Đề & ĐA HSG THPT 08-09

S GIO DC & O TO K THI CHN HC SINH GII TNH
THA THIấN HU KHI 12 THPT - NM HC 2008-2009
THI CHNH THC
Moõn : TOAN
Thụứi gian laứm baứi : 180 phuựt
thi gm 02 trang
Bai 1: (3 im)
Cho phng trỡnh
1 1
cos sin 0 (1)
sin cos
x x m
x x
+ + =
a) Vi
2
3
m =
, tỡm cỏc nghim ca phng trỡnh (1) trờn khong
3
;
4 4



ữ

.
b) Vi giỏ tr no ca
m
thỡ phng trỡnh (1) cú 2 nghim trờn khong

3
;
4 4



ữ

.
Bai 2: (3 iờm)
Cho im A c nh trờn ng trũn v im C di ng trờn ng trũn
ú. Dng hỡnh thoi ABCD (hng quay ca tia AB n AC v AD theo chiu
dng lng giỏc) sao cho gúc
ã
2 cot 2ABC arc
=
.
a) Xỏc nh phộp ng dng bin im C thnh im B.
b) Tỡm qu tớch ca cỏc im B v D. Xỏc nh cỏc qu tớch ú.
Bai 3: (3 im)
a) Gii h phng trỡnh
8 8 8
2
log 3log log
3
log log
4
y
xy x y
x

x
y
=



=



b) Gii bt phng trỡnh:
2 3 2 3
4 4
1 3
log log 3 log log
2 2
x x x x+ > +
Bai 4: (2 im)
Cho dóy s
2 3
3 7 11 4 1
2 2 2 2
n
n
n
u

= + + +ììì+
vi mi s nguyờn dng
n

.
a) Chng t rng cỏc t s ca cỏc s hng liờn tip ca
n
u
lp thnh mt
cp s cng.
b) Hóy bin i mi s hng ca
( 1)
n
u n
thnh mt hiu liờn quan n 2 s
hng k tip ca nú, t ú rỳt gn
n
u
v tớnh
lim
n
u
Bai 5: (3 im)
a) Tớnh tng cỏc s chn cú 4 ch s c vit t cỏc ch s 1, 2, 3, 4.
b) Tỡm h s ca s hng khụng cha
x
trong khai trin nh thc Niu-tn
ca
3 2
3
1
n
x x
x

+
ữ

bit rng tng cỏc h s ca cỏc s hng trong khai
trin ny l
0 1 2
... 4096
n
a a a a+ + + + =
Bài 6: (3 điểm)
Cho cốc nước (hình vẽ) phần trên là
hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính
R, chiều cao SO = h. Trong cốc nước đã
chứa một lượng nước có chiều cao a so
với đính S. Người ta bỏ vào cốc nước một
viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa
phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của
viên bi theo R và h.
Bài 7: (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và
mặt đáy bằng
ϕ
.
a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình
chóp.
b) Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa
mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo
một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích
của hai phần đó.

Hết
O
S
I
M
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009
Moõn : TOAN
ẹAP AN - THANG ẹIEM
Bai 1 NI DUNG IM
(3)
Gii phng trỡnh:
1 1 2
cos sin 0 ( )
sin cos 3
x x a
x x
+ + =

a)
(1,5)
t
cos sin 2 cos
4
t x x x


= = +
ữ

,
2 2t
,
2
1
sin cos
2
t
x x

=
Phng trỡnh (a) tr thnh:
( )
2
2 2
0 2 2, 1
1 3
t
t t t
t
+ + =

( )
3 2
3 2 9 2 0 2 2, 1t t t t t + =
( )
2
( 2)(3 4 1) 0 2 2, 1t t t t t + =
(*)
2 2t = <

(loi) hay
2 7
3
t

=
Ta cú:
1 2 3 2 7 2 7 2 2,5
2 0; 1,5 2
3 3 3 3 3
+ +
< = < < > = >
Do ú phng trỡnh (*) ch cú mt nghim
2 7
3
t

=
Suy ra phng trỡnh (a) tng ng
2 7 2 7
2 cos cos
4 3 4
3 2
x x



+ = + =
ữ ữ

Theo gi thit:
3
0
4 4 4
x x


< < < + <
, nờn phng trỡnh (a) ch cú mt
nghim duy nht
2 7
arccos
4
3 2
x



= +
ữ
ữ

0,5
0,5
0,5
( )
2
2
(1) 2 2, 1
1

t
t m t t
t
+ =

(2)
Nhn xột: phng trỡnh
( )
2 cos 2, 1 cos
4 4
2
t
x t t t x


+ = + =
ữ ữ

ch
cú mt nghim duy nht trong khong
3
;
4 4



ữ

l
t

arccos
4
2
x

= +
Do ú (1) cú 2 nghim trong khong
3
;
4 4



ữ

thỡ phng trỡnh (2) cú 2
nghim.
Xột hm s
( )
2
2
( ) 2 2, 1
1
t
g t t t t
t
= +

.
( )

( )
{ }
2
2
2
2 1
'( ) 1 0, 2; 2 \ 1;1
1
t
g t t
t
+

= + >


Lp bng bin thiờn, ta thy phng trỡnh (2) cú hai nghim khi v ch khi:
0,5
0,5
( )
; 2 2;m
 
∈ −∞ − ∪ + ∞
 
:
t
2−
-1 1
2
g'(t) + + +

+∞

+∞

2

g(t)
2−

−∞

−∞
0,5
Bài 2
(3đ)
a)
(1,0)

Ta có:
·
·
arccot 2 2 arctan 2
BI
ABI IAB
AI
α
= ⇒ = ⇒ = =
(không đổi).
Nếu đặt

AI a=
thì
3 3
3
2 2
AB a
AB a k
AC a
= ⇒ = = =
(không đổi).
Do đó: Qua phép quay tâm A, góc
α
−
: điểm C biến thành điểm M và
3
2
AB AM=
uuur uuuur
nên M biến thành B qua phép vị tự tâm A tỉ số
3
2
k =
.
Vậy: B là ảnh của C qua phép đồng dạng F tỉ
3
2
k =
.
0,5
0,5

b)
(2,0)
Quỹ tích của C là đường tròn (O), nên: Quỹ tích của B là ảnh của đường tròn (O)
qua phép đồng dạng F.
0,25
Tương tự, D là ảnh của C qua 2 phép biến hình liên tiếp: Phép quay tâm A, góc
α

và phép vị tự tâm A tỉ số
3
2
k =
. Phép biến hình hợp thành của hai phép biến hình
này là phép đồng dạng F'
Vậy: D là ảnh của C qua phép đồng dạng F' tỉ
3
2
k =
.
0,5
0,25
Để xác định quỹ tích của B:
Ta chọn một điểm C trên (O), dựng trung điểm I của AC, dựng hình vuông AIKL,
dựng đường tròn tâm I bán kính IL cắt trung trực đoạn AC tại B. Dựng hình thoi
ABCD. Dựng đường tròn tâm A bán kính AC cắt tia AB tại M.
Để dựng ảnh của O là O' qua phép quay Q(A,
α
−
): Dựng trung điểm J của AO,
dựng hình vuông AJRS, dựng đường tròn tâm J bán kính JS cắt trung trực đoạn AO

tại P. Dựng đường tròn tâm A bán kính AO cắt tia AP tại O'. Qua B kẻ đường thẳng
song song với MO' cắt tia AP tại O".
Quỹ tích của B là đường tròn tâm O", bán kính R" = O"A
0,25
0,25
0,25
Quỹ tích của D là đường tròn (O"') đối xứng với (O") qua đường thẳng AO 0,25
Bài 3 (3đ)
a)
(1,5)
( )
2 2 2 2
8 8 8
2
2 2
2
2
log log log log
log 3log log
0, 0, 1
log3
3
log log
log log
4 log
4
y
x y x y
xy x y
x y y

x
x
x y
x
y
y
+ =
=


 
⇔ > > ≠
 
− =
=
 


0,5
Đặt:
2 2
log ; logu x v y= =
hệ phương trình trở thành:

( )
( )
( )
1
0 0
3

3
2
4
4
u v v
u v uv
v v
u
u u v
u v
v
v
 − =
+ =

 
≠ ⇔ ≠
 
 
= +
− =
 ÷
 

 

(2)
Nếu
0u
=

thì
0v
=
trái với điều kiện. Do đó
0u
≠

Suy ra:
( ) ( ) ( )
2
1 3
1
, 0 ; 1; , ; 3;
1
3
2 2
4 8 3 0
2
4
v
v
u
u
v
u v u v u v
v
v v
v
v


=


=
 
   
−
≠ ⇔ ⇔ = − =
−
 
 ÷  ÷
   
 
− + =
= +



0,5
Do đóhệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
( ) ( )
( )
1
; ; 2 , ; 8; 2 2
2
x y x y
 
= =
 ÷
 

0,5
b)
(1,5)
2 3 2 3 2 3 2 3
4 4 4 4
1 3
log log 3 log log log log 6 3log 2log 0
2 2
x x x x x x x x+ > + ⇔ + − + >
( )
2 2
2 3
3 3
4
4 4
log 2 0 log 2 0
log 2 log 3 0
log 3 0 log 3 0
x x
x x hay
x x
− > − <
 
 
 
⇔ − − > ⇔
 
 ÷
− > − <
 

 
 
3
4
3 27
4 64
x
x
>


⇔

 
< =
 ÷

 

hay
3
4
27
4
3 27
64
4 64
x
x
x

<


⇔ < <

 
> =
 ÷

 

.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
27
; 4
64
 
 ÷
 
0,5
0,5
0,5
Bài 4 (2 đ)
Ta có:
[ ]
( )
[ ] [ ]
4( 1) 1 4 1 4 4( 2) 1 4( 1) 1k k k k+ − − − = = + − − + −
Do đó:3, 7, 11, ... , (4k-1) lập thành một cấp số cộng có công sai d = 4.
Suy ra:

( ) ( ) ( )
2 (4 1 1) (4 1) (4 2 1) 2 4 3 (4 1) (4 7)k k k k k k+ − = − + + − ⇔ + = − + +   
   
0,5
0,5