Nguyên hàm tích phân 4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO file word
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.11 MB, 42 trang )
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Diện tích hình phẳng
Nếu có hình phẳng giới hạn bởi các đường
(Trong đó
.
liên tục trên đoạn [a;b]),
thì diện tích S được tính theo công thức
.
2. Thể tích khối tròn xoay
Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới giới hạn bởi các đường
(Trong đó
Thể tích
.
liên tục trên đoạn [a;b]), quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay.
của khối tròn xoay được tính theo công thức
.
Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
(Trong đó
Thể tích
liên tục trên đoạn [a;b]), quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay.
của khối tròn xoay được tính theo công thức
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 104
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho hàm số
đồ thị
liên tục trên đoạn
, trục hoành, hai đường thẳng
Giả sử
là diện tích hình phẳng
cho dưới đây?
Câu 2:
,
(như hình vẽ dưới đây).
. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D
.
B.
.
C.
.
D.
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
xuất phát từ
A.
của hàm số
và hai tiếp
là
B.
C.
D.
Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường
parabol
thể tích là:
và D nằm ngoài
. Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận được vaath thể tròn xoay có
A.
Câu 4:
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
A.
tuyến của
Câu 3:
. Gọi
B.
C.
D.
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm của đồ thị đó với trục Ox. Diện
tích của hình tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường thẳng d được xác định bởi tích phân:
A.
.
B.
.
C.
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.
Trang 105
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 5:
1) cho
và
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử:
và
, với
, là các nghiệm của phương trình
. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức
(2) Cũng với giải thiết như (1), nhưng:
Câu 6:
A. (1) đúng nhưng (2) sai.
B. (2) đúng nhưng (1) sai.
C. Cả (1) và (2) đều đúng.
D. Cả (1) và (2) đều sai.
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
thẳng
với
A. 1.
Câu 7:
. Kết quả giới hạn
, trục Ox và đường
là:
B. 2.
C. 3.
D. 4
Phần bôi đen trên hình vẽ là hình phẳng (D) giới hạn giữa parabol (P) và tiếp tuyến d của (P)
tại điểm A(1;1) và đường thẳng
. Tính diện tích hình phẳng (D).
y
4
1
-2
A.
Câu 8:
.
B.
-1
.
x
1
C.
.
D.
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường:
A.
Câu 9:
-1
A
.
B.
.
và
C.
.
là:
D.
.
Cho
là hai số thực dương. Gọi (K) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới
hạn bởi parabol
và đường thẳng
. Biết thể tích khối tròn xoay tạo được khi
quay (K) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của
và . Khẳng
định nào sao đây là đúng?
A.
.
B.
.
C.
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.
.
Trang 106
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 10: Cho hình phẳng
của hình phẳng
giới hạn bởi các đường
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
và
Tìm
để diện tích
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.
A.
B.
C.
D.
Câu 11: Cho hàm số
có đồ thị
cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ
hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
như
A.
B.
C.
D.
Câu 12: Gọi
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường
,
và
quanh trục
.
Đường thẳng
cắt đồ thị hàm
(hình vẽ bên). Gọi
trục
. Biết rằng
A.
.
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
quanh
. Khi đó
B.
.
C.
Câu 13: Cho tam giác đều
có diện tích bằng
tích
của khối tròn xoay được tạo thành.
A.
tại
B.
.
D.
quay xung quanh cạnh
C.
.
của nó. Tính thể
D.
Câu 14: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
và đồ thị hàm số
đó
là
, trong đó
là các số nguyên,
tối giản. Khi
bằng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 107
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
.
B.
Câu 15: Thể tích
.
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
C.
.
D.
của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
xung quanh trục hoành là
A.
.
C.
.
B.
.
D.
.
Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ
cho
có phương trình
và đường tròn
diện tích elip
A.
gấp 7 lần diện tích hình tròn
.
B.
.
Câu 17: Gọi
Để
D.
.
khi đó
C.
.
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
,
,
. Tìm
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Câu 18: Gọi H là phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng
phương trình
. H có diện tích:
A.
.
C.
Câu 19: Gọi
B.
.
D.
và parabol (P) có
.
.
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
giá trị của
để
B.
C.
là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng
(P) có phương trình
của m thì
. Tìm
.
A.
Câu 20: Gọi
với
.
. Gọi
D.
với m < 2 và parabol
là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào
?
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 108
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
.
B.
.
C.
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
.
D.
Câu 21: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường
thẳng
.
Câu 22: Gọi
B.
.
C.
.
như hình vẽ bên.
D.
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
Xác định
để đường thẳng
phần có diện tích bằng nhau.
đi qua điểm
A.
.
.
B.
và
có hệ số góc
với
.
, trục tung và trục hoành.
C.
Câu 23: Cho hàm số
có đồ thị
tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
,
và
. Đường
.
A.
Gọi
và
chia (H) thành hai phần có diện tích
Tìm k để
.
.
chia
thành hai
D.
.
là tham số thực. Giả sử
là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm
cắt trục
để
.
A.
.
B.
.
C.
Câu 24: Tìm giá trị của tham số m sao cho:
phẳng có cùng diện tích
A. 0 < m < 1.
Câu 25: Cho hàm số
B. m = 1.
.
D.
.
và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình
C.
.
có đồ thị (C). Tìm
phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng
4.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. m = 9
sao cho hình
và có diện tích bằng
Trang 109
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
.
B.
.
Câu 26: Cho hàm số
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
C.
.
D.
. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
sao cho đồ
thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục
hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng
A.
.
B.
.
C.
.
là
D.
.
Câu 27: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A
nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc
Khi quay tam giác đó quanh
trục Ox ta được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi:
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 28: Cho hàm số
có đồ thị
tiếp xúc với đường thẳng
cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích
A.
B.
.
Câu 29: Đường cong được cho bởi phương trình
C.
và trục hoành.
.
D.
, với đạo hàm
tương ứng là tung độ các điểm M và N thuộc đồ thị
từ điểm M tới điểm N là:
từ
đến
. Biết rằng đồ thị
tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
.
cong
D.
.
là hàm liên tục, gọi
. Độ dài đường
. Áp dụng tính độ dài đường cong
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 110
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 1,07.
B. 1,06.
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
C. 1.
Câu 30: Đường cong được cho bởi phương trình
D. 2.
, với đạo hàm
là hàm liên tục, gọi
tương ứng là tung độ các điểm M và N thuộc đồ thị
cong
từ điểm M tới điểm N là:
từ
đến
A. 1,07.
. Độ dài đường
. Áp dụng tính độ dài đường cong
.
B. 7,27.
C. 7,2
Câu 31: Đường cong được cho bởi phương trình
D. 2.
, với đạo hàm
là hàm liên tục, gọi
tương ứng là hoành độ các điểm M và N thuộc đồ thị. Độ dài đường cong
từ điểm M tới điểm N là:
từ điểm
A.
đến điểm
. Tích phân cần tính để giải bài này là:
.
C.
. Tìm độ dài của đường cong
B.
.
.
D.
.
Câu 32: Xét hàm số
liên tục trên miền
có đồ thị là một đường cong . Gọi
là phần giới hạn bởi
và các đường thẳng
,
. Người ta chứng minh được rằng
diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay
quanh
bằng
. Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay
tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng
A.
,
.
quanh
B.
là
.
Câu 33: Tính độ dài đường cong
và các
C.
.
D.
.
, từ điểm A có hoành độ a = 0 đến điểm B có hoành
độ b = 1. Kết quả là:
A.
.
B.
.
C.
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.
.
Trang 111
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 34: Cho hai mặt cầu
,
có cùng bán kính
và ngược lại. Tính thể tích phần chung
A.
Câu 35: Gọi
.
B.
.
.
A. 550.
B. 400.
của hai khối cầu tạo bởi
C.
.
thuộc
và
.
D.
.
và
có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
C. 670.
D. 335.
lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình elip
. Xung quanh trục
A.
thỏa mãn tính chất: tâm của
là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có
phương trình
Câu 36: Gọi
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
.
B.
. Hỏi khẳng định nào dưới đây đúng?
.
Câu 37: Cho hàm số
C.
.
D.
.
có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0
và trục hoành. Với giá trị nào của m thì
?
A.
B.
Câu 38: Cho parabol
C.
và đường thẳng
hình phẳng giới hạn bởi
A.
và
B.
D.
. Biết rằng tồn tại
để diện tích
đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
C.
D.
Câu 39: Cho parabol (P)
và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao cho diện
tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất
A.
Câu 40: Parabol
diện tích là
A.
B.
C.
D.
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng
và
, trong đó
B.
thành hai phần có
. Tìm tỉ số
C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.
Trang 112
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 41: Xét hàm số
liên tục trên miền
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
có đồ thị là một đường cong
là phần giới hạn bởi
và các đường thẳng
,
diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành
. Gọi
. Người ta chứng minh được rằng
khi xoay
quanh
bằng
. Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay
tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng
A.
.
,
quanh
là
B.
.
C.
.
Câu 42: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số
bằng
A.
với
.
B.
,
,
.
và các
, trục
D.
.
và đường thẳng
là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của
C.
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.
là
.
Trang 113
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
đồ thị
. Gọi
, trục hoành, hai đường thẳng
Giả sử
là diện tích hình phẳng
cho dưới đây?
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
,
(như hình vẽ dưới đây).
. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ Nhìn đồ thị ta thấy:
Đồ thị
cắt trục hoành tại
Trên đoạn
, đồ thị
ở dưới trục hoành nên
Trên đoạn
, đồ thị
ở trên trục hoành nên
+ Do đó:
Câu 2:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
tuyến của
xuất phát từ
của hàm số
và hai tiếp
là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 114
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
B.
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
.
Gọi
là tọa độ tiếp điểm. Khi đó,
Phương trình của tiếp tuyến của
và
tại điểm có tọa độ
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
.
là
nên
Diện tích hình phẳng cần tìm
Câu 3:
Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường
parabol
thể tích là:
và D nằm ngoài
. Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận được vaath thể tròn xoay có
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 115
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
Gọi
lần lượt là thể tích tam giác cong
và tam giác HBC tạo nên khi xoay quanh
trục Ox, phần diện tích được biểu diễn qua đồ thị sau:
Vậy
Chọn B.
Câu 4:
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm của đồ thị đó với trục Ox. Diện
tích của hình tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường thẳng d được xác định bởi tích phân:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Tọa độ giao điểm của đồ thị y=lnx với trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:
Ta có:
.
Vậy phương trình của tiếp tuyến d là:
Diện tích phải tìm:
.
.
Chọn D.
Câu 5:
1) cho
và
là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử:
và
, với
, là các nghiệm của phương trình
. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức
(2) Cũng với giải thiết như (1), nhưng:
A. (1) đúng nhưng (2) sai.
B. (2) đúng nhưng (1) sai.
C. Cả (1) và (2) đều đúng.
D. Cả (1) và (2) đều sai.
Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 116
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chú ý rằng với mọi
và
, nên
giữ nguyên dấu.
Nếu
thì ta có:
Nếu
thì ta có:
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
và
đều liên tục trên khoảng
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:
Tương tự như thế đối với 2 tích phân còn lại. vì vậy, hai công thức (1) và (2) là như
nhau:
Chọn C.
Câu 6:
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
thẳng
với
. Kết quả giới hạn
A. 1.
B. 2.
, trục Ox và đường
là:
C. 3.
D. 4
Hướng dẫn giải:
Ta có
Suy ra
,
Chọn B.
Câu 7:
Phần bôi đen trên hình vẽ là hình phẳng (D) giới hạn giữa parabol (P) và tiếp tuyến d của (P)
tại điểm A(1;1) và đường thẳng
. Tính diện tích hình phẳng (D).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 117
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
y
4
1
-2
A.
.
B.
-1
A
-1
.
x
1
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Vì parabol (P) nhận gốc O làm đỉnh và đối xứng qua Oy nên phương trình parabol (P) có
dạng
.
Vì (P) đi qua A(1;1) nên
, suy ra phương trình (P):
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (P) tại A nên có phương trình:
Diện tích hình phẳng (D) là:
.
Chọn A
Lưu ý: Bài này cần phải tìm phương trình của các đường dựa trên hình vẽ.
Câu 8:
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường:
A.
.
B.
.
và
C.
.
là:
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 118
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
Diện tích cần tìm là:
Câu 9:
Cho
là hai số thực dương. Gọi (K) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới
hạn bởi parabol
và đường thẳng
. Biết thể tích khối tròn xoay tạo được khi
quay (K) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của và . Khẳng
định nào sao đây là đúng?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
thẳng
Gọi
thẳng
là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường
, trục hoành và hai đường
. Khi đó,
là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường
, trục hoành và hai đường
. Khi đó,
Suy ra, thể tích khối tròn xoay khi quay hình
quanh trục Ox là :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 119
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Để thể tích không phụ thuộc vào a và b thì tỉ số
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
cố định.
Chọn D.
Câu 10: Cho hình phẳng
của hình phẳng
giới hạn bởi các đường
và
Tìm
để diện tích
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Do đồ thị nhận trục
làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
bằng diện tích hình phẳng giới hạn
bởi :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 120
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
Câu 11: Cho hàm số
có đồ thị
cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ
hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
như
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đồ thị của hàm số
nguyên hàm của
liên tục trên các đoạn
và
, lại có
là một
.
Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
là:
.
Vì
Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
là:
.
.
Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có:
.
Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.
(có thể so sánh
với
với
dựa vào dấu của
dựa vào dấu của
trên đoạn
trên đoạn
và so sánh
).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 121
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 12: Gọi
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
và
quanh trục
. Đường thẳng
cắt đồ thị hàm
tại
(hình vẽ bên). Gọi
quanh trục
A.
.
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
. Biết rằng
. Khi đó
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
. Khi đó
Ta có
Khi quay tam giác
quanh trục
Hình nón
có đỉnh là
Hình nón
thứ 2 có đỉnh là
tạo thành hai hình nón có chung đáy:
, chiều cao
, bán kính đáy
, chiều cao
;
, bán kính đáy
Khi đó
Theo đề bài
.
Câu 13: Cho tam giác đều
có diện tích bằng
tích
của khối tròn xoay được tạo thành.
A.
B.
quay xung quanh cạnh
C.
của nó. Tính thể
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
. Chọn hệ trục vuông góc
sao cho
với
là trung điểm
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 122
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
. Phương trình đường thẳng
là
quanh trục
(trùng
) tính bởi
, thể tích khối tròn xoay khi quay
. Vậy thể tích cần tìm
.
Câu 14: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
và đồ thị hàm số
đó
A.
là
, trong đó
là các số nguyên,
tối giản. Khi
bằng
.
B.
.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Ta có
Nên
.
Câu 15: Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình
phẳng giới hạn bởi đường tròn
xung
quanh trục hoành là
A.
C.
.
.
B.
.
D.
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 123
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.
.
Đặt
. Với
.
.
Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ
tròn
A.
cho
có phương trình
Để diện tích elip
.
B.
và đường
gấp 7 lần diện tích hình tròn
.
C.
.
D.
khi đó
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.
Diện tích
là
Đặt
.
Đổi cận:
Mà ta có
Theo giả thiết ta có
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 124
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 17: Gọi
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
,
,
. Tìm
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1:
*Tìm
sao cho
.
*Vì trên
,
nên ta có:
Diện tích hình phẳng:
.
*Vì
Nên
và
.
Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.
Diện tích hình phẳng:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 125
,
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Cho
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
ta bấm máy
Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B.
Câu 18: Gọi H là phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng
phương trình
. H có diện tích:
A.
.
C.
với
B.
.
và parabol (P) có
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Gọi diện tích cần tính là
, Ta có:
Đặt
thì
khi
thì
.
Chọn C.
Câu 19: Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
giá trị của
để
A.
. Tìm
.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
(do
và
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
).
.
và
ta có
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 126
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
.
Khi đó
.
Để
Câu 20: Gọi
(do
).
là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng
(P) có phương trình
của m thì
A.
. Gọi
với m < 2 và parabol
là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào
?
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Ta tính
trước, phương trình hoành độ giao điểm:
, do đó
Ta tính
.
, phương trình hoành độ giao điểm:
, do đó:
.
(Chú ý: muốn đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt thì trong tinhd huống này
parabol phải có phần chứa đỉnh nằm trên đường thẳng).
Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 127
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
Câu 21: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường
và
thẳng
chia (H) thành hai phần có diện tích
Tìm k để
và
. Đường
như hình vẽ bên.
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Trích đề Minh họa 2 - 2017
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Do đó:
.
Chọn D.
Câu 22: Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
Xác định
để đường thẳng
phần có diện tích bằng nhau.
đi qua điểm
A.
.
.
B.
, trục tung và trục hoành.
có hệ số góc
C.
chia
.
D.
thành hai
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
.
Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số:
và trục hoành là:
, trục tung và trục
hoành là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
.
Trang 128
