KS HSG Toán 7

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7
(Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1.
a) Tìm nghiệm của đa thức
2004
4
2005
3
2006
2
2007
1
)(
+
−
+
−
+
+
+
=
xxxx
xg
.
b) Chứng tỏ rằng đa thức
2
9
2
7
)(
2

++=
yyyh
không có nghiệm.
c) Tìm các số nguyên z thoả mãn
2
1
7
7
1
3
6
1
4:
2
1
3
3
1
21437
+






+−







+≥≥−
z

Câu 2. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng có độ dài là h
a
,
h
b
, h
c
. Biết rằng h
a
, h
b
, h
c
tỉ lệ với 20, 15, 12. Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác
vuông.
Câu 3. Cho tam giác ABC có
0
60
ˆ
=
A
. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, tia
phân giác của góc C cắt cạnh AB tại F, hai tia phân giác này cắt nhau tại I. Các đường phân
giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại K. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI

và KC.
a) Tính các góc:
CKBCEBCIB
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
.
b) Chứng minh ID = IF.
Câu 4. Cho đa thức bậc hai
baxxxf
++=
2
)(
, biết rằng với mọi giá trị của biến x thoả
mãn
1
≤
x
thì
2
1
)(
≤
xf
. Tính giá trị của đa thức
33
ba
+

.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG
TOÁN 7
Câu 1 (3 điểm)
a) Ta có
⇔=
0)(xg
0
2004
4
2005
3
2006
2
2007
1
=
+
−
+
−
+
+
+
xxxx
0
2004
2008
2005
2008

2006
2008
2007
2008
=
+
−
+
−
+
+
+
⇔
xxxx
( )
0
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
=







−−++⇔
x
( )
200802008
−=⇔=+⇔
xx
Vậy đa thức có nghiệm duy nhất
2008
−=
x
1 điểm
b)Ta có
Rxyyyyh
∈∀>+






+=+






++=

,0
16
7
1
4
7
16
7
1
4
7
4
7
.2)(
22
2
suy ra đa thức không
có nghiệm. 1điểm
c) Ta có
;3,21437
>−
và
86
69
1
2
1
7
7
1

3
6
1
4:
2
1
3
3
1
2
=+






+−






+
do đó từ đó
2
1
7
7

1
3
6
1
4:
2
1
3
3
1
21437
+






+−






+≥≥−
z
suy ra
⇒≥>
86

69
13,2 z
z = 2 vì z là số
nguyên. 1 điểm
Câu 2 (1,5 điểm)
Theo đề ra ta có
12:15:20::
=
cba
hhh
Mặt khác
==⇒==⇒===
cba
cba
cbaABC
hhh
cba
h
c
h
b
h
a
chbhahS
1
:
1
:
1
::

111
2
1
2
1
2
1
2525169
5:4:3
12
1
:
15
1
:
20
11
:
1
:
1
::
22222
bacba
hhh
cba
cba
+
===⇒===⇒
222

bac
+=⇒
suy ra tam giác ABC là tam giác vuông .
Câu 3 (2,5 điểm) Vẽ đúng hình (Trang sau) 0,5
điểm
a) + Theo tính chất phân giác và tổng ba góc trong tam giác tính được:
0
00
0
120
2
60180
180
ˆ
=
−
−=
CIB
+ Ta có FC⊥CE , EB⊥ BK (Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒
0
90
ˆ
=
ECI
,
0
90
ˆ
=
KBE

Từ đó
000
3090120
ˆ
=−=
CEB
(T/c góc ngoài tam giác IEC),
000
603090
ˆ
=−=
EKB
1 điểm
b) Vẽ phân giác IG của
CIB
ˆ
, chứng minh
0
60
ˆˆˆˆ
====
CIECIGBIGBIF
kết hợp với giả thiết chứng minh
)..( gcgBFIBGI
∆=∆
và
)..( gcgCDICGI
∆=∆

suy ra IF=IG=ID.

1 điểm
Câu 4 (2,5 điểm)
Với
[ ]
1;1
−∈∀
x
ta có
2
1
)(
≤
xf
, thay x=0, x=1, x= -1 vào
baxxxf
++=
2
)(
ta có:









−≤+−≤−
−≤+≤−

≤≤−
⇒





+−=−
++=
=
)3(
3
1
2
3
)2(
2
1
2
3
)1(
2
1
2
1
1)1(
1)1(
)0(
ba
ba

b
baf
baf
bf
Từ (2) và (3) ta được
2
1
2
3
−≤≤−
b
kết hợp với (1) suy ra
2
1
−=
b
Thay
2
1
−=
b
vào (2) và (3) ta được
01
≤≤−
a
và
10
≤≤
a
do đó a=0

E
A
B
C
D
F
I
K
60
0
G
Vậy giá trị của đa thức
33
ba
+
là
8
1
−
.