luận văn thạc sỹ chuỗi fourier
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (554.55 KB, 50 trang )
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1 Chuỗi Fourier
1.1 Không gian Lp [- ; ]
Định nghĩa 1.1.1 Lp [- ; ] (1 p ) là lớp tất cả các hàm f :[ ; ] khả
1/ p
p
tích Lebesgue sao cho f ( x ) dx
.
Ta đã biết Lp [- ; ] là không gian Banach với chuẩn
1/ p
f
p
p
f ( x) dx
.
Đặc biệt L2 [- ; ] là một không gian Hilbert với tích vô hướng
1
f , g
2
Ký hiệu
f ( x) g ( x) dx .
en :[ ; ] xác định bởi công thức en ( x ) einx , n . Rõ ràng
en L2 [ ; ] và
en , em
1
2
1 nÕu n m
i ( n m ) x
e
dx
.
0
nÕu
n
m
Vậy en : n là một hệ trực chuẩn trong L2 [- ; ].
1.2 Chuỗi Fourier
1
Giả sử f L [ ; ] . Xét hàm f : cho bởi f (n)
2
1
Định nghĩa 1.2.1 f (n) và
f ( x)e inx dx .
f (n)einx
lần lượt được gọi là hệ số Fourier thứ n
n
và chuỗi Fourier của f .
5
Luận văn Thạc sĩ
Để chỉ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Aneinx là chuỗi Fourier của f ta viết f
n
An einx .
n
Nhận xét 1.2.2
Trường hợp riêng với f L2 [ ; ], khi đó:
+) f (n) f , en và f
f , en en .
n
p
f (n)en , p
+) Nếu ta ký hiệu S p ( f )
và p Span en : p n p thì
n p
p
hình chiếu trực giao của f lên p chính là
f , en en S p ( f ) . Bởi định lý
n p
2
2
2
2
2
2
Pythagore ta có: S p ( f ) f S p ( f ) f
p
. Từ đó ta suy ra
f (n) 2 S ( f ) 2 f
p
2
n p
2
2
, p .
Đây chính là bất đẳng thức Bessel quen thuộc. Trong phần sau chúng ta sẽ thấy
đẳng thức
f (n) 2 f
2
2
là đúng với mọi f L2 [ ; ] .
n
1.3 Định lý Fejer và hệ quả
Định lý 1.3.1 (Fejer). Giả sử f : là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì
2 . Với mỗi số tự nhiên p đặt
Cp ( f )
p0 hội tụ đều về
Khi đó dãy C p ( f )
S0 ( f ) S p ( f )
p 1
.
f trên .
Chứng minh.
p
Xét D p (t )
eint , t . Do (eit 1) D p (t ) ei( p1)t eipt
n p
6
nên
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
1
sin(
p
)t
cos( p 1)t cos pt i sin( p 1)t sin pt
2
D p (t )
.
t
(1 cos t ) i sin t
sin
2
Ta có
p
1
S p ( f )( x) f ( n)einx
2
n p
p
f (t ) e
in ( x t )
n p
1
dt
2
f ( x t ) D p (t )dt
và
1
C p ( f )( x)
2
f ( x t ) K p (t ) dt ,
ở đây
K p (t )
D0 (t ) D p (t )
p 1
t
1
sin sin( p )t
2
2 1 1 cos( p 1)t .
t
p 1 1 cos t
( p 1)sin
2
Từ đẳng thức trên suy ra K p (t ) có các tính chất sau:
1
i) K p (t ) 0, K p (t ) K p (t ) và
2
ii) K p (t )
K p (t )dt 1 .
1
2
với 0 t .
p 1 1 cos
Đặt M max f ( x) . Do tính liên tục đều của f trên [ ; ] nên 0 có
x
(0; ) để
f ( x) f ( y )
khi ( x, y ) [ ; ]2 : x y .
2
Sử dụng i) ta có
(1.1)
1
C p ( f )( x ) f ( x )
2
[f ( x t ) f ( x)]K p (t )dt
7
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
2M
1
K p (t )dt .
2 M K p (t )dt K p (t ) dt 2 M K p (t ) dt ]
2
2
2
Theo ii) K p (t ) dt 0 khi p nên có số nguyên dương N sao cho
(1.2)
2M
p N :
K p (t ) dt .
2
Từ (1.1) và (1.2) dẫn tới
x , p N : C p ( f )( x) f ( x) .
p0 hội tụ đều về
Điều này chứng tỏ dãy C p ( f )
f trên .
Hệ quả 1.3.2 Tập tất cả các đa thức lượng giác chu kì 2 trù mật trong không
gian Lp [- ; ] .
Chứng minh.
Gọi là tập tất cả các đa thức lượng giác có chu kì 2 . Lấy f Lp [- ; ] và
0 tùy ý. Bởi vì tập các hàm số liên tục trên [ ; ] là trù mật trong Lp [- ; ]
nên có g :[ ; ] liên tục thỏa mãn
g f
(1.3)
p
.
2
Ta thác triển g thành hàm g1 liên tục trên và tuần hoàn với chu kì 2 . Áp
dụng định lý Fejer sẽ có P hội tụ đều tới g1 g trên [ ; ] . Vậy
x [ ; ] : P ( x ) g ( x)
.
2
Suy ra
(1.4)
Pg
p
1
2
1/ p
P ( x ) g ( x) dx
p
Tổ hợp (1.3) và (1.4) ta thu được
P f
p
Pg
p
g f
8
p
.
.
2
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Như thế trù mật trong Lp [- ; ] .
Hệ quả 1.3.3 Với mọi hàm f L1[ ; ] ta đều có lim f ( n) 0 .
n
Thật vậy, cho 0. Theo Hệ quả 1.3.2 có P để P f
1
. Khi n đủ lớn
(phụ thuộc vào bậc của P ) thì
P( x)e
inx
dx 0.
Suy ra với n đủ lớn ta có
f ( n) 1
2
f ( x ) P( x ) e
inx
dx P f
1
.
. Do đó f (n) 0 khi n .
1.4 Sự hội tụ trung bình bình phương-Đẳng thức Parseval
p 0
Định lý 1.4.1 (Parseval). Với mọi hàm f L2 [ ; ] , dãy tổng riêng S p ( f )
hội tụ trung bình bình phương tới f , nghĩa là lim S p ( f ) f
p
2
0.
Chứng minh.
Cho 0. Áp dụng Hệ quả 1.3.2 sẽ tồn tại đa thức lượng giác P thỏa mãn
P f
(1.5)
2
.
Với mỗi số tự nhiên p, đặt p Span en : p n p , ta nhận thấy
Span en : n
p .
p
Vậy phải tồn tại số tự nhiên để P N .
N
Mặt khác do S p ( f ) là hình chiếu trực giao của f lên không gian con p nên
h p : h, S p ( f ) f 0 .
Đặc biệt
(1.6)
P S p ( f ), S p ( f ) f 0, p N .
Kết hợp (1.5) với (1.6) ta được
9
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
2
2 P f
Vậy p N : S p ( f ) f
2
2
2
2
2
2
P Sp( f ) Sp( f ) f
.
. Nói cách khác ta có lim S p ( f ) f
p
2
0.
Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 1.4.2 (Đẳng thức Parseval). Với mọi hàm f L2 [ ; ] ta đều có
f (n ) 2 1
2
n
2
f ( x ) dx .
Chứng minh.
p 0
hội tụ tới f trong không gian L2 [ ; ] . Bởi
Từ Định lý 1.4.1, dãy S p ( f )
ánh xạ
2
2
2
2
2
: L2 [ ; ] là liên tục nên S p ( f ) f
2
khi p .
Nhưng
p
2
Sp( f )
2
2
f (n)e
n
n p
p
f (n) 2 .
n p
2
Vậy phải có
n
f (n) 2 1
2
2
f ( x ) dx.
Đẳng thức Parseval đã được chứng minh.
1.5 Sự hội tụ đều và định lý Riesz-Fischer
Như chúng ta đã biết chuỗi Fourier
f (n)einx
của một hàm f bất kì chưa
n
chắc đã hội tụ và nếu hội tụ thì tổng có thể khác f . Trong mục này ta sẽ đưa ra một
điều kiện đủ về sự hội tụ đều của
f (n)einx .
n
10
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Định lý 1.5.1 Giả sử f : là hàm tuần hoàn với chu kì 2 sao cho tồn tại
các hằng số M 0,
1
thỏa mãn
2
f ( x) f ( y ) M x y , ( x, y ) 2 .
Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều trên và có tổng là f .
Chứng minh.
Với h cố định, xét : xác định bởi
(t ) f (t h) f (t h)
Từ giả thiết suy ra là hàm liên tục trên và tuần hoàn với chu kì 2 . Ta có
1
n , (n)
2
[f (t h) f (t h)]e
int
dt
1
2
h
f (u )e
in ( u h )
h
1
du
2
h
f (v)e in ( v h ) dv
h
f ( n).einh f (n).e inh 2i f (n)sin(nh).
Áp dụng đẳng thức Parseval vào thu được
(1.7)
1
2
2
2
2
f (t h) f (t h) dt 4 f (n) f ( n) sin 2 ( nh)
n 1
Mặt khác từ giả thiết ta suy ra:
f (t h) f (t h) M 2h .
(1.8)
Với N là số nguyên dương tùy ý, chọn h
. Khi đó ta có bất đẳng thức sau
4N
1
sin 2 (nh) , n N 1,,2 N .
2
(1.9)
Từ (1.7), (1.8) và (1.9) dẫn tới
2N
f ( n) 2
n N 1
trong đó A
2N
f ( n) 2 f ( n) 2 sin 2 nh 1
2
M 2h
4
n N 1
M 2 2
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
2 2 1
11
2
dt A.N
2
,
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
1/2
2N
2N
2
f ( n)
1
n N 1
n N 1
2 p 1
Đặc biệt với mọi số tự nhiên p :
1/2
2N 2
f ( n)
n N 1
f ( n)
A.
p
1
A .N 2 .
1
p 2
2
.
Từ đó với mọi số tự
n 2 1
nhiên q ta đều có
2q 1
f ( n)
q
A .
n 2
1
Do nên chuỗi
2
1
p 2
2
.
p 0
p
1
1
2 2 hội tụ và có tổng là
. Như
1
p 0
1 22
1
p 2
2
p 0
thế với mọi m 2
m
f (n)
n2
Vậy
f ( n) hội tụ cũng như
n 1
A
1
1 22
.
f ( n) hội tụ. Suy ra
n 1
f (n)einx
hội tụ đều
n
trên .
Gọi S ( x)
f (n)einx , x .
Do tính hội tụ đều ta có S liên tục trên hơn
n
nữa S (n) f (n), n .
Cuối cùng áp dụng đẳng thức Parseval vào hàm S f ta được
Sf
2
2
2
(
S f )(n) 0 hay S f .
n
Vậy chuỗi Fourier của f hội tụ đều tới chính nó trên .
Hệ quả 1.5.2 Nếu f : là hàm tuần hoàn với chu kì 2 và thuộc vào lớp
C1 thì chuỗi Fourier của f hội tụ đều về chính nó trên .
12
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Định lý 1.5.3 ( Riesz-Fischer). Giả sử
an
2
an
là dãy số phức thỏa mãn điều kiện
. Khi đó tồn tại hàm f L2 [ ; ] sao cho f (k ) ak với mọi số tự
n 0
nhiên k .
Chứng minh.
n
Với mỗi số tự nhiên n đặt S n ak ek , ở đây ek : ; , ek ( x ) eikx . Do
k 0
ek : k
là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert L2 [ ; ] nên với mọi
n m ta có
Sn Sm
2
2
am 1em 1 anen
2
2
n
2
ak .
k m1
Vì
an
2
nên từ trên ta suy ra S n là dãy Cauchy trong L2 [ ; ]. Vậy phải
n 0
tồn tại f L2 [ ; ] để lim Sn f
n
2
0.
Cố định số tự nhiên k . Do S n , ek ak với mọi n k và f (k ) f , ek nên
f ( k ) a f , e S , e f S . e
k
k
n k
n 2
k
2
Sn f
2
, n k .
Cho n ta thu được f (k ) ak , định lý đã được chứng minh.
2 Hàm chỉnh hình một biến
2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình
Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f xác định trên miền D và z D. Giới hạn
lim
h 0
f ( z h) f ( z )
, z hD
h
nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm phức của f tại z , ký hiệu f ' ( z ) .
13
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Định nghĩa 2.1.2 Cho hàm số f xác định trên miền D và z0 D. Nếu có
r 0 sao cho f ' ( z ) tồn tại với mọi z D ( z0 ; r ) thì f được gọi là chỉnh hình tại
z0 , ở đó D ( z0 ; r ) z : z z0 r.
Nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc D thì ta nói f chỉnh hình trên D .
2.2 Công thức tích phân Cauchy
Định lý 2.2.1 (Định lý Cauchy cho miền đơn liên) Nếu f chỉnh hình trên miền
đơn liên D thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc D ta đều có:
f dz 0 .
Chứng minh.
Trường hợp riêng: P , ở đây P là một đa giác mà P D .
Bằng cách chia P thành hữu hạn các tam giác, ta đưa về chứng minh
f dz 0
với là tam giác bất kì thỏa mãn D .
Đặt M
f dz , chia
thành bốn tam giác bởi các đường trung bình. Gọi k
(k 1,4) là biên của các tam giác nhỏ thu được, ta có:
4
f dz
k 1
f dz .
k
Suy ra tồn tại một tam giác, kí hiệu 1 sao cho
f dz
1
trên ta nhận được dãy các tam giác n có các tính chất sau:
i) n1 n , n 1 và p ( n )
ii)
f dz
n
p
, với p là chu vi của .
2n
M
, n 1 .
4n
14
M
. Lặp lại quá trình
4
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
n z0 . Do
Nhờ i) và nguyên lý Cantor, ta suy ra
f chỉnh hình tại z0 nên với
n 1
mọi 0 có r 0 thỏa mãn:
f ( z ) f ( z0 ) f ' ( z0 )( z z0 ) z z0 khi z z0 r .
(2.1)
Chọn số nguyên dương N để
p
r , khi đó :
2N
(2.2)
N D ( z0 ; r ) .
Mặt khác ta có:
(2.3)
N
f ( z ) dz
N
f ( z ) f ( z0 ) f ' ( z0 )( z z0 ) dz .
Từ (2.1),(2.2) và (2.3) suy ra:
M
4N
N
f dz
N
z z0 dz
p2
, z N .
4N
Vậy M p 2 với 0. Do đó phải có M 0 , nghĩa là
f dz 0 .
Trường hợp tổng quát: là chu tuyến trơn từng khúc bất kì.
Áp dụng bổ đề Goursat với mỗi 0 , tồn tại đa giác P, P D sao cho
f dz P f dz .
Theo trên
P f dz 0 nên f dz 0 và định lý được chứng minh.
Định lý 2.2.2 Giả sử D là miền đơn liên bị chặn với D là một chu tuyến. Nếu f
chỉnh hình trên D và liên tục trên D thì :
D f dz 0 .
Chứng minh.
Không giảm tổng quát ta giả thiết miền D có tính chất: tồn tại z0 D sao cho mọi
tia xuất phát từ z0 chỉ cắt D tại đúng một điểm, có thể coi z0 0 . Gọi phương
15
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
trình tham số của D là z (t ), t [ ; ] . Với 0 1 , ký hiệu là đường
cong cho bởi z (t ), t [ ; ] . Áp dụng Định lý 2.2.1 ta có
ra
f dz 0 , suy
D f ( z ) dz 0 .
Vậy:
D f ( z) dz D f ( z ) f ( z ) dz .
(2.4)
Do f liên tục đều trên D nên 0 , có 0 để khi z , D : z bất
đẳng thức sau đúng:
f ( z ) f ( )
(2.5)
,
p
ở đây p chỉ độ dài của D .
Luôn có (0; 1) thỏa mãn:
z z , z D .
(2.6)
Từ (2.4), (2.5) và (2.6) ta có:
D f ( z )dz D f ( z ) f ( z) dz D
f ( z ) f ( z ) dz .
Vì vậy
D f dz 0
và định lý được chứng minh.
Định lý 2.2.3 (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Giả sử D là miền đa liên
với D 0 1 n . Nếu f chỉnh hình trên D và liên tục trên D thì :
D f dz 0 .
Chứng minh.
Để đơn giản nhưng không làm mất tính tổng quát ta coi D là miền nhị liên với
D 0 1 .
16
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Nối 0 với 1 bởi đoạn thẳng l , gọi D* D \ l. Áp dụng Định lý 2.2.2 ta được
D
*
f dz f dz f dz f dz f dz 0 .
0
1
l
l
Suy ra
D f dz
f dz 0 .
0 1
Vậy định lý đã được chứng minh.
Định lý 2.2.4 (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên
miền đơn liên D và D là một chu tuyến trơn từng khúc. Với bất kì z0
D D ta đều có:
f ( z0 )
1
f ( )
d .
2 i z0
Nếu thêm vào đó f liên tục trên D và D là một chu tuyến trơn từng khúc thì:
f ( z)
1
f ( )
d , z D .
2 i z
Chứng minh.
Lấy r 0 sao cho D ( z0 ; r ) D , gọi Cr là biên của D ( z0 ; r ) . Áp dụng Định lý
2.2.3 cho miền nhị liên D \ D( z0 ;r ) ta có
C
r
f ( )
d 0 .
z0
Suy ra
(2.7)
f ( )
f ( )
d
z0
Cr z0 d .
Do f chỉnh hình tại z0 nên với r 0 đủ nhỏ, tồn tại M 0 để bất đẳng thức sau
đúng
17
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
C
f ( ) f ( z0 )
d 2 rM .
z0
r
Vậy
C
r
f ( ) f ( z0 )
d 0 .
z0
Hệ quả là:
(2.8)
f ( )
C z0
r
f ( z0 )
d 2 i. f ( z0 ) .
Cr z
0
d
Từ (2.7) và (2.8) đưa tới
f ( z0 )
1
f ( )
d .
2 i z0
Nếu có thêm giả thiết f liên tục trên D và D là một chu tuyến trơn từng khúc thì
trong chứng minh trên ta có thể lấy D và z z0 D . Khi đó:
f ( z)
1
f ( )
d , z D .
2 i D z
2.3 Thặng dư của hàm chỉnh hình
Bằng cách sử dụng định lý Cauchy cho miền đa liên ta nhận thấy nếu f là hàm
chỉnh hình trên vành khăn V z : 0 z z0 r thì tích phân
f ( z )dz
không phụ thuộc vào chu tuyến vây quanh z0 , V .
Điều này đưa tới định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.1 Giả sử f chỉnh hình trên V z : 0 z z0 r và là
một chu tuyến trong V vây quanh z0 . Thặng dư của f đối với điểm z0 được ký
hiệu là res[ f ; z0 ] , xác định bởi:
res[ f ; z0 ]
1
f ( z ) dz .
2 i
18
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Mệnh đề 2.3.2 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D trừ ra điểm z0 D , đặt
F ( z)
d
f ' ( z)
ln
f
(
z
)
, z D.
dz
f ( z)
Khi đó:
i) Nếu z0 là không điểm cấp n của f thì res[ F ; z0 ] n .
ii) Nếu z0 là cực điểm cấp m của f thì res[ F ; z0 ] m .
Chứng minh.
i) Ta có f ( z ) ( z z0 ) n g ( z ) , ở đây g là hàm chỉnh hình trong một lân cận của z0
và g ( z0 ) 0 . Suy ra
F ( z)
d
n
g ' (z)
n
ln(
z
z
)
ln
g
(
z
)
z z g (z) .
0
dz
0
g ' ( z)
Ta vây z0 bởi đường tròn Cr z : z z0 r với r đủ nhỏ. Do
chỉnh
g ( z)
hình trong lân cận của z0 nên:
1
1
n
1
g ' ( z)
res[ F ; z0 ]
F ( z ) dz
dz
dz
2 i Cr
2 i Cr z z0
2 i Cr g ( z )
1
n
dz n.
2 i Cr z z0
ii) Vì z0 là cực điểm cấp m nên f ( z )
h( z )
, với h chỉnh hình trong lân cận
( z z0 ) m
của z0 và h( z0 ) 0 . Vậy
d
h' ( z )
m
F ( z ) ln h( z ) m ln( z z0 )
.
dz
h( z ) z z0
Bằng lập luận như ở i) ta thu được res[ F ; z0 ] m .
19
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Định lý 2.3.3 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D trừ ra một số hữu hạn điểm
z1 , , z N . Nếu là một chu tuyến trong D thỏa mãn z1,, z N D thì ta có
đẳng thức:
N
1
f
(
z
)
dz
res[f ; zk ] .
2 i
k 0
Chứng minh.
Ta vây mỗi zk bằng một chu tuyến k sao cho hai chu tuyến bất kì không giao
nhau và D k D . Áp dụng định lý Cauchy 2.2.3 cho miền ( N 1) -liên D \
N
D
k
thu được:
k 1
N
Suy ra
f ( z ) dz f ( z ) dz 0.
k 1
k
N
1
1 N
f
(
z
)
dz
f
(
z
)
dz
res[f ; zk ] .
2 i
2 i k 1 k
k 1
2.4 Nguyên lý argument và hệ quả
Định nghĩa 2.4.1 Giả sử là một chu tuyến có phương trình tham số z z (t ),
t và f : \ 0 . Đại lượng arg f arg f z ( ) arg f z ( ) được
gọi là số gia argument của f dọc chu tuyến .
Định lý 2.4.2 ( Nguyên lý argument ) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền đơn
liên D trừ ra hữu hạn các cực điểm và là một chu tuyến tùy ý trong D không
chứa các cực điểm và không điểm của f . Khi đó ta có các đẳng thức sau:
1
f ' ( z)
1
dz N ( f ) P ( f )
arg f
2 i f ( z )
2
ở đây N ( f ), P ( f ) lần lượt là số không điểm (kể cả bội) và số cực điểm (kể cả
bội) của f trong D .
20
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Chứng minh.
Gọi z1 , z2 , , z K là tập tất cả các không điểm của f trong D và n j là bậc của
z j . Áp dụng Mệnh đề 2.3.2 ta có:
f'
res ; z j n j .
f
Suy ra:
f'
K
res
;
z
f j n j N ( f ) .
j 1
j 1
K
Tương tự như vậy nếu ta gọi p1 , p2 , , pL là tất cả các cực điểm của f trong D
, p j có cấp m j thì :
K
f'
res
;
p
f j m j P ( f ) .
j 1
j 1
L
Sử dụng Định lý 2.3.3 thu được:
(2.9)
K
f'
L
f'
1
f ' ( z)
dz
res
;
z
res
;
p
N ( f ) P ( f ) .
j
j
2 i f ( z )
f
f
j 1
j 1
Mặt khác ta có:
(2.10)
1
f ' ( z)
1
1
dz
ln f ( z (t ))
ln
f
(
z
(
t
))
i arg f
2 i f ( z )
2 i
2 i
1
arg f .
2
.
Từ (2.9) và (2.10) ta nhận được kết luận của định lý.
Định lý Rouche sau dây là một hệ qủa của nguyên lý argument mà ta sẽ không
trình bày chứng minh.
21
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Hệ qủa 2.4.3 (Rouche) Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình trên một lân cận
của miền đóng, bị chặn D sao cho f ( z ) g ( z ) với mọi z D . Khi đó số không
điểm của hàm F f g và hàm g trong D là bằng nhau.
Hệ qủa 2.4.4 Cho f là hàm chỉnh hình trên U z : z 1 và z 0 là không
điểm bậc N của f . Nếu f không đồng nhất bằng không trên U thì tồn tại
r (0;1) và 0 sao cho f có đúng N không điểm (kể cả bội) trong đĩa mở
D (0; r ) với mọi mà .
Chứng minh.
Bởi vì f không đồng nhất bằng không trên U nên có số r (0;1) thỏa mãn
D (0; r ) U và f ( z ) 0 với mọi z D (0; r ) .
Đặt min f ( z ) . Do f ( z ) 0 trên D(0; r ) ta suy ra 0 . Với mà ,
z r
ta có
f ( z ) , z D(0; r ) .
Áp dụng Định lý Rouche vào hình tròn z r ta được: số không điểm của
f ( z ) và số không điểm của f ( z ) trong z r là như nhau.
Vậy f ( z ) có đúng N không điểm trong D (0; r ) khi .
3 Bài toán Dirichlet
3.1 Các khái niệm
Định nghĩa 3.1.1 Hàm giá trị phức f được gọi là điều hòa trên miền D nếu phần
thực và phần ảo của f là các hàm thực điều hòa trên D .
Ta đã biết nếu f là hàm chỉnh hình trên miền D thì f điều hòa trên D .
22
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Định nghĩa 3.1.2 Giả sử miền D và f : D là hàm liên tục. Bài toán tìm
hàm phức f liên tục trên D , điều hòa trên D và f D f được gọi là bài toán
Dirichlet.
3.2 Tích phân Poisson và lời giải bài toán Dirichlet
r n eint , t được gọi là nhân Poisson. Bằng tính toán đơn
Với 0 r 1 , Pr (t )
n
giản ta có
1 reit
1 r2
Pr (t )
.
it
2
1 re 1 r 2r 1 cos t
Từ đẳng thức trên suy ra Pr (t ) có các tính chất sau:
1
i) Pr (t ) 0 hơn nữa
2
Pr (t )dt 1 .
ii) Nếu 0 thì lim Pr ( ) 0 và Pr (t ) Pr ( ), t : t .
r 1
Từ đây về sau chúng ta gọi U z : z 1 và U z : z 1 . Ký hiệu
Lp (U ) (1 p ) là không gian định chuẩn các hàm khả tích Lebesgue bậc p
trên U với chuẩn f
Lp ( U )
p
U
1/ p
f ( z ) dz
.
Lp (U ) cũng chính là không gian định chuẩn các hàm : khả tích Lebesgue, tuần hoàn với chu kì 2 và
Lp ( U )
1
2
1/ p
(
e
)
d
.
i
p
Định nghĩa 3.2.1 Giả sử f L1 (U ) và 0 r 1. Hàm F : U cho bởi công
thức
F rei
1
2
Pr ( t ) f (e
it
) dt , z rei U
được gọi là tích phân Poisson của f và ký hiệu F P[f ] .
23
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Nhận xét 3.2.2
Khi f L1 (U ) và F P[f ] ta có thể chứng minh được:
+) Fr
L1 ( U )
f
L1 ( U )
với Fr : U , Fr (ei ) F ( rei ) .
+) lim F ( rei ) f (ei ) hầu khắp nơi.
r 1
Định lý 3.2.3 (Lời giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị)
Giả sử f : U liên tục. Khi đó hàm u sau đây sẽ liên tục trên U và điều hòa
trên U
i
f (e ) nÕu r 1
u (re )
.
i
F
(
re
)
nÕu
0
r
1
i
Chứng minh.
Gọi f1 (t ), f 2 (t ) lần lượt là phần thực, phần ảo của f (eit ) . Nhờ tính chất của nhân
Poisson ta suy ra:
z rei U , u ( z ) F ( rei )
1
2
1
2
f1 (t )
Pr ( t ) f (eit )dt
eit z
1
dt
i
.
eit z
2
1
2
f 2 (t )
eit z
f (eit ) it
dt
e
z
eit z
dt .
eit z
Vậy u có phần thực và phần ảo là những hàm điều hòa trên U do đó nó điều hòa
trên U .
Lấy điểm cố định eit0 U . Do f liên tục đều trên U nên với mọi 0 , tồn
tại (0; ) sao cho
f (eit ) f (eit0 ) khi t t0 .
(3.1)
Sử dụng tính chất i) của nhân Poisson ta được:
t0
(3.2)
i
it0
u (re ) f (e )
f (eit ) f (eit0 ) Pr ( t ) dt
t0
24
Luận văn Thạc sĩ
1
2
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
f (eit ) f (eit0 ) Pr ( t ) dt
I
1
2
f (eit ) f (eit0 ) Pr ( t )dt
J
ở đây I t [ ; ] : t t0 và J t [ ; ] : t t0 .
Từ (3.1) suy ra:
1
2
(3.3)
f (eit ) f (eit0 ) Pr ( t )dt
I
Pr ( t )dt .
2 I
Mặt khác theo ii) ta có:
Pr ( t ) Pr ( ), t J và Pr ( ) 0 khi r 1 .
Điều này dẫn tới:
(3.4)
1
2
r 1
f (eit ) f (eit0 ) Pr ( t ) dt 2 Sup f ( z ) .Pr ( )
0 .
z 1
J
Tổ hợp (3.2), (3.3) và (3.4) ta kết luận được: tồn tại r0 [0;1) sao cho với mọi r
mà r0 r 1 bất đẳng thức sau đúng
u ( rei ) f (eit0 ) 2 .
Như vậy u liên tục trên U và định lý được chứng minh hoàn toàn.
Từ chứng minh trên chúng ta thấy chỉ cần f L1 (U ) là đã có P[f ] điều hòa
trên U . Vấn đề đặt ra ở đây là cần thêm những điều kiện gì đối với hàm f để P[f ]
chỉnh hình trên U ? Mệnh đề sau sẽ cho một câu trả lời.
Mệnh đề 3.2.4 Nếu f : U liên tục và f (n) 0 với mọi số nguyên âm n thì
P[f ] là hàm chỉnh hình trên U ( f (n) chỉ hệ số Fourier thứ n của f ).
Chứng minh.
Đặt F P[f ] . Theo định nghĩa của tích phân Poisson
i
F re
1
2
Pr ( t ) f (e
it
Sử dụng công thức nhân Poisson ta có
25
) dt , z rei U .
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
F ( z)
1
Bởi vì f (n)
2
1
F ( z)
2
1
2
n
f (eit ) r ein( t) dt .
n
f (eit )e int dt 0 với mọi số nguyên âm n nên ta suy ra:
it
n in( t)
f (e ) r e
n 0
1
dt
2
f (eit )
1
f ( )
1 rei( t ) dt 2 i U z d .
Như vậy F P[f ] là chỉnh hình trên U .
Hệ quả 3.2.5 Nếu f liên tục trên U và chỉnh hình trên U thì f P[f U ] trên U .
Chứng minh.
Với số nguyên âm n , do
f ( z)
chỉnh hình trên U , liên tục trên U nên theo định
z n1
lý Cauchy
U
f ( z)
dz 0, n 0.
z n1
Đổi biến z eit ta được
f (n) 1
2
f (eit )e int dt 0, n 0 .
Từ Mệnh đề 3.2.4 ở trên ta có:
F (z)
1
f ( )
d , z U .
U
2 i
z
Mặt khác theo công thức tích phân Cauchy thì:
f ( z)
1
f ( )
d , z U .
U
2 i
z
Vậy f P[f U ] trên U .
26
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
4 Không gian H 2
4.1 Khái niệm về không gian H 2
Định nghĩa 4.1.1 H 2 là lớp tất cả các hàm f : U chỉnh hình sao cho
1/2
2
lim f (rei ) d
r 1
(0 r 1).
Ta có thể chứng minh được H 2 là một không gian Banach với chuẩn:
1/2
f
H2
2
lim f (rei ) d
r 1
.
Định lý 4.1.2 Giả sử f : U xác định bởi f ( z ) an z n , z U . Điều kiện cần
n0
2
an
và đủ để f H là
2
.
n 0
Chứng minh.
Với 0 r 1 và ta có
i
f re
2
. f re
f re
i
i
n in
an r e . am r me im .
n 0
m 0
Do
1
2
i ( n m )
e
1 nÕu n m
d
0 nÕu n m
nên
1
2
Vậy f H 2 khi và chỉ khi
f rei
2
n 0
an
2
2
d an r 2 n .
.
n 0
27
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
4.2 Hàm giới hạn bán kính trên H 2
Định nghĩa 4.2.1 Hàm f * : U được gọi là hàm giới hạn bán kính của hàm
f : U nếu f * (ei ) lim f (rei ) hầu khắp nơi, 0 r 1 .
r 1
Hệ quả 3.2.5 cho chúng ta thấy khi f liên tục trên U và chỉnh hình trên U thì
f P[f U ] trên U . Đặt f * f U , sử dụng lời giải bài toán Dirichlet (Định lý
3.2.3) sẽ có f * (ei ) lim f (rei ) với mọi . Bây giờ ta mở rộng kết quả này
r 1
trong không gian H 2 .
Định lý 4.2.2 Giả sử f : U là hàm xác định bởi f ( z ) an z n , z U . Nếu
n0
f H 2 thì f có hàm giới hạn bán kính f * L2 (U ) và f P[f * ] trên U .
Chứng minh.
2
Theo định lý 4.1.2, do f H nên
an
2
. Áp dụng định lý Riesz-Fischer
n 0
(1.5.1) sẽ tồn tại f * L2 (U ) thỏa mãn
*
f ( n) an , n 0 và f * ( n) 0, n 0 .
Mặt khác với s (0;1) , xét các hàm f s xác định trên U bởi công thức sau:
(4.1)
f s (eit ) f ( seit ) an s neint , t .
n 0
Ta có:
f s ( n) an s n , n 0 và ( f * f s )(n) (1 s n ) an , n 0 .
Sử dụng đẳng thức Parseval cho f s f * thu được
fs f
2
2
L ( U )
2
(1 s n ) an .
n 0
Suy ra
(4.2)
lim f s f *
s 1
L2 ( U )
0
28
Luận văn Thạc sĩ
NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011
Cố định s (0;1) , do f ( sz ) chỉnh hình trên đĩa mở D 0; 1 / s U nên từ Hệ quả
3.2.5 ta có
f ( sz )
1
2
Pr ( t ) f s (e
it
)dt .
Do đó
1
(4.3) f ( sz )
2
1
Pr ( t ) f (e )dt 2
*
it
Pr ( t ) f s (e
it
) f * (eit ) dt
Pr ( t )
L2 ( U )
. fs f *
L2 ( U )
.
Từ (4.2) và (4.3) khi cho s 1 ta được
1
f ( z)
2
Pr ( t ) f
*
(eit ) dt , z rei U .
Như vậy f P[f * ] trên U . Theo Nhận xét 3.2.2 ta có f * (ei ) lim f (rei ) hầu
r 1
khắp nơi.
Hệ quả 4.2.3 Giả sử ( z ) an z n , z U thỏa mãn điều kiện: tồn tại các đa thức
n0
không có nhân tử chung R ( z ), S ( z ) sao cho ( z )
R( z)
, z U . Nếu H 2 thì
S ( z)
là một phân thức chỉnh hình trong lân cận của U .
Chứng minh.
Do chỉnh hình trên U nên đa thức S ( z ) không có không điểm trong U . Ta
cần chứng minh không có cực điểm trên U .
Giả sử 1,, J ( J 1) là tập tất cả các cực điểm của trên U . Theo Định lý
4.2.2, tồn tại hàm * L2 (U ) mà * trên I U \ 1,, J .
Lấy eit 1 , , J . Không giảm tổng quát ta coi đó là cực điểm cấp một. Vậy có
thể viết:
29
