Bài giảng: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Đại số 9)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

ĐẠI SỐ 9
CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA

§5 Biến đổi đơn giản biểu thức
chứa căn thức bậc hai
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
2


gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

3

Đ5 b iến đổi đơn giản biểu thức
chứa căn thức bậc hai

bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. đa một thừa số ra ngoài dấu căn

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 24 − sgk): Víi a ≥ 0, b ≥ 0, h·y chøng tá



a 2 b = a b.

Gi¶i
Sư dơng phÐp khai ph¬ng, ta cã:
b≥0

a 2b = a 2 b = a



a 0

b = a b.

Nhận xét: Nh vậy:




Đẳng thức a 2 b = a b. cho phÐp ta thùc hiÖn phÐp biÕn ®ỉi a 2 b = a b.

PhÐp biÕn ®ỉi này đợc gọi là phép đa thừa số ra ngoài dấu căn.
Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dới dấu căn về dạng thích hợp rồi
mới thực hiện đợc phép đa thừa số ra ngoài dấu căn.
Có thể thực hiện đợc phép đa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu
thức chứa căn thức bậc hai.

Thí dụ 2: (H§ 2/tr 25 − sgk): Rót gän biĨu thøc:
a.

2 + 8 + 50.

b. 4 3 + 27 − 45 + 5.



Giải
a. Ta có biến đổi:
2 + 8 + 50 = 2 + 4.2 + 25.2 = 2 + 2 2 + 5 2
= 2(1 + 2 + 5) = 8 2.

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
4 3 + 27 − 45 + 5 = 4 3 + 9.3 − 9.5 + 5
= 4 3 + 3 3 − 3 5 + 5 = 3 − 2 5.

Mét c¸ch tỉng qu¸t: Ta cã:
A 2 B = A
Tøc lµ:

B

, víi B ≥ 0.

 A B khi A ≥ 0, B ≥ 0

A2B = 
.
 − A B khi A < 0, B ≥ 0


4


ThÝ dơ 3: (H§ 3/tr 25 − sgk): §a thõa số ra ngoài dấu căn:
a. 28a 4 b 2 , víi b ≥ 0.
b. 72a 2 b 4 , víi a < 0.



Giải
a. Ta có biến đổi:
2
28a 4 b 2 = 4.7. ( a 2 ) .b 2 = 2 7. a . b = 2 7a 2 b.
b≥ 0

2

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
2
72a 2 b 4 = 36.2.a 2 b 4 = 6 2 a . b = −6 2.ab 2 .

2. đa một thừa số vào trong dấu căn
Phép đa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngợc với nó là phép đa thừa số
vào trong dấu căn.

Ta có:
A B = A 2 B , víi B ≥ 0.
Ta cã hai trêng hỵp:
1. NÕu A ≥ 0 th× A B = A 2 B , víi B ≥ 0.
2. NÕu A < 0 th× A B = −A B = − A 2 B , víi B ≥ 0.

ThÝ dơ 4: (H§ 4/tr 26 − sgk): Đa thừa số vào trong dấu căn:
a. 3 5.
c. ab 4 a , víi a ≥ 0.



b. 1, 2 5.
d. − 2ab 2 5a , víi a ≥ 0.

Gi¶i

a. Ta cã ngay 3 5 = 32.5 = 45.
b. Ta cã ngay 1, 2 5 = 1, 22.5 = 7, 2.
c. Ta cã biÕn ®ỉi:
ab 4 a =

( ab )

4 2

.a = a 2 b8 .a = a 3 b8 .

d. Ta cã biÕn ®ỉi:
−2ab 2 5a = −



( 2ab )

2 2

.5a = − 4a 2 b 4 .5a = − 20a 3 b 4 .

Chó ý: Cã thĨ sư dụng phép đa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn
để so sánh các căn bậc hai.

Thí dụ 5: (Bài 45/tr 27 Sgk): So sánh:
a. 3 3 và 12 .
c.

1
1
51 vµ
150 .
3
5

b. 7 vµ 3 5 .
d.

1
1
6 vµ 6
.
2
2

5




Giải
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cã biÕn ®ỉi:
3 3 = 32.3 = 27 > 12 ⇒ 3 3 > 12.
C¸ch 1: Ta cã biÕn ®ỉi:
12 = 4.3 = 2 3 < 3 3 ⇒ 12 < 3 3.
b. Ta cã biÕn ®ỉi:
3 5 = 32.5 = 45 < 49 = 7 ⇒ 3 5 < 7.

c. Ta lần lợt biến đổi:
2

1
17
1
1
;
.51 =

51 =  ÷ .51 =
9
3
3
3
2

1
18
1
1
.150 = 6 =
.
150 =  ÷ .150 =
25
3
5
5
18 17
1
1
>
150 >
51.
Vì
nên
3
3
5
3

d. Ta lần lợt biến đổi:
2

1
3
1
1
;
.6 =
6 = ữ .6 =
4
2
2
2

Vì

6

1
1
1
36
= 62. = 36. =
.
2
2
2
2

36 3
1 1
> nªn 6
>
6.
2 2
2 2

3. khư mÉu cđa biĨu thøc lấy căn
Khi biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, ngêi ta cã thĨ sư dơng phÐp khư mÉu của
biểu thức lấy căn. Thí dụ sau sẽ minh hoạ một số trờng hợp đơn giản.

Thí dụ 6: (HĐ 1/tr 28 − sgk): Khư mÉu cđa c¸c biĨu thøc lÊy căn:
a.

4
.
5

b.



Giải
a. Ta có biến đổi:
20
4
4.5
20

=
=
=
.
2
2
5
5
5
5

b. Ta có biến đổi:
6

3
.
125

c.

3
, với a > 0.
2a 3


3.5
3
3
3.5
15

15
=
= 3 =
= 2 =
.
4
4
125
5
5
5
25
5

c. Ta cã biÕn ®ỉi:
6a

3
3.2a =
=
3
2a
4a 4

( 2a )

2 2

=

6a
6a
= 2 .
2a 2
2a

Mét c¸ch tỉng qu¸t: Ta cã:
1
A.B
= B
2
B

A
=
B

, víi A.B ≥ 0, B ≠ 0.

A.B

4. trục căn thức ở mẫu
Trục căn thức ở mẫu cũng là một phép biến đổi đơn giản thờng gặp. Thí dụ sau sẽ
minh hoạ một số trờng hợp đơn giản.

Thí dụ 7: (HĐ 2/tr 29 sgk): Trục căn thức ë mÉu:
a.

5

,

3 8
5
b.
5−2
4
c.
7+

2
, víi b > 0.
b
2a
,
, víi 0 ≤ a ≠ 1.
3 1− a
6a
,
, víi a > b > 0.
5 2 a b



Giải
a. Ta có biến đổi:
5
3 8

=

5
5 = 5 2
=
3 4.2 3.2 2 3.2. 2

( )

b. Ta cã biÕn ®ỉi:

(

)

2

=

(

5 2
;
12

)

2
2 b
2 b
=

2 =
.
b
b
b

( )

(

)

(

) = 2(

)

7− 5 .

5 5+2 3
5 5+2 3
5
5 5+ 2 3
5 5+2 3
=
=
2 =
=
.

2
5−2 3
5−2 3 5+2 3
5 − 2 3
25 − 12
13

(

(

)(

)

)

(

(

)

)

2a 1 + a
2a
2a 1 + a
=
=

.
1− a
1− a 1+ a
1− a

(

)(

c. Ta cã biÕn ®ỉi:
4
=
7+ 5

4

(

(

)

7− 5

7+ 5

)(

)

7− 5

)

=

4

(

7− 5
7−5

)

7


(

)

(

)

6a 2 a + b
6a
6a 2 a + b
=

=
.
2 a− b
2 a− b 2 a+ b
4a − b

(

)(

)

Mét c¸ch tỉng quát: Để trục căn thức ở mẫu, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1:Phân tích tử và mẫu ra thừa số chung chứa căn rồi rút gọn thừa số đó.
Cách 2: Nhân tử và mẫu với thừa số thích hợp để làm mất căn thức ở mẫu. Có
các dạng cơ bản sau:
1. Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:
A
B

= A B .
B

Với các biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ 0 vµ A ≠ B2, ta cã:
C Am
B
C
=
.
A − B2

A ±B
3. Víi các biểu thức A, B, C mà A 0,B ≥ 0 vµ A ≠ B, ta cã:
C Am B
C
=
.
A−B
A± B
Hai phép biến đổi dạng 2 và dạng 3 gọi là phép nhân liên hợp.

2.

(

)

(

)

bài tập lần 1
Bài tập 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau:
a. A = 25.90 .
b. B =
Bµi tËp 2: Rót gän biĨu thøc sau:
2
A=
. 2 a 8 (a 2 − 4 a + 4 ) .
a −2
Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng:

75.54 .

a −b
a2b4
= |a|, víi a > b.
b2
a 2 − 2ab + b 2
Bµi tập 4: Sắp xếp các số sau theo thứ thự giảm dần:
6 2 , 4 5 , 2 13 , 3 7 .
Bài tập 5: Khử mẫu số của các biểu thức dới dấu căn:
7
1 1
a.
.
b.
.

12
a a2
Bài tập 6: Trục căn thức ở mẫu:
a.
8

a +1

a 1
2

.

b.

a 1 +1
a 1 1

.


c.

a2 − b2
a+ b

.

1 −a

d.

1+ a

Bµi tËp 7: Cho a, b, c, d là các số dơng thoả mÃn

của biểu thức:
1

P=

a+ b+ c+ d

.

a
c
= . HÃy trục căn thức ở mÉu
b d

.

Bµi tËp 8: Rót gän biĨu thøc:

A=
Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng:

4
7− 3

a a +b b
a+ b

+

2
5+ 3

.

− ab = ( a − b )2, víi a, b > 0.

Bµi tËp 10: Chøng minh r»ng:
1
1
1
+
+… +
=
2008 + 2009
1+ 2
2+ 3
Bµi tËp 11: Cho biĨu thøc:

3  
3
 : 1 +
A =  1− x +

 
1+ x  
1 x2

a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.

c. Tính giá trị của A khi x =

3
2+ 3

2009

1.


.



.

d. Tìm x để A > A.
Bài tập 12: Cho biĨu thøc:
A = (x − 3)

x
.
9 − x2

a. T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ A cã nghÜa.
b. Rót gän råi tÝnh giá trị biểu thức A khi x = 1.
Bài tập 13: Với giá trị nào của x thì ta có:
a.
a (1 −3x ) 2 = (3x−1) a
b.
3x 2 = x 3 .
.
3
x −2
= 6.
4x − 8 − 9

2
81
Bµi tËp 15: Giải các phơng trình sau:
1
1
a.

+ 2 = 0.
2
2
x +1 + x
x +1 − x
b. 2x − 5a x − a + 2a2 − 2a = 0, víi a > 0.
Bµi tập 14: Giải phơng trình

9


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 850.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

10

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. đa một thừa số ra ngoài dấu căn
Ta có:
A 2 B = A B , víi B ≥ 0.
2. ®a mét thõa số vào trong dấu căn
Ta có:

A B = A 2 B , víi B ≥ 0.
Ta cã hai trêng hỵp:
3. NÕu A ≥ 0 th× A B = A 2 B , víi B ≥ 0.

4.

NÕu A < 0 th× A B = −A B = − A 2 B , víi B ≥ 0.

3. khư mÉu cđa biĨu thøc lấy căn
Ta có:
1
A.B
= B
2
B

A
=
B

A.B

, với A.B 0, B 0.

4. trục căn thức ở mẫu
Để trục căn thức ở mÉu, ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 3: Phân tích tử và mẫu ra thừa số chung chứa căn rồi rút gọn thừa số đó.
Cách 4: Nhân tử và mẫu với thừa số thích hợp để làm mất căn thức ở mẫu. Có
các dạng cơ bản sau:

1.
2.

A

= A B (B > 0).

B

B

1
A+ B

=

A− B
( A + B )( A − B )

=

A− B
,
A −B

=

A+ B
,
A −B

víi A > 0, B > 0, A ≠ B.

3.

1
A− B

=

A+ B
( A + B )( A − B )

víi A > 0, B > 0, A B.
Hai phép biến đổi dạng 2 và dạng 3 gọi là phép nhân liên hợp.

B. phơng pháp giải toán
11

Dạng toán 1:

Đa một thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn

Ví dụ 2: (Bài 43/tr 27 Sgk): Viết các số hoặc biểu thức dới dấu căn thành

dạng tích rồi đa thừa số ra ngoài dấu căn:
a.

54.

b. 108.

d. − 0,05 28800.

e.

c. 0,1 20000.

7.63.a 2 .



Gi¶i
a. Ta cã biÕn ®æi:
54 = 9.6 = 9. 6 = 32 . 6 = 3 6.
b. Ta cã biÕn ®ỉi:
108 = 36.3 = 36. 3 = 62 . 3 = 6 3.
c. Ta cã biÕn ®ỉi:
0,1 20000 = 0,1 10000.2 = 0,1 1002 2 = 0,1.100. 2 = 10 2.

d. Ta cã biÕn ®æi:
−0,05 28800 = −0,05 14400.2 = −0,05 1202 . 2 = −0,05.120. 2
= −0,6 2.

e. Ta cã biÕn ®ỉi:
7.63.a 2 = 7.7.9.a 2 = 212.a 2 = 212 . a 2 = 21a.
VÝ dơ 3: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau:

a. A =

25.90

.

b. B =

75.54 .

 Híng dÉn: Thùc hiƯn đa thừa số ra ngoài dấu căn.
Giải
a. Ta có:
A = 25.90 =
b. Ta cã:
B = 75.54 =

25.9.10
25.3.9.6

= 5.3 10 =15 10 .

= 5.3 3.2.3 = 45. 2 .

VÝ dô 4: (Bài 44/tr 27 Sgk): Đa thừa số vào trong dấu căn:
2
2
c.
xy.
d. x
a. 3 5.
b. 5 2.
, x > 0 và y 0.
3
x



Giải

a. Ta có biến ®æi: 3 5 = 32.5 = 9.5 = 45.
b. Ta cã biÕn ®ỉi: −5 2 = − 52.2 = − 25.2 = − 50.
12


2

c. Ta cã biÕn ®ỉi: −
d. Ta cã biÕn ®ỉi: x

4
4xy

2
2
.
xy = −  ÷ xy = − xy = −
9
9
3
3
2
2
= x 2 . = 2x.
x
x

VÝ dơ 5: (Bµi 46/tr 27 − Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau víi x ≥ 0:
a. 2 3x − 4 3x + 27 − 3 3x.
b. 3 2x − 5 8x + 7 18x + 28.



Giải
a. Ta có biến đổi:
2 3x 4 3x + 27 − 3 3x = 27 + (2 − 4 − 3) 3x = 27 − 5 3x.

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
3 2x − 5 8x + 7 18x + 28 = 3 2x − 5 4.2x + 7 9.2x + 28
= 3 2x − 10 2x + 21 2x + 28
= (3 − 10 + 21) 2x + 28 = 14 2x + 28.
VÝ dơ 6: Rót gän biÓu thøc sau:
2

A=
. 2a 8 (a 2 − 4a + 4) .
a−2

 Híng dÉn: Thùc hiƯn phÐp ®a thõa số ra ngoài dấu căn.
Giải
Ta biến đổi A về d¹ng:
2
2 2a 4 .| a − 2 |
A=
. 2a 8 (a − 2) 2 =
a−2
a−2
 2 2a 4 .(a − 2)
neu a − 2 > 0

 2 2a 4 neu a > 2


a −2
=
=
.
4
4
 −2 2a neu a < 2
 − 2 2a .(a − 2) neu a − 2 < 0


a−2





NhËn xÐt: Nh vËy, ë trong A cã thÓ đa đợc a8 và (a2)2 ra ngoài dấu căn.
Tuy nhiên, ta thÊy r»ng:
a8 =

(a 4 ) 2 = a4, bëi a4 ≥ 0 víi mäi a.

(a − 2)2 = |a 2|, bởi ta cha xác định đợc dấu của a − 2.

VÝ dô 7: Chøng minh r»ng:

13


a −b
b2

a2b4
= |a|, víi a > b.
a 2 − 2ab + b 2

 Híng dÉn: Lùa chän viƯc ®a thõa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn.
Giải
Ta có thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: (Sư dụng quy tắc đa một thừa số vào trong dấu căn): Vì:
a b
a>b

> 0,
b2
do đó:
2
a b
a2b4
a2b4
= (a b )
= a 2 = |a|.
b2
a 2 − 2ab + b 2
b 4 a 2 − 2ab + b 2
C¸ch 2: (Sư dụng quy tắc đa một thừa số ra ngoài dấu căn): Ta có:

a b
b2

a b
a2b4
=
2
2
b2
a 2ab + b

a 2 b 4 = a − b . | a | .b 2
b2 | a − b |
(a − b ) 2

a − b | a | .b 2

.
= |a|, ®pcm.
= b 2 (a − b )

a >b



NhËn xÐt: Nh vËy, phép biến đổi đa thừa số vào trong dấu căn đà giúp chúng
ta có thể chứng minh đợc đẳng thức. Ngoài ra, nó còn rất cần thiết
trong các phép tính toán, thí dụ:
1. Để so sánh 31 và 2 7 , ta biÕn ®ỉi:
2 7 = 2 2 .7 = 28 < 31 .
2. Khi tÝnh 3 2 :
 NÕu ta tÝnh 2 ≈ 1,41 (sai cha ®Õn 0,01) råi nhân 3 thì sai
số sẽ gấp 3 lần sai số của giá trị gần đúng của 2 mà ta
đà lấy.
Cßn nÕu ta thùc hiƯn 3 2 = 3 2 .2 = 18 , rồi dùng
bảng tìm giá trị gần đúng của 18 thì sai số không bị
nhân lên 3 lần nh cách làm trên.
Ví dụ 8: (Bài 46/tr 27 − Sgk): Rót gän:

a.
b.

2
3(x + y) 2
, víi x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x ≠ y.
x 2 − y2
2

2
5a 2 (1 − 4a + 4a 2 ) , víi a > 0,5.
2a − 1

 Híng dÉn: Lùa chän việc đa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn.
14




Giải
a. Ta có biến đổi:
2
3(x + y) 2
= 2
x y2
2

2
2
x − y2

=

3
.x+y
2

x, y ≥ 0

=

1
3
22 .(x + y)
(x − y)(x + y)
2

1
6
2.3 =
.
x−y
x−y

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
2
2
2
5a 2 (1 − 4a + 4a 2 ) =
5a 2 (2a − 1) 2 =
5. a . 2a − 1
2a − 1
2a − 1
2a − 1
=

2
5.a. ( 2a − 1) = 2 5.a.
2a 1

Ví dụ 9: Sắp xếp các số sau theo thứ thự giảm dần:
6 2 , 4 5 , 2 13 , 3 7 .

 Híng dÉn: Sư dơng quy tắc đa một thừa số vào trong dấu căn.
Giải
Sử dụng quy tắc đa một thừa số vào trong dấu căn, ta viết lại dÃy số dới dạng:
4 5 = 80 ,
6 2 = 72 ,
2 13 =

52 ,

3 7 =

63 ,

do đó, ta có sắp xếp 4 5 , 6 2 , 3 7 , 2 13 .
VÝ dụ 10:

(Bài 56/tr 27 Sgk): Sắp xếp các số sau theo thứ thự tăng dần:
a. 3 5, 2 6, 29, 4 2.

b. 6 2, 38, 3 7, 2 14.

 Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc đa một thừa số vào trong dấu căn.
Giải
a. Sử dụng quy tắc đa một thừa số vào trong dấu căn, ta viết lại d·y sè díi d¹ng:
3 5 = 32.5 = 45,
Víi thø tù:

24 < 29 < 32 < 45 ⇔

2 6 = 2.2 6 = 24,

4 2 = 4 2 .2 = 32.

24 < 29 < 32 < 45

⇔ 2 6 < 29 < 4 2 < 3 5.

b. Sư dơng quy tắc đa một thừa số vào trong dấu căn, ta viÕt l¹i d·y sè díi d¹ng:
6 2 = 62.2 = 72,
Víi thø tù:

3 7 = 32.7 = 63,

2 14 = 22.14 = 56.

15


38 < 56 < 63 < 72 ⇔ 38 < 56 < 63 < 72
⇔ 38 < 2 14 < 3 7 < 6 2.

Dạng toán 2: Khử mẫu của biểu thức dới dấu căn Phép nhân
liên hợp
Ví dụ 2: (Bµi 48/tr 29 − Sgk): Khư mÉu sè cđa các biểu thức dới dấu căn:
1
;
600

11
;
540

3
;
50

(1 3)

5
;
98

27

2

;

Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc đa một thừa số ra ngoài dấu căn.
Giải
Ta lần lợt biến đổi:
1
1 1
1
1
6 1
6

=
.
=
.
=
. =
.
600
6 100
6 100
6 10 60
11
11
11 1
11.15 1
165
=
=
.
=
. =
.
540
15.36
15 36
15 6
90
3
3
3 1

3.2 1
6
=
=
.
=
. =
.
50
2.25
2 25
2 5 10
5
5
5 1
5.2 1
01
=
=
.
=
. =
.
98
2.49
2 49
2 7
14

(1− 3)

2

27

=

(1− 3)
9

2

.3

2

=

(

)

3 −1
9

3

=

3− 3

.
9

VÝ dơ 3: (Bµi 49/tr 29 − Sgk): Khử mẫu số của các biểu thức dới dấu căn (giả

thiết các biểu thức có nghĩa):
ab

a
;
b

a b
;
b a

1 1
+ ;
b b2

9a 3
;
36b

3ab

2
;
ab

Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc đa một thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn.
Giải
Ta lần lợt biến đổi:
a ab0
2 a
ab
= ( ab ) . = a 3 b;
b
b

16


 ab
khi b > 0

a
ab
ab =  b
a b
.
=
=

 ÷. =
b
b2
b
b a
 − ab khi b < 0

 b

2

a b ab≥ 0
=
b a

 b +1
khi b > 0

b +1 
b
=
.
|b|
 − b + 1 khi b < 0

b


b +1
=
b2

1 1
=
+
b b2

2

ab ≥ 0 a ab
9a 3
a 3b
 a 
=  ÷ .ab =
;
=
2b
36b
4b 2
 2b 

3ab

2 ab≥ 0
= 3
ab

( ab )

2

.

2
= 3 2ab.
ab

VÝ dơ 4: (Bµi 50/tr 29 − Sgk): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức

có nghĩa:
5
;
10



5
2 5

1
;
3 20

;

2 2+2
;
5 2

y+b y
b y

.

Giải
Ta lần lợt biÕn ®ỉi:
5

5 10
10
=
=
;
10
2
10

5
2 5

=

5 5 5 5
=
;
2.5
10

1
20
20
=
=
;
60
3 20 3.20

(

2 2+2
2 2+2
=
5.2
5 2

)

2

=

(

2.2 + 2 2 2 + 2
=
;
10
5

)

2 2+ 2
2+ 2
hc 2 2 + 2 =
=
;
5
5 2

5 2
y+b y
b y

=

( y+b y)
by

y

=

y y + by
.
by

VÝ dơ 5: (Bµi 51/tr 30 Sgk): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết c¸c biĨu thøc

cã nghÜa:

17


3
;
3 +1

Giải
Ta lần lợt biến đổi:
3
=
3 +1
2
=
3 1

3

(

(

)

3 1

)(

3 +1
2

(

2+ 3
;
2− 3

2
;
3 −1

(

)

3 −1

)

=

3 +1

3

(

)

3 −1
3 −1

2

(

)

3 +1

=

3

(

);

3 −1
2

= 3 + 1;

) ( 3 + 1) 3 − 1
2 + 3 ( 2 + 3) ( 2 + 3) ( 2 + 3)
=
=5+4
2 − 3 ( 2 − 3) ( 2 + 3) = 4 − 3
b( 3 − b )
b
b( 3 − b )
=
=
;
3+ b (3+ b) (3− b)
9−b
p ( 2 p + 1)

p ( 2 p + 1)
p
=
=
.
2 p − 1 ( 2 p − 1) ( 2 p + 1)
4p − 1
=

3 −1

p
.
2 p −1

b
;
3+ b

2

3;

VÝ dô 6: (Bài 52/tr 30 Sgk): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức

có nghĩa:

2
;
6 5

Giải
Ta lần lợt biến đổi:
2
=
6 5

2

(

3
=
10 + 7
1
=
x y

18

(

(

6+ 5

6 5
3

(

1
;
x y

3
;
10 + 7

(

)(

)

6+ 5

10 − 7

10 + 7

)(

)

)

10 − 7

x+ y
x− y

)(

=

x+ y

)

2

(

6+ 5
6−5

)
=

=

3

(

2ab
.

a− b

) = 2(

10 − 7
10 − 7

x+ y
;
x−y

)=

)

6+ 5 ;

10 − 7;


2ab
=
a b

2ab

(

(

a+ b

a b

)(

)

a+ b

)

=

2ab

(

ab

Ví dụ 7: Trục căn thức ë mÉu:
a +1

a.

a −1
a2 − b2
2

c.

a+ b



a+ b

.

a −1 +1

b.

.

).

d.

a 1 1
1 a
1+ a

.

.

Giải
a. Ta biến đổi:
a +1

a 1
2

=

b. Ta biÕn ®ỉi:

(a + 1) a 2 − 1
=
a2 −1

a −1 +1
a −1 −1

c. Ta biÕn ®ỉi:
a2 − b2

=

=

a 2 −1
.
a −1

( a − 1 + 1) 2
( a − 1 − 1)( a − 1 + 1)

(a − b )(a + b )

=

=

( a − 1 + 1) 2 ( a − 1 + 1) 2
=
.
a −1 −1
a −2

( a − b )( a + b )(a + b )

a+ b
a+ b
= ( a − b )(a + b).
hc cã thĨ biÕn ®ỉi:
a2 − b2
(a 2 − b 2 )( a − b )
(a 2 − b 2 )( a − b )
=
=
a+ b
( a + b )( a − b )
a −b
= (a + b)( a − b ).
d. Ta biÕn ®ỉi:
a+ b

1 −a
1+ a

=

(1 − a ) 1 + a
1+ a

=

(1 − a ) 1 + a .(1 − a )
(1 + a )(1 − a )

= (1 − a ) 1 + a .(1 − a ) =



1 −a

1 + a .(1 − a ) .

NhËn xÐt: Trong lời giải câu b), chúng ta phải đi trục căn thức hai lần. Các em
học sinh có thể thực hiện theo chiều ngợc lại.
a c
Ví dụ 8: Cho a, b, c, d là các số dơng thoả mÃn = . HÃy trục căn thức ở
b d
mẫu của biểu thức:
1
P=
.
a+ b+ c+ d
19

Giải
a c
= , ta đợc a = bt và c = dt.
b d
Khi đó, biểu thức đợc viết lại dới d¹ng:
1
1
( b − d )( t − 1)
P=
=
=
(b − d)(t − 1)
bt + b + dt + d ( b + d)( t + 1)

Đặt t =

a

( b d)
− 1÷
 b  =
=
a 
(b − d)  − 1÷
b 



b( b − d )

(

a− b

(b − d) ( a b )

).

Nhận xét: Trong cuốn Toán nâng cao 8 chúng ta đà từng thấy khẳng định của
Pôlia rằng yếu tố phụ nh một nhịp cầu để nối bài toán cần tìm
ra cách giải với bài toán đà biết cách giải và ở đây chúng ta có thể
khẳng định thêm rằng việc đa yếu tố phụ còn có tác dụng nh một
chiếc đòn bẩy, giúp ta giải bài toán nhẹ nhàng hơn.

Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài
toán rút gọn và chứng minh đẳng thøc
VÝ dơ 1: (Bµi 54/tr 30 − Sgk): Rót gän biÓu thøc:
2+ 2
15 − 5 2 3 − 6 a − a p − 2 p
.
;
;
;
;
p −2
1+ 2

1− 3
8 −2
1− a

Dạng toán 3:

Hớng dẫn: Sử dụng nhân tử chung.
Giải
Ta lần lợt biến đổi:
2 2 +1
2+ 2
= 2;
=
1+ 2
1+ 2

(

)

(

)

5 3 −1
15 − 5
3.5 − 5
=
= − 5;
=

1− 3
1− 3
1− 3

(

)

2 3− 6
2 2.3 − 6 = 6 2 − 1
6
=
=
;
2
2 2 −1
8 −2
4.2 − 2

(

)

a a −1
a− a
= − a;
=
1− a
1− a

20

(

)

p−2 p
p −2

=

p

(

p −2
p −2

)=

p.


VÝ dơ 2: Rót gän biĨu thøc:

A=

4
+
7− 3

2
.
5+ 3

 Híng dẫn: Sử dụng phép nhân liên hợp.
Giải
Ta có:
A=
=



4
2
4( 7 + 3)
2( 5 − 3)
+
=
+
7− 3
5 + 3 ( 7 − 3)( 7 + 3) ( 5 + 3)( 5 − 3)
4( 7 + 3)
2( 5 − 3)
+
=
7−3
5−3

7 +

3 +

5

3 =

7 +

5.

Chú ý: Nếu thực hiện theo phơng pháp " quy đồng mẫu số ", ta đợc:
A=

4( 5 + 3) + 2( 7 − 3)
4 5+2 3+2 7
=
.
( 7 − 3)( 5 + 3)
( 7 − 3)( 5 + 3)

bài toán sẽ dừng lại ở đây.
Ví dụ 3: (Bài 55/tr 30 Sgk): Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số

không âm):

a. ab + b a + a + 1.

x 3 − y3 + x 2 y − xy 2 .

b.

 Híng dÉn: Sư dụng nhân tử chung.
Giải
a. Ta biến đổi:
ab + b a + a + 1 =

(

)

a +1 b a +

(

) (

a +1 =

)(

)

a +1 b a +1 .

b. Ta biÕn ®æi:
x 3 − y3 + x 2 y − xy 2 = x x − y y + x y − y x

(

) (

)

= x x +x y − y y+y x =x
= ( x − y)

(

(

) (

x + y −y

y+ x

)

)

x+ y .

VÝ dơ 4: (H§ 2/tr 31 − sgk): Chøng minh r»ng:
a a +b b
− ab = ( a − b )2, víi a, b > 0.
a+ b

 Hớng dẫn: Sử dụng nhân tử chung hoặc trục căn thøc ë mÉu.
21



Gi¶i
NhËn xÐt r»ng:
a a + b b = ( a )3 + ( b )3 = ( a +
Tõ ®ã, suy ra:

b )(a −

ab + b).

a a +b b
( a + b)(a − ab + b)
− ab =
− ab
a+ b
a+ b

=a−

ab + b −

ab = a − 2 ab + b

= ( a ) − 2 ab + ( b )2 = ( a − b )2, ®pcm.
2



NhËn xÐt: Trong lời giải trên, chúng ta dựa trên hằng đẳng thức ®Ĩ ph©n tÝch
tư sè ra thõa sè chung tõ ®ã rút gọn đợc căn thức ở mẫu. Tất
nhiên, chúng ta có thể lựa chọn phép nhân liên hợp xong cách giải
này phức tạp hơn.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+ +
=
1+ 2
2+ 3
2008 + 2009

2009 − 1.

 Híng dÉn: Sư dơng trục căn thức ở mẫu.
Giải
Nhận xét rằng:
1
1
2 1
=
=
=
1+ 2
1+ 2

(1 + 2)( 2 − 1)

2 − 1.

1
3− 2
3− 2
=
=
=
2+ 3
( 2 + 3)( 3 − 2)
3−2

3 −

2

…
1
= 2009 − 2008
2008 + 2009
Thùc hiƯn phÐp céng theo vÕ vµ rót gọn, ta đợc:
1
1
1
+
+ +
= 2009 1, đpcm.
1+ 2

2+ 3
2008 + 2009



22

Nhận xét: Trong lời giải trên, để chứng minh đẳng thức chúng ta lựa chọn
phép nhân liên hợp để khử căn thức ở mẫu cho từng phân số.
Và ở ®©y chóng ta sư dơng phÐp biÕn ®ỉi cơc bé.


Dạng toán 4: Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai giải
phơng trình
Ví dụ 1: (Bài 55/tr 30 − Sgk): T×m x, biÕt

25x − 16x = 9.

 Híng dẫn: Sử dụng phép đa thừa số ra ngoài dấu căn để có nhân tử chung.
Giải
Với điều kiện x 0, ta biến đổi phơng trình về dạng:
25. x − 16. x = 9 ⇔ 5 x − 4 x = 9
Vậy, phơng trình có nghiệm x = 81.

2
x = 9 ⇔ x = 9 = 81.

VÝ dô 2: Với giá trị nào của x thì ta có:

a.

3x 2 = x 3 .

Hớng dẫn: Sử dụng định nghÜa
 Gi¶i

b.

a(1 − 3x) 2 = (3x−1) a .

a 2 = a và định nghĩa trị tuyệt dối.

a. Ta biến ®ỉi t¬ng ®¬ng:
3x 2 = x 3 ⇔ |x| 3 = x 3 ⇔ |x| = x ⇔ x ≥ 0.
Vậy, với x 0 ta có đợc đẳng thức ®· cho.
b. Ta biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng:
a(1 − 3x) 2 = (3x−1) a ⇔ |1 − 3x| a = (3x−1) a
⇔ |1 − 3x| = 3x − 1 ⇔ 1 − 3x ≤ 0 ⇔ x ≥
VËy, víi x ≥

1
.
3

1
ta có đợc đẳng thức đà cho.
3

Ví dụ 3: Giải phơng tr×nh:
3

2

4x − 8 − 9

x−2
= 6.
81

 Híng dÉn: Sư dơng phép đa thừa số ra ngoài dấu căn để có nhân tử chung.
Giải
Biến đổi phơng trình về dạng:
3
3
1
x2
4(x 2) − 9
= 6 ⇔ .2 x − 2 − 9.
2
2
2
9
9
⇔3 x−2 − x−2 =6⇔2 x−2 =6⇔
⇔ x − 2 = 9 x = 11.
Vậy, phơng trình có nghiệm x = 11.

x−2 =6

x−2 =3

23




Nhận xét: Nh vậy, với phơng trình trong câu a), chúng ta sử dụng quy tắc
đa một thừa số ra ngoài dấu căn để biến đổi nó về dạmg f =
g. TÊt nhiªn, chóng ta cịng cã thĨ sư dơng quy tắc đa một thừa
số vào trong dấu căn để gi¶i, cơ thĨ:
3
1
(4x − 8) = 3 x − 2 .
4x − 8 = 3
2
4
x−2
81(x − 2)
9
=
= x−2 .
81
81
Tuy nhiªn, cách biến đổi kiểu này rất thụ động.
Ví dụ 4: Giải các phơng trình sau:
1

a.

x +1 + x
2

1
x +1 x
2

+ 2 = 0.

b. 2x − 5a x − a + 2a2 − 2a = 0, víi a > 0.

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:



Với câu a), sử dụng phép trục căn thức ở mẫu.
Với câu b), sử dụng phép đặt ẩn phụ.



Giải
a. Biến đổi phơng trình về dạng:
x 2 + 1 − x − ( x 2 + 1 + x)
( x + 1 + x)( x + 1 − x)
2

2

+2=0⇔

−2x
+2=0
x + 1 − x2
2

⇔ −2x + 2 = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.
VËy, ph¬ng trình có nghiệm x = 1.

b. Đặt t =

x a , ®iỊu kiƯn t ≥ 0. Suy ra:

t2 = x − a ⇔ x = t2 + a.
Khi ®ã, phơng trình có dạng:
2(t2 + a) 5at + 2a2 − 2a = 0 ⇔ 2t2 − 5at + 2a2 = 0
 t = 2a
 t − 2a = 0
⇔ (t − 2a)(2t − a) = 0 ⇔ 
⇔ a
t =
 2t − a = 0
 2
2
 x − a = 4a
 x = 4a 2 + a
 x − a = 2a
a >0 


⇔

a ⇔ 
a2 ⇔ 
a 2 + 4a .
x −a =
x−a =
x=




2

4

4
a 2 + 4a
VËy, ph¬ng trình có hai nghiệm x = 4a2 + a và x =
.
4
24




Nhận xét: Nh vậy:
1. Với phơng trình trong câu a), chúng ta sử dụng phép quy
đồng cục bộ vì nhận thấy mẫu số của phân số thứ nhất là
liên hợp của mẫu số của phân số thứ hai.
2. Với phơng trình trong câu b), chúng ta sử dụng phép đặt ẩn
phụ để nhận đợc một phơng trình bậc hai, từ đó sử dụng kiến

thức về phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi nó về dạng
a
tích và nhận đợc hai nghiệm t = 2a và t =
(lu ý rằng cả hai
2
nghiệm này đều thoả mÃn t 0 do giả thiết a > 0).

bài tập lần 2
Bài 1: So sánh các cặp số sau:
a. 4 7 và 3 13 .
b. 5 11 vµ 3 21 .

c.
d.

3
4
5 vµ
7.
4
9
4
3
vµ
.
7− 3
6− 3

Bài 2: So sánh cặp số sau:
15

4
12
A=
+
và B =
+ 6.
6 +1
6 2
3 6
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu:
1 a a
a +3 + a −3
a. A =
.
c. C =
.
1− a
a +3 − a −3
1
2
b. B =
.
d. D =
.
18 + 8 − 2 2
1+ 2 − 3
Bµi 4: Rót gän biĨu thøc:
1
1
2 +1

2 −2
a. A =
+
.
b. B =
−
.
7 −2 3
7 +2 3
2 1 1 2
Bài 5: Với giá trị nào của x th× ta cã:
a.
b.
7x 2 = − x 7 .
a(x − 2) 2 = (2 − x) a .
Bµi 6: Chøng minh r»ng:
a
b
a+b
a.
−
=
, víi a, b ≥ 0 vµ a ≠ b.
a−b
a− b
a+ b

b.

(a b + b)( a + b)

a−b

ab + b 2 − 2 ab3
= b, víi a > b > 0.
a(a + 2 b) + b

25