thì A  1, 2 .
A  1  5 x  2 x 1  x 

1
1
 x  thỏa mãn điều kiện.
3
9

A  2  5 x  4 x  2  x  2  x  4 không thỏa mãn điều kiện.
1
Vậy với x  thì A nhận giá trị là nguyên.
9
16. Lời giải:
1) Với x  9 ta có A 

3 1
 2.
3 1

2) a)


x2 x
P

 x x 2








. x 1  
 x 1 



b) Theo câu a) P 
 2P  2 x  5 








x 1 .
x





x  2  x 1
.

 x 1
x 2




x 1
.
x

x 1
x

2 x 2
 2 x  5 2 x  2  2x  5 x  2x  3 x  2  0 và x  0
x



1
1
1

x 2  x  0 x   x  .
2
2

4


17. Giải:

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

19




3  . Do a  0 nên a 

a2  3  5  2 3  3  5  2 3  2 9  5  2 3  6  2 4  2 3
 62



 a  1

 3 hay a2  2a  2  0 .

2



2

3 1  6  2







3 1  4  2 3  1 

2

3  1 . Do đó

18. Giải:





a 2  8  2 16  10  2 5  8  2 6  2 5  8  2





5 1

2

 8 2





5  1  6  2 5 . Vì a  0

nên a  5  1 . Do đó  a  1  5 hay a2  2a  4 . Biểu diễn
2

a
T

2

 2a   3  a 2  2a   4
2

a 2  2a  12



42  3.4  4 1

 .
4  12
2

19. Giải:
Ta có: a  x 2  x 2  xy  yz  zx   x  y  x  z  .Tương tự ta có:

a  y 2   y  x  y  z  ; a  z 2   z  x  z  y  .

 a  y  a  z   x  x  y  y  z  z  x  z  y   x  x  y  . Tương tự:
2

Từ đó ta có: x

 x  y  x  z 

a  x2

 a  z  a  x   y  z  x  ; z  a  x  a  y   z  x  y  . Vậy
2

y

2

2

2

a  y2

2

a  z2

VT  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2  xy  yz  zx   2a .
20. Giải:
a) Vì

3



61  46 5  3 1  2 5



3

 1 2 5

Từ đó a  2  7  1  2 5  1  2  5
 a2 



2 5



2

 a 2  7  2 10  a 4  14a 2  9  0 .

b) Do f  x    x 4  14 x 2  9   x  2   1 và x4 14a2  9  0 nên ta được f  a   1 .
21. Giải:
Vì a 3  38  17 5  38  17 5  3.3. 3 38  17 5. 3 38  17 5
 a 3  76  3a  a 3  3a  76  f  a    76  1940 

22. Nhân cả tử và mẫu của f  n  với

Biên soạn: WiKi Way

2012

 20162016 .

n  1  n , ta được:

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

20

f  n    n  1 n  1  n n . Cho n lần lượt từ 1 đến 2016 , ta được:
f 1  2 2  1 1; f  2   3 3  2 2;...; f  2016   2017 2017  2016 2016 Từ đó suy ra:

S  f 1  f  2   f  3  ...  f  2016   2017 2017  1 .
23. Giải:
Vì n là số nguyên dương nên: 1 

1 1 1
1 1
 2  2  ...  2  2  1 (1) . Mặt khác, với mọi k  1 ta
2
1 2 3
n 1

có:
1
4
4
1 
 1
 2 2
 2

 . Cho k  2,3, 4,..., n ta có:
2
k
4k
4k  1
 2k  1 2k  1 

1
4
4

2
2
2 2 1
4
4
2
2
2 2




 




 
2
2
2
2
2
2
2
4.2
4.2  1 2.2  1 2.2  1 3 5 3
4.3
4.3  1 2.3  1 2.3  1 3 7
1

4
4
2
2
2 2




 
2
2
2
4
4.4
4.4  1 2.4  1 2.4  1 7 9
………….

1
4
4
2
2
2
2
 2 2





2
n
4n
4n  1 2 n  1 2 n  1 2 n  1 2 n  1
Cộng vế với vế ta được:

1 1 1
1
2
2
2 5
 2  2  ...  2  1  
 1 
(2). Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
2
1 2 3
n
3 2n  1
3 3
24. Giải:
Đặt P 

1 1 1
1
 3  3  ...  3 . Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta
3
1 2 3
n

có:

2
2
2
1
1
 3



, k  1
3
k
k  k  k  1 k  1  k  1 k k  k  1
Cho k  4,5,..., n thì

 1
1   1
1 
1 
1 1 1  1
2P  2  3  3  3   





  ...  
 1 2 3   3.4 4.5   4.5 5.6 
  n  1 n n  n  1 

65
251 1
1
251 1
65






. Do đó P 
(đpcm).
64
108 3.4 n  n  1 108 3.4 27
25. Giải:
Đặt Sn 

1
1
1

 ... 
2 1 1 2 3 2  2 3
 n  1 n  n n  1

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số

21

Để ý rằng :

 k  1

 k  1 k  k k  1   k  1 k  k k  1  1  1 , k  1
1

2
k  k  1
k  k k  1  k  1 k  k 2  k  1
k
k 1

Cho k  1, 2,..., n rồi cộng vế với vế ta có:

1
1
1
1
1
1
1




 ... 

 1
1
2
2
3
n
n 1
n 1

Sn 

Do đó S2001  1 

1
2002

Như vậy ta phải chứng minh:

43
1
44
1
1
1
 1





44
45
2002 45
2002 44

 44  2002  45  1936  2002  2025
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.
26. Giải:
Để giải bài tốn này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: với mọi số thực dương x, y ta có: x y  y x  x x  y y .
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
x y  y x  x x y y  x x y y x y y x 0
x






 

x y y
x y





y  x  0   x  y

x y



2





x y 0

 0.

Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề ta có:

 n  1


n  1  n n  n n  1   n  1 n

 n  1

1
1


n  1  n n n n  1   n  1 n

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119


Chủ đề 1: Biến đổi đại số
Vì thế:



22

1
1
1

 ... 

2 2 1 1 3 3  2 2
 n  1 n  1  n n

1
1
1
. Mà theo kết quả câu 25


 ... 
n 1
2 1 1 2 3 2  2 3
 n  1 n  n

thì:

1
1
1
1

 ... 
 1
. Vậy bài toán được chứng minh.
2 1 1 2 3 2  2 3
n 1
 n  1 n  n n  1

Câu 27)
Giải:
Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức

n
n 1
1 4 7 10 3n  2 3n  1

 n 2  n 2  n  2  n  2  . Kí hiệu P  . . . ....
.
. Ta có:


n2
n
3 6 9 12
3n 3n  3
 1 4 7 10 3n  2 3n  1  1 4 7 10 3n  2 3n  1 
P 2   . . . ...
.
.
 . . . ...

3n 3n  3  3 6 9 12
3n 3n  3 
 3 6 9 12
 1 3 6 9 3n  3 3n  1 4 7 10 3n  2 3n  1 
  . . . ...
.
.
 . . . ...

3n 3n  3 
 3 4 7 10 3n  2 3n  1  3 6 9 12
1 1 3 6 7 9 3n  3 3n  2 3n 3n  1
1
1
 . . . . . ...
.
.
.
.



3 3 4 7 9 10 3n  2 3n 3n  1 3n  3 3  3n  3 9  n  1
Từ đây suy ra P 

1
. Bất đẳng thức được chứng minh.
3 n 1

Biên soạn: WiKi Way

0586 237 830

www.facebook.com/wikiway1119