Bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRẦN THỊ QUỲNH TRANG

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI
HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 11/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRẦN THỊ QUỲNH TRANG

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI
HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. TRẦN XUÂN QUÝ

THÁI NGUYÊN, 11/2018


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân
trong không gian Hilbert
4
1.1 Ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . 7
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 10
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Phương pháp lặp hiện giải bài toán bất đẳng thức
biến phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . 11
Chương 2. Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân
trong không gian Banach
20

2.1 Ánh xạ j-đơn điệu trong không gian Banach . . . . . . . . . 20
2.1.1 Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . 22
2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 25
2.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . 25
2.2.2 Một phương pháp lặp hiện xấp xỉ nghiệm bài toán
bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36


1

Bảng ký hiệu
H
E
E∗
SE
R
R+
N
∀x
D(A)

R(A)
A−1
I
C[a, b]
d(x, C)
lim supn→∞ xn
lim inf n→∞ xn
xn → x0
xn
x0
J
j
Fix(T )

không gian Hilbert thực
không gian Banach
không gian đối ngẫu của E
mặt cầu đơn vị của E
tập các số thực
tập các số thực không âm
tập các số tự nhiên
với mọi x
miền xác định của toán tử A
miền ảnh của toán tử A
toán tử ngược của toán tử A
toán tử đồng nhất
tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]
khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C
giới hạn trên của dãy số {xn }
giới hạn dưới của dãy số {xn }

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0
dãy {xn } hội tụ yếu về x0
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
tập điểm bất động của ánh xạ T


2

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được
nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng nghiệp đưa ra lần
đầu tiên vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX trong khi nghiên
cứu về bài toán biên tự do (xem [11, 13, 14]). Bất đẳng thức biến phân
có vai trò quan trọng trong nghiên cứu toán học lý thuyết về bài toán tối
ưu, bài toán điều khiển, bài toán cân bằng, bài toán bù, bài toán giá trị
biên. . . (xem [7, 10, 18] và các tài liệu được trích dẫn trong đó). Do đó,
việc nghiên cứu các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đang là
một trong những đề tài thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà toán học trong và ngoài nước và nhiều kết quả sâu sắc đã được thiết
lập. Bên cạnh đó, bất đẳng thức biến phân còn có nhiều ứng dụng trong
các bài toán thực tế như mô hình cân bằng trong kinh tế, giao thông, bài
toán khôi phục tín hiệu, bài toán công nghệ lọc không gian, bài toán phân
phối băng thông. . .
Cho đến nay, nhiều vấn đề mới và khó liên quan đến bất đẳng thức biến
phân và các bài toán tối ưu, mà điều kiện cần cực trị của chúng được viết
dưới dạng các bất đẳng thức biến phân, vẫn đang được quan tâm nghiên
cứu bằng những công cụ toán học hiện đại. Một trong những hướng nghiên
cứu quan trọng hiện nay là xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến
phân với tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ

không giãn, tập không điểm chung của một họ ánh xạ loại j-đơn điệu, tập
nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân,
bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert và không gian Banach.
Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày phương pháp giải bất đẳng
thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được
các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert và không gian Banach từ
các bài báo [8] và [9].
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.


3

Chương 1 trình bày một phương pháp xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng
thức biến phân trong không gian Hilbert với tập ràng buộc là tập điểm
bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn. Nội
dung của chương này được tham khảo từ một số tài liệu cơ bản về Giải
tích hàm và bài báo [9] công bố năm 2008.
Chương 2 trình bày một phương pháp xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng
thức biến phân trong không gian Banach với tập ràng buộc là tập điểm
bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn. Nội
dung của chương được viết trên cơ sở kết quả trong [8] công bố năm 2018.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Thị Thu
Thủy cùng TS. Trần Xuân Quý, xin được cám ơn cô và thầy đã tận tình
hướng dẫn cũng như dành cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, những người đã
tận tâm giảng dạy và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng
như khi thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo, khoa

Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái nguyên đã giúp đỡ
và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa
học.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã trao
đổi, động viên và khích lệ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn tại
trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 11 năm 2018
Tác giả luận văn

Trần Thị Quỳnh Trang


4

Chương 1

Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng
thức biến phân trong không gian
Hilbert
Chương này trình bày phương pháp lai ghép đường dốc nhất giải bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn
đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Nội dung của
chương được viết trên cơ sở bài báo của Iemoto và Takahashi trong [9]
công bố năm 2008.

1.1

Ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert

Mục này trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian Hilbert

thực H, khái niệm về ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz, ánh xạ không
giãn và một số tính chất.
1.1.1

Phép chiếu mêtric

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ·, · và chuẩn
· và cho C là một tập con lồi đóng của H. Ta ký hiệu sự hội tụ mạnh
và hội tụ yếu của dãy {xn } tới x ∈ H lần lượt là xn → x và xn
x.
Định nghĩa 1.1.1 Dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội
tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu
lim xn , y = x, y ,

n→∞

∀y ∈ H.


5

Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn
x.
2
Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian l =
∞
2
2
{xn } ⊂ R :
n=1 |xn | < ∞ và {en } ⊂ l được cho bởi

en = (0, . . . , 0,

1

, 0, . . . , 0, . . . ),

vị trí thứ n

với mọi n ≥ 1. Khi đó, en
bất đẳng thức Bessel, ta có

0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ

∞

| en , y |2 < y

2

< ∞.

n=1

Suy ra limn→∞ en , y = 0, tức là en
0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về
0, vì en = 1 với mọi n ≥ 1 (xem [2]).
Bổ đề 1.1.2 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H ta có bất đẳng
thức sau:
x + y 2 ≤ x 2 + 2 x + y, y ∀x, y ∈ H.
Mệnh đề 1.1.3 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi và đóng của không

gian Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử
PC x ∈ C sao cho
x − PC x ≤ x − y

với mọi y ∈ C.

(1.1)

Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C
u∈C

sao cho x − un → d khi n → ∞. Từ đó,
un − um

2

= (x − un ) − (x − um )
= 2 x − un
≤ 2( x − un

2

2

+ 2 x − um
2

+ x − um

un + um

−4 x−
2
2
2
) − 4d → 0,
2

2

khi n, m → ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u =
lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên x − u = d. Giả sử tồn tại
n→∞

v ∈ C sao cho x − v = d. Ta có
u−v

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u
≤ 0.

2

2

+ x − v 2) − 4 x −

u+v
2

2


6

Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x = inf u∈C x − u .
Định nghĩa 1.1.4 Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử
PC x ∈ C xác định như (1.1) được gọi là phép chiếu mêtric chiếu H lên C.
Ví dụ 1.1.5 Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = 0. Khi đó
y − x, u
u.
u 2

PC x = x +

Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H → C
là một phép chiếu mêtric.
Mệnh đề 1.1.6 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng của không gian
Hilbert thực H. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H → C là
phép chiếu mêtric từ H lên C là
x − PC x, PC x − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.

(1.2)

Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric. Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈
C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của
phép chiếu mêtric, suy ra
x − PC x

2

2

≤ x − ty − (1 − t)PC x

∀t ∈ (0, 1).

Bất đẳng thức trên tương đương với
x − PC x

2

≤ x − PC x

2

− 2t x − PC x, y − PC x + t2 y − PC x 2 ,

với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó,
x − PC x, PC x − y ≥ −

t
y − PC x
2

2

∀t ∈ (0, 1).

Cho t → 0+ , ta nhận được
x − PC x, PC x − y ≥ 0.
Ngược lại, giả sử
x − PC x, PC x − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.
Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C, ta có
x − PC x

2

= x − PC x, x − y + y − PC x


7

= x − PC x, y − PC x + x − PC x, x − y
≤ x−y

2

+ y − PC x, x − PC x + PC x − y

= x−y

2

+ y − PC x, x − PC x − y − PC x

2

≤ x − y 2.
Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C.

Hệ quả 1.1.7 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng của không gian
Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x, y ∈ H,
ta có
PC x − PC y 2 ≤ x − y, PC x − PC y .
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.1.6, ta có
x − PC x, PC y − PC x ≤ 0,
y − PC y, PC x − PC y ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.

1.1.2

Ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu

Định nghĩa 1.1.8 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không
gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C → H được gọi là một ánh xạ không
giãn, nếu
Tx − Ty ≤ x − y

∀x, y ∈ C.

(1.3)

Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là Fix(T ), tức là
Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x}. Tính chất của tập điểm bất động Fix(T ) của
ánh xạ không giãn T được cho trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1.9 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng
của không gian Hilbert thực H và T : C → H là một ánh xạ không giãn.

Khi đó, Fix(T ) là một tập con lồi và đóng trong H.
Chứng minh. (a) Giả sử Fix(T ) = ∅. Trước hết, ta chỉ ra Fix(T ) là tập
đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử


8

{xn } là một dãy bất kỳ trong Fix(T ) thỏa mãn xn → x, khi n → ∞. Vì
{xn } ⊂ Fix(T ), nên
T xn − xn = 0 ∀n ≥ 1.
Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được T x − x = 0, tức
là x ∈ Fix(T ). Do đó, Fix(T ) là tập đóng.
(b) Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của Fix(T ). Giả sử Fix(T ) = ∅ và
x, y ∈ Fix(T ). Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó,
Tz − z

2

= λ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)
= λ Tz − x

2

= λ Tz − Tx
≤λ z−x

2

2

+ (1 − λ)(T z − y)
2

2

− λ(1 − λ) x − y

+ (1 − λ) (T z − T y)

+ (1 − λ) (z − y)

= λ(z − x) + (1 − λ)(z − y)

2

2

2

2

− λ(1 − λ) x − y

− λ(1 − λ) x − y

2

2

= 0.

Suy ra T z = z và do đó z ∈ Fix(T ). Vậy Fix(T ) là một tập lồi.
Cho {Ti }∞
i=1 là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trên
không gian Hilbert H, γ1 , γ2 , . . . là các số thực sao cho 0 ≤ γi ≤ 1 với mọi
i = 1, 2, . . . . Khi đó, với mỗi n = 1, 2, . . . , ánh xạ Wn xác định như sau:
Un,n+1 = I,
Un,n = γn Tn Un,n+1 + (1 − γn )I,
Un,n−1 = γn−1 Tn−1 Un,n + (1 − γn−1 )I
..
.
Un,k = γk Tk Un,k+1 = (1 − γk )I,
Un,k−1 = γk−1 Tk−1 Un,k + (1 − γk−1 )I
..
.
Un,2 = γ2 T2 Un,3 + (1 − γ2 )I,
Wn = Un,1 = γ1 T1 Un,2 + (1 − γ1 )I.Un,n+1 I.
Ánh xạ Wn được xây dựng như trên gọi là W -ánh xạ sinh bởi Tn , Tn−1 , . . . , T1
và γn , γn−1 , . . . , γ1 (xem [10], [13] và [14]). Tính chất của ánh xạ Wn được
cho trong các bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.1.10 (xem [14]) Cho H là một không gian Hilbert thực, T1 , T2 , . . . ,
Tn là các ánh xạ không giãn trên H sao cho ni=1 Fix(Ti ) là khác rỗng và


9

giả sử γ1 , γ2 , . . . , γn là các số thực sao cho 0 < γi < 1 với i = 1, 2, . . . , n.
Với mỗi n = 1, 2, . . . , Wn là W -ánh xạ được sinh ra bởi các ánh xạ
Tn , Tn−1 , . . . , T1 và các số γn , γn−1 , . . . , γ1 . Khi đó Wn là ánh xạ không giãn
và Fix(Wn ) = ni=1 Fix(Ti ).

Với k ∈ N. Từ Bổ đề 3.2 trong [6], ta định nghĩa các ánh xạ U∞ và W
trên không gian Hilbert H như sau:
U∞,k x = lim Un,k x
n→∞

và
W x = lim Wn x = lim Un,1 x
n→∞

n→∞

với mọi x ∈ H. Vậy ánh xạ W được gọi là W -ánh xạ được sinh ra bởi
T1 , T2 , . . . và γ1 , γ2 , . . .
Bổ đề 1.1.11 (xem [6]) Cho H là một không gian Hilbert thực, T1 , T2 , . . .
là các ánh xạ không giãn trên H sao cho ∞
i=1 Fix(Ti ) là khác rỗng và giả
sử γ1 , γ2 , . . . là các số thực sao cho 0 < γi < 1 với mọi i ∈ N. Giả sử W
là W -ánh xạ được sinh ra bởi T1 , T2 , . . . và γ1 , γ2 , . . . Khi đó W là ánh xạ
không giãn và Fix(W ) = ∞
i=1 Fix(Ti ).
Định nghĩa 1.1.12 Cho C là một tập con lồi trong không gian Hilbert
H và D là một tập con trong H chứa C. Ánh xạ đơn trị A : D → H được
gọi là:
(i) đơn điệu trên C nếu
Ax − Ay, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
A được gọi là đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" của bất đẳng thức
trên chỉ xảy ra khi x = y;
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn
Ax − Ay, x − y ≥ δ x − y

∀x, y ∈ C;

nếu δ(t) = cA t2 , cA là hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn
điệu mạnh;


10

(iii) liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0 nếu
A(x) − A(y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

(iv) λ-đơn điệu mạnh ngược nếu tồn tại hằng số λ dương sao cho
Ax − Ay, x − y ≥ λ Ax − Ay

2

∀x, y ∈ C.

Nhận xét 1.1.13 Nếu A đơn điệu mạnh trên C thì đơn điệu chặt trên C;
nếu A đơn điệu chặt trên C thì đơn điệu trên C. Tuy nhiên chiều ngược
lại không đúng.
Bổ đề 1.1.14 (xem [15]) Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một
tập con lồi đóng khác rỗng của H và cho α, β, ρ > 0. Giả sử A : C → H
là một ánh xạ α-đơn điệu mạnh và β-liên tục Lipschitz và ρ ∈ (0, 2α/β 2 ).
Khi đó
PC (I − ρA)x − PC (I − ρA)y ≤

1 − ρ(2α − ρβ 2 ) x − y

với mọi x, y ∈ C. Đặc biệt, PC (I − ρA) là một ánh xạ co từ C vào C.

1.2

1.2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Hilbert
Bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H, ký hiệu
là VI(A, C) được phát biểu như sau: Cho C là một tập hợp con lồi đóng,
khác rỗng của không gian Hilbert thực H, D là một tập con của H chứa
C, A : D → H là một ánh xạ xác định trên H.
Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho

A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 (∀x ∈ C).

(1.4)

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4)
được công bố trong định lý sau đây.
Định lý 1.2.1 (xem [12]) Nếu A : D → H là ánh xạ η-đơn điệu mạnh
trên C và L-liên tục Lipshitz trên C thì bài toán VI(A, C) (1.4) có nghiệm
duy nhất.
Sau đây là một số bài toán quen thuộc có thể mô tả được dưới dạng bài
toán bất đẳng thức biến phân.

11

Bài toán giải hệ phương trình
Xét H = Rn , C = D = Rn và A : Rn → Rn . Khi đó x∗ ∈ Rn là nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, Rn ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm
của hệ phương trình A(x∗ ) = 0.
Bài toán điểm bất động
Giả sử C là một tập khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C
là một ánh xạ. Bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(T, C), được phát
biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ = T (x∗ ).
(1.5)
Xét ánh xạ A : C → H cho bởi
A(x) = x − T (x) ∀x ∈ C.

(1.6)

Khi đó bài toán VI(A, C) tương đương với bài toán tìm điểm bất động của
ánh xạ T .
1.2.2

Phương pháp lặp hiện giải bài toán bất đẳng thức biến
phân trong không gian Hilbert

Phương pháp chiếu gradient
Phương pháp lặp đã biết để tìm một nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân (1.4) là thuật toán chiếu gradient: x1 ∈ C và
xn+1 = PC (I − ρA)xn ,

n = 1, 2, . . .

(1.7)

trong đó PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C và ρ là một số thực dương.
Khi A là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, thì dãy {xn } sinh ra
bởi (1.7) hội tụ mạnh tới một nghiệm duy nhất của VI(A, C).
Định lý 1.2.2 (xem [18]) Cho H là một không gian Hilbert thực, C là
một tập con lồi đóng khác rỗng của H và α, β là các số thực dương. Giả sử
rằng A là một ánh xạ α-đơn điệu mạnh và β-liên tục Lipschitz từ C vào
H. Khi đó,
(i) Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, C) có nghiệm duy nhất u∗ ∈ C.
(ii) Với mỗi x1 ∈ C và ρ ∈ (0, 2α/β 2 ), dãy {xn } sinh bởi (1.7) hội tụ mạnh
tới một nghiệm duy nhất u∗ của VI(A, C).


12

Phương pháp lai ghép đường dốc nhất
Dưới đây là định lý hội tụ của phương pháp lai ghép đường dốc nhất
giải bất đẳng thức biến phân (1.4) trên tập điểm bất động của một ánh
xạ không giãn T .
Định lý 1.2.3 (xem [17]) Cho H là một không gian Hilbert thực, T là một
ánh xạ không giãn trên H, tập Fix(T ) là khác rỗng và cho α, β > 0. Giả
sử rằng A là một ánh xạ α-đơn điệu mạnh và β-liên tục Lipschitz từ R(T )
vào H. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, Fix(T )) có một
nghiệm duy nhất u∗ ∈ C. Hơn nữa, với mỗi x1 ∈ H và ρ ∈ (0, 2α/β 2 ), dãy
{xn } xác định bởi
xn+1 = (I − λn ρA)T xn với mọi n ∈ N,
thì dãy {xn } hội tụ mạnh tới một nghiệm duy nhất u∗ của bài toán bất đẳng

thức biến phân VI(A, Fix(T )), ở đây {λn } là một dãy thuộc (0, 1] thỏa mãn
(C1) limn→∞ λn = 0;
(C2)

∞
n=1 λn

= 0;

n+1
(C3) limn→∞ λnλ−λ
= 0.
2
n+1

Điều kiện (C3) ở trên có thể thay bằng điều kiện sau bởi Xu [16]:
n
= 1.
(C4) limn→∞ λλn+1

Tiếp sau đây ta trình bày sự hội tụ mạnh của một phương pháp lặp hiện
lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất
động chung của họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn {Ti }∞
i=1 trong
không gian Hilbert H. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp
này được phát biểu như sau:
Tìm phần tử u∗ ∈ C sao cho
∞
∗

A(x ), x − x

∗

≥ 0 ∀x ∈ C :=

Fix(Ti ).

(1.8)

i=1

Bổ đề 1.2.4 (xem [15]) Giả sử {xn } và {yn } là các dãy bị chặn trong H và
giả sử {βn } là một dãy trong [0, 1] với 0 < lim inf n→∞ βn ≤ lim supn→∞ <
1. Giả sử rằng xn+1 = βn yn + (1 − βn )xn với mọi n ∈ N và
lim sup( yn+1 − yn − xn+1 − xn ) ≤ 0.
n→∞


13

Khi đó lim yn − xn = 0.
n→∞

Bổ đề 1.2.5 (xem [4]) Giả sử {sn } là một dãy các số thực không âm,
∞
{αn } ⊂ [0, 1] với
n=1 αn = ∞, cho {βn } là một dãy các số thực với
lim supn βn ≤ 0, và cho {γn } là một dãy các số thực không âm với ∞
n=1 γn <

∞. Giả sử rằng
sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn βn + γn
với mọi n ∈ N. Khi đó limn→∞ sn = 0.
Bổ đề 1.2.6 (xem [9]) Cho H là một không gian Hilbert thực và cho α, β >
0. Giả sử T1 , T2 , . . . là các ánh xạ không giãn trên H sao cho ∞
n=1 Fix(Tn )
khác rỗng và giả sử γ1 , γ2 , . . . là các số thực sao cho 0 < a ≤ γi ≤ b < 1
với mọi i = 1, 2, . . . và một số a, b ∈ (0, 1) với a ≤ b. Với mỗi n ∈ N, giả
sử Wn là W -ánh xạ sinh ra bởi Tn , Tn−1 , . . . , T1 và γn , γn−1 , . . . , γ1 và cho
A là một ánh xạ α-đơn điệu mạnh ngược và β-liên tục Lipschitz trên H.
Giả sử rằng {xn } là một dãy sinh ra bởi x1 ∈ H và
xn+1 = (I − λn ρA)Wn xn

(1.9)

với mọi n ∈ N, trong đó ρ ∈ (0, 2α/β 2 ), và {λn } ⊂ (0, 1] thỏa mãn
limn→∞ λn = 0. Khi đó
lim xn+1 − xn = 0.

n→∞

Chứng minh. Đặt Vn = (I − λn ρA)Wn , ta có thể viết lại (1.9) bởi xn+1 =
Vn xn . Giả sử u ∈ ∞
n=1 Fix(Vn ). Từ Bổ đề 1.1.10 suy ra
xn+1 − u = Vn xn − u
≤ Vn xn − Vn u + Vn u − u
≤ (1 − λn r) xn − u + (I − λ)ρA)Wn u − Wn U
= (1 − λn r) xn − u + λn ρ Au
ρ
= (1 − λn r) xn − u + λn r Au

r
ρ
≤ max{ xn − u , Au },
r
ở đó R = 1 −

1 − ρ(2α − ρβ 2 ) ∈ (0, 1). Bằng quy nạp ta suy ra
xn − u ≤ max{ x1 − u ,

ρ
Au } =: K
r


14

và từ đó suy ra dãy {xn } là bị chặn. Vì vậy, {Vn xn } cũng bị chặn. Từ (1.9),
ta chú ý rằng
xn+1 = (I − λn ρA)Wn xn
= λn (I − ρA)Wn xn + (1 − λn )Wn xn
= λn (I − ρA)Wn xn + (1 − λn )(γ1 T1 Un,2 xn + (1 − γ1 )xn ).
Đặt
yn =

+(1 − λn )Wn xn ) + (1 − λn )γ1 T1 Un,2 xn
λn + (1 − λn )γ1

Khi đó
λn {(I − ρA)Wn xn − u} + (1 − λn )γ1 (T1 Un,2 xn xn − u)
λn + (1 − λn )γ1

λn (I − ρA)Wn xn − u + (1 − λn )γ1 (T1 Un,2 xn xn − u)
≤
λn + (1 − λn )γ1
1
≤
{λn (I − ρA)Wn xn − (I − ρA)Wn u
λ + (1 − λn )γ1
+ λn (I − ρA)Wn u − u + (1 − λn )γ1 T1 un,2 xn − u }
1
≤
{λn (1 − r) xn − xu + λn ρ Au
λ + (1 − λn )γ1
+ (1 − λn )γ1 Un,2 xn − u }
λn (1 − r)K + λn rK + (1 − λn )γ1 K
≤
λn + (1 − λn )γ1
= K.

yn − u =

Vì vậy, dãy {yn } là bị chặn. Hơn nữa, ta có
lim sup( yn+1 − yn − xn+1 − xn )
n→∞

λn+1 (I − ρA)Wn+1 + xn+1 (1 − λn+1 )γ1 T1 Un+1,2 xn+1
1
n→∞
λn (I − ρA)Wn xn + (1 − λn )γ1 T1 Un,2 xn
−
− xn+1 − xn

λn + (1 − λn )γ1
λn+1 (I − ρA)Wn+1 xn+1 − λn+1 (I − ρA)Wn+1 xn
≤ lim
n→∞
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
λn+1
+
(I − ρA)Wn+1 xn − (I − ρA)Wn xn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
λn+1
λn
+
−
(1 − ρA)Wn xn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1
= lim sup


15

(1 − λn+1 ) γ1
T1 Un+1,2 xn+1 − T1 Un,2 xn+1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
T1 Un,2 xn+1 − T1 Un,2 xn
+
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn ) γ1
+

−
T1 Un,2 xn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1

+

− xn+1 − xn
≤ lim sup
n→∞

+
+
+
+
+

λn+1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
λn+1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
λn+1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1

xn+1 − xn

Wn+1 xn − Wn xn
−

λn
λn + (1 − λn ) γ1

(1 − ρA)Wn xn

T1 Un+1,2 xn+1 − T1 Un,2 xn+1
xn+1 − xn
−

(1 − λn ) γ1
λn + (1 − λn ) γ1

T1 Un,2 xn

− xn+1 − xn
λn+1
Wn+1 xn − Wn xn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
n→∞
λn+1
λn
+
−
(1 − ρA)Wn xn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
+

T1 Un+1,2 xn+1 − T1 Un,2 xn+1
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn ) γ1
+
−
T1 Un,2 xn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1

= lim sup

và
Wn+1 xn − Wn xn = Un+1,1 xn − Un,1 xn
= γ1 T1 Un+1,2 xn + (1 − γ1 ) xn − {γ1 T1 Un,2 xn + (1 − γ1 ) xn }
= γ1 T1 un+1,2 xn − T1 Un,2 xn
≤ γ1 Un+1.2 xn − Un,2 xn
= γ1 γ2 T2 Un+1,3 xn + (1 − γ2 ) xn − {γ2 T2 Un,3 xn + (1 − γ2 ) xn )}


16

= γ1 γ2 T2 Un+1,3 xn − T2 Un,3 xn
≤ γ1 γ2 Un+1,3 xn − Un,3 xn
..
.
n

≤

γi

Un+1,n+1 xn − Un,n+1 xn

γi

nn+1 Tn+1 Un+1,n+2 xn

γi

Tn+1 xn − xn

i=1
n

=

+ (1 − γn+1 ) xn − xn

i=1
n+1

=
≤b

i=1
n+1

Tn+1 xn − xn .

Tương tự, ta có

T1 Un+1.2 xn+1 − T1 Un,2 xn+1 ≤ bn Tn+1 xn+1 − xn+1 .
Vì vậy,
lim sup ( yn+1 − yn − xn+1 − xn )
λn+1
bn+1 Tn+1 xn − xn
≤ lim sup
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
n→∞
λn+1
λn
+
−
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
bn Tn+1 xn+1 − xn+1
+
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn ) γ1
+
−
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1
λn+1
≤ lim sup
bn+1
λ
+
(1
−
λ

)
γ
n→∞
n+1
n+1
1
λn+1
λn
+
−
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
+
bn
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn+1 ) γ1
(1 − λn ) γ1
+
−
λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1
ở đây, L = max{2K, K+ (I−ρA)u } với u ∈

∞
n=1 F

(1 − ρA)Wn xn

T1 Un,2 xn

L,

(Tn ). Từ limn→∞ λn =


17

0 và γn ≤ b < 1 với mọi n ∈ N, ta suy ra
lim sup ( yn+1 − yn − xn+1 − xn ) ≤ 0.
n→∞

Bây giờ, ta chú ý rằng
xn+1 = (1 − λn ) (1 − γ1 ) xn + {1 − (1 − λn ) (1 − γ1 )} yn
với mọi n ∈ N và
0 < lim (1 − λn ) (1 − γ1 ) ≤ lim sup (1 − λn ) (1 − γ1 ) < 1.
n→∞

n→∞

Từ Bổ đề 1.2.4, ta thu được limn→∞ yn − xn = 0. Do đó ta có
lim xn+1 − xn = lim {1 − (1 − λn )} yn − xn = 0.

n→∞

n→∞

Ta có điều cần chứng minh.

Định lý 1.2.7 (xem [9]) Cho H là một không gian Hilbert và cho α, β > 0.
Cho T1 , T2 , . . . là các ánh xạ không giãn trên H sao cho ∞
n=1 Fix (Tn )

là khác rỗng và γ1 , γ2 , . . . là các số thức sao cho 0 < a ≤ γi ≤ b <
1 với mọi i = 1, 2, . . . và một số a, b ∈ (0, 1) với a < b. Với mỗi n ∈
N, giả sử Wn là W -ánh xạ sinh ra bởi Tn , Tn−1 , . . . , T1 và γn , γn−1 , . . . , γ1
và giả sử A là một ánh xạ α-đơn điệu mạnh ngược và β-liên tục Lipschitz
trên H. Giả sử rằng {xn } là một dãy được sinh ra bởi x1 ∈ H và
xn+1 = (I − λn ρA) Wn xn
với mọi n ∈ N, ở đây ρ ∈ 0, 2α/β 2 , và {λn } ⊂ (0, 1] thỏa mãn các điều
kiện (C1) và (C2), đó là
∞

λn = ∞.

lim λn = 0 và

n→∞

n=1

Khi đó dãy {xn } là hội tụ mạnh tới một nghiệm duy nhất u∗ của bài toán
bất đẳng thức biến phân VI(A, ∞
n=1 Fix(Tn )) (1.8).
Chứng minh. Giống như chứng minh Bổ đề 1.2.6, {xn } và {AWn xn } là bị
chặn. Giả sử W là một W -ánh xạ được sinh ra bởi T1 , T2 , . . . và γ1 , γ2 , . . .
sao cho W x = limn→∞ Wn x với mỗi x ∈ H. Sử dụng ánh xạ W và λk = 1/k


18

như Định lý 2.3 trong [9], từ Bổ đề 1.1.11 ta có VI (∩∞
n=1 F (Tn ) , A). Khi

đó ta có với mọi n, k ∈ N,
xn+1 − W uk = Wn xn − λn ρHWn xn − W uk
≤ Wn xn − Wn uk + Wn uk − W uk + λn ρ AWn xn
≤ xn − uk + Wn uk − W uk + λn ρ AWn xn .
Từ limn→∞ λn = 0 và W uk = limn→∞ Wn uk với mỗi k ∈ N, với mỗi giới
hạn Banach µ bất kì ta suy ra
µn xn − W uk

2

= µn xn+1 − W uk

2

≤ µn xn − uk

2

.

(1.10)

Từ định nghĩa của {uk }, ta có
1
xn − uk = xn − W uk − ρAW uk
k
1
1
= 1−
(xn − W uk ) + (xn − W uk + ρAW uk )

k
k
và từ
1−

1
k

(xn − W uk ) = (xn − uk ) −

1
(xn − W uk + ρAW uk ) .
k

Ta cũng có
1
1−
k

2

xn − W uk

2

2
xn − uk , xn − W uk + ρAW uk
k
2
= xn − uk 2 − xn − uk , xn − uk + uk − W uk + ρAW uuk

k
2
2
= 1−
xn − uk 2 + xn − uk , −uk + W uk − ρAW uk .
k
k

≥ xn − uk

2

−

Từ (1.10), ta có
1
1−
k
V =

2

2

1
µn xn − uk ≥ 1 −
µn xn − W uk 2
k
2
2

1−
µn xn − uk 2 + µn xn − uk , −uk + W uk − ρAW uk
k
k
2

và từ đó
1
µn xn − uk
2k

2

≥ µn xn − uk , −uk + W uk − ρAW uk


19

với mọi k ∈ N. Cho k → ∞, từ u∗ ∈ VI(F (W ), A) ta suy ra
0 ≥ µn xn − u∗ , −u∗ + W u∗ − ρAW u∗
= µn xn − u∗ , −ρAW u∗
và do đó
0 ≥ µn xn − u∗ , −AW u∗ .
Hơn nữa, từ Bổ đề 1.2.6 ta có
lim | xn+1 − u∗ , −AW u∗ − xn − u∗ , −AW u∗ |

n→∞

= lim | xn+1 − xn , −AW u∗ | = 0.
n→∞

Do đó, theo Bổ đề 2.1.5
0 ≥ lim sup xn − u∗ , −AW V u∗ .

(1.11)

n→∞

Cuối cùng ta chỉ ra rằng limn→∞ xn − u∗ = 0. Thật vậy, từ Bổ đề 1.1.2
ta có
xn+1 − u∗

2

= Tn xn − u∗

2

= (Tn xn − Tn u∗ ) + (Tn u∗ − u∗ )

2

≤ Tn xn − Tn u∗

2

+ 2 xn+1 − u∗ , Tn u∗ − u∗

= Tn xn − Tn u∗

2

+ 2 xn+1 − u∗ , Wn u∗ − λn ρAWn u∗ − u∗

≤ (1 − λn r) xn − u∗

2

+ 2λn ρ xn+1 − u∗ , −AWn u∗
2ρ
( xn+1 − u∗ , −AW vu∗ )
= (1 − λn r) xn − u∗ 2 + λn r
r
+ (xn+1 − u∗ , AW u∗ − AWn u∗ )

≤ (1 − λn r) xn − u∗ 2
2ρ
+ λn r
( xn+1 − u∗ , −AW v ∗ + M W u∗ − Wn u∗ ) ,
r
ở đó M = β supn∈N xn − u∗ . Từ Bổ đề 1.2.4 và (1.11), ta thu được
dãy {xn } hội tụ mạnh tới một nghiệm u∗ của bất đẳng thức biến phân
VI(A, ∞
n=1 Fix (Tn )).


20

Chương 2

Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng
thức biến phân trong không gian
Banach
Chương này trình bày một phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các
ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Nội dung của chương được
viết trên cơ sở bài báo [8] của Nguyễn Song Hà, Nguyễn Bường và Nguyễn
Thị Thu Thủy công bố năm 2018.

2.1

Ánh xạ j-đơn điệu trong không gian Banach

Cho E là không gian Banach thực. Ký hiệu E ∗ là không gian liên hợp
của E, x∗ , x là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ E ∗ tại
x ∈ E và chuẩn của E và E ∗ đều ký hiệu là · .
2.1.1

Giới hạn Banach

Xét không gian các dãy số bị chặn
∞

= {x = (x1 , x2 , . . .) : sup |xn | < ∞}.
n

Định nghĩa 2.1.1 Phiếm hàm µ :
nếu

∞

→ R được gọi là giới hạn Banach

(i) µ là ánh xạ tuyến tính, tức là µ(x + y) = µ(x) + µ(y) và µ(cx) = cµ(x)
với mọi x, y ∈ ∞ và c là hằng số.


21

(ii) µ là ánh xạ dương, tức là µ(x) ≥ 0 với mọi x ∈
mọi n ∈ N.

∞

sao cho xn ≥ 0 với

(iii) µ = µ(1, 1, . . .) = 1.
(iv) µ(x1 , x2 , . . .) = µ(x2 , x3 , . . .) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈

∞.

Ta viết µ(xn ) thay cho µ(x1 , x2 , . . .). Sự tồn tại của giới hạn Banach
được bảo đảm nhờ Định lý Hahn–Banach.
Định lý 2.1.2 (xem [3]) Luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên
∞ sao cho µ = µ(1) = 1 và µ(xn ) = µ(xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈
∞.
Một số tính chất của giới hạn Banach µ được nêu trong các mệnh đề
sau.
Mệnh đề 2.1.3 (xem [3]) Cho µ là giới hạn Banach. Khi đó
lim inf xn ≤ µ(xn ) ≤ lim sup xn

n→∞

với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈

n→∞
∞.

Hơn nữa, nếu xn → a, thì µ(xn ) = a.

Bổ đề 2.1.4 (xem [3]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach E
có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là dãy bị chặn trong E, z là
một điểm trong C và µ là giới hạn Banach. Khi đó,
µ xn − z

2

= min µ xn − u

2

u∈C

khi và chỉ khi µ u − z, j(xn − z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Bổ đề 2.1.5 (xem [7]) Giả sử a là một số thực và giả sử (a1 , a2 , . . .) ∈ l∞
sao cho µn (an ) ≤ a với mọi giới hạn Banach µ và lim supn→∞ (an+1 −an ) ≤
0. Khi đó, lim supn→∞ an ≤ a.
Giới hạn Banach là một mở rộng của khái niệm giới hạn thông thường.
Tức là, với mọi dãy số hội tụ x = {xn }, thì µ(x) = (x) = limn→∞ xn với
mọi giới hạn Banach µ. Tuy nhiên, tồn tại những dãy không hội tụ nhưng
lại có giới hạn Banach. Chẳng hạn xét ví dụ sau.

Ví dụ 2.1.6 Lấy dãy x = (1, 0, 1, 0, . . .) ∈

∞.

Khi đó

(x1 , x2 , . . . , xn , . . .) + (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . .) = (1, 1, 1, . . .),


22

suy ra
µ(xn ) + µ(xn+1 ) = µ(1) = 1 ∀µ.
Sử dụng điều kiện (iv) trong Định nghĩa 2.1.1, ta có µ(xn ) = 1/2.
2.1.2

Không gian Banach trơn

Ký hiệu SE := {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian
Banach E.
Định nghĩa 2.1.7 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi
điểm x, y ∈ SE , x = y, ta có
(1 − λ)x + λy < 1 với mọi λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 2.1.8 Không gian Banach E được gọi là không gian trơn nếu
với mỗi điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SE của E tồn tại duy nhất một
phiếm hàm gx ∈ E ∗ sao cho gx , x = x và gx = 1.
Định nghĩa 2.1.9
(i) Chuẩn của không gian Banach E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với
mỗi y ∈ SE giới hạn
lim

t→0

x + ty − x
t

tồn tại với x ∈ SE , ký hiệu là y,
hàm Gâteaux của chuẩn.

x . Khi đó

(2.1)
x được gọi là đạo

(ii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE , giới
hạn (2.1) đạt được đều với mọi x ∈ SE .
(iii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SE , giới hạn
(2.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE .
(iv) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (2.1) tồn
tại đều với mọi x, y ∈ SE .
2.1.3

Ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ j-đơn điệu

Ký hiệu 2E là tập tất cả các tập con của E.