Bài toán bjorling và các áp dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ HỒNG THỦY

¨
BÀI TOÁN BJORLING
VÀ CÁC ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Hình học - Tôpô
Mã số: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU

Huế, năm 2014
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung
thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng sâu sắc.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô giáo khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học Trường ĐHSP Huế cùng quý thầy cô giáo đã
giảng dạy lớp cao học khóa K20.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trường THCS Phú Mậu
đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, các bạn học
viên lớp Cao học khóa K20, K21 và các thành viên trong lớp Hình học K20
đã động viên, quan tâm, giúp đỡ trong thời gian học tập vừa qua.
Trân trọng và chân thành cảm ơn!

Tác giả

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

Chương 1
1.1

1.2

Một số kiến thức cơ sở

4

Các kiến thức về giải tích phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Trường số phức C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Module và argument của số phức z . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức . . . . . . . .

5

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

6

Đạo hàm phức và hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . .

1.2.2

1.3

Điều kiện Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∂
∂
và
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Toán tử
∂z
∂ z¯
Hàm điều hòa. Liên hợp điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1

1.4

Miền đơn liên . . . . . . .
∂
1.3.2 Mối liên hệ giữa ∆ và
,
∂z
Một số định lý cần dùng . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
∂
. . . . . . . . . . . . . . . 10
∂ z¯
. . . . . . . . . . . . . . . . . 12


1.5

1.6

1.4.1

Thác triển chỉnh hình các hàm giải tích thực . . . . . . 12

1.4.2

Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.3

Nguyên lý đồng nhất của hàm chỉnh hình . . . . . . . . 12

Lý thuyết mặt cực tiểu. Mặt cực tiểu liên hợp . . . . . . . . . . 13
1.5.1

Mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2

Dạng cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.3

Ánh xạ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.4

Dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.5

Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . 15

1.5.6

Mặt cực tiểu và mặt cực tiểu liên hợp . . . . . . . . . . 17

1.5.7

Mặt cực tiểu và đường đẳng hướng . . . . . . . . . . . . 19

Biểu diễn Weierstrass của mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1

Biểu diễn Weierstrass của mặt cực tiểu

1.6.2

Các ví dụ về biểu diễn Weierstrass của mặt cực tiểu . . 22

Chương 2

Bài toán Bj¨
orling và các áp dụng

. . . . . . . . . 19

29

2.1

Bài toán Bj¨orling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Bài toán Bj¨orling phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3

Một số áp dụng của bài toán Bj¨orling . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1

Đối xứng của các mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2

Đường thẳng và đường cong phẳng trên các mặt cực tiểu 43

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

47

2


LỜI NÓI ĐẦU
Mặt cực tiểu là đối tượng được nghiên cứu nhiều trong hình học vi phân.
Vào giữa thế kỷ 19, với các thí nghiệm trên các khung kim loại nhúng vào

nước xà phòng Joseph Plateau đã đưa ra những nhận xét về nhiều tính chất
của các màng xà phòng. Các màng xà phòng có độ cong trung bình bằng
không (tính cực tiểu diện tích địa phương) và một số màng xà phòng là cực
tiểu diện tích toàn cục. Do đó về sau bài toán "Tìm mặt có diện tích nhỏ
nhất với biên là đường cong Jordan cho trước" được gọi là bài toán Plateau.
Năm 1930, Jesses Douglas đã đưa ra nghiệm tổng quát của bài toán.
Một bài toán khác trong lý thuyết mặt cực tiểu là bài toán Bj¨orling (do
E. G. Bj¨orling đặt ra và giải quyết nó). Bài toán đặt ra vấn đề "Có hay không
một mặt cực tiểu chứa một đường cong giải tích cho trước như là một đường
trắc địa". Nghiệm của bài toán này luôn tồn tại, duy nhất về mặt địa phương
và được biểu diễn một cách rõ ràng. Áp dụng của bài toán này có liên quan
đến các mặt cực tiểu đã biết như là Catenoid, Helicoid. . . Bài toán Bj¨orling
hiện nay được nghiên cứu cho mặt spacelike và timelike trong không gian
Lorentz-Minkowski [5, 4, 1] và các mặt có độ cong hằng [2].
Được sự gợi ý của PGS.TS Đoàn Thế Hiếu, tôi chọn đề tài "Bài toán
Bj¨orling và các áp dụng" làm vấn đề nghiên cứu của luận văn.
Dựa trên những thông tin đó, hướng nghiên cứu của luận văn là sử dụng
các kiến thức đã học, tài liệu tham khảo. . . nội dung của luân văn được chia
làm hai chương.
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.
Chương 2: Bài toán Bj¨orling và các áp dụng.

3