De thi HSNK toan 8 NH 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề
Đề thi có 03 trang

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (8,0 điểm)
Chọn đáp án đúng và ghi vào Bài làm trên tờ giấy thi (V.dụ: 1 – A)
Câu 1. Phân tích đa thức A = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử, ta được kết quả:
A) (x + 2)(3x + 2);

B) (x + 2)(3x – 2);

Câu 2. Kết quả của phép tính
A) x – 3

2x  5
3x  1

B)

D) (x – 2)(3x – 2)

x 2  9 2x
x2  9 5  x
.

.
với x ≠ - 5; x ≠ - 3 là:
x 5 x 3 x 5 x 3

B) x + 3

1
x 3

C)

1
x 3

D)

1
2 x 3  7 x 2  12 x  45
với x �3 và x � ta được:
3
2
3
3 x  19 x  33x  9

Câu 3. Rút gọn biểu thức
A)

C) (x - 2)(3x + 2);

2x  5
3x  1

C)

2x  5
3x  1

D)

2x  5
3x  1

1 x
1
và 2
bằng phân thức nào sau đây:
2
x 1
x  x 1

Câu 4. Tổng hai phân thức
A)

1
x 1

B)

2
x 1

2 x
2x
D) 3

3
x 1
x 1
2
2
x  4 y  4 xy  4
Câu 5. Biểu thức rút gọn của A =
với x ≠ 0; x - 2y + 2 ≠ 0 là:
2 x 2  4 xy  4 x

A)

x  2y  2
2x

B)

x  2y  2
2x

3

C)

3

C)

x  2y  2
2x

D)

x  2y  2
2x

Câu 6. Cho xyz = 60; (x + y)2 = 7 và x2 + y2 = 3 thì giá trị của z là:
A) 6

B) 12

C) 30
2

Câu 7. Giá trị của biểu thức P =
A) P =

1
2

B) P = 

D) 180

2

x y  x  y 1
1
với x =
và y = -3 là :

2
(1  xy )  ( x  y )
2018
1
2

C) P =

1
4

D) P = 

1
4

1


Câu 8. Nếu xy = 2 và x2 + y2 = 5 thì
A)

5
2

B) 

5
2

x y
 có giá trị là:
y x

C)

2
5

D) 

2
5

Câu 9. Tập hợp nghiệm của phương trình 4x2 = 1 là:
 1  1

2 2 

 1
 2
2 x  4 3x  7

Câu 10. Nghiệm của phương trình :
là :
7
7

A)  ;

 1  1

4 4 

B)  ;

C)  

 1
 4

D)  

A) x = 11
B) x = - 11
C) x = 5
D) x = -5
2
Câu 11. Giá trị của x để đa thức A = 36x + 24x + 7 đạt giá trị nhỏ nhất là:
A) x =

1
3

B) x = -

1
3

C) x = 3

D) x= - 3

Câu 12. Một hình thoi có độ dài một cạnh là 10cm và độ dài một đường chéo là 16cm có
diện tích là:
A) 24cm2

B) 128cm2

C) 64cm2

D) 96cm2

Câu 13. Cho hình chữ nhật PQRS có hai đường chéo PR và QS biết PQS =5x o;
RQS = 4xo thì số đo của góc QSR là:
A) 20o
B) 30o
C) 40o
D) 50o
Câu 14. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Tỉ số diện tích của hai tứ giác MNPQ và ABCD bằng:
A)

1
2

B)

1
4

C)

1
8

D)

1
16

Câu 15. Hình thang ABCD (AD//BC, AD > BC) có diện tích là 164cm 2. Biết đường cao
của hình thang là 8cm, AB = 10cm, CD = 17cm. Khi đó độ dài của cạnh BC là:
A) 8cm
B) 9cm
C) 10cm
D) 11cm
Câu 16. Cho  ABC có AC = 6cm; AB = 4 cm; các đường cao AH; BK; CI. Biết AH =
CI + BK
thì tính được BC bàng:
2

A) 4,5cm

B) 4,6cm

C) 4,7cm

D) 4,8cm

II. PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)

2


Câu 1. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
Câu 2. (3,0 điểm)
Giải các phương trình
a) x  1  x( x  1)
b) 2x(8x  1) 2 (4x  1)  9
Câu 3. (3,0 điểm)
 x 1
 x
x 1
4


.
.
2
 x( x  2) x ( x  2) x ( x  4)  4036

a) Cho biểu thức: R 

Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x 2  5 y 2  4 xy  2 x  8 y  2018
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia
Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng

vuông góc với OC, cắt tia By tại D.
a) Chứng minh: AB2 = 4 AC.BD
b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM.
c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH.
d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1 . Chứng minh :

x2
y2
z2
3


�
1 y 1 z 1 x 2

----------------- Hết -----------------

HƯỚNG DẪN
CHẤM BÀI THI CHỌN HSNK LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018
Môn: Toán

3


I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (8,0 điểm) Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm.
Câu
1
2

3
4
5
6
Đáp án đúng
D
A
C
B
A
C
Câu
9
10
11
12
13
14
Đáp án đúng
A
C
B
D
D
A

7
B
15
C

8
A
16
D

II. PHẦN TỰ LUẬN:
Câu 1. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n +
1)

0,25

Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1)
chia hết cho x2n + xn + 1

0,5

Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

0,25

Câu 2. (3,0 điểm)
Giải các phương trình
a) x  1  x( x  1)
b) 2x(8x  1) 2 (4x  1)  9
a)

x  1  x( x  1) � x( x  1)  x  1  0 � x . x  1  x  1  0 � x  1 ( x  1)  0

�x  1  0 �x  1  0
x  1
�
� �
��
��
x 1
�
�x  1  0 �x  1
b) Ta có 2 x(8 x  1) 2 (4 x  1)  9 �
(64 x 2  16 x  1)(8 x 2  2 x )  9 � (64 x 2  16 x  1)(64 x 2  16 x)  72
(*)
2
Đặt 64x -16x = t ta có (*) � t(t+1) – 72 = 0 � t = - 9 hoặc t = 8.

Với t = -9 ta có 64x -16x = -9 � 64x -16x + 9 = 0 � (8x -1) + 8 = 0
(vô nghiệm vì (8x -1)2 +8 > 0)
Với t = 8 ta có 64x2 -16x = 8 � 64x2 -16x – 8 = 0 � (8x -1)2 -9 = 0
2

� x=

2

0,75
0,75
0,25
0,5

2

1
1
hoặc x =  .
2
4

0,25
0,25

1
1
Vậy nghiệm của phương trình là x = hoặc x=  .
2
4

0,25

Câu 3. (3,0 điểm)
 x 1
 x
x 1
4


.
2
 x( x  2) x( x  2) x( x  4)  4036

a) (1,5 điểm) Cho biểu thức: R 

Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

4


Ta có R  x  1  x  1 

 x( x  2)

x ( x  2)

 x
4
.
x( x  4)  4036
2

�x �0
�x ��2

ĐK: x  x 2  4  �0 � �

0,25

Khi đó:
 x 1
x 1

4  1
1 ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  2)  4
R 

 2
.

.

4036
x2  4
 ( x  2) ( x  2) ( x  4)  4036
1 2( x 2  4)
1
. 2

4036 x  4
2018
�x �0
1
Vậy R xác định khi �
và R 
2018
�x ��2


0.5
0.5
0.25

b) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M  x 2  5 y 2  4 xy  2 x  8 y  2018
 x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  y 2  4 y  4  2014
 ( x  2 y ) 2  2( x  2 y )  1  ( y  2) 2  2013
 ( x  2 y  1) 2  ( y  2) 2  2013 �2013

0,25
0,25
0,25

�x  2 y  1  0
�x  3
��
�y  2  0
�y  2

Dấu “=” xảy ra khi �

�x  3
�y  2

Vậy Mmin = 2013 khi �

0,5
0,25

Câu 4: (3,5 điểm)

a) Chứng minh: AB2 = 4 AC.BD

b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM.
c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH.

d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

5


0,5
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
-si ta có

0,25

6

0,25
0,25

Câu 5: (1,0 điểm)
x2
y2
z2
3


�
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1 . Chứng minh :
1 y 1 z 1 x 2

�p d�
ng B�T Cauchy cho hai s�d�
�
ng, ta c�
:
x2
1 y
x2 1 y

�2
.
x
1+y
4
1+y 4

y2 1 z
y2 1 z

�2
.
y
1+z
4
1+z 4
z2
1 x
z2 1 x

�2
.
z
1+x
4
1+x 4

0,5

Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được:
�x2 1 y � �y2 1 z � �z2 1 x �
� 
� � 
� � 
��(x  y  z)
1+y
4 ��

1+z
4 ��
1+x
4 �
�
x2
y2
z2
3 x y z
3(x  y  z) 3
�


� 
 (x  y  z) �

1+y 1+z 1+x
4
4
4
4
3
3 3
� .3.3 xyz  
4
4 2
Dấu “=” xảy ra � x  y  z  1. BĐT đã cho được chứng minh.

0,5

7