Ôn thi Toán THPT 2019 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1: [2D1-3-4](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm

số y  f  x  và y  g  x  là hai hàm liên tục trên

có đồ thị hàm số y  f '  x  là

đường cong nét đậm và y  g '  x  là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao
điểm A, B, C của y  f '  x  và y  g '  x  trên hình vẽ lần lượt có hoành độ a, b, c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số h  x   f  x   g  x  trên đoạn  a; c  ?

y
a

b
O

c

B

x
C

A

A. min h  x   h  0  .
 a ;c 

B. min h  x   h  a  .
 a ;c 

C. min h  x   h  b  .
 a ;c 

D.

min h  x   h  c  .
 a ;c 

Lời giải
Chọn C

x  a
Ta có h '  x   f '  x   g '  x  , h '  x   0   x  b .

 x  c
Trên miền b  x  c thì đồ thị hàm số y  f '  x  nằm phía trên đồ thị hàm số

y  g '  x  nên f '  x   g '  x   0  h '  x   0, x   b; c  .
Trên miền a  x  b thì đồ thị hàm số y  f '  x  nằm phía dưới đồ thị hàm số

y  g '  x  nên f '  x   g '  x   0  h '  x   0, x   a; b  .
Bảng biến thiên


Từ bảng biến thiên ta thấy min h  x   h  b  .
 a ;c 

Câu 2: [2D1-3-4] [THPT Ngô Quyền] [2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số y 

x0   0;4  .

x 2  mx  4
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  0; 4 tại một điểm
xm

C. 2  m  0 .

B. 0  m  2 .

A. m  2 .
2  m  2 .

D.

Lời giải
Chọn C
Ta có y 

x 2  2mx  m2  4

 x  m

2

x  m  2
.
x  m  2

, y  0  x 2  2mx  m2  4  0  

Bảng biến thiên.

.

m  0
 2  m  0 .
0  m  2  4

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi chỉ khi 

Câu 3: [2D1-3-4] [Chuyên ĐH Vinh] [2017] Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của

tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  2 x  m trên đoạn  1;2
khi x  1 bằng 5 .
A.  4;3 .

B.  6; 3

 0;2  .

C.  0;  .

D.

 5;  2   0; 3 .
Lời giải
Chọn D
Đặt t  x 2  2 x  1   x  1 với x   1; 2  t   0; 4 . Ta có y  f  t   t  m  1

2

.
Khi đó max y  max f  t   max  f  0  , f  4   max  m  1 , m  3  .
 1;2

t  0;4

t 0;4 

t 0;4 

 m  1  m  3
 m  1  m  3

 m  4.
TH1. Với max y  m  1 , ta được 
1;2
m  4  m  6
 m  1  5



 m  3  m 1
 m  3  m 1

TH2. Với max y  m  3 , ta được 

 m2.
 1;2

m

3

5
m

2

m


8




Vậy các giá trị m tìm được thỏa mãn tập hợp   5;  2    0;3 .
Câu 4: [2D1-3-4] [Chuyên ĐH Vinh] [2017] Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của

tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  2 x  m trên đoạn  1;2
khi x  1 bằng 5 .
A.  4;3 .

B.  6; 3

 0;2  .

C.  0;  .

D.

 5;  2   0; 3 .
Lời giải
Chọn D
Đặt t  x 2  2 x  1   x  1 với x   1; 2  t   0; 4 . Ta có y  f  t   t  m  1
2

.
Khi đó max y  max f  t   max  f  0  , f  4   max  m  1 , m  3  .
 1;2

t  0;4

t 0;4 

t 0;4 

 m  1  m  3
 m  1  m  3

 m  4.
TH1. Với max y  m  1 , ta được 
1;2
m  4  m  6
 m  1  5

 m  3  m 1
 m  3  m 1


TH2. Với max y  m  3 , ta được 

 m2.
 1;2
m

3

5
m

2

m


8




Vậy các giá trị m tìm được thỏa mãn tập hợp   5;  2    0;3 .
Câu 5: [2D1-3-4] [THPT Chuyên LHP] [2017] Xét a , b , c  1; 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:
P  log bc  2a 2  8a  8  logca  4b2  16b  16   log ab  c 2  4c  4  .

A. Pmin  4 .
C. Pmin  log3

B. Pmin 

289
 log 9 8 .
2
4

D. Pmin  6 .
Lời giải

Chọn D

11
.
2


.
Câu 6: [2D1-3-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] [2017] Cho x , y là các số thực thỏa mãn

x  y  x  1  2 y  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của P  x 2  y 2  2  x  1 y  1  8 4  x  y . Khi đó, giá trị của M  m bằng.
A. 41 .

C. 43 .

B. 42 .

D. 44 .

Lời giải
Chọn C
P  x 2  y 2  2  x  1 y  1  8 4  x  y   x  y   2  x  y   2  8 4  x  y .
2

Đặt t  x  y  P  t 2  2t  2  8 4  t .
Theo giả thiết x  y  x  1  2 y  2 .

  x  y   x  2 y  1  2 2  x  1 y  1  x  2 y  1  2  x  1  y  1  3  x  y  .
2

 t  3t  t 2  3t  0  0  t  3 .

Xét f  t   t 2  2t  2  8 4  t trên  0;3 .


f   t   2t  2 

4
; f   t   0   2t  2  4  t  4   t  1 4  t  2 .
4t

t  0

  t 2  2t  1  4  t   4  t 3  2t 2  7t  0  t  1  2 2  0;3 .

t  1  2 2  0;3
Ta có f  0   18 ; f  3  25  min P  18, max  P   25 .
Vậy M  m  25  18  43 .
Câu 7: [2D1-3-4] [THPT Kim Liên-HN] [2017] Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

P

x 1

A. Pmin

2

y2

5

x 1

2.

2

y2

B. Pmin

2

2

y.

C. Pmin

3.

2 2.

D.

191
.
50

Pmin

Lời giải
Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có.

P

1 x 1 x

Xét hàm số f y

2

2 1

2y

2

y2

2

y

2 1

y2

2

y. Ta có f

y

2

y.
2y
1

f

y

0

y

1.

y2

1
.
3

.
Ta thấy min f y
Câu 8:

2

3 . Do đó Pmin

2

3.

[2D1-3-4] [THPT Chuyên KHTN] [2017]

Với a, b  0 thỏa mãn điều kiện

a  b  ab  1, giá trị nhỏ nhất của P  a  b bằng.
4

A. 2







4

2 1 .



B. 2





4

4

2 1 .

4

2 1 .
Lời giải

Chọn B

C.





4

2 1 .

D.


2
2
2
P  a 4  b 4   a 2  b 2   2  a.b    a  b   2ab   2  ab  .


2

2

 P  1  ab   2ab   2  ab   1  4 x  x 2   2 x 2 với ab  x  x  0 .


2

2

2

 P  x 4  16 x 2  1  2 x 2  8 x 3  8 x  2 x 2  x 4  8 x 3  16 x 2  8 x  1 .

Ta có a  b  1  ab  2 ab .

 x  2 x 1  0  0  x  2 1  0  x  3  2 2 .
P  4 x 3  24 x 2  32 x  1 .

Bảng biến thiên.

.



 

min P  P 3  2 2  2



4

2 1 .

Câu 9: [2D1-3-4] [THPT Nguyễn Tất Thành] [2017] Ngưởi ta muốn xây một cái bể chứa

500 3
m , đáy bể là hình chữ

3
nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 500.000 đồng/
m 2 . Chi phí thuê nhân công thấp nhất là:
A. 150 triệu đồng.
B. 60 triệu đồng.
C. 75 triệu đồng.
D. 100
triệu đồng.

nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bẳng

Lời giải
Chọn C
Gọi x  m  là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x  m  và

h  m  là chiều cao bể. Bể có thể tích bằng

500 3
500
250
m  2 x2h 
 h  2 ..
3
3
3x

Diện tích cần xây là: S  2  xh  2 xh   2 x 2  6 x

250
500

 2x2 
 2x2. .
2
3x
x


Xét hàm S  x  

500
500
 2x2 ,  x  0  S   x   2  4x  0  x  5 .
x
x

Lập bảng biến thiên suy ra Smin  S  5  150. .
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
S min  150. .
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.500000  75000000 đồng.
Câu 10: [2D1-3-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] [2017] Một công ty kinh doanh nghiên

cứu thị trường trước khi tung ra sản phẩm và nhận thấy để sản xuất ra một đơn vị
sản phẩm loại A và B thì mất lần lượt là 2 000 USD và 4 000 USD . Nếu sản
xuất được x sản phẩm loại A và y sản phẩm loại B thì lợi nhuận mà công ty thu
1
3

1
2

được là L  x, y   8000 x y USD . Giả sử chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm
A, B là 40 000 USD . Gọi x0 , y0 lần lượt là số phẩm loại A, B để lợi nhuận lớn

nhất. Tính x02  y02 . .
C. 17319 .

B. 8288 .

A. 3637 .

D. 8119 .

Lời giải
Chọn D
Gọi x, y lần lượt là số phẩm loại A, B .
Theo đề bài ta có: x.2000  y.4000  40000  x  2 y  20  x  20  2 y .
1
3

1
2

Ta có L  8000  20  2 y  y .
1

1

Xét hàm y   20  2 y  3 y 2 . Tập xác định D   0;10  .
2
y    20  2 y 

3

  20  2 y 



2
3



2
3

1
1 21
y  y  20  2 y  3   20  2 y 
2
1
2



2
3

1
2

1

 2

y   y   20  2 y   .
2
 3


1

 5

y 2   y  10  .
 3


 y  0 D
y  0  
.
 y  6 D
Nhận xét:  20  2 y 



2
3

1
5
y 2  0 nên dấu của y  là dấu của biểu thức  y  10 .
3

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất khi y  6  x  8 .
Vậy x02  y02  62  82  100 . (Không có đáp án).


Câu 11: [2D1-3-4] [THPT Quế Vân 2 - 2017] Một đường dây điện được nối từ một nhà máy

điện ở địa điểm A đến một hòn đảo ở địa điểm C . Khoảng cách ngắn nhất từ C
đến B là 1 km  . Khoảng cách từ B đến A là 4  km  . Hỏi điểm S cách A bao
nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồiđến C là ít tốn kém nhất, biết rằng mỗi
km dây điện đặt từ A đến S mất 3000 USD , mỗi km dây điện đặt từ S đến C
mất 5000 USD .

.
A.

14
 km  .
3

B.

13
 km  .
3

C.

8
 km  .

3

D.

10
 km  .
3

Lời giải
Chọn C
Đặt BS  x  SA  4  x, CS  x 2  1 với 0  x  4 .
Tổng số tiền f  x  để mắc dây là.

f  x   3000  4  x   5000 x 2  1 .
Khảo sát hàm số ta được f  x  nhỏ nhất khi x 

4
8
 SA  km .
3
3

Câu 12: [2D1-3-4] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03 - 2017] Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m,

đặt cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây
từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x (m) là
khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.


A. x  12 .

B. x  9 .

C. x  10 .

D. x  11.
Lời giải

Chọn C

Kí hiệu x là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc; y, z là độ dài hai sợi dây
như hình vẽ.
Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30  x .
Điều kiện 0  x  30; y , z  0 . Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây. Khi đó
d  yz.
Theo Pitago, ta có x 2  122  y 2  y 

 y  x 2  144  x 2  60 x  1684
Ta có d ' 

x
x  144
2



2
2
x 2  144;  30  x   28  z
2

0  x  30 .

x  30
x  30 x  1684
2

.

d '  0  x x 2  60 x  1684   30  x  x 2  144
 x 2  x 2  60 x  1684    30  x   x 2  144 
2

.

x  0
 640 x 2  8640 x  129600  0  
.
 x  22,5   0;30 
Lập BBT ta có min d  d  9   50 .
 0;30 

Câu 13: [2D1-3-4] [THPT – THD Nam Định - 2017] Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách

bờ biển một khoảng AB  4  km  . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B

một khoảng BC  7  km  . Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí
M trên bờ biển với vận tốc 6  km / h  rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc

10  km / h  (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A
đến C là nhanh nhất.
A

x
B

M

C

7km

.
A. 9km .

B. 6km .

C. 3km .

D. 4km .

Lời giải
Chọn D
Quãng đường AM  AB2  BM 2 = 16   7  x   thời gian đi quãng đường
2

16   7  x 
6
x

(giờ).
MC là
10

2

AM là

(giờ). Quãng đường MC  x  thời gian đi quãng đường

Tổng thời gian đi từ A đến C là y 

1
1
2
16   7  x   x (với 0  x  7 ).
6
10

2
1
x7
1
Đạo hàm y  .
 ; y  0  6 16   7  x   10  7  x  
6 16   7  x 2 10
x  4.

Giá trị y  0  

1
17
41
65 , y  7  
, y  4  .
6
30
15

Vậy GTNN là y  4  

17
, tức là khoảng cách x  4  km  .
15

Câu 14: [2D1-3-4] [BTN 176 - 2017] Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và

chiểu rộng 8 cm . Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc
đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất
đó bằng bao nhiêu?


.
A. 6 .

C. 6 5 .

B. 6 2 .

D. 6 3 .

Lời giải
Chọn D
Đặt EF  x, EC  8  x  FC  x 2   8  x   16 x  64 .
2

Ta có ADF
AF 

FCE  g .g  

EF CF

.
AF AD

EF . AD
8x

.
FC
16 x  64

64 x 2
16 x3
 x2 
.
16 x  64
16 x  64

y  AE  AF 2  EF 2 
f  x 

16 x3
x   0;8  .
16 x  64

f ' x 

48 x 2 16 x  64   16.16 x3

16 x  64 

2

.

f '  x   0  768x3  3072 x 2  256 x3  0  512 x3  3072 x 2  0  x  6 .
BBT:

.

y

f  x   ymin 

f min  108  6 3 .


Câu 15: [2D1-3-4] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3 - 2017] Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách

bờ 5km , trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một khoảng 7km . Người
canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi
đi bộ từ M đến C với vận tốc 6km/h . Xác định độ dài đoạn BM để người đó đi
từ A đến C nhanh nhất.
7
7
A. 3 2 km .
B. km .
C. km .
D.
3
2
2 5 km .

Lời giải
Chọn D
Gọi BM  x  km  , 0  x  7 . Khi đó: AM  25  x 2 và MC  7  x .
Theo đề bài ta có: f  x  

f  x 

3 x  2 25  x 2
4 25  x 2

x 2  25 7  x

.
4
6

.


x  0
x  0
Cho f   x   0  2 25  x 2  3x   2

x2 5.

 x  20
 x  2 5

Khi đó: f  0  

29
14  5
74
, f 7 
và f 2 5 
.
12
12
4







Vậy min f  x   f 2 5 
x0;7



14  5
.
12

Câu 16: [2D1-3-4] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2 - 2017] Một đường dây điện được

nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ
C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km.
Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền
là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên(làm tròn
đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 114,64 triệu đồng.
B. 164,92 triệu đồng.
C. 106, 25 triệu đồng.

D. 120 triệu đồng.
Lời giải

Chọn A
Gọi M là điểm trên đoạn AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C .
Đặt BM  x  AM  4  x  CM  1   4  x   17  8 x  x 2 , x   0;4 .
2

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là : y  x.20  40 x 2  8 x  17 đơn vị là triệu đồng.

y  20  40.

x4
x 2  8 x  17

 20.

x 2  8 x  17  2  x  4 
x 2  8 x  17

y  0  x 2  8x  17  2  4  x   x 

.

12  3
.
2

 12  3 
Ta có y 
.
 3   80  20 3  114,64; y  0   40 17  164,92; y  4   120



.
Câu 17: [2D1-3-4] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa - 2017] Để chặn đường hành
lang hình chữ L người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm

với hành lang (như hình vẽ). Biết rằng a  24 và b  3, hỏi cái sào thỏa mãn điều
trên có chiều dài l tối thiểu là bao nhiêu ?

.
A. 27 5 .

B. 15 5 .

C.
Lời giải

Chọn B

51 5
.
2

D. 11 5 .


.
Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt DF  x , x  0 . Ta có ADF đồng dạng với BDE nên
EB AF
ab

 EB 
.
ED DF
x

2

ab 
2 
l 2  AB 2   x  b    a    f  x  ,.
x 

 a 2b 
ab 
ab 
f   x   2  x  b   2 2  a    2  x  b  1  3  .
x 
x 
x 


f   x   0  x  3 a 2b  12 .

Bảng biến thiên.

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của l là 1125  15 5 .
Câu 18: [2D1-3-4] [BTN 170 - 2017] Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m và đặt ở độ cao

1, 4m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải

xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? Biết rằng
góc BOC nhọn.
A. AO  2, 4m .

AO  3m .

B. AO  2, 6m .

C. AO  2m .

D.


Lời giải
Chọn A
C
1,4
B

1,8
O

A

.

Đặt độ dài cạnh AO  x  m  ,  x  0  .
Suy ra BO  3, 24  x 2 , CO  10, 24  x 2 .
Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác OBC ta có:
2
2
OB 2  OC 2  BC 2  3, 24  x   10, 24  x   1,96
cos BOC 


2OB.OC
2  3, 24  x 2 10, 24  x 2 



5, 76  x 2

 3, 24  x 10, 24  x 
2

.

2

Vì góc BOC nên bài toán trở thành tìm x để F  x  

5, 76  x 2

 3, 24  x 2 10, 24  x 2 

giá trị nhỏ nhất.

63
25  25t  63 .
Đặt  3, 24  x2   t ,  t  3, 24  . Suy ra F  t  
t  t  7  25 t  t  7 
t

Ta đi tìm t để F(t) đạt giá trị nhỏ nhất.




 25 t  t  7    25t  63  2t  7  
 2 t t  7  
25t  63
1 

.

F 't  

t t  7

25 t  t  7  25 






2

1  50  t  7t    25t  63 2t  7   1 
49t  441
 
.
 
 25  2t  t  7  t  t  7  
25 
2

t
t

7
t
t

7









F ' t   0  t  9 .
Bảng biến thiên.

đạt


.
Thay vào đặt ta có:  3, 24  x 2   9  x 2 

144
 x  2, 4 m .
25

Vậy để nhìn rõ nhất thì AO  2, 4m .

Câu 19: [2D1-3-4] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Xét ba số thực a; b; c

thay đổi thuộc đoạn  0;3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
T  4  a  b  b  c  c  a    ab  bc  ca    a 2  b2  c 2  là

A. 0 .

B. 

3
.
2

C.

81
.
4

41
.
2

D.

Lời giải:
Chọn C.
Đặt x  a  b , y  b  c , z  c  a , không mất tổng quát giả sử a  b  c .

Do a, b, c   0;3 nên x  y  a  c  3 .
Ta có

1 2
x  y2  z2 

2
1
2
 4 xy   x  y    x 2  y 2   x  y  


2

T  4 xyz 

 x  y  81
 4 xy  x  y   x 2  y 2  xy  11xy  x 2  y 2  9 xy  9 
 
4
 2 
2

a  3

3

b
81
81

Khi 
nên giá trị lớn nhất của T bằng
.
2 thì T 

4
4

c  0


Câu 20:



[2D1-3-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho x, y  0 và thoả mãn
. Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P  3x 2 y  xy 2  2 x3  2 x ?

A. 4 .

B. 8 .

C. 12 .

D. 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét x 2  xy  3  0  y 

x2  3
(do x  0 )
x

x  0
5 x 2  14 x  9
x2  3
 14  0 
0 
Xét 2 x  3 y  14  0  2 x  3
1  x  9
x
x
5

9
1 x 
5

 x 2  3  2 x 3  2 x
x2  3
Ta có: P  3x .
 x.
x
x2
2

2

3 x 2  x 2  3   x 2  3  2 x 4  2 x 2
2



x

Xét P 

5x2  9

x

5x2  9
 9
trên 1;  .
x
 5

5x2  9
 9
P 
 0  x  1;  nên P đồng biến trên
2
x
 5

 9
1; 5  .

9
Suy ra min P  P 1  4 , max P  P    4 .
9
 9
 
5
1; 5 
1; 5 








Vậy min P  max P  0 .
Câu 21: [2D1-3-4] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa điều

kiện y  0 , x 2  x  y  12 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
M  xy  x  2 y  17 lần lượt bằng
A. 10; 6.

B. 5; 3.

C. 20; 12.
Lời giải

Chọn C

D. 8; 5.


Ta có: y  x 2  x  12 . Do đó: y  0  x 2  x  12  0  4  x  3 .
Mặt khác,
M  xy  x  2 y  17  x  x 2  x  12   x  2  x 2  x  12   17  x3  3x 2  9 x  7 .
Xét hàm số f  x   x3  3x 2  9 x  7 với 4  x  3 .
Ta có: f   x   3x 2  6 x  9 . Do đó: f   x   0  x  1  x  3 .
Khi đó: f  3  20, f 1  12, f  4   13, f  3  20 .
Vậy max M  20, min m  12 .
Câu 22: [2D1-3-4] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Tìm m để phương trình

x6  6 x 4  m3 x3  15  3m2  x2  6mx  10  0 có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc

1 
 2 ; 2  .
A.

11
 m  4.
5

9
C. 0  m  .
4

5
B. 2  m  .
2

D.

7
 m  3.
5

Lời giải
Chọn B
Ta có x6  6 x 4  m3 x3  15  3m2  x2  6mx  10  0
  x2  2  3  x2  2   mx  1  3  mx  1
3

3

 f  x 2  2   f  mx  1 (*)

Xét hàm số f  t   t 3  3t .
Với f   t   3t 2  3  0, t 

 hàm số f  t  đồng biến trên

Nên (*)  x 2  2  mx  1  x 2  mx  1  0  m 
nghiệm của phương trình(*))
Xét hàm số g  x  
Ta có g   x   1 
Bảng biến thiên

x2  1
1 
trên  ; 2  .

x
2 

1
 g   x   0  x  1
x2

.

x2  1
(vì x  0 không là
x


Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
5
1 
thuộc  ; 2  khi và chỉ khi 2  m  .
2
2 
Câu 23: [2D1-3-4] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hàm số f  x   x 3  3 x 2  x 

Phương trình

f  f  x 

2 f  x  1

A. 4 nghiệm.
nghiệm.

 1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
B. 9 nghiệm.

C. 6 nghiệm.
Lời giải

Chọn D
Cách 1:
Xét hàm số f  x   x 3  3 x 2  x 

3
.
2

Ta có f   x   3x 2  6 x  1 .

3 6
98 6
 f  x1  
 x1 
3
18
.
f   x   0  3x 2  6 x  1  0  

3 6
9 8 6
 f  x2  
 x2 

3
18


Bảng biến thiên

Xét phương trình

3
.
2

f  f  x 

2 f  x  1

 1.

D.

5


Đặt t  f  x  . Khi đó phương trình trở thành
f t 
3
5
 1  f  t   2t  1  t 3  3t 2  t   2t  1  t 3  3t 2  t   0 * .
2t  1
2

2

Nhận xét: phương trình (*) có tối đa 3 nghiệm.
Xét hàm số g  t   t 3  3t 2  t 

5
liên tục trên
2

.

 1  29
+ Ta có g  3 .g  4      .  0 nên phương trình
 2 2

 *

có một nghiệm

t  t1   3; 4  .
Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình

t1  3  f  x1  

98 6
có một nghiệm.
18

 1   1  11
+ Ta có g 1 .g       .  0 nên phương trình

2  2 8
1 
t  t2   ;1 .
2 

 *

có một nghiệm

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình

f  x2  

f  x   t1 với

f  x   t2 với

9 8 6 1
98 6
có ba nghiệm phân biệt.
  t2  1  f  x1  
18
2
18

217  1 
 4
+ Ta có g    .g  1 
.     0 nên phương trình * có một nghiệm
250  2 

 5
4

t  t3   1;   .
5

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình

f  x   t3 với

4
9 8 6
có một nghiệm.
t3    f  x2  
5
18
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.
Cách 2:
Đặt t  f  x  . Khi đó phương trình trở thành
f t 
3
5
 1  f  t   2t  1  t 3  3t 2  t   2t  1  t 3  3t 2  t   0 * .
2t  1
2
2


t1  3, 05979197
 t2  0,8745059057 .

t3  0,9342978758

+ Xét phương trình x 3  3 x 2  x 

3
 t1  3.05979197 . Bấm máy tính ta được 1
2

nghiệm.
+ Xét phương trình x 3  3 x 2  x 

3
 t2  0,8745059057 . Bấm máy tính ta được 3
2

nghiệm.
+ Xét phương trình x3  3 x 2  x 

3
 t3  0,9342978758 . Bấm máy tính ta được 1
2

nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.
Câu 24: [2D1-3-4] Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình

vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi
từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường
ngắn nhất mà người đó có thể đi là:
615m

A. 569,5 m.
A
B. 671, 4 m.
118m
C. 779,8 m.

Sông

D. 741, 2 m.
Lời giải
Chọn C
y

B
615
I

A

487

118
O

M

H

x

Bờ sông
A'

Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có: BI  BH  IH  487 118  369
AI  AB2  BI 2  492 .

B
487m


Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua trục Ox . Ta có A '  0; 118 và B  492; 487  .
Chứng minh được M giao điểm của A ' B và trục Ox là vị trí cần tìm.
MA  MB  MA ' MB  A ' B . Ta có A ' B   492;605 

A ' B  4922  6052  779,8 .
Câu 25: [2D1-3-4] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  0;2 tại một điểm x0   0;2  .
A. 0  m  1 .
1  m  1 .

C. m  2 .

B. m  1.

x 2  mx  1
liên
xm

D.

Lời giải
Chọn A
Điều kiện: x  m . Ta có: y 

x 2  2mx  m2  1

 x  m

2

 x  m 1

2
 x  m
2

 x  1  m  m
2
y  0   x  m   1  
 x  1  m  m
Do hệ số x 2 là số dương và theo yêu cầu đề bài ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0  1  m   0;2  nên 0  m 1  2  1  m  1.
Kết hợp điều kiện để hàm số liên tục trên  0;2 thì

 m  0
m  0
m  0; 2  

m  2 m  2

Ta được : 0  m  1
Câu 26: [2D1-3-4] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Cho x , y  0 thỏa mãn

log  x  2 y   log  x   log  y  . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

x2
4 y2
là:

1 2 y 1 x

A. 6 .

B.

32
.
5

C.

31
.
5

D.

29
.

5


Lời giải
Chọn B
Ta sử dụng bất đăng thức phụ sau:

x2 y 2  x  y 
 
a b
ab

2

log  x  2 y   log  x   log  y   log  x  2 y   log  x. y   x  2 y  x. y ĐK

x; y  0
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

 x  2 y  2 x.2 y  x  2 y  8

x2
4 y2  x  2 y 
P


1 2 y 1 x 2  x  2 y
2

Đặt t  x  2 y  t  8

2
t2
t  0
Xét f  t  
 t  8 có f '  t   4t  t 2  0  
2t
2  t 
t  4

x



8

y




32
5

y

Dựa trên bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên
f  t   f 8 

8;

nên min

32
32
P
.
5
5

Câu 27: [2D1-3-4] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Gọi M , m lần lượt là giá lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 2018 x  cos 2018 x trên . Khi đó:
A. M  2 , m 
m

1
1008

2

1
1008

2

.

B. M  1 , m 

1
1009

2

. C. M  1 , m  0 .

.
Lời giải

Chọn D
Ta có: y  sin 2018 x  cos 2018 x   sin 2 x 

1009

 1  sin 2 x 

1009

.

D. M  1 ,