ks HSG toán 7 năm 2013 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN THI: TOÁN 7
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài:150 phút

Câu 1: ( 4 điểm). Tính:

5.415.99 − 4.320.89
a) A =
;
5.210.619 − 7.2 29.27 6
2

 1  −1  1
3
b) B = ( 0,1)  +  ÷  . . ( 22 ) : 25 

 7   49 
2

0

Câu 2: ( 4 điểm)
a) Tìm các số a, b, c biết:
2a = 3b, 5b = 7c và 3a - 7b + 5c = -30
b) Cho tỉ lệ thức

a c
5a + 3b 5c + 3d
= . Chứng minh rằng :
=

b d
5a − 3b 5c − 3d

Câu 3: ( 4 điểm)
Tìm số x thỏa mãn:
a) x − 2012 + x − 2013 = 2014
x− 3
2
2
b) 3 + 2 = 24 −  4 − (2 − 1) 
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm
E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
·
·
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE
= 50o ; MEB
=25o .
·
·
Tính HEM
và BME
Câu 5: (2,0 điểm)
Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
...............................................Hết............................................

Câu

Đáp án
a) A

5.4 .9 − 4.3 .8
5.2 .3 − 2 .3 .2
10 19
29
6 =
5.2 .6 − 7.2 .27
5.210.219.319 − 7.2 29.33.6
2 29.318 5.2 − 32
= 29 18
2 .3 ( 5.3 − 7 )
10 − 9 1
=
=
15 − 7 8
15

9

20

9

2.15

(

1
(4đ)

b) B = 1 + 49.

2.9

2

20

3.9

)

Điểm
1
0,5
0,5
1
1

1
. ( 2 6 : 25 )
49

= 1 + 2 = 3.
a
3

b
a
b
=
(1)
2
21 14
b c
b
c
5b = 7c ⇒ = ⇒ = (2)
7 5 14 10

a) Vì 2a = 3b ⇒ = ⇒

0,5
0,5

Từ (1) và (2) suy ra:

a
b
c 3a 7b 5c 3a − 7b + 5c
= =
=
=
=
=
21 14 10 63 98 50 63 − 98 + 50

a
b
c −30
⇒
=
= =
= −2
21 14 10 15
2
(4đ) ⇒ a = −42, b = −28, c = −20
a c
b) Đặt = = k ⇒ a = kb, c = kd .
b d
5a + 3b b(5k + 3) 5k + 3
=
=
Suy ra :
và
5a − 3b b(5k − 3) 5k − 3
5c + 3d d (5k + 3) 5k + 3
=
=
5c − 3d d (5k − 3) 5k − 3
5a + 3b 5c + 3d
=
Vậy
5a − 3b 5c − 3d

3
a) Nếu x ≤ 2012 từ (1) suy ra : 2012 – x + 2013 – x = 2014 ⇒ x =

(4đ) 2011
( thỏa mãn điều kiện)
2

Nếu 2012 ≤ x < 2013 từ (1) suy ra : x – 2012 + 2013 – x = 2014
hay 1 = 2014 (loại)
Nếu x ≥ 2013 từ (1) suy ra : x – 2012 + x – 2013 = 2014 ⇒ x =
6039
( thỏa mãn điều kiện)
2

Vậy giá trị x là :

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
2011
6039
hoặc
2
2

0,5

b)3 + 2x-3 = 24 - [16 - (4 - 1)] ⇔ 3 + 2x-3 = 24 - [16 - 3 ]
⇔ 3 + 2x-3 = 24 - 13 ⇔ 3 + 2x-3 = 11
⇔ 2x-3 = 8 = 23
⇔ x - 3 = 3 ⇔ x = 6. Vậy x = 6
Vẽ hình

0,5
0,5
0,5
0,5

A

I
M

B

C
H

K

E

a) Xét ∆AMC và ∆EMB có :
AM = EM (gt )
·AMC = EMB

·
(đối đỉnh )
BM = MC
(gt )
∆
AMC
Nên :
= ∆EMB (c.g.c )
·
·
⇒ MAC = MEB
Suy ra AC // BE (có 2 góc có vị trí so le trong bằng nhau)

0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25

4
b)Xét ∆AMI và ∆EMK có : AM = EM (gt )
(6đ) MAI
·
·
= MEK
( vì ∆AMC = ∆EMB )
AI = EK (gt )
Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )
·

·
Suy ra ·AMI = EMK
Mà ·AMI + IME
= 180o ( hai góc kề bù )
·
·
⇒ EMK
+ IME
= 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng

0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25

µ = 90o ) có HBE
·
c) Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o
·
·
= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
⇒ HEB
·
·
·
= HEB

- MEB
= 40o - 25o = 15o
⇒ HEM
·
là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM
BME
·
·
·
Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )
5
x( y + 3) – ( y +3) = 3
(2đ) (x -1)( y + 3) = 3
 x − 1 = ±1  x − 1 = ± 3
;

 y + 3 = ±3  y + 3 = ±1

Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4)
tài nguyên giáo dục...

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5