“Phân tích ảnh hưởng của yếu tố tiếp xúc đến nội lực đập bê tông trọng lực ”

LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ chuyên ngành xây dựng cơng trình thủy với đề tài “Phân tích
ảnh hưởng của yếu tố tiếp xúc đến nội lực đập bê tông trọng lực ” được hoàn thành
với sự cố gắng nỗ lực của bản thân tác giả cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của Phịng
Đào tạo Đại học & Sau Đại học, Khoa Cơng trình và các thầy cơ giáo Trường Đại
học Thủy lợi. Tác giả xin chân thành cảm ơn các cơ quan, đơn vị, tổ chức và cá nhân
nói trên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Lê
Đình Chung và thầy giáo TS. Trịnh Q́c Cơng đã tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn. Ngoài ra xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo TS. Vũ Hoàng
Hưng và ThS. Đinh Quang Thịnh đã tận tình chỉ bảo trong suốt q trình thực hiện.
Trong khn khổ luận văn thạc sĩ , do điều kiện thời gian có hạn nên khơng thể
tránh khỏi những khiếm khuyết . Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp , giúp đỡ
chân thành của các Thầy Cô và các quý vị độc giả
Tác giả

Tô Bá Thành


LỜI CAM KẾT
Tên tôi là: Tô Bá Thành
Học viên lớp: CH18C21
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Những nội dung
và kết quả trình bày trong luận văn là trung thực và chưa được ai cơng bố trong bất
kỳ cơng trình nghiên cứu khoa học nào.
Tác giả

Tô Bá Thành


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................. 1

T
4
3

T
4
3

LỜI CAM KẾT ............................................................................................................... 2
T
4
3

T
4
3

MỤC LỤC ....................................................................................................................... 3
T
4
3

T
4
3

DANH MỤC HÌNH VẼ .................................................................................................. 6
T
4
3

T
4
3

DANH MỤC BẢNG BIỂU ............................................................................................ 9
T
4
3

T
4
3

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
T
4
3

T
4
3

1. Tính cấp thiết của đề tài .......................................................................................... 1
T
4
3

T
4

3

2. Mục đích của đề tài ................................................................................................. 2
T
4
3

T
4
3

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2
T
4
3

T
4
3

4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu ............................................................. 2
T
4
3

T
4
3

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN TIẾP XÚC VÀ TÌNH HÌNH NGHIÊN

CỨU BÀI TOÁN TIẾP XÚC HIỆN NAY ...................................................................... 3
T
4
3

T
4
3

1.1. Tởng quan về bài toán tiếp xúc ............................................................................ 3
T
4
3

T
4
3

1.2. Tình hình nghiên cứu bài tốn tiếp xúc hiện nay ................................................. 4
T
4
3

T
4
3

1.2.1. Lịch sử nghiên cứu tiếp xúc ........................................................................... 4
T
4

3

T
4
3

1.2.2. Sự cần thiết của mô phỏng tiếp xúc trong bài toán kỹ thuật .......................... 7
T
4
3

T
4
3

1.2.3. Phân loại tiếp xúc ........................................................................................... 8
T
4
3

T
4
3

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH TIẾP XÚC ...................................... 9
T
4
3

T

4
3

2.1. Bài toán tiếp xúc trong cơ học cổ điển ................................................................. 9
T
4
3

T
4
3

2.1.1. Phương trình vi phân ..................................................................................... 9
T
4
3

T
4
3

2.1.2. Phương pháp nhân thức Lagrange ............................................................... 11
T
4
3

T
4
3

2.1.3. Phương pháp Penalty ................................................................................... 13
T
4
3

T
4
3

2.2. Bài toán tiếp xúc trong kỹ thuật ......................................................................... 14
T
4
3

T
4
3

2.2.1. Phương pháp hỗn hợp với bài toán tiếp xúc trong kỹ thuật ......................... 15
T
4
3

T
4
3

2.2.2. Lựa chọn phương pháp phân tích bài tốn tiếp xúc .................................... 19
T
4

3

T
4
3

2.3. Nợi dung của phương pháp phần tử hữu hạn ..................................................... 22
T
4
3

T
4
3

2.3.1. Khái niệm .................................................................................................... 22
T
4
3

T
4
3

2.3.2. Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn.......................... 22
T
4
3

T

4
3

2.4. Ứng dụng phần mềm ANSYS phân tích bài toán tiếp xúc ................................. 35
T
4
3

T
4
3

2.4.1. Công năng mô phỏng tiếp xúc trong ANSYS .............................................. 35
T
4
3

T
4
3


2.4.2. Trình tự mơ phỏng bài toán tiếp xúc trong phần mềm ANSYS .................. 36
T
4
3

T
4
3

2.4.3. Khống chế chuyển động của mặt mục tiêu .................................................. 48
T
4
3

T
4
3

2.4.4. Gán điều kiện biên ....................................................................................... 49
T
4
3

T
4
3

2.4.5. Định nghĩa bước tải trọng và lựa chọn hạng mục tính toán ........................ 49
T
4
3

T
4
3

2.4.6. Giải bài toán tiếp xúc ................................................................................... 49
T

4
3

T
4
3

2.4.7. Kiểm tra kết quả ........................................................................................... 49
T
4
3

T
4
3

2.5. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 49
T
4
3

T
4
3

CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA TIẾP XÚC ĐẾN NỘI LỰC ĐẬP
BÊ TÔNG TRỌNG LỰC .............................................................................................. 50
T
4
3

T
4
3

3.1. Lựa chọn mơ hình tính tốn ............................................................................... 50
T
4
3

T
4
3

3.1.1. Tởng quan về thuỷ điện Suối Sập 3 ............................................................. 50
T
4
3

T
4
3

3.1.2. Xây dựng mơ hình tính toán từ cơng trình thực tế....................................... 53
T
4
3

T
4

3

3.2. Các thông số cơ bản của mô hình ....................................................................... 53
T
4
3

T
4
3

3.3. Các lực tác dụng và tổ hợp lực tác dụng lên công trình ..................................... 53
T
4
3

T
4
3

3.3.1. Xác định các lực tác dụng lên công trình..................................................... 54
T
4
3

T
4
3

3.3.2. Tổ hợp tải trọng tác dụng lên công trình ..................................................... 56

T
4
3

T
4
3

3.4. Xây dựng mô hình trong phần mềm ANSYS ..................................................... 57
T
4
3

T
4
3

3.4.1. Nhập số liệu đầu vào .................................................................................... 57
T
4
3

T
4
3

3.4.2. Giải bài toán ................................................................................................. 60
T
4
3

T
4
3

3.4.3. Hiển thị kết quả tính toán ............................................................................. 60
T
4
3

T
4
3

3.5. Phân tích nội lực đập bê tông trọng lực bằng phần mềm ANSYS ..................... 61
T
4
3

T
4
3

3.6. Kết quả tính tốn trường ứng suất - biến dạng cho đập ..................................... 63
T
4
3

T
4

3

3.7. Nhận xét và đánh giá kết quả ............................................................................. 71
T
4
3

T
4
3

3.7.1. Nhận xét ....................................................................................................... 71
T
4
3

T
4
3

3.7.2. Đánh giá kết quả .......................................................................................... 74
T
4
3

T
4
3

3.8. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 76

T
4
3

T
4
3

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....................................................................................... 77
T
4
3

T
4
3

1. Những kết quả đã đạt được.................................................................................... 77
T
4
3

T
4
3

2. Những tồn tại trong quá trình thực hiện luận văn. ................................................ 77
T
4
3

T
4
3

3. Những kiến nghị về hướng nghiên cứu tiếp theo. ................................................. 77
T
4
3

T
4
3

PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 78
T
4
3

T
4
3


Phụ lục 1: Phổ chuyển vị - ứng suất trên mơ hình khơng gian ................................. 78
T
4
3

T

4
3

Phụ lục 2: Phổ chuyển vị - ứng suất tại khe lún số 1 ................................................ 81
T
4
3

T
4
3

Phụ lục 3: Phổ chuyển vị - ứng suất tại khe lún số 2 ................................................ 84
T
4
3

T
4
3

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 87
T
4
3

T
4
3

Tiếng Việt .................................................................................................................. 87
T
4
3

T
4
3

Tiếng Anh .................................................................................................................. 87
T
4
3

T
4
3


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Ví dụ về bài toán tiếp xúc ............................................................................... 4
T
4
3

T
4
3

Hình 1.2: Bài toán tiếp xúc nền móng – cơng trình ........................................................ 5

T
4
3

T
4
3

Hình 1.3: Bài toán di chủn và va chạm và bài tốn dập khn kim loại ..................... 6
T
4
3

T
4
3

Hình 2.1: Mơ hình con lắc lò xo .................................................................................... 9
T
4
3

T
4
3

Hình 2.2: Đờ thị biểu diễn năng lượng của hệ ................................................................ 9
T
4
3

T
4
3

Hình 2.3: Mơ hình con lắc lò xo trong phương pháp Lagrange .................................... 12
T
4
3

T
4
3

Hình 2.4: Mơ hình con lắc lị xo trong phương pháp Penalty ....................................... 13
T
4
3

T
4
3

Hình 2.5. Minh hoạ sự tiếp xúc giữa 2 kết cấu ............................................................. 15
T
4
3

T
4

3

Hình 2.6. Mơ hình tiếp xúc phần tử hữu hạn giữa hai mơi trường ............................... 20
T
4
3

T
4
3

Hình 2.7: Sơ đồ phần tử thanh đơn giản ....................................................................... 25
T
4
3

T
4
3

Hình 2.8: Khai báo hằng sớ thực trong phần mềm ANSYS ......................................... 39
T
4
3

T
4
3

Hình 2.9: Khai báo Key option phần tử trong phần mềm ANSYS ............................... 40

T
4
3

T
4
3

Hình 2.10. Mơ hình ma sát ............................................................................................ 42
T
4
3

T
4
3

Hình 2.11. Điểm kiểm tra tiếp xúc nằm ở trên điểm tích phân Gauss .......................... 43
T
4
3

T
4
3

Hình 2.12. Điểm kiểm tra tiếp xúc nằm ở trên điểm nút Gauss .................................... 43
T
4
3

T
4
3

Hình 2.13. Dùng ICONT để điều chỉnh mặt tiếp xúc ................................................... 45
T
4
3

T
4
3

Hình 2.14. Ví dụ về thất bại điều chỉnh tiếp xúc ban đầu ............................................. 46
T
4
3

T
4
3

Hình 2.15: Xâm nhập ban đầu chưa loại trừ ................................................................. 46
T
4
3

T
4

3

Hình 2.16. Xâm nhập ban đầu đã loại trừ ..................................................................... 47
T
4
3

T
4
3

Hình 3.1: Mơ hình bài tốn khơng gian ........................................................................ 50
T
4
3

T
4
3

Hình 3.2: Sơ đồ phân chia khe lún ................................................................................ 50
T
4
3

T
4
3

Hình 3.3. Sơ đồ tính toán tổ hợp tải trọng cơ bản ......................................................... 57

T
4
3

T
4
3

Hình 3.4: Mặt cắt đập tại các vị trí đặc biệt .................................................................. 62
T
4
3

T
4
3

Hình 3.5: Biểu đồ chuyển vị Ux của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lòng sơng.............. 65
T
4
3

T
4
3

Hình 3.6: Biểu đồ chuyển vị Uy của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng sơng.............. 65
T
4
3

T
4
3

Hình 3.7: Biểu đồ chuyển vị Uz của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng sơng .............. 65
T
4
3

T
4
3

Hình 3.8: Biểu đồ ứng suất Sx của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng sơng ................ 66
T
4
3

T
4
3

Hình 3.9: Biểu đồ ứng suất Sy của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lòng sơng ................ 66
T
4
3

T
4

3

Hình 3.10: Biểu đồ ứng suất Sz của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng sơng .............. 66
T
4
3

T
4
3

Hình 3.11: Biểu đồ ứng suất chính S1 của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng sơng .... 67
T
4
3

T
4
3


Hình 3.12: Biểu đồ ứng suất chính S2 của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng sơng .... 67
T
4
3

T
4
3

Hình 3.13: Biểu đồ ứng suất chính S3 của các điểm đặc biệt tại mặt cắt lịng song .... 67
T
4
3

T
4
3

Hình 3.14: Biểu đồ chuyển vị Ux cực trị tại các khe lún .............................................. 68
T
4
3

T
4
3

Hình 3.15: Biểu đồ chuyển vị Uy cực trị tại các khe lún .............................................. 68
T
4
3

T
4
3

Hình 3.16: Biểu đồ chuyển vị Uz cực trị tại các khe lún .............................................. 68
T
4

3

T
4
3

Hình 3.17: Biểu đồ ứng suất Sx cực trị tại các khe lún ................................................. 69
T
4
3

T
4
3

Hình 3.18: Biểu đồ ứng suất Sy cực trị tại các khe lún ................................................. 69
T
4
3

T
4
3

Hình 3.19: Biểu đồ ứng suất Sz cực trị tại các khe lún ................................................. 69
T
4
3

T

4
3

Hình 3.20: Biểu đồ ứng suất S1 cực trị tại các khe lún ................................................. 70
T
4
3

T
4
3

Hình 3.21: Biểu đồ ứng suất S2 cực trị tại các khe lún ................................................. 70
T
4
3

T
4
3

Hình 3.22: Biểu đồ ứng suất S3 cực trị tại các khe lún ................................................. 70
T
4
3

T
4
3

Hình 3.23: Biểu đồ chuyển vị tỷ đối theo phương đứng U y tại các điểm ..................... 72
T
4
3

R

R

T
4
3

Hình 3.24: Biểu đồ tốc độ chuyển vị theo phương đứng U y tại các điểm .................... 73
T
4
3

R

R

T
4
3

Hình PL1.01: Phổ chuyển vị Ux mơ hình khơng gian .................................................. 78
T
4
3

T
4
3

Hình PL1.02: Phổ chuyển vị Uy mơ hình khơng gian .................................................. 78
T
4
3

T
4
3

Hình PL1.03: Phổ chuyển vị Uz mơ hình khơng gian .................................................. 78
T
4
3

T
4
3

Hình PL1.04: Phổ ứng suất Sx mơ hình khơng gian ..................................................... 79
T
4
3

T
4

3

Hình PL1.05: Phổ ứng suất Sy mơ hình khơng gian ..................................................... 79
T
4
3

T
4
3

Hình PL1.06: Phổ ứng suất Sz mơ hình khơng gian ..................................................... 79
T
4
3

T
4
3

Hình PL1.07: Phổ ứng suất chính S1 mơ hình khơng gian ........................................... 80
T
4
3

T
4
3

Hình PL1.08: Phổ ứng suất chính S2 mơ hình khơng gian ........................................... 80

T
4
3

T
4
3

Hình PL1.09: Phổ ứng suất chính S3 mơ hình khơng gian ........................................... 80
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.01: Phổ chuyển vị Ux tại khe lún số 1 .......................................................... 81
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.02: Phổ chuyển vị Uy tại khe lún số 1 .......................................................... 81
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.03: Phổ chuyển vị Uz tại khe lún số 1 .......................................................... 81
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.04: Phổ ứng suất Sx tại khe lún số 1 ............................................................ 82
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.05: Phổ ứng suất Sy tại khe lún số 1 ............................................................ 82
T
4
3

T
4

3

Hình PL2.06: Phổ ứng suất Sz tại khe lún số 1............................................................. 82
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.07: Phổ ứng suất chính S1 tại khe lún số 1 .................................................. 83
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.08: Phổ ứng suất chính S2 tại khe lún số 1 .................................................. 83
T
4
3

T
4
3

Hình PL2.09: Phổ ứng suất chính S3 tại khe lún số 1 .................................................. 83

T
4
3

T
4
3


Hình PL3.01: Phổ chuyển vị Ux tại khe lún số 2 .......................................................... 84
T
4
3

T
4
3

Hình PL3.02: Phổ chuyển vị Uy tại khe lún số 2 .......................................................... 84
T
4
3

T
4
3

Hình PL3.03: Phổ chuyển vị Uz tại khe lún số 2 .......................................................... 84
T
4

3

T
4
3

Hình PL3.04: Phổ ứng suất Sx tại khe lún số 2 ............................................................ 85
T
4
3

T
4
3

Hình PL3.05: Phổ ứng suất Sy tại khe lún số 2 ............................................................ 85
T
4
3

T
4
3

Hình PL3.06: Phổ ứng suất Sz tại khe lún số 2............................................................. 85
T
4
3

T

4
3

Hình PL3.07: Phổ ứng suất chính S1 tại khe lún số 2 .................................................. 86
T
4
3

T
4
3

Hình PL3.08: Phổ ứng suất chính S2 tại khe lún số 2 .................................................. 86
T
4
3

T
4
3

Hình PL3.09: Phổ ứng suất chính S3 tại khe lún số 2 .................................................. 86
T
4
3

T
4
3

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1: Hệ số ma sát giữa các loại vật liệu ................................................................. 7
T
4
3

T
4
3

Bảng 2.1: Đánh số mã phần tử trong hệ ........................................................................ 34
T
4
3

T
4
3

Bảng 3.1: Các thông số chính của cơng trình ............................................................... 51
T
4
3

T
4
3

Bảng 3.2: Đặc trưng vật liệu làm Đập và Nền .............................................................. 53

T
4
3

T
4
3

Bảng 3.3: Thống kê ứng suất, chuyển vị trường hợp 1 tại mặt cắt lịng sơng .............. 63
T
4
3

T
4
3

Bảng 3.4: Thớng kê ứng śt, chủn vị trường hợp 2 tại mặt cắt lịng sơng .............. 63
T
4
3

T
4
3

Bảng 3.5: Thớng kê ứng śt trung bình tại khe mặt cắt lịng sơng .............................. 63
T
4
3

T
4
3

Bảng 3.6: Thớng kê ứng suất cực trị tại khe lún số 1.................................................... 64
T
4
3

T
4
3

Bảng 3.7: Thống kê ứng suất cực trị tại khe lún số 2.................................................... 64
T
4
3

T
4
3


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Nước ta đang trong thời kỳ cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa nên nhu cầu điện ,
nước cho công nghiêp , nông nghiệp , sinh hoạt ngày càng tăng . Điều đó đã đặt ra

nhiều yêu cầu cấp thiết về năng lượng cũng như nhu cầu cấp nước cho quá trình
phát triển. Chính vì vậy mà các cơng trình trạm thủy điện, hồ chứa được xây dựng
ngày một nhiều.
Muốn xây dựng được hồ chứa thuỷ lợi hay một nhà máy thủy điện

, một u

cầu khơng thể thiếu đó là việc xây dựng đập dâng để nâng đầu nước lên cao. Tùy
vào quy mô của cơng trình mà các con đập có kích thước khác nhau nhưng nhìn
chung tất cả các đập dâng nước đều có kích thước rất lớn. Đập bê tơng trọng lực là
một kết cấu hình khối lớn, khá phức tạp về cả cấu trúc và hình dạng. Tồn dạng đập
nói chung và từng phần nói riêng phải đảm bảo đủ ổn định và đủ độ bền dưới tác
động của mọi tổ hợp tải trọng tĩnh và tải trọng động trong các giai đoạn xây dựng

,

vận hành. Dưới tác dụng rất lớn của áp lực nước thượng lưu làm cho sự tương tác
giữa đập với nền khá phức tạp . Hiện nay về các công trình thuỷ lợi, thuỷ điện có
quy mô lớn ngày càng ít dần đi , người ta chủ yếu tập trung đầu tư vào các công
trình thuỷ lợi , thuỷ điện vừa và nhỏ . Đập được xây dựng trên nền đá , do đó kết cấu
đập phải là đập bê tông trọng lực . Ngày nay với cơng nghệ xây dựng ngày càng
hồn thiện, để đảm bảo an toàn cũng như thỏa mãn các điều kiện kinh tế địi hỏi kỹ
thuật thi cơng phải khơng ngừng được nâng cao.
Khi thiết kế các công trình bê tông nói chung và đập bê tông trọng lực nó

i

riêng, để thuận tiện và đơn giản hoá quá trình tính toán , người ta thường bỏ qua yếu
tố tiếp xúc . Điều này về mặt lý thuyết mà nói thì sẽ làm tăng thêm độ an toàn cho
công trình nhưng lại có mặt hạn chế là không kinh

tế. Tuy nhiên với sự phát triển

không ngừng của khoa học , các nghiên cứu mới ra đời cho phép người ta thiết kế
công trình bê tông mà không cần bỏ qua yếu tố tiếp xúc . Điều này thực sự đã mang
lại một hướng nghiên cứu mới c ho các nhà khoa học đặc biệt là trong việc thiết kế


2

đập bê tông trọng lực . Giải quyết được bài toán tiếp xúc chính là mấu chốt giúp
giảm thiểu giá thành công trình mà vẫn đảm bảo đủ độ an toàn cho phép .
Tuy vậy việc nghiên cứu về vấn đề này hiện tại ở trong nước còn chưa nhiều ,
các kiến thức về vấn đề này còn ở dạng phân tán chưa tập trung . Với mục đích tổng
hợp các lý thuyết cũng như những hiểu biết về vấn đề trên tác giả lựa chọn đề tài

:

“Phân tích ảnh hưởng của yếu tố tiếp xúc đến nội lực đập bê tơng trọng lực”
2. Mục đích của đề tài
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết , mô hình tính toán trong phân tích kết cấu , xác
định nội lực trong đập bê tông trọng lực dưới tác dụng của tải t rọng thường xuyên
có xét đến yếu tố tiếp xúc.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-

Đối tượng nghiên cứu: Đập bê tông trọng lực

-

Phạm vi nghiên cứu: Các đập bê tông trọng lực có chiều cao từ 30~100m

4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
- Cách tiếp cận: thu thập và phân tích tài liệu thiết kế các cơng trình đã thi
cơng trong thực tế
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Tổng hợp các nghiên cứu khoa học, các số liệu thí nghiệm
+ Sử dụng phần mềm phần tử hữu hạn phân tích nội lực trong đập bê tông
trọng lực


3

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN TIẾP XÚC VÀ TÌNH HÌNH
NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN TIẾP XÚC HIỆN NAY
1.1. Tổng quan về bài toán tiếp xúc
Trong các ngành kỹ thuật chúng ta gặp rất nhiều trường hợp ha i vật thể tiếp xúc
với nhau. Ví dụ tiếp xúc giữa hai bánh răng ăn khớp, sự tiếp xúc giữa bánh vít và trục
vít, giữa ở bi với bạc trục , giữa hai trục cán với nhau , tiếp xúc giữa đập và nền , tiếp
xúc giữa cửa van với trụ pin… Khi mới tiếp xúc , ban đầu có thể là điểm hay đường ,
nhưng khi biến dạng tăng lên thì sự tiếp xúc giữa hai vật thể đàn hồi sẽ biến thành
tiếp xúc mặt . Diện tích tiếp xúc thường rất bé so với bề mặt của vật thể , nên sự xuất
hiện giữa biến dạng và ứng suất chỉ tập trung ở miền tiếp xúc có tính cục bộ . Điều đó
có nghĩa là biến dạng và ứng suất chỉ tập trung ở

trong miền tiếp xúc và giảm rất

nhanh ở ngoài miền tiếp xúc , đồng thời ứng suất xuất hiện ở trong miền tiếp xúc có
giá trị rất lớn , có thể dẫn đến phá huỷ vùng tiếp xúc đó . Ứng suất phát sinh do tiếp
xúc có thể là tiếp xúc tĩnh , có thể là tiếp xúc động hoặc ứng suất thay đ ổi theo thời

gian. Khi chi tiết chịu ứng suất tiếp xúc thay đổi theo thời gian nó cũng xảy ra hiện
tượng mỏi lớp bề mặt và dĩ nhiên sẽ làm cho các vết nứt vi mô phát triển thành
những vết nứt lớn và làm phá huỷ bề mặt, gây ra tróc rỗ, bong rời vật liệu
Trong các bài tốn tính ứng suất cũng như biến dạng của các kết cấu trong cơ
học chất rắn , nếu có từ hai vật thể trở lên tiếp xúc với nhau , thì việc tính tốn cũng
như việc mô phỏng bài toán dạng này trở nên rấ t phức tạp. Ví dụ, ta có một khối kim
loại 1 đặt lên một khối kim loại 2, và khối 1 chịu tác dụng một lực F (xem Hình 1.1).
Khi xác định trạng thái ứng suất – biến dạng cho trường hợp này ta có thể tính riêng
cho từng khới : bằng cách tách ri êng từng khối ra để phân tích . Khối 1 chịu một lực
tập trung F đặt ở mặt trên và các nút ở mặt dưới (tiếp xúc với khối 2) được khống chế
các bậc tự do cần thiết (ví dụ chuyển vị theo phương thẳng đứng bằng 0). Sau đó tính
tốn khối 2: với lực phân bố do F tạo ra trong vùng tiếp xúc với khối 1 và các nút ở
mặt dưới bị khống chế các bậc tự do cần thiết . Như vậy khi mơ phỏng bài tốn này
theo cách trên thì kết quả sẽ kém chính xác, bởi vì mơ hình đó không xét đến sự tác


4

dụng tương hỗ của các phần tử kim loại trong vùng tiếp xúc giữa hai khối. Thêm vào
đấy, nếu khối 1 từ trên cao rơi xuống đụng vào khối 2, thì trong trường hợp này lại
cần phải xét đến ứng xử của vật liệu khi hai khối chạm vào nhau, nếu khơng thì khối
1 sẽ đi xun qua khối 2 mà không “biết” đến sự hiện diện của khối 2.

Hình 1.1: Ví dụ về bài toán tiếp xúc
Như vậy, việc nghiên cứu tác dụng tương hỗ của các phần tử chất rắn khi tiếp
xúc với nhau để áp dụng vào tính tốn ứng suất và biến dạng là rất cần thiết.
1.2. Tình hình nghiên cứu bài tốn tiếp xúc hiện nay
1.2.1. Lịch sử nghiên cứu tiếp xúc
Việc nghiên cứu cơ học tiếp xúc ở góc độ kỹ thuật đã có lịch sử từ rất lâu đời
Bắt đầu từ thời Ai Cập cổ đại với việc xây dựng các kim tự tháp

.

, người ta đã ph ải

nghĩ ra những cách thức đơn giản hơn để triệt tiêu ma sát , giúp con người ta dễ dàng
di chuyển những khối đá lớn nặng hàng tấn lên độ cao hàng trăm mét . Đi tiên phong
trong việc nghiên cứu vấn đề này phải kể đến sự đóng góp to lớn từ những những thí
nghiệm của các nhà khoa học hàng đầu như Leonardo de Vanci và Coulomb

. Trước

đây các bài toán tiếp xúc phức tạp thường được giải quyết bằng cách đơn giản hoá
điều kiện biên do các lời giải g iải tích không thể giải quyết được các bài toán thực tế .
Trong trường hợp như vậy , việc phân tích trường ứng suất – biến dạng do tiếp xúc
của kết cấu tổng thể được thay thế bằng cách phân tích tại một vùng cục bộ .
Vấn đề tiếp xúc là một trong những bài toán phi tuyến phức tạp. Điểm phức tạp
thứ nhất là do các vùng tiếp xúc luôn thay đổi không biết trước, và điểm phức tạp thứ


5

hai là do kết quả tính lực ma sát trong từng giai đoạn rất là hỗn độn, do đó sẽ gây khó
khăn cho việc đạt được một lời giải hội tụ. Việc phân tích vấn đề tiếp xúc là cần thiết
để áp dụng trong các lĩnh vực xây dựng và cơ khí. Sự tiếp xúc giữa hai hoặc nhiều
vật rắn biến dạng thường xảy ra trong các bài toán cơ học. Ngay cả trong trường hợp
vật liệu là đàn hồi tuyến tính, thì vấn dề tiếp xúc lúc đó cũng là bài toán phi tuyến.
Thực vậy, các hiện tượng tiếp xúc và ma sát được biểu diễn bằng các bất phương
trình phi tuyến mà chúng sẽ tác động đến các chuyển vị (hoặc tốc độ chuyển vị) của
một phần của bề mặt biên và các phản lực tiếp xúc. Các phản lực này và các diện tích

tiếp xúc cũng là các ẩn số , chúng thay đổi dần dần khi người ta đặt một tải trọng
ngoài. Hiện nay có nhiều phương pháp đã được đề nghị để giải các bài toán tiếp xúc
như phương pháp nhân thức Lagrange, phương pháp Penalty , phương pháp phần tử
hữu hạn…
Phạm vi nghiên cứu ứng dụng của cơ chế tiếp xúc bắt đầu với bài toán khá là
đơn giản như nền móng với công trình xây dựng , nơi mà phản lực của nền đất gây ra
các lực lệch tâm tác động lên công trình xây dựng trên nó (xem hình 1.2). Vấn đề cần
quan tâm ở đây là xem xét khả năng chống đỡ của các trụ chớng đỡ bên dưới nền
móng; hoặc sức chịu tải của các kết cấu thép , sự liên kết g iữa các ốc vít với bộ phận
của máy móc , khả năng di chuyển trên đường hoặc khi va chạm của một chiếc xe
chuyên chở cấu kiện phục vụ cho việc xây dựng công trình (xem hình 1.3a). Hầu hết
các trường hợp như trên thường được

nghiên cứu bằng cách giả thiết với bài toán

biến dạng bé và cơ chế xảy ra là tuyến tính . Tuy nhiên để lời giải của bài toán được
chính xác và đúng với bản chất thực của nó hơn người ta cần phải coi nó là bài toán
phi tuyến và cần có thuật toán đặc biệt hơn.

Hình 1.2: Bài toán tiếp xúc nền móng – công trình


6

a)

b)

Hình 1.3: Bài toán di chuyển và va chạm và bài tốn dập khn kim loại
Trong lĩnh vực cơ khí , lời giải của bài toán tiếp x úc được ứng dụng rất nhiều

như việc thiết kế các bánh răng , quá trình đúc kim loại, quá trình ép dập tấm kim loại
thành hình dạng như mong muốn (xem Hình 1.3b). Bài toán tiếp xúc dạng này này
còn xuất hiện trong quá trì nh khoan, mài các vật thể; khi phân tích chuyển động hoặc
va chạm của chiếc ô tô , hoặc chuyển động lăn của bánh xe tàu hoả trên đường ray…
Tất cả đều cần được phân tích như bài toán tiếp xúc cơ học

. Trong bài toán mô tả

biến dạng lớn của tấm kim loại , lại một lần nữa biến dạng lớn không thể không xem
xét khi phân tích và những mô hình vật liệu phi tuyến phức tạp phải được đưa vào
mô hình bằng cách mô hình hoá trên máy tính .
Do sự đa dạng của các bài toán trong thực tế, vấn đề tiếp xúc ngày nay bao gồm
cả biến dạng đàn hồi và phi đàn hồi và phụ thuộc vào yếu tố thời gian . Yêu cầu đặt ra
là phải mô phỏng các bài toán tiếp xúc bằng mô hình số với sự trợ giúp của máy tính .
Mô hình số thực sự đã giải quyết được hầu hết các bài toán trong kỹ thuật với hình
dạng và điều kiện biên bất kỳ . Với sự phát triển nhanh chóng của máy tính điện tử ,
việc mô hình hoá trong kỹ thuật có thể giải quyết được cả những bài toán phi tuyến
do sự tiếp xúc trực tiếp tạo ra . Tính toán cơ học tiếp xúc đã đi sâu vào giải quyết các
mảng vấn đề ở các cấp độ và được phân loại theo các hướng khác nhau:
-

Phương pháp phần tử hữu hạn : chuyên giải quyết các bài toán biến dạng nhỏ
và lớn cũng như lĩnh vực đàn hồi và phi đàn hồi


7

-

Phương pháp phần tử rời rạc: chuyên giải quyết các bài toán hạt mật độ cao

-

Hệ đa khối: dựa trên sự mô tả các vật rắn tuyệt đối . Hệ thống này nói chung là
tương đối nhỏ, có thể được ứng dụng cho mô hình bài toán động trong các các
cấu kiện cơ khí có xảy ra tiếp xúc.

1.2.2. Sự cần thiết của mô phỏng tiếp xúc trong bài toán kỹ thuật
Hiện nay trong quá trình mô phỏng số phần lớn là sử dụng mô hình cơ học một
vật thể hai môi trường, tức là cùng một hệ thống mạng lưới phần tử liên tục dùng tính
chất cơ học phần tử khác nhau để phâ n chia. Mô hình này coi mặt tiếp xúc giữa hai
môi trường không có chuyển vị tương đối , lực ma sát và lực dính trên mặt tiếp xúc là
vô cùng , bài toán luôn hội tụ . Nhưng trên thực tế khi mặt tiếp xúc giữa hai môi
trường có lự c ma sát khá nhỏ hoặc ứng suất cắt mặt tiếp xúc lớn

, sẽ phát sinh mặt

trượt trên mặt tiếp xúc . Do đó khi tiến hành phân tích cần phải xem xét đặc tính này .
Sử dụng phần tử tiếp xúc trong phần mềm ANSYS có thể mô phỏn

g mặt tiếp xúc

giữa hai môi trường.
Có hai điểm khó khăn nhất trong phân tích tiếp xúc : thứ nhất là trước khi giải
quyết vấn đề tiếp xúc không biết phạm vi tiếp xúc , chưa biết giữa hai bề mặt là tiếp
xúc hay tách rời , nó phụ tḥc vào tải trọng , vật liệu, điều kiện biên và các nhân tố
khác; thứ hai là phần lớn vấn đề tiếp xúc cần phải tính toán ma sát , có mấy loại ma
sát và mô hình để cho người tính toán lựa chọn nhưng chúng đều là

phi tuyến tính ,

ma sát khiến tính hội tụ của bài toán trở nên khó khăn.
Bảng 1.1: Hệ số ma sát giữa các loại vật liệu
Cặp vật liệu

Hệ số ma sát

Cặp vật liệu

Hệ số ma sát

Bê tông - bê tông

0,5 - 1,0

Thép - thép

0,2 - 0,8

Bê tông - cát

0,35 - 0,6

Thép - nhựa

0,04 - 0,06

Bê tông - thép

0,2 - 0,4

Thép - băng

0,015 - 0,03

Kim loại - gỗ

0,3 - 0,65

Gỗ - thép

0,5 - 1,2

Cao su - kim loại

0,15 - 0,65

Gỗ - gỗ

0,4 - 1,0


8

1.2.3. Phân loại tiếp xúc
Vấn đề tiếp xú c có thể phân thành hai loại cơ bản : tiếp xúc khối cứng – khối
mềm, tiếp xúc khối mềm – khối mềm. Trong vấn đề tiếp xúc khối cứng – khối mềm,
một hoặc nhiều mặt tiếp xúc được xem là khối cứng

(tỷ lệ tương đối giữa kh ối biến

hình tiếp xúc với nó , có độ cứng lớn hơn nhiều ). Khi tiếp xúc một loại vật liệu mềm
và một loại vật liệu cứng dưới trạng thái bình thường , vấn đề có thể được giả thiết là
tiếp xúc khối cứng – khối mềm , hầu hết vấn đề ép mẫu kim loại được quy về loại
này. Trong khi đó thì tiếp xúc khối mềm – khối mềm là loại phổ biến hơn , dưới tình
trạng này hai khối tiếp xúc đều là khối biến hình (có độ cứng xấp xỉ nhau).


9

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH TIẾP XÚC
2.1. Bài toán tiếp xúc trong cơ học cổ điển
Để nghiên cứu bài toán tiếp xúc trong kỹ thuật và cơ khí

, các nhà cơ học cổ

điển đã thực hiện nhiều thí nghiệm khác nhau nhằm tìm ra lời giải. Một trong những
mô hình đơn giản nhất để nghiên cứu bài toán tiếp xúc đó là mô hình con lắc lò xo
quen thuộc. Ở đây người ta xem xét ảnh hưởng của tiếp xúc đến sự dao động của
con lắc dưới tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi của lò xo.
2.1.1. Phương trình vi phân
Để nghiên cứu vấn đề tiếp xúc ta đi xét ví dụ với một con lắc có khối lượng m
chịu tác dụng của trọng lực được neo vào một lò xo có độ cứng là k. Chuyển vị theo
phương thẳng đứng của con lắc bị giới hạn bởi một tấm cứng ở đáy (xem Hình 2.1).
Năng lượng của hệ có thể được mô tả bằng phương trình (2-1) sau đây:
Π ( u )=

1 2
ku − mgu
2

(2-1)

Nếu không có bất cứ sự giới hạn nào cho c huyển vị u, ta có thể xác định được
cực trị bằng cách lấy đạo hàm hai vế của (2-1) theo u như sau:
δΠ ( u )= kuδ u − mgδ u

(2-2)

Lấy đạo hàm cấp 2 của phương trình (2-1) ta được: δ 2 Π =k khi đó cực trị c ủa
phương trình (2-1) chính là cực tiểu tại u =

Hình 2.1: Mô hình con lắc lò xo

mg
. Được biểu thị trên đồ thị Hình 2.2
k

Hình 2.2: Đồ thị biểu diễn năng lượng của hệ


10

Giới hạn chuyển động của con lắc m b ằng tấm cứng có thể được mô tả qua
phương trình (2-3) để ngăn cản sự xâm nhập như là một ràng buộc bất biến:
c (u ) = h − u ≥ 0

(2-3)

Khi c(u) > 0, tồn tại một khe hở giữa con lắc m với tấm cứng , khi c(u) = 0, khe

hở đóng lại. Chú ý rằng đạo hàm δ u bị hạn chế tại mặt tiếp xúc , điều kiện (2-3) chỉ
đạt được khi δ u ≤ 0 nghĩa là chuyển vị ảo phải thoả mãn điều kiện ràng buộc và chỉ
có thể di chuyển theo hướng lên trên, do đó từ phương trình (2-2) ta có:
kuδ u − mgδ u ≥ 0

(2-4)

Dấu lớn hơn sẽ xảy ra trong thực tế khi trọng lực mg lớn hơn lực đàn hời của
lị xo kh (u max = h - trong trường hợp có xả y ra tiếp xúc ) và hơn nữa vì đạo hàm
R

R

δ u < 0 tại vị trí tiếp xúc với tấm cứng . Biểu thức (2-4) được gọi là bất đẳng thức

biến phân. Do hạn chế về không gian phân tích bởi điều kiện ràng buộc

(2-3) nên

lời giải của (2-1) không đạt đến giá trị Π min mà chỉ đạt đến giá trị Π Cmin có nghĩa là
giá trị năng lượng cực tiểu nằm trong khoảng nghiệm có thể chấp nhận được

(xem

Hình 2.2).
Thông thường, thay vì dùng đạo hàm δ u người ta sử dụng một phương thức
khác để biểu thị bằng cách dùng hàm phân tích theo : δ u= v − u . Hàm phân tích sẽ
phải thoả mãn điều kiện v − h ≤ 0 tại điểm tiếp xúc như đối với u. Khi sử dụng hàm
phân tích, biểu thức (2-2) được viết lại thành:
ku ( v − u ) − mg ( v − u ) =

0

(2-5)

Từ điều kiện mg > ku tại điểm tiếp xúc, kết hợp với v − h ≤ 0 ta có:
ku ( v − h ) ≥ mg ( v − h )

(2-6)

Trong cả hai trường hợp , bất đẳng thức (2-3) ràng buộc chuyển vị u dẫn đến
bất đẳng biến phân được biểu thị qua nghiệm là u. Những bất đẳng thức biến phân
này không thể áp dụng trực tiếp để giải quyết bài toán tiếp xúc được . Lúc này cần
phải xây dựng một phương pháp đặc biệt hơn.


11

Mỗi khi con lắc tiếp xúc với tấm cứng , một phản lực f R xuất hiện, trong cơ học
R

R

tiếp xúc cổ điển chúng ta thư ờng giả thiết rằng phản lực giữa con lắc với tấm cứng
là âm, do đó áp suất tiếp xúc chỉ có thể là lực nén.
Với giả thiết loại bỏ lực dính kết tại mặt tiếp xúc và theo điều kiện hạn chế :
fR ≤ 0

(2-7)

Điều này có nghĩa hoặc xuất hiện trạng thái nén ép

(f R <0) hoặc không xuất
R

R

hiện phản lực tại mặt tiếp xúc (f R = 0)
R

R

Tóm lại ta có thể phân biệt hai trường hợp có bài toán tiếp xúc trong chuyển
động thông qua điều kiện ràng buộc (2-3) như sau:
-

Khi độ cứng của lò xo đủ lớn để cho con lắc không chạm vào vách cứng . Lúc
này điều kiện sau đây thoả mãn : c(u) > 0 và f R = 0
R

-

R

(2-8)

Khi độ cứng lò xo nhỏ , con lắc sẽ chuyển động và kh ông chỉ xảy ra tiếp xúc
mà còn xâm nhập vào bên trong tấm cứng, trong trường hợp này ta có:
c(u) = 0 và f R < 0
R

(2-9)

R

Như vậy, cả hai trường hợp trên có thể được khái quát lại như sau:
c ( u ) ≥ 0, f R ≤ 0 và f R .c(u) = 0
R

R

(2-10)

2.1.2. Phương pháp nhân thức Lagrange
Lời giải của bài toán tiếp xúc ràng buộc trong điều kiện (2-3) hoàn toàn có thể
tìm được bằng cách sử dụng phương pháp nhân thức Lagrange . Để làm điều này
ta giả thiết rằn g điều kiện ràng buộc (2-9) xảy ra để thoả mãn yêu cầu của bài toán .
Vì vậy phương pháp nhân thức Lagrange bổ sung vào phương trình năng lượng (21) của hệ một tham số mới, gọi là tham số Lagrange λ
Π ( u, λ ) =

1 2
ku − mgu + λ c ( u )
2

(2-11)


12

Nếu so với (2-10) thì tham số Lagrange λ tương đương với phản lực f R . Lấy vi
R

R

phân 2 vế của phương trình (2-11) lần lượt theo u và λ rồi cho bằng 0 ta được 2
phương trình:
kuδ u − mgδ u − λδ u =
0

(2-12)

c ( u ) δλ = 0

(2-13)

Phương trình thứ nhất đặc trưng cho sự cân bằng của con lắc dưới tác dụng
của phản lực khi nó va chạm vào vách cứng (xem Hình 2.3), cịn phương trình thứ
hai thoả mãn điều kiện ràng ḅc động học của biểu thức (2-3) cho tiếp xúc: u = h.
Vì thế dao động không bị hạn chế nữa và có thể giải được bằng phép nhân thức
Lagrange:
λ =kh − mg = f R

(2-14)

Tuy nhiên điều kiện (2-7) phải được kiểm tra và phải đáp ứng lời giải (2-14).
Nếu điều kiện này không thoả mãn , tại mặt tiếp xúc sẽ xuất hiện một lực dính , lúc
này giả thiết về sự tiếp xúc không còn giữ được nữa . Điều này có nghĩa ràng buộc
bất định không còn giá trị nữa và lời giải chính xác có thể lấy từ

(2-2) là: u =

phản lực f R hay tham số Lagrange λ lúc này là bằng không
R

R

Hình 2.3: Mô hình con lắc lò xo trong phương pháp Lagrange

mg
,
k


13

2.1.3. Phương pháp Penalty
Một phương pháp nổi tiếng khác nữa thường được sử dụng trong phân tích
phần tử hữu hạn cho bài toán tiếp xúc là

phương pháp Penalty . Bằng cách thêm

vào tham số Penalty vào phương trình năng lượng của hệ ta được :
Π ( u )=

2
1 2
1
ku − mgu + òc ( u )  với ò > 0
2
2

(2-15)

Như trên Hình 2.4 tham sớ Penalty ị có thể được biểu thị qua độ cứng của lò
xo tại mặt tiếp xúc giữa con lắc và vách cứng

. Điều này là do thực tế rằng năng

lượng của tham số Penalty có thể được hình dung như thế năng của lò xo đơn giản .
Lấy vi phân 2 vế (2-15) ta được:

kuδ u − mgδ u − òc ( u ) δ u =
0

(2-16)
Từ đó ta có:

u=

( mg + òh )
( k + ị)

(2-17)

Hình 2.4: Mơ hình con lắc lò xo trong phương pháp Penalty
Nghiệm của phương trình ràng buộc:

c (u ) = h − u =

kh − mg
k +ò

(2-18)

Khi mg ≥ kh , trong trường hợp tiếp xúc thì biểu thức (2-18) cho biết có xuất
hiện sự xâm nhập của con lắc vào tấm cứng , điều này hoàn toàn tương đương với
việc lò xo bị nén ép (xem Hình 2.4). Chú ý rằng sự xâm nhập này phụ thuộc vào


14

tham số Penalty. Phương trình ràng buộc chỉ được thoả mãn trong giới hạn
ò → ∞ ⇒ c ( u ) → 0 . Vì vậy trong phương pháp Penalty chúng ta có thể phân biệt hai

trường hợp giới hạn:
-

ò → ∞ ⇒ u − h → 0 : điều này có nghĩa rằng g iá trị của tham số Penalty hay độ

cứng của lò xo Penalty là rất lớn, và vì vậy chỉ xuất hiện sự xâm nhập rất nhỏ.
-

ị → 0 : Lúc này bài toán khơng bị ràng buộc chuyển vị và chỉ có giá trị cho

ràng buộc tĩnh. Trong trường hợp có tiếp xúc

, lời giải cho một tham số

Penalty nhỏ sẽ tạo ra một sự xâm nhập lớn
Ta có thể tìm được phản lực theo phương pháp Penalty từ biểu thức : λ = òc ( u ) c.
Trong ví dụ này ta có: =

λ f=
òc ( u=
)
R

ò
( kh + mg )
k +ò

(2-19)

Khi ò → ∞ , nghiệm có thể giải được bằng phương pháp nhân thức Lagrange
2.2. Bài toán tiếp xúc trong kỹ thuật
Như vậy cả hai phương pháp nhân thức Lagrange và phương pháp Penalty
đều có thể sử dụng lời giải giải tích để giải quyết bài toán đơn giản như con lắc lò
xo đã giới thiệu ở trên . Ưu điểm của hai phương pháp này là cho lời giải dưới dạng
tường minh, có thể áp dụng trong những bài toán cụ

thể với điều kiện biên không

quá phức tạp . Tuy nhiên khuyết điểm của hai phương pháp trên là không thể giải
quyết triệt để vấn đề tiếp xúc thường gặp trong kỹ thuật vì các bài toán này thường
có điều kiện biên rất phức tạp, lời giải giải tích không thể dùng để giải các bài toán
dạng này. Do đó để giải quyết vấn đề này người ta cần sử dụng phương pháp thí ch
hợp hơn. Feng và Touzot đã đề nghị một phương pháp hỗn hợp dựa trên nền tảng cơ
sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn . Phương pháp này khá đơn giản và
rất thích hợp để cho lời giải của bài toán phi tuyến cục bộ, sau đây ta đi xem xét
phương pháp này.

15

2.2.1. Phương pháp hỗn hợp với bài toán tiếp xúc trong kỹ thuật
Khảo sát hai vật rắn V 1 và V 2 tiếp xúc với nhau (Hình 2.5), chịu các lực tác
R

R

R

R

động P và các chuyển vị bị khống chế U . Khi sự tiếp xúc diễn ra, mỗi cặp nút tiếp
xúc có thể rơi vào ba trường hợp: tiếp xúc dính, tiếp xúc trượt và khơng tiếp xúc.
Trong ba trường hợp này , các điều kiện tiếp xúc và các phương trình cân bằng các
lực tiếp xúc được trình bày trong các phần sau . Trong bối cảnh của các phần tử hữu
hạn, phương trình cân bằng của hai vật rắn được viết trực tiếp như sau:

[ K ]{U=} {P} + {R}

(2-20)

Trong đó:
[K]: ma trận độ cứng của cấu trúc
{U}: véc tơ chuyển vị của cấu trúc
{P}: véc tơ ngoại lực
{R}: véc tơ phản lực tiếp xúc
Vì {U} và {R} chưa biết, phương trình (2-20) khơng thể được giải trực tiếp.
Véc tơ {R} trước tiên được xác định cục bộ bằng phương pháp lực. Tiếp theo, véc tơ
{U} được tính tốn tồn bộ bằng phương pháp chuyển vị. Vì vậy, phương pháp này

được gọi là “phương pháp hỗn hợp”.

Hình 2.5. Minh hoạ sự tiếp xúc giữa 2 kết cấu


16

Phương trình (2-20) được viết lại dưới dạng sau:
 K rr
K T
 rc

K rc  U r   Pr   0 
=
  + 
K cc  U *   Pc   R* 

(2-21)

Trong đó:
{U*} tương ứng với các nút có tiếp xúc
{U r } liên quan đến các nút còn lại trong kết cấu
R

R

{R*} là véc tơ phản lực liên quan đến các nút tiếp xúc.
Bằng cách khử {U r }, phương trình (2-21) trở thành:
R

R

{ } {P } + {R }

*
 K cc*  U
=

*
c

*

(2-22)

Trong đó:
*
 K=

cc 

[ K cc ] − [ K rc ] [ K rr ] [ K rc ]
−1

T

(2-23)

{P=} {P } − [ K ] [ K ] {P }
−1

T

*
c

c

rc

rr

(2-24)

r

Theo phương trình (2-22), ta có được:

{ }

{ } { }

 Fc*  R* + U *p
=
U*

(2-25)

Với:
−1

 Fc*  =  K cc*  : ma trận mềm dẻo, thu hẹp cho các nút tiếp xúc.

{U } =  F  {P } : véc tơ chuyển vị gây ra bởi ngoại lực.
*
p

*
c

*
c

2.2.1.1. Phương trình độ cách giữa các cặp nút tiếp xúc
Người ta lập độ cách giữa các cặp nút tiếp xúc khởi đầu từ các chuyển vị của
các nút tiếp xúc và các độ cách ban đầu { X 0*} giữa hai vật rắn V 1 và V 2 :
R

{ X } = {U } − {U } + { X }
*

*
1

*
2

*
0

R

R

R

(2-26)