Truc can thuc o tu thuc

Trục căn thức ở tử
Trong chơng trình toán lớp 9 ta thờng dùng phơng pháp trục căn thức ở mẩu.
Bây giờ mời các bạn chúng ta thử tìm hiểu phơng pháp trục căn thức ỏ tử cho
một bài toán ở sách giáo khoa nh sau:
Sách giáo khoa toán 9 có bài toán nh sau: Cho a; b > 0. Chứng minh rằng:

a b+
<
a
+
b
. (1)
Lời giải thông thờng:
Ta có: (1)

a + b < a + b + 2
ab


2
ab
> 0 (đúng). Vậy
a b+
<
a
+
b
.
Bây giờ ta thử xem xét cách khác(trục căn thức ở tử).
Ta có:
a b+

=
a b
a b
+
=
+
a
a b+
+
b
a b+
<
a
a
+
a
b
=
a
+
b



a b+
<
a
+
b
.

Khai thác:
Cho a; b; c > 0 . Chứng minh rằng:
a b c+ +
<
a
+
b
+
c
.
Bài giải: Ta có:
a b c+ +
=
a b c
a b c
+ +
+ +
=
a
a b c+ +
+
b
a b c+ +
+
c
a b c+ +
<
a
a
+

b
b
+
c
c



a b c+ +
<
a
+
b
+
c
.
Bài toán tổng quát 1: Cho a
1
; a
2
; ; a
n
là các số dơng. Chứng minh rằng:

1 2
...
n
a a a+ + +
<
1

a
+
2
a
+ +
n
a
.
Bài giải: Ta có:
1 2
...
n
a a a+ + +
=
1 2
1 2
...
...
n
n
a a a
a a a
+ + +
+ + +
=
1
1 2
...
n
a

a a a+ + +
+
2
1 2
...
n
a
a a a+ + +
+ +
1 2
...
n
n
a
a a a+ + +
<
1
1
a
a
+
2
2
a
a
+ +
n
n
a
a

=
1
a
+
2
a
+ +
n
a
.
Suy ra:
1 2
...
n
a a a+ + +
<
1
a
+
2
a
+ +
n
a
.
Khai thác theo h ớng khác:
Cho a; b > 0. Chứng minh rằng:
n
a b+
<

n
a
+
n
b
.
Bài giải: Ta có:
n
a b+
=
n
a b
a b
+
+
=
n
a
a b+
+
n
b
a b+
<
n
a
a
+
n
b

b
=
n
a
+
n
b
.
Bài toán tổng quát 2: Cho a
1
; a
2
; ; a
n
là các số dơng. Chứng minh rằng:

1 2
...
n
n
a a a+ + +
<
1
n
a
+
2
n
a
+ +

n
n
a
.
Bài giải: Ta có:

1 2
...
n
n
a a a+ + +
=
1
1 2
...
n
n
a
a a a+ + +
+
2
1 2
...
n
n
a
a a a+ + +
+ +
1 2
...

n
n
n
a
a a a+ + +
<
1
1
n
a
a
+
2
2
n
a
a
+ +
n
n
n
a
a
=
1
n
a
+
2
n

a
+ +
n
n
a
. Suy ra:

1 2
...
n
n
a a a+ + +
<
1
n
a
+
2
n
a
+ +
n
n
a
.
Nh vậy ngoài cách giải thông thờng bài toán trên chúng ta đã có thêm cách
giải mà lâu nay chúng ta rất ít sử dụng. Đây chỉ là một vấn đề nhỏ trong vô
vàn những điều thú vị ở trong sách giáo khoa đang chờ chúng ta xem xét nhiều
khía cạnh khác nhau và tìm ra những ứng dụng tuyệt vời của nó. Vấn đề ở đây
là các bạn thử tìm cách áp dụng hai bất đẳng thức tổng quát trên để giải toán

có hiệu quả Hẹn gặp lại các bạn phần ứng dụng của hai bất đẳng thức này
trong bài viết tiếp theo nhé!