Ôn tập THPT 2019 hình học 12 chương 1 bài 6

Câu 1: [2H1-6-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH - 2017] Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng
500 3
m Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài
3
gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m3 . Nếu biết xác định
kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất, chi phí thấp nhất đó
là.

khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích

A. 70 triệu đồng.
đồng.

B. 85 triệu đồng.

C. 80 triệu đồng.

D. 75 triệu

Lời giải
Chọn D
nhân công xây

500

h

3

m3

x
2x

.

Gọi các yếu tố như hình vẽ, diện tích phần phải xây của bể là phần xung quanh và
đáy.
500

2
500
250 250 co  si
V  2 x .h 
2
2

S

2
x


2
x


 150 .
3

x

x
x
2
 S  2 x  6 xh


Số chi phí thấp nhất là 150  500000  75 triệu.

Câu 2: [2H1-6-3] Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy
là một hình vuông cạnh x  cm  , chiều cao là h  cm  và thể tích là 500cm3 . Tìm độ
dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

A. x  2cm .
x  10cm .

B. x  3cm .

C. x  5cm .

D.


Lời giải
Chọn D

500
.
x2
Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của
hộp là nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hộp (không nắp)

Thể tích khối hộp V  x.x.h  x 2 h  500  h 

Stp  Sday  Sxung quanh  x.x  4.hx  x 2  4hx
500
2000
1000 1000 Cosi 3
 x2 
 x2 

 3 1000 2 .
2
x
x
x
x
1000 1000

 x 3  1000  x  10.
Dấu ''  '' xảy ra  x 2 
x
x
Chọn D
2000
Cách 2. Xét hàm f  x   x 2 
với x  0 .
x
x 2  4 x.

Câu 3: [2H1-6-3] Một người đã cắt tấm bìa các tông và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn
ấy gấp theo đường nét đứt thành cái hộp hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình
vuông cạnh a  cm  , chiều cao h  cm  và diện tích toàn phần bằng 6m 2 . Tổng

 a  h

bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất.

A. a  h  2cm .
a  h  6cm .

B. a  h  3cm .

C. a  h  4cm .

D.

Lời giải
Chọn A
Diện tích toàn phần S tp  4ah  2a 2  6  h 

6  2a 2
.
4a

6  2a 2 6a  2a 3

.
Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.a.h  a .
4a

4
2

6a  2a 3
trên 0; 3 , ta được f  a  lớn nhất tại a  1.
4
 a  h  2cm. Chọn.
Với a  1  h  1 
A.

Khảo sát hàm f  a  





Câu 4: [2H1-6-3] Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật không
nắp và có các kích thước x, y, z  dm  . Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y  1: 3 , thể tích
khối hộp bằng 18dm3 . Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x  y  z bằng:


A. 10dm .

B.

19
dm .
2

C. 26dm .

D.

26
dm .
3

Lời giải
Chọn A

Ta có x : y  1: 3  y  3 x.
6
.
x2
Tổng diện tích vật liệu (nhôm) cần dùng là:
Stp  Sday  Sxungquanh (do hộp không nắp)

Theo giả thiết, ta có xyz  18  z 

6
48
 6
 xy  2  xz  yz   x.3x  2  x. 2  3x. 2   3x 2  .
x 
x
 x
48
Xét hàm f  x   3 x 2 
trên  0;   , ta được f  x  nhỏ nhất khi x  2.
x

3
19
 x  y  z  dm. Chọn A
Khi x  2  y  6, z  
2
2

48
8 8
8 8

 3  x 2     3.3 3 x 2 . .  36.
x
x x
x x

8 8
Dấu ''  '' xảy ra  x 2    x  2. .
x x
Cách 2. BĐT Côsi 3x 2 

Câu 5: [2H1-6-3] Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là
60cm, thể tích 96000cm 3 . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá
thành 70.000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m2. Tính chi
phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
A. 320.000 đồng.
đồng.

B. 32.000 đồng.

C. 83.200 đồng.

Lời giải
Chọn C

Gọi x  m  , y  m   x  0, y  0  là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

D. 68.800


Theo giả thiết, ta có: 0, 6 xy  0, 096  y 

0,16
.
x

0,16
 0,16
x

 giá tiền 0,16 100.000  16.000 đồng.

Diện tích mặt đáy: Sday  xy  x.

0,16 

Diện tích xung quanh: Sxungquanh  2 x.0, 6  2 y.0, 6  1, 2  x 

x 


0,16 
0,16 



 giá tiền 1, 2  x 
 .70000  84000  x 
 đồng.
x 
x 


0,16 

Suy ra tổng chi phí f  x   84000  x 
  16000
x 

Cosi

 84000.2 x.

0,16
 16000  83.200 đồng. Chọn C
x

Câu 6: [2H1-6-3] Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình
chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp như
hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy x của hình chóp bằng:

A. x 

2
.
5

B. x 

2 2
.
5
Lời giải

C. x  2 2 .

D. x 

2
.
5

Chọn B

Ta có BM  BO  MO 

1
2 x
AB  MO 
 .
2

2 2
2

 2 x   x 2
1 x 2
Chiều cao của hình chóp: h  BM  MO  
.
 2  2    2  
2


2

2

1
1  x 2 1 x 4  x5 2

.
Suy ra thể tích của khối chóp: V  x 2
3
2
3
2



2
Khảo sát hàm f  x   x 4  x 5 2 trên  0;
 , ta được f  x  lớn nhất khi

2



2 2
.
5
Chọn B
x


2
Cách làm trắc nghiệm. Đầu tiên ta loại đáp án C do x  2 2   0;
 . Thay ba
 2 

đáp án còn lại vào hàm số f  x   x 4  x 5 2 . So sánh kết quả nào lớn nhất ta
chọn. Nếu đề bài hỏi giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp thì ta không làm theo
cách này được.

Câu 7: [2H1-6-3] Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m 2
và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà
xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà).
Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ
dày các bức tường).

A. 16m  24m .
24m  32m .

B. 8m  48m .

C. 12m  32m .

D.

Lời giải
Chọn A
Đặt x, y , h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng.

384
.
x
Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất.
384
576 

Ta có Stp  4 xh  6 yh  3xy  4 xh  6.
h  1152  4h  x 
  1152 .
x
x 

576
Vì h không đổi nên Stp nhỏ nhất khi f  x   x 
(với x  0 ) nhỏ nhất.
x
y
Theo giả thiết, ta có x.3 y  1152 

Khảo sát f  x   x 

576
với x  0 , ta được f  x  nhỏ nhất khi
x

x  24 
 y  16 .
Chọn A
Cách 2. BĐT Côsi x 
x

576
576
 2 x.
 48. Dấu ''  '' xảy ra
x
x

576
 x  24.
x

Câu 8: [2H1-6-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)
Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có
thể tích bằng 200 m 3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi
phí để xây bể là 300 nghìn đồng/ m 2 (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao
gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và diện
tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí
thấp nhất để xây bể(làm tròn đến đơn vị triệu đồng).

A. 75 triệu đồng.
B. 51 triệu đồng.
C. 36 triệu đồng.
D. 46
triệu đồng.
Lời giải
Chọn B

h

x

2x
Gọi x Gọi x là chiều rộng của đáy, h là chiều cao của đáy.
Thể tích của khối hộp chữ nhật không nắp bằng 200 m 3 nên ta có
V  2 x.x.h  200 cm 3  h 

100
.
x2


Diện tích bể nước là S  2 x   6 xh  2 x 2 
f  x  4x 

600
 f  x.
x

600

 0  x  3 150 . Suy ra Min f  x   f
x2

Chi phí thấp nhất để xây bể là f



3



3



150 .



150 . 300.000  51 triệu đồng.

Câu 9: [2H1-6-3] Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m và đặt ở độ cao 1, 4m so với tầm mắt
(tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho
góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó? Biết rằng góc BOC nhọn.
A. AO

2, 4m .

B. AO

2m .

C. AO

2, 6m .

D. AO

3m .
Lời giải

Chọn A
Đặt độ dài cạnh AO

x m , x

0

Suy ra BO

x 2 ,CO

10,24

3,24

x2

Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác OBC ta có:

cos BOC

OB 2

OC 2 BC 2
2OB.OC

5, 76
3,24

3,24

x2

10,24

x2

x 2 10,24

2 3,24

1, 96
x2

x2

x 2 10,24

x2

5, 76

Vì góc BOC nên bài toán trở thành tìm x để F x

3,24

x2

x 2 10,24

x2

nhất.

63
25
t t 7

t
Đặt 3,24

x2

t, t

3,24 . Suy ra F t

Ta đi tìm t để F(t) đạt giá trị nhỏ nhất.

25t
25 t t

63
7

đạt giá trị nhỏ


25 t t
F' t

25t

63

25 t t

F' t

0

t

1
25

7

2

7t
1 50 t
25
2t t

7

25t
7

25t
t t

63 2t

t t

7

63

2t
2 t t

7

7

1
49t

25 2t t 7

7

7

441
t t

7

9

Bảng biến thiên
3,24 9
-0+

Thay vào đặt ta có: 3,24

x2

Vậy để nhìn rõ nhất thì AO

9

x2

144
25

x

2, 4 m

2, 4m

Câu 10: [2H1-6-3] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Ông An muốn xây một cái bể
chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 m3 . Đáy
bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000
đồng/ m 2 . Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân
công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?
A. 108 triệu đồng.
triệu đồng.

B. 54 triệu đồng.

C. 168 triệu đồng.

D. 90

Lời giải
Chọn A.
Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao
cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.
Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c .  a  m   0, c  m   0 
Ta có diện tích cách mặt cần xây là S  2a 2  4ac  2ac  2a 2  6ac .
144
Thể tích bể V  a.2a.c  2a 2c  288  c  2 .
a

Vậy S  2a 2  6a.

144
864
432 432
432 432
 2a 2 
 2a 2 

 3. 3 2a 2 .
.
 216 .
2
a
a
a
a
a
a

Vậy Smin  216 m2
Chi phí thấp nhất là 216  500000  108 triệu đồng.