LTDH_Chuyen De Luong Giac

Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
x k
x k
α α
α π
α π
α
π
α π
α
+ =
 
= ≠ +
 ÷
 
 
= + ≠ +

 ÷
 
( )
( )
2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
x k
x k
α α
α
α π
α
α π
α
=
= ≠
= + ≠
2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
( )
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa

cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a

a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −
= −
= −
−
−
Tích thành tổng: cosa.cosb =
1
2
[cos(a−b)+cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a−b)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±
± =
Công thức hạ bậc: cos
2
a =
1

2
(1+cos2a)
sin
2
a =
1
2
(1−cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
Chuyên đề: LG Trần Duy Thái
1
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −
3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k

u v k
π
π π
= +

⇔

= − +

* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk ∈
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng
các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2

x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Đk để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c+ ≥
.
C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
tan
b
a
α
=
, ta được: sinx+tan
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sinx
cos
α
+
sin
α
cosx=

cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2

cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:
2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
ñaët
.
Cách 3: Đặt
tan
2

x
t =
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Nếu phương trình có dạng asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=d thì biến đổi d=d(sin
2
x+cos
2
x) rồi đưa về phương trình (*).

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |
2≤
.

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc :
Chuyên đề: LG Trần Duy Thái
2
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2

x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x− − + +
+ = +
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

π kπ
π
x
x kπ

x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ


= +
= +


=






⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈




=






= + = +




¢
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos
6
x(2cos
2
x−1) = sin
6
x(1−2sin
2
x)
⇔ cos2x(sin
6
x–cos
6
x) = 0

⇔ cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔
2 ,( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k= + ⇔ = + ∈ ¢
Ví dụ 3: Giải phương trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − =
(3).
Giải
Ta có:
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )

2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± , ( )kπ k+ ∈ ¢
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).

Giải
Ta có (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
− +
   
⇔ + = ⇔ + + =
 ÷  ÷
   
Đặt cos
2
2x = t, với t∈[0; 1], ta có
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0
13
4 4
2
t
t t t t
t

=


+ + = ⇔ + − = ⇔


= −


Chuyên đề: LG Trần Duy Thái
3
Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =
⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈ ¢
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos

2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x kπ k
x x x x
= ⇔ = ∈

⇔

+ + + =

¢
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
| | 2t ≤
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t
2
– 1 + 1 = 0 ⇔ t
2
+ 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 (
4
t
π
x x x nπ n

t lo
=

⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈

= −

¢
¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x nπ= − +
;
2 , ( , ) x kπ n k= ∈ ¢
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x
π x=
(6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do
| sin | 0,x ≥
nên
|sin | 0

1
x
π π≥ =
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
k n
x kπ k π n
x x kπ k
x
x nπ x nπ
x x nπ n
+
 
= =
 
= =

= = ∈
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
=
= =
= = ∈

 

 
 
¢
¢
(Vì k, n
∈ ¢
). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
1 cos
2
x
x− =
.
Giải
Đặt
2
( )= cos
2
x
f x x +
. Dễ thấy f(x) = f(−x),
x
∀ ∈
¡
, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
thoả mãn
phương trình:
2
2
sin cos 2
n
n n
x x
−
+ =
.
Giải
Đặt f(x) = sin
n
x + cos
n
x, ta có : f’(x) = ncosx.sin
n-1
x – nsinx.cos
n-1

x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x – cos
n-2
x)
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng
(0; )
2
π
, ta có minf(x) = f(
4
π
) =
2
2
2
n−

Vậy x =
4
π
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
Chuyên đề: LG Trần Duy Thái
4
1) cos
3
x+cos

2
x+2sinx–2 = 0 ( Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +
2) tanx.sin
2
x−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +
3) 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
4) |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 ( ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2

x k
π
=
.
5) 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ( ĐH Luật Hà Nội)
ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − +
với
1
sin
4
α
= −
.
6) sinx−4sin
3
x+cosx =0 ( ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= +
.
7)
sin 3 sin 2 .sin

4 4
x x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
π π
= +
8) sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
x k
π
=
.
9)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin

2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
ĐS:
4
8
5
8
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
−


= +


−

= +



= +


10)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = −
ĐS: x =
3
k
π
π
− +
11) 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈ ¢

−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−
Chuyên đề: LG Trần Duy Thái
5