Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải toán cho học sinh lớp 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HOÁ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG
VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 6

Người thực hiện : Nguyễn Thị Nghiêm
Chức vụ :
Phó Hiệu trưởng
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC
Nội dung
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5 Những điểm mới của SKKN.
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1. Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất chia hết của
một tổng.
2. Rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh.
3. Rèn kĩ năng biến đổi, tính toán.
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Danh mục các đề tài SKKN đã được đánh giá

Trang
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
5
7
9
15
16
18

19

2


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trò vô cùng quan
trọng đối với đời sống, kinh tế, xã hội, ... Đặc biệt toán học là cơ sở, là phương
tiện để nghiên cứu các ngành khoa học khác. Có thể nói toán học là chìa khoá,
mở ra những con đường để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học phục vụ cho đời
sống con người.
Trong toán học có nhiều bộ môn, bộ môn nào cũng có cái hay, cái thú vị
và cái khó của nó. Ở cấp trung học cơ sở hiện nay học sinh được học và nghiên
cứu một số môn như: Số học, đại số và hình học.
Riêng đối với bộ môn số học: trước những bài toán số học, đặc biệt là
những bài toán về chia hết học sinh thường rất lúng túng không biết phải bắt đầu
từ đâu và đi theo hướng nào. Do đó các lập luận trong bài toán chứng minh của
các em thường dài dòng, rời rạc, thiếu căn cứ, không đảm bảo tính khoa học và
lôgic. Trong khi đó kiến thức về phép chia hết là một trong những nội dung quan
trọng của chương trình toán lớp 6. Kiến thức này còn được lồng ghép xuyên suốt
chương trình toán trung học cơ sở. Sách giáo khoa chưa đưa ra các phương pháp
chứng minh bài toán chia hết, không chia hết, vì thế mà học sinh còn nhiều lúng
túng khi gặp dạng toán này.
Vậy phải dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức
cơ bản một cách có hệ thống mà phải được vận dụng được vào giải bài tập nâng
cao,phát triển để có các hứng thú, say mê trong học tập đó là một câu hỏi mà
mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Bản thân tôi trong năm học này được nhà trường phân công giảng dạy
Toán 6. Qua giảng dạy tôi đã rút ra được một vài kinh nghiệm nhỏ khi dạy phần

chia hết, vì vậy trong đề tài này tôi xin đưa ra một nội dung nhỏ đó là : "Rèn
luyện kĩ năng vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải toán cho
học sinh lớp 6".
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi sẽ trình bày một vài kinh nghiệm giúp học
sinh lớp 6 “Rèn luyện kỹ năng vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải
toán” . Cụ thể là :
- Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức : Tính chất chia hết của một tổng,
quan hệ chia hết, các dấu hiệu chia hết để giải toán chia hết.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “Phép chia hết” trong SGK Toán 6
tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy Toán 6.
- Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 6A - trường THCS Trần Mai Ninh
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp thực hành.
- Đúc rút một phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy
3


phần phép chia hết.
1.5. Những điểm mới của SKKN
Đưa ra một số bài tập ở dạng nâng cao thường gặp trong các đề thi HSG
có vận dụng tính chất chia hết của một tổng để giải quyết, qua đó học sinh thấy
được ứng dụng của tính chất này trong bài tập thật phong phú chứ không đơn
điệu, giúp học sinh có niềm say mê hơn với môn Toán.
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
- Mục tiêu của bậc học phổ thông ngày nay là hình thành và phát triển
được nền tảng tư duy của con người trong thời đại mới bao gồm nhiều nhóm
trong đó có: nhóm kiến thức và kĩ năng cơ bản , nhóm các kỹ năng tư duy.
Để đào tạo ra lớp người như vậy Đảng ta tiếp tục khẳng định: “ Phải đổi mới
giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư
duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến,
phương tiện dạy học hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự
nghiên cứu cho học sinh”
- Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện tư duy sáng tạo
cho người học là một vấn đề mà bản thân người thầy luôn hướng tới vì cốt lõi
của đổi mới dạy học là: “ Hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói
quen học tập thụ động”.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với học sinh:
Trường THCS Trần Mai Ninh đa số các em nắm được kiến thức cơ bản
khả năng suy luận tốt, chăm chỉ, làm hết bài tập cô giao. Song các em chỉ làm
một cách định lượng, chưa biết phát triển bài toán, chưa có thói quen tìm tòi
cách giải, khả năng tự học, tự nghiên cứu chưa cao. Do vậy việc giải quyết được
các bài toán cùng loại cũng như đề xuất và giải quyết được bài toán tổng quát
theo các hướng khác nhau còn gặp nhiều khó khăn, chưa tìm thấy được sau mỗi
bài toán không chỉ là lời giải mà còn ẩn chứa nhiều điều bất ngờ, thú vị.
Khảo sát thực tiễn của đề tài:
* Số liệu thống kê: Khi chưa áp dụng đề tài, tôi ra bài tập vận dụng tính
chất chia hết của một tổng, qua khảo sát 45 học sinh lớp 6A trường THCS Trần
Mai Ninh tôi nhận được kết quả như sau:
Sĩ số HS Trên 80%
Từ 65%
Từ 50%
Dưới

Năm học
lớp 6
đến 80%
đến 64%
50%
2016 - 2017
45
6
12
18
8
* Nguyên nhân: Học sinh không giải được hoặc giải sai là do:
- Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải các bài toán có
liên quan
- Các em là học sinh đầu cấp nên khả năng phân tích, tìm lời giải,cách
tổng quát hóa, tự hoc, tự nghiên cứu,…còn hạn chế.
- Kĩ năng giải một bài toán chưa có thuật giải còn non.
2.2.2. Đối với giáo viên
* Thuận lợi:
- Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với
4


nghề và luôn cầu tiến bộ, được công tác tại trường có bề dày về dạy và học.
- Nhà trường có cơ sở vật chất tốt mỗi phòng học có máy chiếu, giáo viên
soạn giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt các công nghệ thông tin trong giờ
dạy.
- Các tổ, nhóm chuyên môn hoạt động tích cực, thường xuyên dự giờ, trao
đổi, góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ.
* Khó khăn:

- Các bài tập vận dụng tính chất chia hết của một tổng không có phương
pháp giải chung cho tất cả các dạng.
- Mức độ rèn luyện phát triển tư duy logic trong các dạng toán liên quan
đến vấn đề này là khác nhau, chủ yếu còn dựa vào kinh nghiệm của người giáo
viên. Đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, có sự tổng hợp, có sự liên hệ
giữa các vấn đề, có thời gian, có tâm huyết và có tinh thần học hỏi cao thì mới
đáp ứng được chuyên môn và công việc giảng dạy của mình.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
A. Việc đầu tiên học sinh cần phải nắm vững kiến thức cơ bản về
phần chia hết: Phải hiểu thế nào là phép chia hết, tính chất chia hết của một
tổng, các dấu hiệu chia hết, các tính chất về quan hệ chia hết cũng như các
phương pháp thường dùng để giải toán chia hết.
1. Định nghĩa:
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0, nếu có số tự nhiên q sao cho
b. q = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia a:b = q.
2. Tính chất chia hết của một tổng :
2.1 Tính chất 1
Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng
chia hết cho số đó.
a Mm, b Mm, c Mm ⇒ (a + b + c) Mm
2.2 Tính chất 2
Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số
hạng khác của tổng đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
aM
m, b Mm, c m ⇒ (a + b + c) m
3. Các dấu hiệu chia hết:
3.1. Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
3.2. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó

chia hết cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
3. 3Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó bằng 0
hoặc 5.
3.4. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
5


Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 4 hoặc 25.
3.5. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
3.6. Dấu hiệu chia hết cho 11
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và
tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11.
4. Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho m thì k. a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a ± b) chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a ± b) không chia hết cho
m.
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n)

+ Nếu (a. b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b
chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên.
5. Một số phương pháp thường dùng để giải toán chia hết
- Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
- Dùng các tính chất của phép chia hết.
- Dùng định lí về chia có dư.
-Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng.
- Nguyên tắc Đirichlet.
B. Khi học sinh đã nắm vững phần lý thuyết nêu trên, giáo viên đưa
ra một số dạng bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng theo mức
độ tăng dần, từ dễ đến khó, khai thác, mở rộng bài toán, tổng quát hóa (nếu
có thể) nhằm nâng cao mức độ tư duy, sáng tạo, khả năng phát hiện vấn đề
của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy phần này giáo viên cần lưu ý rèn luyện một số
kĩ năng sau :
- Kĩ năng vận dụng tính chất chia hết của một tổng.
- Kĩ năng suy luận, chứng minh, khái quát hoá.
- Kĩ năng biến đổi, tính toán.
1. Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất chia hết của một tổng :
Để học sinh nắm chắc, vận dụng thành thạo tính chất chia hết của một tổng trong
quá trình giảng dạy tôi thường đưa ra các dạng bài tập có liên quan đến cả số, cả
chữ và một số những sai lầm học sinh thường mắc phải, cách sửa sai.
6


* Ví dụ 1:
Không tính tổng, xét xem trong các tổng sau tổng nào chia hết cho 9 ?
a. 1008 + 2007 + 351

b. 549 + 1071 + 190
c. 810 + 24 + 3
Giải :
a. Ta có 1008 M9, 2007 M9, 351 M9 (Dấu hiệu chia hết cho 9)
⇒ (1008 + 2007 + 351) M9
(Tính chất 1)
b. Ta có 549 M9, 1071 M9, 190 9
(Dấu hiệu chia hết cho 9)
⇒ (549 + 1071 + 190) 9
(Tính chất 2)
c. Ở câu này học sinh thường hay vội vàng khẳng định tổng đã cho không chia
hết cho 9 vì trong tổng có số hạng 24 và 3 không chia hết cho 9.
Đến đây giáo viên khắc sâu cho học sinh , nếu trong tổng có từ hai số hạng trở
lên không chia hết cho một số, trước hết tính tổng các số đó rồi mới xét đến sự
chia hết của tổng đã cho.
Ta có 810 + 24 + 3 = 810 + 27
Vì 810 M
9, 27 M
9 (Dấu hiệu chia hết cho 9)
⇒ (810 + 27) M9
(Tính chất 1)
Vậy (810 + 24 + 3) M
9
* Ví dụ 2 : Cho A = 125 + 2000 + x
(x ∈ N)
Tìm x để :
a. A M5
b. A 5
Giải :
Ta có 125 M5; 2000 M5

(Dấu hiệu chia hết cho 5)
a. A M5 nếu x M5
(Tính chất 1)
b. A 5 nếu x 5
(Tính chất 2)
* Ví dụ 3:
Cho B = 102 + 568 + m + 2004 + n
(m, n ∈ N)
a. Với điều kiện nào của m, n thì B M2
b. Với điều kiện nào của m, n thì B 2
Giải :
Ta có 102 M
2, 568 M
2, 2004 M
2
(Dấu hiệu chia hết cho 2)
a. B M2 nếu (m + n) M2
(Tính chất 1)
⇒ m và n cùng tính chẵn, lẻ
b. B 2 nếu (m + n) 2
(Tính chất 2)
⇒ m và n không cùng tính chẵn, lẻ
Sau khi vận dụng thành thạo tính chất chia hết của một tổng để nhận ra
tổng đã cho có chia hết hay không cho một số , giáo viên cho học sinh làm một
số dạng bài tập đơn giản có sử dụng tính chất này để các em không thấy sự đơn
điệu của nó.
* Ví dụ 4 : Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số ?
a. A = 2004. 127. 11 + 207. 747. 134 987 569
b. B = 8. 9. 11. 137 989 - 5. 3. 4. 7
Ở câu a giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách giải, đến đây có học sinh thực hiện

phép tính trước , sau đó sẽ kiểm tra số ước của số vừa tìm được; có học sinh sử
dụng dấu hiệu chia hết cho 3, tính chất chia hết của một tổng để khẳng định tổng
đã cho chia hết cho 3;…
7


Qua đó giáo viên chốt lại: Việc phân tích bài toán để tìm ra hướng giải là một
hoạt động rất quan trọng trong giải toán, nó quyết định thành công hay không
thành công của việc giải toán. Ở bài tập này sử dụng tính chất chia hết của một
tổng thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng.
Tương tự học sinh sẽ giải được câu b một cách dễ dàng.
Giải :
a. Vì 2004. 127. 11 M
3 ; 207. 747. 134 987 569 M3
nên (2004. 127. 11 + 207. 747. 134 987 569) M3 (Tính chất 1)
Do đó A là số tự nhiên lớn hơn 1 có ít nhất ba ước là 1 ; 3 ; chính nó
⇒A là hợp số
b. Vì 8. 9. 11. 137 989 M
2 ; 5. 3. 4. 7 M
2
nên (8. 9. 11. 137 989 - 5. 3. 4. 7) M2
(Tính chất 1)
Do đó B là số tự nhiên lớn hơn 1 có ít nhất ba ước là 1 ; 2 ; chính nó
⇒ B là hợp số
2. Rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc
biệt vì học sinh cần có kĩ năng này không những giải các bài toán chứng minh
mà cả khi giải một số bài có liên quan đến tính toán, đến cách phân tích để tìm
ra lời giải cho một bài toán, … Do vậy khi dạy phần này nên rèn luyện cho học
sinh kĩ năng suy luận và chứng minh theo các hướng:

- Tăng cường tiến hành các hoạt động nhận dạng và trình bày tính chất chia hết
của một tổng.
- Hướng dẫn học sinh suy luận theo quy tắc suy diễn và quy tắc quy nạp.
- Tích cực rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận ngược và suy luận xuôi (quy
tắc suy luận theo phương pháp phân tích đi lên và phương pháp tổng hợp).
- Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện.
Dưới đây là một số ví dụ minh hoạ cho các vấn đề nêu trên:
* Ví dụ 5: Khi một số tự nhiên chia cho 24 dư 16. Hỏi số đó có chia hết cho 8
không ? Cho 12 không ? Vì sao ?
Trước bài toán này giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Có dấu hiệu chia hết
cho 8 không? Dựa vào dấu hiệu này có khẳng định ngay số đã cho có chia hết
cho 8 không ?
Có dấu hiệu chia hết cho 12 không? Làm thế nào để nhận ra số đã cho có chia
hết cho 12 hay không?
Từ đó đặt học sinh vào tình huống có vấn đề, giáo viên hướng dẫn học sinh dựa
vào kiến thức phép chia có dư viết a = 24. k + 16 (k ∈ N), đến đây dựa vào
tính chất chia hết của một tổng học sinh nhận ra ngay a chia hết cho 8, a không
chia hết cho 12
Giải
Gọi số đó là a. (a ∈ N)
Vì a chia cho 24 dư 16 nên a = 24. k + 16
(k ∈ N)
- Ta có 24k M
8 và 16 M
8 ⇒ (24k + 16) M8
(Tính chất 1)
Do vậy a M8
- Ta có 24k M
12 và 16 12 ⇒ (24k + 16) 12
(Tính chất 2)

8


Do vậy a 12
* Ví dụ 6 : Chứng tỏ rằng :
a. Trong hai số tự nhiên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 2.
b. Trong ba số tự nhiên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 3.
Giải
a. Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là a và a + 1
(a ∈ N)
- Nếu a M
2 thì bài toán đã được giải
- Nếu a 2 thì a = 2k + 1
(k ∈ N)
⇒ a + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2
Vì 2k M
2;2M
2 nên (2k + 2) M
2
(Tính chất 1)
⇒a + 1 M
2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 2.
b. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2
(a ∈ N)
- Nếu a M
3 thì bài toán đã được giải
- Nếu a 3 thì a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 (k ∈ N)
+) Với a = 3k + 1 thì a + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3
Vì 3k M

3, 3 M
3 nên (3k + 3) M
3 (Tính chất 1)
⇒a + 2 M
3
+) Với a = 3k + 2 thì a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3
Vì 3k M
3, 3 M
3 nên (3k + 3) M
3 (Tính chất 1)
⇒a + 1 M
3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3.
* Ví dụ 7 : Chứng minh rằng trong hai số chẵn liên tiếp chỉ có duy nhất một số
chia hết cho 4.
Giải
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2 (n ∈ N)
- Nếu n chẵn thì n = 2k (k ∈ N)
Ta có 2n = 2. 2k = 4k M4
2n +2 = 2. 2k + 2 = 4k + 2
Vì 4k M
4 ; 2 4 nên (4k + 2) 4
(Tính chất 2)
⇒ 2n + 2 4
- Nếu n lẻ thì n = 2k + 1 (k ∈ N)
Ta có 2n = 2. (2k + 1) = 4k + 2 4
(Tính chất 2)
2n + 2 = 2. (2k + 1) + 2 = 4k + 4
Vì 4k M
4;4M

4 nên (4k + 4) M
4
(Tính chất 1)
⇒ 2n + 2 : 4
Vậy trong hai số chẵn liên tiếp chỉ có duy nhất một số chia hết cho 4.
Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong n số tự nhiên liên
tiếp luôn có một số chia hết cho n. Do đó tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn
chia hết cho n.
Phương pháp dùng định lí về chia có dư thường được sử dụng khi chứng
minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số.
9


Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không
sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.
Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một
tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích được thành
tổng các số hạng, tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép
chia hết.
*Ví dụ 8: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2
(a ∈ N)
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là :
a + a +1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = 3. a + 3
Vì 3a M
3;3M
3 nên (3a + 3) M
3 (Tính chất 1)
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

Từ bài tập này, giáo viên có thể đặt học sinh vào tình huống có vấn đề:
Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không ?
Qua đó gợi trí tò mò, đưa học sinh vào vấn đề cần phải giải quyết. Sau
đó giáo viên gợi ý cho học sinh: Để trả lời câu hỏi trên, các em hãy làm bài tập
sau:
* Ví dụ 9: Tổng của 2 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 2 hay không ?
Giải
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là a, a+1 (a∈N)
Tổng của 2 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 = (a + a) + 1 = 2a + 1
Vì 2a M
2 ; 1 2 nên (2a +1) 2
(Tính chất 2)
⇒ Tổng của 2 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2.
Giáo viên chốt lại:
Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
3. Rèn kĩ năng biến đổi, tính toán :
Trong quá trình giải toán học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắn
gọn hay không, điều đó phụ thuộc vào kĩ năng biến đổi và tính toán. Một số em
thường không thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau hoặc vận
dụng lí thuyết chưa khéo. Do đó khi dạy phần này giáo viên yêu cầu học sinh
phải vận dụng phối hợp các kiến thức về phần chia hết, biết phân tích đề, tìm các
kiến thức cần thiết cho mỗi bài tập, dựa vào các yếu tố đầu bài đã cho để biến
đổi cho hợp lí.
Dưới đây là một số ví dụ minh hoạ cho các vấn đề nêu trên.
* Ví dụ 10: Chứng minh rằng :
a. ( ab + ba ) M
11
b. ( ab – ba ) M

9 với a > b
Ở bài tập này học sinh có nhiều hướng suy nghĩ : Dựa vào định nghĩa, dấu hiệu
chia hết cho 11( cho 9), sử dụng tính chất chia hết của một tổng,…
Nhưng các hướng trên đều chưa vận dụng ngay cho bài toán này được.
Do vậy giáo viên phân tích để học sinh thấy được phải biến đổi các số đã cho
theo cấu tạo số, từ đó mới đưa về dạng toán quen thuộc.
10


a. Ta có ab + ba = 10a + b + 10b + a = (10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b
Vì 11a M11, 11b M11 nên (11a + 11b) M11 (Tính chất 1)
Do đó ( ab + ba ) M11
b. Ta có ab – ba = (10a + b) – (10b + a) = 10a+b - 10b - a = 9a - 9b
Vì 9a M
9, 9b M
9 nên 9a – 9b M
9 (Tính chất 1).
Do đó ( ab - ba ) M9
Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm xong bài tập này giáo viên
cho
học sinh làm tiếp một số bài tập (ví dụ 11 đến ví dụ 15) nhưng cần phân tích cho
học sinh rút ra nhận xét sự khác và giống nhau ở các bài tập này với bài tập ở
ví dụ 9: Đó là ở bài tập này có một số điều kiện ràng buộc cho trước, từ đó học
sinh luôn có ý thức biến đổi biểu thức theo những điều kiện đó.
*Ví dụ 11 : Chứng minh rằng : Nếu ( ab + cd ) M11 thì abcd M11
Giải
Ta có : abcd = 100. ab + cd = 99. ab + ab + cd = 99. ab + ( ab + ab )
Vì 99. ab M
11 ; ( ab + cd ) M
11

nên [ 99. ab + ( ab + cd ) ] M
11 (Tính chất 1)
Do đó abcd : 11
* Ví dụ 12 : Chứng minh rằng nếu abc chia hết cho 37 thì cab chia hết cho 37
và bca cũng chia hết cho 37.
Giải
Ta có: bca = 100b + 10c + a =1000a + 100b + 10c – 999a = 10. abc – 999a
Vì abc M
37 (Theo bài ra) nên 10. abc M37
999 M
37 nên 999a M37
⇒ (10. abc – 999a) M
37
(Tính chất 1)
⇒ bca chia hết cho 37.
Mặt khác :
37.
abc + bca + cab = 37. 3. (a + b + c) M
Mà abc M
37 (Theo bài ra), bca M37 (Chứng minh trên)
⇒ cab M37.
Nhận xét: Qua bài này ta rút ra được tổng 3 số dạng abc + cab + bca  37
* Ví dụ 13: Hai số có ba chữ số đều không chia hết cho 37 nhưng tổng của
chúng chia hết cho 37. Chứng minh rằng số có 6 chữ số tạo thành bởi 2 số đó
viết liền nhau chia hết cho 37
Giải: Giả sử hai số đã cho là abc và def
Ta có: abcdef = 1000. abc + def = 999. abc + ( abc + def )
Vì 999. abc M
37 ; ( abc + def ) M
37 nên 999. abc + ( abc + def ) M37

⇒ abcdef M37
* Ví dụ 14 : Tổng các chữ số của một số có 3 chữ số là 7. Chứng minh rằng số
đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng
nhau.
Giải
Gọi số có 3 chữ số cần tìm là abc
(a, b, c ∈ N, a ≠ 0, 0 ≤ a, b, c ≤ 9)
11


Theo bài ra ta có : a + b + c = 7
a) Ta phải chứng minh: Nếu a + b + c = 7, abc M
7 thì b = c
Thật vậy : abc = (100a + 10b + c) M7
⇒ (98a + 2a + 7b + 3b + c) M7
⇒ [ 98 a + 7b + 2 (a + b + c) + (b - c) ] M7 (1)
Vì 98 M
7 nên 98a M
7
7 M7 nên 7b M7
(2)
(a + b + c) M
7 nên 2 (a + b + c) M7
Từ (1) ; (2) ⇒ b – c M7
Mặt khác a + b + c = 7 (Theo bài ra), a ∈ N * ; b, c là các chữ số
⇒b – c = 0 ⇒ b = c
b) Ta phải chứng minh nếu a + b + c = 7, b = c thì abc M7
Theo chứng minh trên có : abc = 98 a + 7b + 2 (a + b + c) + (b - c)
Ta có a + b + c = 7 M
7 ⇒ 2(a + b + c) M7

b = c ⇒ b – c = 0 M7
Mà 98 a M
7 ; 7b M
7 (chứng minh trên)
⇒ [ 98 a + 7b + 2 (a + b + c) + (b - c) ] M
7 (Tính chất 1)
⇒ abc M7
* Ví dụ 15: Chứng minh rằng nếu (6x + 11y) M
31 thì (x + 7y) M
31 với mọi số
tự nhiên x, y.
Giải
Vì (6x + 11y) M
31 (Theo bài ra) ; 31y M
31
nên (6x + 11y + 31y) M31
(Tính chất 1)
⇒ (6x + 42y) M31 ⇒ 6(x + 7y) M31.
Mà (6 ; 31) = 1
⇒ (x + 7y) M31
Qua các bài tập vừa là giáo viên cần lưu ý học sinh: Bài toán có đi đến
kết quả chính xác và ngắn gọn hay không, điều đó phụ thuộc rất nhiều vào kĩ
năng biến đổi và tính toán. Do vậy đứng trước một bài toán về chia hết các em
cần phải đọc kĩ đề bài, phân tích bài toán, xét xem bài này liên quan đến những
kiến thức nào, bài tập tương tự nào đã học , từ đó có thể quy bài toán lạ về bài
toán quen thuộc.
* Ví dụ 16 : Tìm số tự nhiên n sao cho :
a) (2n + 4) M
(n + 1)
b) 3n M

(n - 2)
Giải
a) Ta có: 2n + 4 = ( 2n + 2) + 2 = 2. (n + 1) + 2
Vì (2n + 4) M
(n + 1) nên 2. (n + 1) + 2 M
(n + 1)
Mà 2. (n + 1) M
(n + 1)
⇒2 M
(n + 1) (Suy ra từ tính chất 1)
⇒ n + 1 ∈ Ư (2)
Mà n∈ N nên n + 1 ≥ 1
Do đó ta có bảng sau:
n+1 1
2
n
0
1

12


Vậy n ∈ { 0 ; 1 }
c) Ta có 3n = 3n - 6 + 6 = 3. (n – 2) + 6
Vì 3n M
(n - 2) nên 3. (n – 2) + 6 M(n – 2)
Mà 3. (n – 2) M(n – 2)
⇒6 M
(n – 2) ⇒ n - 2 ∈ Ư (6)
Từ đó tìm được n ∈ { 0; 1; 3 ; 4 ; 5 ; 8 }

* Ví dụ 17 : Tìm các số tự nhiên là ước chung của 2n – 1 ; 9n + 4 với n ∈ N *
Việc tìm tập hợp ước chung của hai hay nhiều số cho trước đối với học
sinh không khó, nhưng việc tìm ước chung ở bài tập này đối với các em là tương
đối khó. Do vậy giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo hướng phân tích
đi lên.
Giải
Gọi ƯC (2n – 1 ; 9n + 4) là d
( d ≥ 1)
Ta có (2n – 1) Md ; (9n + 4) Md
⇒ 2(9n + 4) - 9(2n – 1) Md
(Tính chất 1)
⇒ 18n + 8 – 18n + 9 Md
⇒ 17 Md ⇒ d ∈ Ư (17) ⇒ d ∈ { 1 ; 17 }
Vậy ƯC (2n – 1 ; 9n + 4) = { 1 ; 17 }
* Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (3n + 1, 4n + 1) = 1
Trước khi giải bài tập này giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại :Thế nào là
hai số nguyên tố cùng nhau ?
Từ đó học sinh sẽ phát hiện ra bài tập này tương tự bài tập vừa làm và tự giải
bài tập này một cách nhẹ nhàng.
Giải
Gọi d là ƯCLN (3n + 1, 4n + 1)
 3n + 1 Md
 4.(3n + 1) Md
⇒ 
⇒ 
 4n + 1 Md
 3.(4n + 1 ) Md
⇒ (12n + 4 - 12n - 3) Md
(Tính chất 1)
⇒1M

d ⇒ d = 1.

⇒ (3n + 1, 4n + 1) = 1.

* Ví dụ 19: Tìm số tự nhiên n để
Giải

n + 17
là số tự nhiên.
n+2

n + 17
là số tự nhiên thì (n + 17) M
(n + 2).
n+2
Mà (n + 2) M(n + 2)
⇒ [ (n + 17) - (n + 2) ] M
(n + 2)
(Tính chất 1)
⇒ 15 M(n + 2)

Để

⇒ (n + 2) ∈ Ư(15) = { 1 ; 3 ; 5 ; 15 }.
⇒ n ∈ { 1 ; 3 ; 13}
Vậy với n ∈ { 1 ; 3 ; 13} thì

n + 17
là số tự nhiên.
n+2

13


* Ví dụ 20: Cho A = 11a + 2b; B = 18a + 5b với a, b ∈ N.
Chứng minh rằng nếu A chia hết cho 19 thì B chia hết cho 19.
Giải
Ta có: 5A – 2B = 5(11a + 2b) - 2(18a + 5b) = 55a + 10b - 36a - 10b
= (55a - 36b) + (10b - 10b) = 19a M19.
Do 5A – 2B M19 (Chứng minh trên) (1)
A M19 (Giả thiết) ⇒ 5A M19
(2)
Từ (1), (2) ⇒ 2B M19
mà (2, 19) = 1
⇒ B chia hết cho 19.
* Ví dụ 21 : Cho A = 2 + 22 + 23 + … +260.
Chứng minh rằng A chia hết cho 7, cho 15.
Giải
Số số hạng của tổng trên là : 60 – 1 + 1 = 60 (số hạng)
- Nhóm 3 số liên tiếp thành một nhóm, ta được 20 nhóm :
Khi đó A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260)
= 2.(1 + 2 + 4) + 24.(1 + 2 + 4) + … + 258.(1 +2 + 4)
= 2.7 + 24.7 + … + 258.7
Vì 2.7 M
7 ; 24.7 M
7 ; … ; 258.7 M
7
4.
58.
Nên (2. 7 + 2 7 + … + 2 7) M7

(Tính chất 1)
⇒A M7
- Nhóm 4 số liên tiếp thành một nhóm, ta được 15 nhóm :
Khi đó A = (2 + 22 + 23 + 24) + … + (257 + 258 + 259 + 260)
= 2.(1 + 2 + 4 + 8) + … + 257.(1+ 2 + 4 + 8)
= 2.15 + 25. 15 + … + 257. 15
Vì 2. 15 M
15 ; 25. 15 M
15 ; … ; 257. 15 M
15
5.
57.
Nên (2.15 + 2 15 + … + 2 15) M
15
⇒A M
15
Vậy A chia hết cho 7; A chia hết cho 15.
* Ví dụ 22: Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3.
Tìm số dư trong phép chia số đó cho 462.
Bài tập này tổng hợp rất nhiều kiến thức, học sinh thường không biết bắt đầu từ
đâu? Trình bày lời giải như thế nào? Do vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh
tìm hiểu kĩ đề bài, các kiến thức có liên quan.
Để tìm số dư r của phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác 0 ta tìm cách
biểu diễn a = bq + r trong đó 0 ≤ b < r .
Ta có 462 = 6. 7. 11 trong đó 6, 7, 11 đôi một nguyên tố cùng nhau
Số đã cho không chia hết cho 6; 7; 11 do vậy phải xét xem số đã cho cộng với
cùng số nào để chia hết cho cả 6; 7;11
Từ đó học sinh suy nghĩ để tìm lời giải.
Giải
Gọi số đó là a.

(a ∈ N)
Vì số đó khi chia cho 6 dư 4 nên a = 6k + 4
(k ∈ N)
⇒ a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6k + 12
14


Vì 6k M6 ; 12 M6 nên (6k + 12) M6
(Tính chất 1)
⇒ a + 8 M6
Chứng minh tương tự ta có : (a + 8) M
7 ; (a + 8) M
11
⇒ (a + 8) M
BCNN (6, 7, 11)
Vì 6; 7; 11 đôi một nguyên tố cùng nhau
nên BCNN (6, 7, 11) = 6. 7. 11 = 462.
⇒ (a + 8) M462
⇒ a chia 462 dư 462 - 8 = 454
Ví dụ 23: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết
cho 5; 7 ; 9.
Giải
Giả sử ba số viết thêm là abc .
Ta có 579abc chia hết cho 5; 7; 9
Vì 5 ; 7 ; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau
Nên 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315.
Mặt khác 579abc = 579000 + abc = (315. 1838 + 30 + abc ) M315.
Mà 315. 1838 M315
⇒ (30 + abc ) M315
(1)

Lại có 30 ≤ 30 + abc ≤ 1029
(2)
Từ (1) và (2) ta có (30+ abc ) ∈ { 315; 630; 945 }
⇒ abc ∈ { 285; 600; 915 }
Vậy 3 số có thể viết thêm vào là 285 ; 600 ; 915
Ví dụ 24: Tìm hai số tự nhiên a và b nếu ta biết bốn mệnh đề:
1, a – b chia hết cho 3.
2, a + 2b là số nguyên tố.
3, a = 4b – 1.
4, a + 7 chia hết cho b.
Trong bốn mệnh đề ấy, có 3 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Giải
Mệnh đề (1) và (2) không thể cùng đúng vì nếu a – b chia hết cho 3 thì
a + 2b = a – b+ 3b chia hết cho 3 nên a + 2b không phải là số nguyên tố.
Mệnh đề (1) và (2) không thể cùng đúng vì nếu a = 4b – 1 thì
a – b = 4b – 1 – b = 3b – 1 không chia hết cho 3.
Do đó mệnh đề sai là mệnh đề (1), các mệnh đề đúng là (2), (3), (4)
Từ mệnh đề (3) và mệnh đề (4) ta có a + 7 = 4b – 1 + 7= 4b + 6 Mb
Do đó b ∈ { 1; 2;3;6}
Thử các giá trị này ta tìm được các cặp số (a, b) là (3; 1), (7; 2), (11; 3)
Ví dụ 25: Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên thỏa mãn:
100x + 10y + z M21 thì x – 2y + 4z M21
Giải
Ta có 100x + 10y + z M21 ⇒ 400x + 40y + 4z M21
⇒ 399x + 42y + x – 2y + 4z M21 ⇒ 21. ( 19x – 2y) + x – 2y + 4z M21
Do đó x – 2y + 4z M21 ( vì 21. ( 19x – 2y) M21)
Ví dụ 26: Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2.
Có thể khẳng định rằng a + b + c + d là hợp số hay không?
15

Giải
Đặt M = a2 + b2 = c2 + d2
Vì a, b, c, d là các số nguyên dương nên M > 2
Do đó a2 + b2 + c2 + d2 = 2M M2
Xét hiệu (a2 + b2 + c2 + d2 ) – (a + b + c + d)
= a(a - 1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1) M2
Do đó a + b + c + d M2
Lai có a + b + c + d là số tự nhiên lớn hơn 2
Vậy a + b + c + d là hợp số
Ví dụ 27: Một số tự nhiên khi chia cho 6 dư 4, chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3.
Tìm số dư trong phép chia số đó cho 462.
Giải
Gọi số tự nhiên đó là a ( a ∈ N)
Vì a khi chia cho 6 dư 4 nên a = 6k + 4 ( k ∈ N)
Khi đó a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6k + 12 M6 (Vì 6k M6; 12 M6)
Chứng minh tương tự a + 8 M7; a + 8 M11
Mà 6; 7; 11 đôi một nguyên tố cùng nhau
Do đó a + 8 M(6 . 7. 11) ⇒ a + 8 M462
Vậy a chia cho 462 dư 462 – 8 = 454
Ví dụ 28: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) sao cho 3x2 + 5y2 = 80
Giải
Vì 3x2 + 5y2 = 80, 5y2 M5, 80 M5 nên 3x2 M5
Mà (3; 5) = 1
Do đó x2 M5 ⇒ x M5 ( Vì 5 là số nguyên tố)
⇒ x = 5k ⇒ x2 = 25 k2 ( k ∈ Z)
Ta được 75k2 + 5y2 = 80 ⇒ 15k2 + y2 = 16
⇒ k= ± 1
Khi đó (x, y) ∈ { (5;1), ( 5; − 1) , ( −5;1) , ( −5; −1) }
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
* Các dạng toán về chia hết thật phong phú và đa dạng, trong khuôn khổ
của đề tài này tôi chỉ trình bày một số ví dụ vận dụng tính chất chia hết của một
tổng để giải toán chia hết. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy: Về thực tế,
đây là vấn đề chưa đề cập nhiều trong sách giáo khoa mà thời gian 45 phút cho
một tiết học rất eo hẹp, do đó việc đưa ra lượng kiến thức này là rất khó khăn.
Mặt khác nếu thầy, cô chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung
bình thì các em chưa thể thấy được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có
khi các em còn có cảm giác là khó và phức tạp, nhưng không phải vì vậy mà
không thực hiện được.
Qua các ví dụ trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập có hướng giải khác
nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định nghĩa, các dấu hiệu chia hết, tính chất
chia hết của một tổng, các tính chất của quan hệ chia hết. Chính vì vậy, việc nắm
vững lí thuyết chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hướng được
cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán.
16


* Kết quả:
Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như ở trên, trong quá trình giảng
dạy cho học sinh lớp 6A trường THCS Trần Mai Ninh tôi thấy học sinh lĩnh hội
được kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phân biệt và
nhận dạng được các bài toán có liên quan đến tính chất chia hết của một tổng và
từ đó giải được hầu hết các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp
ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát.
Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí
tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không
đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học phần giải toán về chia hết nói riêng ,
học bộ môn toán nói chung và vận dụng tốt những kiến thức này trong giải toán.
Kết quả cụ thể: Với những bài tập cô giáo đưa ra, học sinh say mê giải

một cách tự lập và tự giác, sau mỗi bài tập học sinh không chỉ dừng lại ở việc
tìm ra lời giải mà luôn có ý thức xem xét bài toán ở các góc độ khác nhau : còn
cách giải nào hay hơn không, có tương tự với dạng nào đã học, quy bài toán lạ
về bài toán quen thuộc,...
Kĩ năng giải toán chia hết của học sinh đã có tiến bộ rõ rệt, được thể hiện qua
bảng số liệu sau: ( Tính theo số lượng bài tập giáo viên đưa ra)
Sĩ số HS Trên 80% Từ 65%
Từ 50%
Dưới
Năm học
lớp 6
đến 80%
đến 64%
50%
2017 – 2018
45
15
18
10
2
(đã áp dụng)
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua các dạng bài tập đã nêu trong
đề tài nhằm mục đích bồi dưỡng và phát triển kĩ năng cho học sinh vừa bền
vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học. Học sinh
có khả năng tự tìm ra kiến thức, tự mình tham gia các các hoạt động để củng cố
vững chắc kiến thức, rèn luyện được kĩ năng. Đề tài còn tác động rất lớn đến
việc phát triển tiềm lực trí tuệ, nâng cao năng lực tư duy độc lập và khả năng tìm
tòi, sáng tạo cho học sinh giỏi. Tuy nhiên cần biết vận dụng các kĩ năng một

cách hợp lí và và biết kết hợp các kiến thức toán học cho từng bài tập cụ thể thì
mới đạt được kết quả cao, để làm được điều đó phải tốn không ít thời gian cho
việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình.
Về thực tế, đây là vấn đề ít được đề cập trong sách giáo khoa mà thời gian 45 phút cho
một tiết học rất eo hẹp, do đó việc đưa ra lượng kiến thức này là rất khó khăn, nhưng không
phải vì vậy mà không thực hiện được, ta có thể khéo léo lồng những vấn đề này vào trong tiết
dạy chính khoá và kết hợp với những buổi ngoại khoá, những buổi ôn tập, những buổi bồi
dưỡng học sinh giỏi.
Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ
thống, phân loại bài tập thành từng dạng nhằm mục đích bồi dưỡng và phát triển kĩ năng cho
học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học. Giáo
viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến
phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh.
17


Người thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh từ
đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn. Làm
được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
3.2. Kiến nghị
Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tôi xin có một số ý kiến đề xuất như sau:
- Đối với GV, phải nhiệt tình và tâm huyết với nghề, phải luôn có ý thức tự nghiên
cứu, học hỏi tìm tòi nâng cao kiến thức, nghiệp vụ và trình độ chuyên môn, phải có sự nghiên
cứu kiến thức bao quát cả chương trình chứ không dừng ở nội dung kiến thức của chương
trình THCS.
- Những sáng kiến kinh nghiệm hay trong thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội
thảo cho giáo viên trong thành phố học tập và áp dụng những sáng kiến đó vào giảng dạy.
Trên đây tôi đã mạnh dạn giới thiệu cùng các bạn đồng nghiệp một số kinh nghiệm
của bản thân. Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự
góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết được hoàn chỉnh và hấp dẫn hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết

Nguyễn Thị Nghiêm

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên toán 6 tập 1
2. Toán nâng cao phát triển lớp 6 - Vũ Hữu Bình
3.Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6 - Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm
4. Báo Toán tuổi thơ - NXBGD.
5. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS - Số học: Nguyễn Đức Tấn
6. Luyện tập toán 6 - Nguyễn Bá Hòa
7.Toán số học nâng cao - Nguyễn Vĩnh Cận.
8. 500 bài toán chọn lọc - Nguyễn Ngọc Đạm, Ngô Long Hậu

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Nghiêm
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó Hiệu trưởng - Trường THCS Trần Mai Ninh

TT

1

2

3

4

Tên đề tài SKKN

Một số kinh nghiệm khi
dạy phần giá trị tuyệt đối
cho học sinh lớp 7
Rèn luyện kỹ năng vận
dụng tính chất chia hết của
một tổng vào giải toán cho
học sinh lớp 6
Một số kinh nghiệm hướng
dẫn học sinh lớp 9 cách giải
các dạng toán về phương
trình bậc cao một ẩn
thường gặp ở bậc THCS
Một số kinh nghiệm hướng
dẫn học sinh lớp 9 cách giải
các dạng toán về phương

trình bậc cao một ẩn
thường gặp ở bậc THCS

Kết quả
Cấp đánh
đánh
giá xếp loại giá xếp
(Phòng,
loại (A,
Sở, Tỉnh...) B, hoặc
C)
- Phòng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại B

Năm học đánh
giá xếp loại

2010 - 2011

- Phòng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại C

2012 - 2013

- Phòng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại C

2015 – 2016

Phòng GD

2016 – 2017

Loại A

20