Ôn thi Toán THPT 2019 Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

Câu 1: [2D1-8-2] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Số điểm có tọa

độ là các số nguyên của đồ thị hàm số: y 
A. 2 .

2x  3
là:
x 1

B. 4 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn B
Tập xác định: D 
Ta có y 

\ 1 .

2x  3
5
suy ra số điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số là 4
 2
x 1
x 1

điểm tương ứng hoành độ x 0; 2;  4;6 .
Câu 2: [2D1-8-2] [THPT CHUYÊN KHTN LẦN 1 - 2017] Đồ thị hàm số y 

đối xứng là điểm.
1 3
A.   ;  .
 2 2
 1 3.
 ; 
 2 2

1 3
C.  ;   .
2 2

1 3
B.  ;  .
2 2

3x  1
có tâm
2x 1

D.

Lời giải
Chọn A
 lim  y  
 x   12 
1
  
 x   là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.


2
y  
 lim

 1
x



  2 

lim y 

x 

3
3
nên y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2
2

1 3
Vậy I   ;  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
 2 2

Câu 3: [2D1-8-2] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trên đồ

thị hàm số y 
A. 4 .

2x  5
có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?
3x  1

B. Vô số.

C. 2 .
Lời giải

Chọn C

D. 0 .


Tập xác định D 
Ta có y 

1 
\ 
3

2 x  5 1 6 x  15 1 
13 
13 

 .
 2
  3y   2 


3x  1 3 3x  1 3 
3x  1 
3x  1 


Ta có y 

nên 3y 

2

x 

3
x

1

1

3

3x  1  1
x  0
 

.
3x  1  13
14
x  


3

3x  1  13
 x  4 

Thử lại x  0 và x  4 thỏa mãn.
Vậy có hai điểm có tọa độ nguyên  0;5 và  4;1 .
Câu 4: [2D1-8-2] [Sở Bình Phước-2017] Cho hàm số y 

tâm đối xứng của đồ thị  C  .

 1 3
A.   ;  .
 2 2
1 3
 ;  .
2 2

 1 3
B.   ;   .
 2 2

3x  1
có đồ thị là  C  . Tìm tọa độ
2x 1

1 3
C.  ;  .
2 2

D.

Lời giải
Chọn A
 lim  y  
 x   12 
1
  
 x   là tiệm cận đứng của đồ thị  C  .
Ta có: 
2
y  
 lim

 1
x


  2 
lim y 

x 

3
3
nên y  là tiệm cận ngang của đồ thị  C  .
2
2

 1 3
Vậy I   ;  là tâm đối xứng của đồ thị  C  .
 2 2
3
Câu 5: [2D1-8-2] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2-2017] Cho hàm số y  x  2 x  1 . Tìm tất

cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng
1.
A. M  2; 1 .
B. M 1; 0  hoặc M  1; 2  .


D. M  0; 1 hoặc M  2; 1 .

C. M 1; 0  .
Lời giải
Chọn B
Ta có M  xM , yM  với yM  xM3  2 xM  1.

 xM  1
Nên d  M , Oy   xM  1  
 xM  1

yM  0
yM  2

..

Vậy M 1;0  hoặc M  1; 2  . .
Câu 6: [2D1-8-2] [THPT Chuyên SPHN-2017] Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số

2x 1
có khoảng cách đến trục hoành bằng 1 .
x 1
A. M  0;  1 , N  1;  1 .
B. N  2;1 .
y

C. M  0;  1

D. M  0;  1 , N  2;1 .

.
Lời giải

Chọn D




Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số, nên M  x;

2x 1 
.
x 1 

2x 1
1.
x 1
 x  2

 2x  1  x 1  
.
x  0

d  M , Ox   1 

Câu 7: [2D1-8-2] [THPT Trần Phú-HP-2017] Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số

y   x3  3x  3 cách giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung một khoảng bằng
17 ?
A. 2 .

C. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung suy ra A(0;3). .
Gọi M  x0 ,  x03  3x0  3 là cần tìm. Ta có:

AM  17  AM 2  17  x02    x03  3x0   17  x06  6x04  10x02  17  0 .
2


 x02  1  x0  1. .

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 8: [2D1-8-2] [THPT chuyên Lê Quý Đôn-2017] Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị

x2
sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng hai lần khoảng
x 1
cách từ M đến trục hoành.
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

hàm số y 

Lời giải
Chọn A

 m2
M   C   M  m;
  m  1 .
 m 1 
Theo bài ra d  M , Oy   2d  M , Ox   m  2

m2
.
m 1

 m 2  m  2m  4
m  4
 m m  2 m2   2


.
 m  1
 m  m  2m  4(VN )
Vậy có 2 điểm M .
2

Câu 9: [2D1-8-2] [THPT chuyên Lê Quý Đôn-2017] Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị

x2
sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng hai lần khoảng
x 1
cách từ M đến trục hoành.
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

hàm số y 

Lời giải
Chọn C

 m2
M   C   M  m;
  m  1 .
 m 1 
Theo bài ra d  M , Oy   2d  M , Ox   m  2

m2
.

m 1

 m 2  m  2m  4
m  4
 m2  m  2 m  2   2

.
m


1
m

m


2
m

4(
VN
)


2
M
Vậy có điểm
.
Câu 10:

[2D1-8-2] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Cho họ đồ thị
 Cm  : y  x4  mx2  m  1 . Tọa độ các điểm mà mọi đồ thị của họ  Cm  luôn đi qua
với mọi giá tri thực của m là
A. 1;0  ,  0;1 .
B.  2;1 ,  2;3 .

 2;1 ,  0;1 .

C.  1;0  , 1;0  .

D.


Lời giải
Chọn C
Ta có: y  x 4  mx 2  m  1  x 4  1  m  x 2  1 .
Điểm mà mọi đồ thị của họ  Cm  đi qua là điểm có tọa độ không phụ thuộc và

x  1
tham số m nên có hoành độ thỏa mãn: x 2  1  0  
. Vậy có hai điểm thỏa
 x  1
mãn bài toán là: 1;0  ;  1;0  .
Câu 11: [2D1-8-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017] Số điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị hàm

số y 

2x  4
là
x 1

A. 6 .

B. 8 .

C. 7 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn B
y  2

6
, y
x 1

 x  1 là ước nguyên của 6.

x  1 1;  2;  3;  6 , x  5; -2; -1; 0; 2; 3; 4; 7 .
Vậy có 8 điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị.
Câu 12: [2D1-8-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017] Số điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị hàm

số y 

2x  4
là
x 1

A. 6 .

B. 8 .

C. 7 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn B
y  2

6
, y
x 1

 x  1 là ước nguyên của 6.

x  1 1;  2;  3;  6 , x  5; -2; -1; 0; 2; 3; 4; 7 .
Vậy có 8 điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị.
Câu 13: [2D1-8-2] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa-2017] Số điểm có tọa độ là các số

nguyên thuộc đồ thị hàm số y 
A. 3 .

x3
là
x2

B. 2 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn B

D. 1 .


Ta có: y 

x3 x2
1
1


 1
.
x2 x2 x2
x2

Để y là số nguyên thì x  2 là ước của 1 . Mà 1 có hai ước nguyên là 1 vậy có 2
giá trị của x thỏa mãn, hay tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên.

Câu 14:

[2D1-8-2] [THPT TIÊN LÃNG] Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số
y

2 x 2  6mx  4
đi qua điểm A  1; 4  .

mx  2

A. m  1.

B. m  1 .

C. m 

1
.
2

D. m  2 .

Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số qua điểm A  1;4  nên ta có:
4

2  6m  4
 4   m  2   6  6m  2m  2  m  1.
m  2

Câu 15: [2D1-8-2] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu đường thẳng

3x 2
tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó
x 1
có hoành độ và tung độ là các số nguyên?
cắt đồ thị (C ) của hàm số y

A. 6

C. 15

B. 2

D. 4

Lời giải
Chọn A
3x  2
5
y  3
. Suy ra các điểm có hoành độ và tung độ là các số
x 1
x 1
nguyên thuộc đồ thị hàm số là (0; 2) ; ( 2;8) ; (4; 2) ; ( 6; 4) .

Ta có y 

Ta nhận thấy các điểm trên không có ba điểm nào thẳng hàng.
3x  2
Vây số đường thẳng cắt đồ thị (C ) của hàm số y 
tại hai điểm phân biệt mà
x 1
hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên là C42  6 .
Câu 16: [2D1-8-2] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Tọa độ điểm M thuộc
3x  1
đồ thị hàm số y 

cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một khoảng
x 1
bằng 1 là
A.  0; 1 ;  2;7  .
B.  1;0  ;  2;7  .
C.  0;1 ;  2; 7  .
D.

 0; 1 ;  2;7  .
Lời giải


Chọn D
Gọi  C  là đồ thị hàm số y 

3x  1
;  C  có tiệm cận đứng x  1 .
x 1

 3m  1 
M   C   M  m;
 , m  1.
m 1 


m  2
Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận đứng bằng d  m  1  m  1  1  
m  0
.
Vậy M  0; 1 hoặc M  2;7  .

Câu 17: [2D1-8-2] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Đồ thị hàm số
1
y  2x  m 
có tâm đối xứng là điểm
2x 1
1
 1
1 


A.  ; m  1
B.  ;1
C.   ;  1
D.
2
 2
2 


 1

  ; m  1
 2

Lời giải
Chọn D
 1
Ta có miền xác định của hàm số D  \   .
 2
1

Vì lim y   nên đường thẳng x   là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
1
2
x 
2

1 

Vì lim  y   2 x  m   lim  
  0 và
x 
x 
 2x  1 
1 

lim  y   2 x  m   lim  
0
x  
x 
 2x  1 
Nên đường thẳng d : y  2 x  m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho

 1

Như vậy đồ thị nhận giao điểm I   ; m  1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối
 2

xứng.
Câu 18: [2D1-8-2]

(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Trên đồ thị  C 

của hàm số y 
A. 4 .

x  10
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
x 1

C. 10 .

B. 2 .
Lời giải

Chọn D

D. 6 .


Ta có y 

x  10
9
 1
.
x 1
x 1

Điểm trên đồ thị hàm số có tọa độ nguyên nghĩa là x  ; y  .

 x  1  1
Để y   9  x  1   x  1  3 .

 x  1  9
Vậy trên đồ thị hàm số có 6 điểm có tọa độ nguyên.
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Đồ thị của hàm số
y  x  3x  mx  m ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là

Câu 19: [2D1-8-2]
3

2

A. M  1; 4  .

B. M 1; 4  .

C. M  1; 2  .

D.

M 1; 2  .
Lời giải
Chọn A
Gọi M  x0 ; y0  là điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua m .

 y0  x03  3x02  mx0  m m  m  x0  1  x03  3x02  y0  0 m

 x0  1  0
 3


2

 x0  3x0  y0  0

 x0  1
 M  1; 4  .

3
2
 y0  x0  3x0  4

Câu 20: [2D1-8-2] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Đồ thị hàm số nào dưới đây có
tâm đối xứng là điểm I 1; 2  ?
A. y 

2x  3
.
2x  4

C. y  2 x3  6 x 2  x  1 .

B. y  2 x3  6 x 2  x  1 .
D. y 

2  2x
.
1 x

Lời giải

Chọn B
Hàm số y  2 x3  6 x 2  x  1 có y  6 x 2  12 x  1 và y  12 x  12 .
Cho y  0  x  1  y  2 nên đồ thị hàm số có điểm uốn là I 1; 2  là tâm đối
xứng của đồ thị hàm số (tính chất đặc biệt của đồ thị hàm số bậc ba).
Câu 21: [2D1-8-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tâm đối xứng của đồ thị hàm
số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ?


2x 1
.
x3
y   x3  3x  2 .

A. y 

B. y 

1 x
.
1 x

C. y  2 x3  3x 2  2 .

D.

Lời giải
Chọn A
Ta đã biết đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì giao điểm hai tiệm cận
là tâm đối xứng của đồ thị, đối với hàm bậc ba thì điềm uốn chính là tâm đối xứng
của đồ thị.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu A: I A   3; 2  .
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu B: I B   1;  1 .

1 5
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu C: I C   ;   .
2 2
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số ở câu D: I D   0;  2  .
Ta có OI A  13 ; OI B  2 ; OI C 

13
; OI D  2 ;
2

Suy ra I A cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
Câu 22: [2D1-8-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Trên đồ thị hàm số y 

2x 1
3x  4

có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
A. 1.

B. 2.

C. 0.
Lời giải

Chọn B
Ta có: y 

Để y 

2x 1 2
11
11
 
 3y  2 
.
3x  4 3 3  3x  4 
3x  4

 x  1  y  3

 3x  4  1
 x   5 l 
 3x  4  1
3
 
thì 
 3 x  4  11
7
x  l 


3
3x  4  11 
 x  5  y  1

D. 4.

Câu 23: [2D1-8-2] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Có bao

nhiêu điểm trên đồ thị hàm số  C  : y 

3x  1
mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến
x 1

hai trục tọa độ bằng nhau?
A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Tập hợp các điểm cách đều hai trục tọa độ là hai đường thẳng y   x .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 

3x  1
và đường thẳng y  x
x 1

là:

 3x  1

x  2  5
 x2  4 x 1  0
x

.


 x 1
 x  2  5
x  1
 x  1
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 

3x  1
và đường thẳng y   x
x 1

là:

 3x  1
 x2  2x  1  0
 x


 x  1 .
 x 1

x

1


 x  1
Vậy có 3 điểm trên đồ thị hàm số  C  : y 
hai trục tọa độ bằng nhau.

3x  1
mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến
x 1