sáng kiến kinh ngiệm

SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CĨ HIỆU QUẢ
PHẦN I. MỞ ĐẦU.
A.Lý do chọn đề tài.
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( GTLN và GTNN) là một bài
tốn tương đối khó. Bởi vì cơ sở lý thuyết ngắn , nhưng lại đa dạng về kĩ thuật và
thủ thuật làm tốn. Nó đòi hỏi một thời gian lớn để thấu hiểu và giải được bài tốn,
mà còn đòi hỏi sự nhạy cảm và khả năng tư duy cao . Đặc biệt để giải bài tốn tìm
GTLN và GTNN thì các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học…thường
được sử dụng. Trong phạm vi nào đó, việc dự đốn GTLN và GTNN còn đồi hỏi
kinh nghiệm , lẫn sự thơng minh định ra con đường và phương tiện để chứng minh.
Hơn nữa, bài tốn tìm GTLN và GTNN là dạng bài tốn hay gặp trong các kì thi
tốt nghiệp, ĐH và CĐ.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT Phước Long tơi nhận thấy
khi dạy phần này tơi thường gặp những khó khăn sau đây:
 Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học
tốn thì cũng “ngại” giải bài tốn này.
 Khó khăn thứ hai: Học sinh hay mắc phải sai lầm và thiếu sót từ việc
chứng minh và cả việc kết luận bài tốn.
 Khó khăn thứ ba :Đối với học sinh khối 10, khi áp dụng bất đẳng thức đề
gỉai bài tốn tìm GTLN và GTNN lại còn gặp rất nhiều khó khăn hơn. Đặc
biệt, trong tài liệu tự chọn nâng cao (TLTCNC) học sinh 10 tự nhiên khơng
dễ dàng tiếp thu và giải được.
Thực tế trên đã làm cho tơi trăn trở rất nhiều năm. Phải làm sao cho học sinh
hứng thú học tập khi gặp bài tốn này nói chung và dễ dàng tiếp thu bài tốn tìm
GTLN và GTNN khi áp dụng bất đẳng thức nói riêng ? Vì vậy , tơi quyết định
chọn đề tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu quả , với mong muốn góp
một phần nhỏ kinh nghiệm của mình vào cơng tác giảng dạy bài tốn tìm GTLN và
GTNN cho học sinh lớp 10 và tạo tiền đề để học sinh tiếp tục tiếp cận bài tốn trên

trong các kì thi tốt nghiệp , ĐH và CĐ.
B. Phương pháp thực hiện.
Qua nhiều năm giảng dạy chương trình đại số 10 tơi thấy học sinh khó tiếp
cận bài tốn và hay mắc phải một số sai lầm để đi đến kết luận bài tốn. Do đó khi
dạy phần này tơi cho học sinh làm thật tốt bài tốn bất đẳng thức , nắm vững cơ sở
lý thuyết cơ bản của bài tốn GTLN và GTNN , giải bài tốn trong phạm vi
phương pháp 1, phương pháp 2 (được trình bày trong phần nội dung) để làm nền
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 1 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
tảng vào phương pháp 3 (được trình bày trong phần nội dung), đồng thời chỉ ra
những sai lầm mà học sinh hay mắc phải.
C. Thời gian thực hiện.
Tiết 44 , tuần 18. Tiết 64, tuần 25 . Mà chủ yếu thực hiện trong thời gian làm
bài tập tự chọn chủ đề tự chọn nâng cao.
D. Tài liệu tham khảo:
• Sách giáo khoa 10 nâng cao.
• Phương pháp tìm GTLN và GTNN của Nguyễn Văn Nho.
• Một số bài viết trên diễn đàn tốn học.
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 2 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
PHẦN II. NỘI DUNG.
A. Kiến thức cơ bản bất đẳng thức ( BĐT ) :
I. Tính chất cơ bản
* Quy ước:
00

≤−⇔≤≥−⇔≥
BABAhayBABA

1)
ABBA
<⇔>
A > B
2) B > C
3) A > B ⇔ A+C > B+C (C
∈¡
)
4) A > B ⇔ A.C > B.C (C > 0)
A > B ⇔ A.C < B.C (C < 0)
II. Các phép toán về bất đẳng thức:
1) Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều:
A > B
C > D
* Chú ý: Trừ 2 BĐT cùng chiều thì sai.
2) Trừ 2 bđt ngược chiều
A > B
C < D
3) Nhân 2 bđt dương cùng chiều
A > B > 0
C > D > 0
4) Bình phương một BĐT dương
A > B > 0  A
2
> B
2
Tq: A > B > 0  A

n
> B
n
5) Khai căn bậc n ≥ 2 một bđt
0
n n
A B A B
> > → >
6) Nghòch đảo một BĐT:
1 1
,
A B
A Bcungdau
A B
>

→ <


Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 3 -
Trường THPT Phước Long
 A > C
 A + C> B+D
 A - C > B - D
 A . C > B.D > 0
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
III. Một số BĐT quan trọng:
1) Bất đẳng thức giá trò tuyệt đối
a) |A+B| ≤ A+B

“ = “ ⇔ A, B cùng dấu
TQ: a
1
+a
2
+ … + a
n
≤a
1
+ a
2
+…+ a
n

b) A-B≤A-B
“ = “ ⇔ A, B cùng dấu
2) Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thuộc dương a
1
, a
2
,…, a
n
≥0. Ta có:
Dạng 1:
1 2
1 2
...
. ...
n

n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dạng 2:
1
2
...
. ...
n
n
a n
a n a
a a a
n
+ + +
 
≤
 ÷
 
“ = “ ⇔ a
1
= a
2
= …. = a
n
* Ta thường dùng:

• a,b ≥ 0. Ta có :
a + b ≥
2 ab
“=” ⇔ a = b
• a, b, c ≥ 0. Ta có:

3
3
" "
a b c abc
a b c
+ + ≥
= ⇔ = =
3) Bất đẳng thức Shwartz ( Bunhiacovski )
Cho 2n số thực tùy ý :
1 2 1 2
, ,..., ; , ,..., .
n n
a a a b b b
Dạng 1: (a
1
.b
1
+a
2.
b
2
+ … + a
n
b

n
)
2
≤ (a
1
2
+a
1
2
+…+a
1
2
)
(b
1
2
+b
1
2
+…+b
n
2
)
Dạng2:a
1
.b
1
+a
2
.b

2
+…+a
n
.b
n

( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1
... ...
n n
a a a b b b
≤ + + + + + +
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 4 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
( )
1 2
1 2
1 2
" " ... , ,... 0
n
n
n
a
a a
b b b
b b b
= ⇔ = = = ≠

* Ta thường dùng bất đẳng thức cho 4 số bất kỳ như sau:
ax+by ≤
2 2 2 2
( )( )a b x y
+ +
* Chú ý trong quá trình làm bài tập ta cũng có thể
dùng các hệ quả sau:
Hệ quả 1: cho n số dương: a
1
, a
2
, …, a
n
> 0
Ta có:
n
n
n
aaa
aaa
n
...
1
...
11
21
21
≤
+++
Thật vậy: áp dụng BĐT Côsi cho n số dương:

n
aaa
1
,...,
1
,
1
21
.
Ta có:
nn
n
n
aaaaaa
1
....
1
.
11
...
11
121
≥+++

n
n
aaa
aaa
n
...

1
...
11
21
21
≤
+++
Thật vậy: AD BĐT Shwartz dạng 1, ta có:
( )
2 2
1 2
1 2
2
2 2
2 2 2
1 2
2 2
2
...
.1 .1 ... .1
... 1 1 ... 1
n n
n
a a a a
a a
n n n n
a
a a
n n n
+ + +

   
= + + + ≤
 ÷  ÷
   
 
+ + + + + +
 ÷
 

n
aaa
n
aaa
nn
22
2
2
1
2
21
......
+++
≤






+++

Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 5 -
Trường THPT Phước Long
Hệ quả 2 : Cho n số dương : a
1
, a
2
, …., a
n
.
Ta có:
2 2 2
1 2
1 2
...
...
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
+ + + ≤
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả

2 2 2
1 2
1 2
...
...

n
n
a a a
a a a
n
+ + +
+ + + ≤
B. Các phương pháp thộng dụng CM BĐT
I. Phương pháp 1: Phương pháp quy ước đúng CM
BĐT(biến đổi tương đương).
1. Phương pháp:
*) Cơ sở của phương pháp là sử dụng quy ước:
A > B ⇔ A - B > 0
Nghóa là để CM BĐT A > B, ta làm như sau:
• B1: Xét A - B
• B2 : CM: A - B > 0 luôn đúng.
* Tương tự: A ≥ B ⇔ A - B
≥
0
A < B ⇔ A - B < 0
A ≤ B ⇔ A - B
≤
0
2. Các ví d ụ
Bài 1: Cho a, b > 0. CM:
3
3 3
(1)
2 2
a b a b+ +

 
≥
 ÷
 
Giải

(1)
3
3 3 3 3 3 2 2 3
4 4 3 3
0 0
2 2 8
a b a b a b a a b ab b
+ + + − − − +
 
⇔ − ≥ ⇔ ≥
 ÷
 
( )
3 2 2 3
3
0
8
a a b ab b
⇔ − − + ≥
( ) ( ) ( ) ( )
00
2
22
≥−+⇔≥−−−⇔

babababbaa
(ĐPCM).
Bài 2: CM:
22
22
baba
+
≤
+
(2)
Giải
+ a + b ≤ 0  (2) đúng
+ a + b > 0  (2) ⇔
0
24
2
2222
≤
+
−
++
baabba
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 6 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
⇔ (a-b)
2
≥ 0 (đúng)
Vậy

22
22
baba
+
≤
+
(ĐPCM).
Bài 3: Cho a, b > 0. CM:
a b
a b
b a
+ ≥ +
(3)
Giải
(3)
( ) ( )
0
≥−−−⇔+≥+⇔
bbaabaabbaabaa
( )
( ) ( ) ( )
00
2
≥+−⇔≥−−⇔
babababa
(đúng)
Bài tập 1 3 là những bất đẳng thức CM bằng
cách biến đổi td trực tiếp. Sau đây là BĐT thông qua kết
quả bất đẳng thức khác.
B ài 4 (1.TLTCNC)

Cho a, b
∈¡
.CMR:
a b a b a b− ≤ − ≤ +
.
Giải
Ta có:
( )
2
2
( )a b a b a b a b− ≤ + ⇔ + ≤ +
.

2 2 2 2
2 2a b ab a b ab⇔ + − ≤ + +

ab ab⇔ − ≤
(đúng).(1)
Ta có:
( )a a b b a b b a b a b= − + ≤ − + ⇔ − ≤ −
(2).
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
Bài 5 : Cho a, b, c ≥ 0. CM: a)
33
cabcabcba
++
≥
++
(1)

b)
2
222
33






++
≥
++
cbacba
(2)
Giải
Ta CM: a
2
+b
2
+c
2
≥
ab + bc + ca (*)
Cách 1: Ta có :
2 2 2
( ) 2a b a b ab+ ⇔ + ≥
Tương tự

2 2

2 2
2 2 2
2
2
a c ac
b c bc
a b c ab bc ac
+ ≥
+ ≥
⇒ + + ≥ + +
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 7 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
Cách 2:

2 2 2
2
2 2 2 2 2
(*) 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c ab bc ca
a
ab b a ac c c bc b
⇔ + + − − − ≥
 
   
⇔ − + + − + + − +

 ÷
 ÷  ÷
   
 

( ) ( ) ( )
0
2
1
2
1
2
1
222
≥−+−+−⇔
cbcaba
Cách 1
a).
(1)
( )
2
2 2 2
2 2 2 3 3 3
9 3
a b c
ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
+ +
+ +
⇔ ≥ ⇔ + + + + + ≥ + +

2 2 2
a b c ab bc ca
⇔ + + ≥ + +
(đúng)
→
ĐPCM.
b).

( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
(2) 2 2 2
3 9
3 3 3 2 2 2
a b c
a b c ab bc ac
a b c a b c ab bc ac
a b c ab bc ca
+ +
⇔ ≥ + + + + +
⇔ + + ≥ + + + + +
⇔ + + ≥ + +
Cách 2:
a) Ta có:
2
2 2 2

2 2 2
3 9
a b c a b c ab bc ca+ + + + + + +
 
=
 ÷
 

39
222
cabccbcabccbcba ++
+
−−−++
=
3
ab bc ca+ +
≥

3 3
a b c ab bc ca+ + + +
≥
(ĐPCM).

b)Tacó:
( ) ( )
222222222
23 cbacbacba
+++++=++
( ) ( )
2

222
2 cbacabcabcba
++=+++++≥

( )
2
222
39
3






++
≥
++
⇔
cbacba

2
222
33







++
≥
++
⇔
cbacba
.
II. Dùng các bất đẳng thức thường gặp (BDT C ơ si –
BDT Shwartz).
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 8 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
Bài 1: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>


+ + =


Gi ả i
Cách 1 :Ta có b + c = (b + c) [a + (b + c)]
2
≥ (b + c)4a(b +
c)=(b + c)
2
. 4a

Mà (b + c)
2
≥ 4bc
do đó b + c ≥ 16abc (đpcm)
Cách 2: Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c)
⇔ b + c ≥ 16bc - 16b
2
c - 16bc
2
⇔ 16b
2
c + 16bc
2
- 16bc + b + c ≥ 0
⇔ c (16b
2
- 8b + 1) + b(16c
2
- 8c + 1) ≥
0
⇔ c (4b - 1)
2
+ b(c-1)
2
≥ 0 (đúng)
 b + c ≥ 16abc (đpcm)
Cách 3 : Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c)
⇔ b + c ≥ 16bc - 16bc (b + c) ⇔ (b + c)(1 + 16bc) ≥
16bc (*)
Để CM (*) ta xuất phát từ (b + c)

2
≥ 4bc
Ta có: (b + c)
2
≥ 4bc ⇔ (b + c)
2
(1 + 16bc)
2
≥ 4bc (1 +
16bc)
2
≥(4bc)
2
⇔ (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc ((*) đúng)
Suy ra: b + c ≥16abc (đpcm)
Cách 4 :
Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c)
⇔
)1(16
11
cb
bc
−−≥+
0161616
11
≥++−+⇔
cb
bc
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 9 -
Trường THPT Phước Long

a) CMR: b + c ≥ 16abc
(TLTCNC)
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
1 1
16 8 16 8 0b c
b c
   
⇔ − + + − + ≥
 ÷  ÷
   
2 2
1 1
4 4 0b c
b c
   
⇔ − + − ≥
 ÷  ÷
   
Suy ra: b + c ≥16abc (đpcm)


Giải
Ta có:
3
3 2 2 2
3
3
a b c abc
ab bc ca a b c

+ + ≥
+ + ≥
 (a+b+c) (ab+bc+ca) ≥ 9abc ⇔ ab+bc+ca ≥ 9abc (a+b+c = 1)
Giải
Ta có ab + bc + ca - 2abc ≥ 0 ⇔ ab(1-c) + bc (1-a) + ca ≥ 0 (đúng)
Ta có : ab + bc + ca – 2abc
≥
0
⇔
ab(1- c) + bc(1 – a) + ca
≥
0 (đúng)
Do a + b + c = 1; a, b, c > 0 ;1 > c, 1 > a ; ab, bc, ca>0)
Suy ra: ab + bc + ca ≥ 2abc (ĐPCM)

Giải
Cách 1:
Ta có : 1 + a = a + b + c + a ≥ 4
4
2
bca
1 + b = a+ b + c + b ≥ 4
4
2
acb
1 + c = a+ b + c + c ≥ 4
4
2
abc
 (1 + a (1 + b) (1 + c) ≥ 4

3

4
444
cba
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 10 -
Trường THPT Phước Long
b) CM: ab + bc + ca ≥ 9abc
(TLTCNC)
d) CM:
64
1
1
1
1
1
1
≥






+







+






+
cba
c) CM: ab + bc + ca
≥
2abc
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
Suy ra: (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 64 abc
Cách 2 :
Ta có:
2
4
1 1
1 4
a a a b c a bc
a a a a
+ + + +
 
+ = = ≥
 ÷
 
2

4
1 1
1 4
b b a b c b ac
b b b b
+ + + +
 
+ = = ≥
 ÷
 

c
abc
c
bcac
c
c
c
4
2
4
11
1 ≥
+++
=
+
=+
Suy ra:
4 4 44
1 1 1

1 1 1 64 64
a b c
a b c abc
   
+ + + ≥ =
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 2:
Cho a
1
, a
2
, …, a
n
> 0; a
1
+ a
2
+ … + a
n
= 1
CM :
( )
n
n
n
aaa
1
1
1...

1
1
1
1
2
+≥








+








+







+
.
Giải
Cách 1:
Ta có:
( )
( )
1
2
1 1 2 1 1 2
1 ... 1 ...
n
n n
a a a a a n a a a
+
+ = + + + + ≥ + ×
( )
( )
1
2
2 1 2 2 2 1
1 ... 1 ...
n
n n
a a a a a n a a a
+
+ = + + + + ≥ + ×
………………………………………………………
( )
( )

1
2
1 2 1 1
1 ... 1 ...
n
n n n n n
a a a a a n a a a
+
−
+ = + + + + ≥ + ×


( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 . ...
n
n n n
n
n n
a a a n a a a
+ + +
+
+ + + ≥ + ×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 . ...
n
n n

a a a n a a a⇔ + + + ≥ +
( )
n
n
n
aaa
1
1
1...
1
1
1
1
21
+≥








++









+








+⇔
(ĐPCM)
Cách 2:
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 11 -
Trường THPT Phước Long
SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có
hiệu quả
Ta có:
( )
( )
3 2 3
2
1
1
1 1 1 1 1
. ...
1
1 1 1 ... 1
n n

n
n
a a a a a
a
n
a a a a a
+
−
+ = + + + + + ≥ + ×

( )
( )
3 1 3
1
1
1
2 2 2 2 2
. ...
1
1 1 1 ... 1
n n
n
n
a a a a a
a
n
a a a a a
+
−
+ = + + + + + ≥ + ×

………………………………………………………….

( )
( )
1 1 2 1
1 2
1
1
...
1
1 1 1 ... 1
n n
n
n
n n n n n
a a a a
a a
n
a a a a a
− −
+
−
+ = + + + + + ≥ + ×
Suy ra:
( )
1 1 1
1 2
1
1 1 1
1 2 1 2

...
1 1 1
1 1 ... 1 1
...
n n n
n
n
n n n
n n
a a a
n
a a a a a a
− − −
+
− − −
 
  
+ + + ≥ + ×
 ÷
 ÷ ÷
+ +
  
 
(đpcm)
Bài 3 : Cho n số dương a
1
, a
2
, …, a
n

. CMR:
1
1 2
2 3 1
1
1 1 ... 1 1 1
. . .
n
n n
n
a a
a a
na n a n a n a n
−
   
   
 
+ + + + ≥ +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
 
   
   
Giải
ADBĐT Cosi, ta có
( )
1
2 2 2 2 1
2

1
...
.
1
n
n
a a a a a
a a
n
+
+ + + + +
≥
+

( )
( )
1
1212
.1
+
+≥+
n
n
aanana
T. tư:ï
( )
( )
1
2323
1

+
+≥+
n
n
aanana
………………………………
( )
( )
1
1 1
1 .
n
n
n n n n
na a n a a
+
− −
+ ≥ +
( )
( )
1
1 1
1 .
n
n
n n
na a n a a
+
+ ≥ +
( )

2 1 3 2 1 1 1 2
( )( )...( )( ) 1 ...
n
n n n n
na a na a na a na a n a a a
−
⇒ + + + + ≥ +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 1 3 2 1 1
2 3 1
...( ) 1
1
1
...
n
n
n n n
n
n
na a na a na a na a n
na na na na n n
−
+ + + + +
 
⇔ ≥ = +
 ÷
 
.

Suy ra :đđpcm.
B à i 4(TLTCNC ) : Cho a, b
∈¡
. CM:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
1 1
2 2
1 1
a b ab
a b
+ −
−
≤ ≤
+ +
(*).
Giải
Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 12 -
Trường THPT Phước Long