On tap nguyen ham va tich phan

ÔN TẬP CHƯƠNG III
I/ MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
1/ Các kiến thức cơ bản cần nắm
* Khái niệm nguyên hàm
* Tính chất cơ bản của nguyên hàm
* Bảng nguyên hàm cơ bản
* Định nghĩa tích phân
* Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp từng phần
* Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học
2/ Các kĩ năng cần thành thạo
* Tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất và bảng nguyên hàm , Đổi
biến số và nguyên hàm từng phần )
* Tính tích phân của một số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất và bảng nguyên hàm , Đổi biến
số và tích phân từng phần từng phần )
* Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
* Áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể
II/ Các vấn đề cụ thể
1/ Lý thuyết cần nắm :
1.1/ Khái niệm nguyên hàm :
* Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên tập K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm
số f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
* Định lý : Giã sử F là một nguyên hàm của f trên K
a/ Với mỗi hàng số C hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K
b/ Ngược lại mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) +C
1.2/ Tính chất cơ bản của nguyên hàm
* Định lý : Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K thì
f(x)dx + �
g(x)dx
 f ( x)  g ( x)dx = �
a/ �
kf(x)dx = k �

f(x)dx với mọi số thực k khác 0
b/ �
1.3/ Bảng nguyên hàm cơ bản
0dx = C
dx = �
1dx  x  C
1/ �
�


1

 1

2/

x dx =
x
�
 +1

3/

dx = ln x  C
�
x

C

  �1

1

4/ Với k là hằng số khác 0 ta có
1
k
1
coskxdx = sinkx + C
b/ �
k
1
e kx dx = e kx + C
c/ �
k
1 x
a x dx =
a +C
(0  a �1)
d/ �
lna
sinkxdx = - coskx + C
a/ �


5/
a/
b/

1

dx = tanx +C
�
cos x
2

1

�
sin

2

x

dx = -cotx +C

1.4/ Tích phân
1.4.1/ Định nghĩa tích phân : Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F
là một nguyên hàm củ f trên K thì hiệu số
F(b) – F(a)
b

được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

f ( x)dx
�
a

Chú ý :
b

* Nếu a < b ta gọi

f ( x)dx
�

là tích phân của f trên đoạn [a; b]

a

b

b

f ( x)dx = F ( x) a = F(b) – F(a)
*�
a

* Tích phân không phụ thuộc vào biến lấy tích phân

b

b

b

a

a

a

f ( x)dx = �
f (t ) dt = �
f (v)dv = ....
�

1.4.2 Tính chất của tích phân
a

f ( x)dx  0
1/ �
a

b

a

f ( x)dx   �
f ( x )dx
2/ �
a

b

b

c

a

a

b

f ( x)dx  �
f ( x)dx + �
f ( x ) dx
3/ �
c

b

b

b

a

a

[f ( x)  g ( x)]dx  �
f ( x)dx + �
f ( x) dx
4/ �
a

b

b

a

a

kf ( x)dx  k �
f ( x ) dx
5/ �

2/ Các dạng toán trong chương III
2.1.1 Tính nguyên hàm bằng cách sữ dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
1 2
x x3
x3  x 2  1
c/ f(x) =
x2

a/ f(x) = x3 + 

b/ f(x) = ( x  1)( x  x  1)
d/ f(x) = x4 + 3x3 -5x + 2

Ví dụ 2 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x) = 2cos2x + 2sin3x + x 2
b/ f(x) = 4sin2x
c/ f(x) = (

1 1
 5 )( x 3  x)

7
x
x

d/ f(x) = 2sin x + 2cosx + x 2 

Ví dụ 3 : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

1
x



3

a/

f(x) = 2cos2x +2sin3x +x 2 biết F( )= - 3

b/

x3  x 2  1
f(x) =
biết F((-3) = 10
x2

2.12 Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Định lý : Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao
cho f[u(x)] xác định trên K . Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f ,
f(u)du =F (u )  C thì �

f[u(x)]dx =F [u ( x)]  C
tức là �
Ví dụ1 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
ecosx sin xdx
(5 x  3)5 dx
a/ �
b/ �
c/

tg 3 x
dx
�
cos 2 x

esinx cos xdx
d/ �

Ví dụ 2 : Tính
9 x2

a/ �

1-x

3

x 4 1  x 2 dx
b/ �

dx

1
dx
x (1  x ) 2

c/ �

d/

1

dx
�
e 1
x

Bài tập1 : Tính
x
3
1

x
3

sin 5 cos dx
a/ �

c/ �

x 1 x

2

x 3 4 1  x 2 dx
b/ �

dx

d/

Bài tập2 : Tính
t anxdx
a/ �

2 ln x  3
dx
x

�

cot xdx
b/ �

(tan 3  t anx)dx
c/ �

(cot x + cot 3 x)dx
d/ �

1

dx
x  6x  9

g/ �2

h/

3x  2

dx
�
x  6x  9
2

2.1.3 Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
u(x)v'(x)dx = u ( x)v( x)  �
v( x)u '( x)du
Định lý : Nếu u,v là hai hàm số liên tục trên K thì �
Ví dụ 1 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x ) = x2sin2x
b/ f(x ) = x2cosx
c/ f(x ) = x2ex
d/ f(x ) = x3 ln(2x)
Ví dụ 2 : Tính
x s inxdx
( x  1)e x dx
a/ �
b/ �
c/
e/

(2 x  1)sin xdx
�
(5 x  3) dx
�
x ln xdx
�
5

h/
Bài tập 1: Tính
x 2 s inxdx
a/ �
c/

x

x sin dx
�
3

(x)

d/
g/
k/

sin x cos xdx
�
e s inxdx

�
x ln xdx
�
4

x

2

xe-x dx
b/ �

(x)

d/

e sin 2 xdx
�
x


Bài tập 2: Tính
e 2 x 1 dx
a/ �

x tan 2 xdx
b/ �

cos(lnx)dx (x)
ln( x  x )dx

c/ �
d/ �
2.2.1 Tính tích phân bằng cách sữ dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1 : Tính
2

1

e

( x 3  x  1)dx
a/ �

(x 
b/ �

0

1

3

1 1
 2  x 2 )dx
x x

2

x  2 dx
c/ �

d/ �x  1dx

1

1

Ví dụ 2 : Tính

2

1

(e x  x )dx
b/ �

(2sin x  3cosx  x)dx
a/ �

3
1

0

2

( x 3  x x )dx
c/ �

( x  1)( x  x  1)dx

d/ �

0

1

Bài tập : Tính

2

1

1
(3sin x  2cosx  )dx
a/ �
x


(e x  x 2  1)dx
b/ �
0

3
2

2

( x 2  x x  3 x )dx
c/ �

( x  1)( x  x  1) dx
d/ �

1

1

2.2.2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Công thức dổi biến số

b

u (b )

a

u(a)

f [u( x )]u'(x)dx  �f (u )du
�

Ví dụ1 : Tính

2

sin 3 xcos 2 xdx
a/ �

c/


3

2

sin x

dx
�
1  3cosx
0


2

sin 2 xcos 3 xdx
b/ �

3

4

d/ tgxdx
�
0


4

cot gxdx

g/ �

6

h/


6

�1  4sin xcosxdx
0

Ví dụ 2 : Tính
1

a/

x x
�

1

2

 1dx

0

0

1

x x  1dx
c/ �
3

0

x 1  x 2 dx
b/ �

2

1

x2
dx
d/ � 3
x 1
0


1

2

x 3 1  x 2 dx
g/ �

h/

0

1

�
x x
1

3

1

dx

Ví dụ 3 : Tính
1

1

1
a/ � 2 dx
1 x
0
1

�x

c/

0

1
2

1

2

1
1

dx

1

�
(1  3x

d/

2 2

0

)

dx



2


2

esin x cosxdx
g/ �

e cosx sin xdx
h/ �

4

2


4

1

1

dx
�
x  2x  2

b/

2

e x  2 xdx
f/ �

sin 3 xcos 2 xdx
k/ �

3

0

Bài tập 1 : Tính

2


2

esin x cosxdx
1/ �

1


4


4

2

e x  2 xdx
3/ �

e cosx sin xdx
2/ �

0

Bài tập 2 : Tính

2


2

sin 3 xcos 2 xdx
1/ �

sin 2 xcos 3 xdx
2/ �


3

3/


3

cot gxdx

5/ �

4/ tgxdx
�

6/


6


6

0

sin x

dx
�
1  3cosx
0


4


4


2

�1  4sin xcosxdx
0

Bài tập 3 : Tính
1

x x 2  1dx
1/ �
0

1

x

x 1  x 2 dx
2/ �
0

1

x 3 x 2  1dx
3/ �
0

1

2

4/ � 3

x 1
0

1

dx

x 3 1  x 2 dx
5/ �

2

1

�
x x

6/

0

1

3

1

dx

Bài tập 4 : Tính

e

1  ln x
dx
1/ �
x
1
e 2ln x 1
dx
4/ �
x
1
e

e

sin(ln x)
dx
2/ �
x
1

e

1  3ln x ln x
dx
3/ �
x
1

e2

1  ln 2 x
dx
5/ �
x
ln
x
e

e2

6/

�
cos
e

2

1
dx
(1  ln x)

Bài tập 5 : Tính
2

x
dx
1/ �

x 1
1 1

1

x
dx
2/ �
2x 1
0

1

1
dx
4/ �
x 1  x
0

1

x x  1dx
3/ �
0

1

5/

1

dx
�
x 1  x
0

3

6/

x 1

�x
1

dx


2.2.3 Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
b

b

b

u( x)v'(x)dx  u ( x )v ( x ) a  �
v ( x )u '( x )dx
Công thức tích phân từng phần : �
a

a

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
�
sin ax �
�
�
f ( x) �
cosax �
dx
@ Dạng 1
�

�
e ax �
�
�
u  f ( x)
du  f '( x )dx
�
�
�
�
�
sin ax �
sin ax �
� �
�
� �
� ��
�

�
dv  �
cos ax �dx �
v�
cosax �dx
�
�
� �
�
�
e ax �
e ax �
�
�
�
� �
�




f ( x) ln(ax)dx
�

@ Dạng 2:



dx
�

du 
u  ln(ax)
�
�
x
��
Đặt �
dv

f
(
x
)
dx
�
�
v�
f ( x)dx
�

Ví dụ1 : Tính
e
ln 3 x
a/ � 3 dx
x
1

e

�

b/ x ln xdx
1

1

�

e

c/ x ln( x  1)dx

�

2

2

d/ x ln xdx

0

1

Ví dụ 2 : Tính
e

e

ln 3 x

a/ � 3 dx
x
1

�

b/ x ln xdx
1
e

1

�

c/ x ln( x  1)dx

�

2

2

d/ x ln xdx

0

1

Tích phân từng phần các hàm số cần khéo léo đặt u và dv
Ví dụ 1: tính các tích phân sau

�
u  x 2e x
1
3
2 x
xe
x8 dx
�
dx đặt �
a/ �
b/ �4
đặt
dx
( x  1) 2
dv 
( x  1)3
0
2
2
�
( x  1)
�
1

1

1

1

dx
1  x2  x2
dx
x 2 dx

dx


 I1  I 2
c/ � 2 2 �
�
(1  x )
(1  x 2 ) 2
1  x2 �
(1  x 2 ) 2
0
0
0
0
1

dx
Tính I1  � 2 bằng phương pháp đổi biến số
1 x
0

�
u  x5
�
�

x3 dx
dv

�
( x 4  1)3
�


1

x 2 dx
Tính I2 = � 2 2 bằng phương pháp từng phần : đặt
(1  x )
0

ux
�
�
x
�
dv

dx
�
(1  x 2 ) 2
�

1

t 2e x

Ví dụ 2 : Tìm x > 0 sao cho � 2 dx  1
(t  1)
0

Bài tập : Tính các tích phân sau

2

e

�

�

1

0


3

2

�

1
x

b/ ( x  ) ln xdx

a/ ( x  cosx) s inxdx

�

c/ ln( x  x )dx
2

2

d/ x tan xdx

4

1

2.3.1 Áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Công thức tính diện tích hình phẳng
@ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo côcng thức sau S giới hạn bởi
y = f(x) , trục
b

hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo côcng thức sau S =

�f ( x) dx
a

@ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x=b
Bước 1 : Giải phương trình f(x) = 0 tìm các nghiệm x1, x2, ...,xn thuộc đoạn [a, b]

Bước 2 : Gọi S là diện tích hình phẳng cầ tính
Khi đó S =

b

x1

x2

b

a

a

x1

xn

�f ( x) dx  �f ( x) dx + �f ( x) dx +...  �f ( x) dx
xj

Bước 3 : Trên mỗi đoạn [xi ; xj ] , f(x) chỉ mang một dấu . Tính

�f ( x) dx
xi

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 
@ Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo côcng thức sau
b

S=

�f ( x)  g ( x) dx
a


@ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
Bước 1 : Giải phương trình f(x) = g(x) tìm các nghiệm x1, x2, ...,xn thuộc đoạn [a, b]
Bước 2 : Gọi S là diện tích hình phẳng cầ tính
b

x1

x2

b

a

a

x1

xn

f ( x)  g ( x) dx  �
f ( x)  g ( x) dx + �
f ( x)  g ( x) dx +...  �
f ( x)  g ( x) dx
Khi đó S = �
xj

Bước 3 : Trên mỗi đoạn [xi ; xj ] , f(x) – g(x) chỉ mang một dấu . Tính

�f ( x)  g ( x) dx
xi

2.3.2 Áp dụng tích phân tính thể tích vật thể