Bài giảng: Phép tịnh tiến và phép dời hình (Hình học 11 - Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

§2 Phép tịnh tiến và phép dời hình

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:

• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2


Đ2

phép tịnh tiến và phép dời hình

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1. định nghĩa phép tịnh tiến

r
r
Định nghĩa: Phép tịnh tiến vectơ v , kí hiệu Tv là một phép dời hình biến điểm M
uuu r
u ur
thành M' sao cho MM ' = v .
Hoạt động

r
Nêu cách tìm ảnh của ®iĨm M qua phÐp tÞnh tiÕn Tv .

ThÝ dơ 1: Cho hình bình hành ABCD, khi đó ta thấy:
TAD (A) = D
 uuur
uu
ur
⇒ TAD (AB) = DC.
 uuur
TAD (B) = C


Hoạt động

C

B

A

D

Phép đồng nhất có phải là phép tịnh tiến không ?

2. Các tính chất của phép tịnh tiến

Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lợt thành hai điểm M' và N' thì
M'N' = MN.
Hoạt động

HÃy chứng minh định lí 1.

ý nghĩa của định lí 1 là "Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm bất kì"
Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Hoạt động

HÃy chứng minh định lí 2.

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến:
Đờng thẳng thành đờng thẳng.
Tia thành tia.
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Tam giác thành tam giác bằng nó.
Đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính.
Góc thành góc bằng nó.
Hoạt động

1. Nêu các cách tìm ảnh của đoạn thẳng AB, tia Ax, đờng
r
thẳng (d) qua phép tịnh tiến Tv .
r
2. Nêu các cách tìm ảnh của ABC qua phép tịnh tiến Tv .
r
3. Nêu các cách tìm ảnh của (O, R) qua phép tịnh tiến Tv .

Thí dụ 2: Cho hai đờng thẳng song song a và a'. Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a
thành a'.

3




Giải
r
u ur
uu
Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA ' với A a và
A' a' đều biến đờng thẳng a thành a'.

A'

(a')
(a)

A

3. biẻu thức toạ độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ
M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:

Hoạt động

v

(a; b) biến điểm

x' = x + a
.

 y' = y + b

(CT)

H·y chøng minh kÕt quả trên.

Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ của điểm M1 là ảnh của điểm
r
M0(2; 1) qua phép tịnh tiến vectơ v (2; 1).





Giải

Giả sử M1(x; y), ta cã:
u u ur
uuu
r
x − 2 = 2
x = 4
M 0 M1 = v ⇔ 
⇔
⇒ M1(4; 0).
y + 1 = 1
y = 0
Vậy, ta đợc M1(4; 0).

Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đà sử dụng định nghĩa của
phép tịnh tiến để tìm toạ độ điểm M1. Còn trong thực tế chúng ta sẽ sử
dụng ngay công thức (CT).
Hoạt động
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu các cách tìm ảnh của:
r
1. Đờng thẳng (d) qua phép tịnh tiến Tv .
r
2. Nêu các cách tìm ảnh của (O, R) qua phép tịnh tiến Tv .

4. ứng dụng của phép tịnh tiến

Bài toán 1: Cho hai điểm B và C cố định trên đờng tròn (O, R) và một điểm A thay đổi
trên đờng tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đờng tròn cố
định.

Giải
A
Nếu BC là đờng kính thì trực tâm H của ABC chính là
B'
A. Vậy H nằm trên đờng tròn cố định (O, R).
H
Nếu BC không phải là đờng kính, vẽ đờng kính BB' của
O
B
C
đờng tròn.
u ur
uu
uu
ur
Dễ thấy rằng nếu H là trực tâm của ABC thì AH = B'C .
u ur
uu
Nh vậy, phép tịnh tiến theo vectơ cố định B'C biến điểm A thành ®iĨm H. Do ®ã, khi
A thay ®ỉi trªn (O ; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đờng tròn cố định là ảnh của đờng tròn
(O ; R) qua phép tịnh tiến nói trên.
4



Nhận xét: Nh vậy, chúng ta đà thấy đợc cách sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán quĩ
tích.

Bài toán 2: Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ

sông là hai đờng thẳng song song).
A
Ngời ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông M
M'
a
M
0
(tất nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn
thẳng từ A đến M và từ B đến N. HÃy xác định vị trí của
N0 N
b
B'
chiếc cầu MN sao cho AM + BN ngắn nhất.
B
Giải
Lấy điểm M0 a ta cã duy nhÊt ®iĨm N0∈ b sao cho M0N0 ⊥ a vµ M0N0 ⊥ b.
r
Gäi B' = Tuuuuuuu vµ M = AB' ∩ a, khi ®ã víi ®iĨm M' bất kì thuộc a tơng ứng với
N M
điểm N' thuộc b (sao cho M'N' ⊥ a).
Ta cã:
M'A + N'B = M'A + M'B ≥ AB' = MA + MB' = MA + NB.
Tức là AM + BN ngắn nhất.
0

0


Nhận xét: Nh vậy, chúng ta đà thấy đợc cách sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán cực
trị trong hình học.

5. phép dời hình
Hoạt động

1. Yêu cầu một học sinh nhắc lại định nghĩa phép tịnh
tiến và ý nghĩa của ®Þnh lÝ 1.
2. LÊy vÝ dơ vỊ mét phÐp biÕn hình không phải là phép
tịnh tiến mà vẫn có tính chất "Bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm".

Định nghĩa: Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ.
Định lí: Phép dời hình biến:
Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm
không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
Đờng thẳng thành đờng thẳng.
Tia thành tia.
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Tam giác thành tam giác bằng nó.
Đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính.
Góc thành góc bằng nó.

5


B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
r
Bài toán 1: Tìm vectơ tịnh tiến v biến hình (H1) thành hình (H2).
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chÊt cđa phÐp tÞnh tiÕn.
r

r
r
r
VÝ dơ 1:
Cho phÐp tÞnh tiÕn Tu theo u và phép tịnh tiến Tv theo v . Với điểm M bất
r
r
kì, Tu biến M thành điểm M', Tv biÕn M' thµnh M''. Chøng tá r»ng phÐp biến hình biến
điểm M thành M" là một phép tịnh tiến.
r

Hớng dẫn: Đi tìm vectơ a biến điểm M thành điểm M.
Giảir r r

Đặt a = u + v , ta cã nhËn xÐt:
r
r
uuu
u ur u u u u u u r r
u ur
uuu
MM" = MM ' + M 'M" = u + v = a
r
VËy, phÐp biÕn hình biến M thành M" là một phép tịnh tiến T theo vectơ a .

Ví dụ 2:
Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) lần lợt có tâm O1, O2 và đều có bán kính R.
Tìm phép tịnh tiến biến (C1) thành (C2).

uuu

u ur
cố định nên vectơ O1O 2 cố định, từ đó đi chứng minh
rằng "Với mỗi điểm M1(O1) sẽ có điểm M2(O2) thoả mÃn
u r
u
TOuuuu (M1 ) = M 2 và ngợc lại".
O

Hớng dẫn: Vì hai điểm O , O
1

1

2

2



Giải
Lấy M1 tuỳ ý thuộc (C1) và gọi M2 là ảnh của M
M1
u r
u
qua TOuuuu , ta có:
O
u u ur u u u
uuu
u ur
uuu

u uu u u ur
r
uuu
M1 M 2 = O1O2 ⇔ O1M1 = O2 M 2
O1
⇒ O2M2 = R M2(C2)
Ngợc lại: lấy M2 là một điểm tuỳ ý thuộc (C2)
(C1)
u r
u
và gọi M1 là tạo ảnh cña nã qua TOuuuu , ta cã:
O
u u ur u u u
uuu
u ur
uuu
u uu u u ur
r
uuu
M1 M 2 = O1O2 ⇔ O1M1 = O2 M 2 ⇒ O1M1 = R M1(C1)
u r
u
Vậy (C2) là ảnh của (C1) qua TOuuuu .
O
1

M2

2

1

2

1

O2
(C2)

2

Bài toán 2: Giải bài toán định tính.
Phơng pháp áp dụng
Ta thờng gặp các dạng yêu cầu sau:
r
Dạng 1: Chứng minh (H1) là ảnh của (H2) qua phép tịnh tiến vectơ v , ta thực hiện
theo các bớc:
Bớc 1:
Lấy ®iÓm M1 tuú ý thuéc (H1), ta ®i chøng minh:
r
M2 = T v (M1) (H2).
Bớc 2:
Ngợc lại, lấy điểm M2 tuú ý thuéc (H2), ta ®i chøng minh:
6


r
M1 = T v (M2) ∈ (H1).
D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1:

X¸c định một hoặc nhiều phép tịnh tiến để thiết lập mối liên kết
giữa các yếu tố.
Bớc 2:
Sử dụng các tính chất của phép tịnh tiến để giải các yêu cầu của
bài toán.
Ví dụ 1:
Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
1
MP + NQ = ( AB + BC + CD + DA).
(*)
2

 Híng dÉn: Sư dụng phép tịnh tiến T

uu
ur
BC

MP

(D) = E để chứng minh bất đẳng thức:

1
(AD + BC).
2

1
(AB + CD).
2

Từ đó, để có (*) thì ABCD là hình bình hành.
Tơng tự, chứng minh bất đẳng thức NQ



Giải
uu
ur
Thực hiện phép tịnh tiến TBC : D a E.
Khi đó tứ giác BCED là hình bình hành, vì P là trung điểm của CD nên P cũng là
trung điểm của BE.
Do đó, ta có:
1
1
1
MP = AE ≤ (AD + DE) = (AD + BC).
(1)
2
2
2
DÊu bằng chỉ xảy ra khi:
C
A, D, E thẳng hàng AD//BC.
B
Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã:
P
1
M
NQ ≤ (AB + CD).
(2)

2
E
DÊu b»ng chØ x¶y ra ⇔ AB//CD
A
D
Céng theo vÕ (1), (2), ta đợc:
1
MP + NQ ( AB + BC + CD + DA). (3)
2
Vậy để có (*) thì dấu “ = ” x¶y ra ë (3) khi dÊu “ = xảy ra tại (1) và (2)
AB // CD

ABCD là hình bình hành.
BC // AD
Bài toán 3: Giải bài toán định lợng.
Phơng pháp áp dụng

7


Bằng việc thiết lập đợc các phép tịnh tiến thích hợp, ngoài việc chứng minh đợc các
tính chất hình học ta còn có thể tính toán đợc các yếu tố trong một hình.
)
)
Ví dụ 1:
Tứ giác ABCD có AB = 3 , BC = 3. CD = 2 3 , BAD = CDA = 600. Tìm số
Ã
Ã
đo góc ABC và BCD.

Hớng dẫn: Các em học sinh cần phác thảo tơng đổi đúng hình vẽ với các số đo của giả
thiết. Từ đó, lựa chọn phép tịnh tiến để tạo đợc quan hệ song song (cụ
thể là hình bình hành trung gian).



Giải
A
A
uu
ur
Xét phép tịnh tiến TDC : A a A', khi đó tứ giác ADCA'
)
là hình bình hành và BAA ' = 600.
B
Trong ∆ABA', ta cã:
)
0
BAA ' = 60 , AA' = 2AB.
)
Do đó ABA' vuông tại B và BA 'A = 300, A'B = 3.
V× A'B = BC = 3 nên BCA' cân tại B, do đó:
)
)
)
)
D
C
BCA ' = BA 'C = AA 'C − BA 'C = 600 − 300 = 900.
)

)
)
)
ABC = 3600 − ( BAD + CDA + BCD ) = 3600 − (600 + 600 + 900) = 1500.
Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M.

Phơng pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bớc:
r
Bớc 1:
Tìm một phép tịnh tiến T v , biến điểm E di động thành điểm M.
Bớc 2:
Tìm tập hợp (H) của các điểm E.
r
Bớc 3:
Vậy tập hợp các điểm M là ¶nh cđa (H) trong phÐp tÞnh tiÕn T v .
VÝ dụ 1:
Cho đờng tròn (O) và hai điểm cố định A và B. Một điểm M thay đổi trên
u u u u ur u u
u ur u u u r
®êng tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M' sao cho MM ' + MA = MB .
(*)

 Híng dÉn: Víi gi¶ thiết của rbài toán này chúng ta sẽ định hớng đợcuungay rằng "Cần
u u r
u r

tìm một vectơ v biến ®iĨm M thµnh ®iĨm M' (tøc lµ MM ' = v )", bởi quỹ
tích của điểm M' phụ thuộc vào sự di động của điểm M. Và công việc
này đợc thực hiện khá đơn giản từ điều kiện (*).

M
M'
Giải
Từ giảu u u ucã:u ur u u
thiÕt, ta
u ur u r u u
u
ur
MM ' = MB − MA = AB .
A
B
Tøc là u u là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến
M'
ur
theo vectơ AB .
Vậy, quỹr tích điểm M' là đờng tròn (O') là ảnh của đờng tròn (O) qua phép tịnh tiến
uu
u
theo vectơ AB .

8


Ví dụ 2:
Cho hai đờng tròn (O) và (O1) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một giao
điểm. Đờng thẳng (d) di động qua A và cắt hai đờng tròn đà cho tại M và N. Trên hai
tia AM và AN lấy hai điểm B và C sao cho:

u u u ur
ur
uu
uu
ur
2 BA = 2 AC = MN .
(*)
T×m quỹ tích các điểm B và C.
I
O1
O2
Hớng dẫn: Vì vai trò của B, C là nh nhau trong biểu
B E O
F





thức điều kiện nên chúng ta thực hiện với
M
định hớng "Tìm quỹ tích điểm B".

O2

A

NC

Giải

Dựng OE và O1F vuông góc với (d).
Ta có E, F lần lợt là trung điểm các đoạn AM, AN và:
ur
uu uu uu
ur
ur
u
uu u u
ur
1 u ur
1 u ur
EF = ( MA + NA ) = MN = BA = AC
2
2
Dùng O1I vu«ng gãc víi OE, khi đó tứ giác O1IEG là hình chữ nhật
Từ đóur ra:
suy
uu ur
u
uu
ur
O1I = FE = AB O1ABI là hình bình hành
uu
ur u ur
u
u u
u
IB = O1A B = TOuur (I).
A
Ã

Vì O'IO vuông nên tập hợp các điểm I là đờng tròn (O2) đờng kính OO1, từ đó suy
ra tập hợp các điểm B là đờng tròn (O2) với
u u
u
(O2) = TOuur [(O2)].
A
uu
uu
r
Tơng tự ta có tập hợp điểm C là đờng tròn (O3) với (O3) = TOA [(O2)].
1

1

Bài toán 5: Dựng hình.
Phơng pháp áp dụng
Ta luôn thực hiện theo 4 bớc đà biết.
Ví dụ 1:
Dựng hình thang ABCD (AB//CD) biÕt hai ®êng chÐo AC = a, BD = b, góc
Ã
ABC = và đờng trung bình MN = c.

Hớng dẫn: Trớc tiên, các em học sinh hÃy phác thảo hình thang ABCD với các số đo tơng ứng để thấy đợc rằng không thể dựng đợc hình thang ABCD bằng
cách thông thờng. Và ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phép tịnh tiến trong bớc phân tích cùng với kết quả "Mọi tam giác đều dựng đợc khi biết số đo
uu
ur
ba cạnh của nó", cụ thể với tia Dt cắt AB tại D ( TCA (D) = D ' ) thì BDD
có đợc đầy đủ số đo độ dài của ba cạnh bởi:
BD = b, DD = CA = a,
BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c.

Giải
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc hình thang ABCD thoả mÃn điều kiện đầu bµi.

9


Thùc hiƯn phÐp tÞnh tiÕn
y
uu
ur
TCA : D a D'
D
C x
khi đó tứ giác ACDD' là hình bình hành nên ta cã:
BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c
N
M
BDD' dựng đợc, (biết 3 cạnh).
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
- Dựng BDD' với BD' = 2c, BD = b, DD' = a
A
D’
B
- Dùng Dx // BD'.
- Dựng By hợp với BD' góc , By cắt Dx tại C.
- Dựng Cz // DD', Cz cắt BD" tại A.
Thì tứ giác ABCD là hình thang cần dựng.

Chứng minh: Theo cách dựng ta có:
- CD//AB nên ABCD là h×nh thang; BD = b, gãc ABC = α
- AC = DD' = a (do ACDD' là hình bình hành) vµ:
1
1
1
MN = (AB + DC) = (AB + AD') = BD' = c.
2
2
2
Biện luận: Bài toán có nghiệm hình
BDD' dựng đợc a b < 2c < a + b.
Bài toán 6: Hệ toạ độ đối với phép tịnh tiến.

Phơng pháp áp dụng
Ta trình bày phơng pháp thực hiện hai dạng toán
r
Dạng 1: Xác định điểm M1 là ảnh của điểm M0(x0; y0) qua phép tịnh tiến vectơ v
(a; b).
Khi đó, toạ độ điểm M1(x; y) đợc cho bëi:
x = a + x0
.

 y = b + y0
D¹ng 2: Tìm phơng trình của hình (H1) là ảnh của hình (H): f(x, y) = 0 qua phép
r
tịnh tiến vectơ v (a; b).
Khi đó, mỗi điểm M(x; y)(H1) là ảnh của một điểm M0(x0; y0) (H)
r
qua phép tịnh tiến vect¬ v (a; b), ta cã:

 M 0 (x 0 , y0 ) ∈ (H) f (x 0 , y0 ) = 0


⇔ x0 = x − a
x = x0 + a
y = y + b
y = y − b
0

 0

f(x a, y b) = 0.
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (H1).

10

(*)


Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với , a, b là những số cho trớc, xét phép biến hình
F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y'), trong ®ã:

a.
b.
c.
d.

 x ' = x cos α − ysin α + a
.

(*)

 y ' = x sin α + y cos α + b
Cho hai ®iĨm M(x1, y1), N(x2, y2) và gọi M', N' lần lợt là ảnh của M, N qua
phép F. HÃy tìm toạ độ của M' và N'.
Tính khoảng cách d giữa M và N, khoảng cách d' giữa M' và N'.
Phép F có phải là phép dời hình hay không ?
Khi = 0, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến.

Hớng dẫn: Chúng ta lần lợt:





Với câu a), sử dụng ngay công thức (*).
Với câu b), sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.
Với câu c), thực hiện phép so sánh MN với MN để có lời kết luận.
Với câu d), ta đi chứng minh x, y, x, y thoả mÃn công thức (CT).



Giải
a. Ta lần lợt có:
M'(x1.cos y1.sin + a; x1.sinα + y1.cosα + b),
N'(x2.cosα − y2.sinα + a; x2.sin + y2.cos + b).
b. Ta lần lợt có:
d=

(x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 .

(1)

(d')2 = (M'N')2 = [(x2.cosα − y2.sinα) − (x1.cosα − y1.sinα)]2 +
+ [(x2.sinα + y2.cosα) − (x1.sinα + y1.cosα)]2
= [(x2 − x1).cosα − (y2 − y1).sinα]2 + [(x2 − x1).sinα + (y2 − y1).cosα]2
= (x2 − x1)2.cos2α + (y2 − y1) 2.sin2α + (x2 − x1) 2.sin2α + (y2 − y1) 2.cos2α
= (x2 − x1)2.(cos2α + sin2α) + (y2 − y1) 2.(sin2α + cos2α)
= (x2 − x1)2 + (y2 − y1) 2
⇔ d' =

(x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 .

(2)

c. Tõ (1) vµ (2) suy ra d = d' (hay MN = M'N').
Vậy, phép biến hình F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên theo định
nghĩa nó là một phÐp dêi h×nh.
d. Víi α = 0, ta thÊy:
 x ' = x cos 0 − ysin 0 + a
x ' = x + a

F là phép tịnh tiến.

y ' = x sin 0 + y cos 0 + b
y ' = y + b
VÝ dơ 2:

Trong mỈt phẳng toạ độ Oxy, xét các phép biến hình sau ®©y:
11

Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(y; x).
Phép biến hình F2 biến mỗi ®iĨm M(x; y) thµnh ®iĨm M'(2x; y).
Trong hai phÐp biÕn hình trên, phép nào là phép dời hình.



Giải
a. Phép biến hình F1 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai ®iĨm M'(y1; −x1),
N'(y2; −x2).
Khi ®ã, ta cã:
M'N' = (y 2 − y1 ) 2 + (− x 2 + x1 ) 2 = (x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 = MN.
VËy, F1 là một phép dời hình.
b. Phép biến hình F2 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai điểm M'(2x1; y1),
N'(2x2; y2).
Khi ®ã, ta cã:
M'N' = (2x 2 − 2x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 = 4(x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 MN.
Vậy, F2 không là một phép dời hình.
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là ảnh của
r
đờng thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ v , biết:
r
a. (d): x + 3y − 2 = 0 vµ v (1; 1).
r
b. (d): 2x + y − 2011 = 0 vµ v (1; 2).

Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình một đờng thẳng chúng ta đều biết rằng có thể
lựa chọn một trong ba cách:

a. Cách 1: Biết một điểm mà đờng thẳng đó đi qua cùng phơng của nó.
Nh vËy, ta sÏ thùc hiƯn:
 B»ng viƯc sư dơng c«ng thức toạ độ của phép tịnh tiến ta tìm
một điểm mà (d1) đi qua.
Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hc trïng víi nã, tøc (d 1) song song víi
(d).
b. Cách 2: Biết hai điểm phân biệt mà đờng thẳng đó đi qua.
c. Cách 3: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.
r
Trờng hợp đặc biệt, khi v là một vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d) thì
(d1) sẽ trùng với (d).



Giải
a. Ta có ba cách trình bày sau:
r
Cách 1: Lấy điểm A(2; 0) ∈ (d) vµ gäi A1 = Tv (A) , ta cã:
x = 2 + 1 = 3
A1: 
⇒ A1(3; 1).
y = 1
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:

12


qua A1 (3;1)
qua A1 (3;1)
(d1): 

⇔ (d1): 
⇔ (d1): x + 3y − 6 = 0.
(d1 ) //(d)
(d1 ) :x + 3y + C = 0
Cách 2: Lấy hai điểm A(2; 0) vµ B(−1; 1) thuéc (d) vµ gäi:
x = 2 + 1 = 3
r
A1 = Tv (A) ⇒ A1: 
⇒ A1(3; 1).
y = 1
 x = −1 + 1 = 0
r
B1 = Tv (B) ⇒ B1: 
⇒ B1(0; 2).
y = 1 + 1 = 2
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (3;1)
x 3 y −1
=
(d1): qua B (0; 2) ⇔ (d1):
⇔ (d1): x + 3y − 6 = 0.
0 − 3 2 −1
1

C¸ch 3: Mỗi điểm M(x; y) (d1) là ảnh của một điểm M0(x0, y0) (d) qua phép tịnh
r
tiến vectơ v (1; 1), ta cã:
 x 0 + 3y 0 − 2 = 0
 M 0 (x 0 ; y0 ) ∈ (d)



u ur
u u u r
⇔ x − x0 = 1
M 0 M = v

y − y = 1
0


⇒ (x − 1) + 3(y − 1) − 2 = 0 x + 3y 6 = 0.
(*)
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (d1).
r
b. Nhận xét rằng đờng thẳng (d) có vtcp là chính v (1; 2) nên phép tịnh tiến theo
r
vectơ v biến (d) thành chính nó.
Do đó, ảnh của (d) cũng có phơng trình 2x + y 2011 = 0.

Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng tròn (C1) là ảnh của đờng
r
tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vect¬ v , biÕt:
r
a. (C): (x + 2)2 + (y − 1)2 = 4 vµ v (2; 1).
r
b. (C): x2 + y2 − 4x + y − 1 = 0 và v (1; 2).

Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình một đờng tròn chúng ta đều biết rằng có thể lựa
chọn một trong hai cách:

a. Cách 1: Biết toạ độ tâm và độ dài bán kính của nó. Do đó, bằng việc
sử dụng công thức toạ độ của phép tịnh tiến ta tìm đợc toạ độ tâm I1
của đờng tròn (C1) là ảnh tâm I của đờng tròn (C) qua phép tịnh tiến
r
theo vectơ v . Từ đó:



Tâm I1
(C1 ) :
, với R là bán kính đờng tròn (C).
Bkính R
b. Cách 2: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.

Giải
a. Ta có hai cách trình bày sau:
r
Cách 1: Đờng tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính R = 2. Gäi I1 = Tv (I) , ta cã:

13


 x = −2 + 2 = 0
I1: 
⇒ I1(0; 2).
y = 1 + 1 = 2
Khi đó, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi:
Tâm I1 (0; 2)
(C1): 
⇔ (C1): x2 + (y − 2)2 = 4.

BkÝnh R = 2

Cách 2: Mỗi điểm M(x; y) (C1) là ¶nh cđa mét ®iĨm M0(x0; y0) ∈ (C) qua phÐp tịnh
r
tiến vectơ v (2, 1), ta có:
(x 0 + 2) 2 + (y 0 − 1) 2 = 4
 M 0 (x 0 ; y0 ) ∈ (C)


⇔ x0 = x − 2
x = x0 + 2
y = y + 2
y = y −1
0

 0

⇒ (x − 2 + 2)2 + (y − 1 − 1)2 = 4 ⇔ x2 + (y 2)2 = 4.
(*)
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (C1).
b. Ta có hai cách trình bày sau:
Cách 2: Mỗi điểm M(x; y) (C1) là ảnh của một điểm M0(x0; y0) (C) qua phép tịnh
r
tiến vect¬ v (1; −2), ta cã:
2
2
 x 0 + y 0 − 4x 0 + y0 − 1 = 0
 M 0 (x 0 ; y0 ) ∈ (C)



⇔ x0 = x − 1
x = x0 + 1
y = y − 2
y = y + 2
0

 0
⇒ (x − 1)2 + (y + 2)2 − 4(x − 1) + y + 2 − 1 = 0
⇔ x2 + y2 − 6x + 5y + 10 = 0.
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (C1).
1

21
Cách 2: Đờng tròn (C) có tâm I 2; ữ và bán kính R =
.
2

2
r
Gäi I1 = Tv (I) , ta cã:
x = 2 + 1 = 3
5


I1 : 
1
5 ⇒ I1  3; − ÷.
2

y = − 2 − 2 = − 2


Khi đó, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi:

5

2
Tâm I1  3; − 2 ÷.



5
21

2
(C1): 
(C1 ) : (x − 3) +  y + ÷ = .
2  24

21

 BkÝnh R = 2


14

(*)


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 550.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

C. bµi tËp rÌn luyện
Bài tập 1. Cho hai tam giác bằng nhau ABC vµ A’B’C’ (AB = A’B’, BC = B’C’, CA = CA).
Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến ABC thành ABC.
Bài tập 2. Có hay không một phép dời hình F sao cho mọi đờng thẳng đều biến thành
đờng thẳng song song với nó.
Bài tập 3. Chứng minh rằng phép dời hình F biến mỗi đờng thẳng a thành đờng thẳng
a vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.
Bài tập 4. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến
mỗi điểm A, B, C thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Bài tập 5. Cho hai đờng tròn (O, R) và (O', R'), R R' và một đờng thẳng (). HÃy
dựng một đờng thẳng (d) song song với () cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm A, B, A',
B' sao cho AB = A'B'
Bài tập 6. Giả sử phép dời hình f biến ABC thành A'B'C'. Chứng minh rằng:
a. Trọng tâm ABC biến thành trọng tâm A'B'C'.
b. Trực tâm ABC biến thành trực tâm A'B'C'.
c. Tâm đờng tròn ngoại tiếp (nội tiếp) ABC biến thành tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp
(néi tiÕp) ∆A'B'C'.
15


Bài tập 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O, R), trong đó AD = R. Dựng

các hình bình hành DABM và DACN. Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác DMN nằm trên (O, R).
Bài tập 8. Tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là ảnh của đờng thẳng (d) qua phép
r
tịnh tiến vectơ v , biÕt:
r
r 1
a. (d): x − 3y + 3 = 0 vµ v (−3; −2).
b. (d): 2x − 6y + 3 = 0 vµ v ( ; −3).
2
Bµi tËp 9. Tìm phơng trình của đờng tròn (C1) là ảnh của đờng tròn (C) qua phép tịnh
r
tiến vectơ v , biết:
r
a. (C): (x − 2)2 + (y − 2)2 = 9 vµ v (−2; 1).
r
b. (C): x2 + y2 − 2x − 4y − 2 = 0 vµ v (0; 3).
r
r
Bµi tập 10. HÃy tìm vectơ v (a; b) sao cho khi tịnh tiến đồ thị y = f(x) theo v ta nhận
đợc đồ thị hàm số y = g(x), biết:
1
3
1
a. f(x) = − x2 − x +
vµ g(x) = − x2 + 4.
2
2
2
x2 − x + 1

x2
b. f(x) =
vµ g(x) =
.
x 1
x +1
D. hớng dẫn đáp số

Bài tập 1. Giả sử tồn tại hai phép dời hình khác nhau F1, F2 cùng thoả mÃn:
F1(ABC) = ABC,
F2(ABC) = ABC.
Khi đó:
M: F1(M) = M1, F2(M) = M2 và M1 M2.
Vì F là phép dời hình nên:
AM = A 'M1
AM1 = AM2 A thuộc đờng trung của đoạn M1M2.

 AM = A 'M 2
T¬ng tù, ta cịng thÊy B, C thuộc đờng trung của đoạn M1M2, suy ra:
A, B, C thẳng hàng mâu thuẫn.
Vậy, tồn tại duy nhất một phép dời hình biến ABC thành ABC.
Bài tập 2. Giả sử tồn tại phép dời hình F thoả mÃn điều kiện đầu bài. Khi đó, sẽ
không tồn tại điểm M để F(M) = M vì nếu trái lại thì với đờng thẳng a đi qua M ta có
F(a) = a và cả hai đờng thẳng sẽ không thĨ song song bëi cïng ®i qua ®iĨm M.
Tõ nhËn xét trên với điểm A bất kì, giả sử:
F(A) = A1
⇒ F(AA1) = F(A1A2)

 F(A1 ) = A 2
tøc F biến đờng thẳng a đi qua hai điểm phân biệt A, A1 thành đờng thẳng a' đi qua hai

điểm phân biệt A1, A2 và chúng cắt nhau tại A1, vô lí.
Vậy, không tồn tại phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Bài tập 3. Trớc tiên, sẽ không tồn tại hai điểm phân biệt biến thành chính nó qua F
bëi khi ®ã a sÏ trïng víi a’.
Gäi I là giao điểm của a với a, ta đi chứng minh F(I) = I.
16


Thật vậy, với A khác I giả sử:
F(A) = A1 a '
AA1A 2 A 3 là hình vuông tâm I


F(I) = I, đpcm.
F(A1 ) = A 2
 F(AA 2 )=A1A 3
 F(A ) = A
2
3

Bµi tập 4. Với phép dời hình F, thoả mÃn F(A) = A, F(B) = B, F(C) = C.
Giả sử trái lại F không phải là phép đồng nhất, tức là:
M: F(M) = M và M M.
Vì F là phép dời hình nên:
AM = AM '

BM = BM ' A, B, C thuộc đờng trung của đoạn MM
CM = CM '

A, B, C thẳng hàng mâu thuẫn.
Vậy F phải là một phép đồng nhất.
Bài tập 5.
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng thẳng (d) song song với (), cắt (O) và (O') lần lợt
tại các điểm A, B, A', B' sao cho AB = A'B'.
Vì AB = A' B ' nên AA ' = BB ' .
Thực hiện phép tịnh tiến vectơ AA' thì (O, R)
()
K
có ảnh là (O1, R) đi qua A' và B' với I là gao điểm
của đờng thẳng Ox // ().
B
A
B A
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
(d)
O1
- Dựng Ox // ().
O
O
- Dựng O'K (), O'K cắt Ox tại I.

- Dựng (O , R) và (O , R) cắt (O', R') tại A' và B'
1

1

Khi đó, đờng thẳng A'B' là đờng thẳng (d) phải dựng.
Chứng minh: Vì:
- (d) O'K nên (d) // ().

- (d) cắt (O1, R) tại A', B' nên (d) cắt (O, R) tại A, B và AB = A'B'.
Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi hai đờng tròn (I, R) và (O', R') cắt nhau.
Khi đó, bài toán chỉ có một nghiệm.
Bài tập 6.
a. Gọi M là trung điểm của đoạn BC và G là trọng tâm ABC. Giả sử:
f(M) = M' và f(G) = G'.
Từ tính chất không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm, ta suy ra:
M' là trung điểm của B'C' A'M' là trung tuyến.
(1)
2
AG
A' G'
=
=
.
3
AM
A' M'

(2)
Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm A'B'C'.
b. Gọi AA1, BB1 là hai đờng cao của ABC và H là trực tâm ABC. Giả sử:

17


f(B1) = B1', f(A1) = A1' vµ f(H) = H'.
Tõ tÝnh chÊt cđa phÐp dêi h×nh, ta suy ra:
H' = A1A1' B1B1'.
Từ tính chất bảo toàn độ lớn góc của phép dời hình, ta suy ra:

A1A1', B1B1' là các đờng cao của A'B'C'.
Từ (3) và (4) suy ra H' là trực tâm A'B'C'.
c. Ta lần lợt xét:




(3)
(4)

Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Giả sử:
f(O) = O'.
Từ tính chất không làm thay đổi khoảng cách giữa hai ®iĨm, ta suy ra:
O'A' = O'B' = O'C' bëi OA = OB = OC.
Vậy, điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp A'B'C'.



Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC. Giả sử:
f(I) = I'.
Từ tính chất bảo toàn ®é lín gãc cđa phÐp dêi h×nh, ta suy ra:
·
·
I 'A 'B' = I 'A 'C' ⇒ I thuéc ®êng phân giác của góc Â'. (5)
Ã
Ã

I 'B'A ' = I 'B'C' I thuộc đờng phân giác của góc B '.

(6)

Từ (3) và (4) suy ra I là tâm đờng tròn nội tiếp A'B'C'.
N
D
Bài tập 7. Từ giả thiết, ta cã:
uu uu uu
ur uu ur
r
O C
A
uu
ur
AD = BM = CN ⇒ TAD ( ∆ABC) = ∆DMN
’
O
uu
ur
TAD (O) = O ' là tâm đờng tròn ngoại tiếp DMN.
suy ra
M
Mặt khác, ta còng cã:
u u u ur
ur u u
B
AD = OO ' OO = R O (O, R), đpcm.
Bài tËp 8. a. x − 3y = 0.
b. x − 3y + 14 = 0.
2
2
Bµi tËp 9. a. x + (y − 3) = 9.

b. (x − 1)2 + (y − 5)2 = 7.
r
r
Bµi tËp 10. a. v (−2; −2).
b. v (−2; 3).

18