skkn BIÊN SOẠN hệ THỐNG bài tập TRẮC NGHIỆM KHÁCH tìm số cực TRỊ của hàm số dạy PHỤ đạo CHO học SINH yếu kém KHỐI 12

MỤC LỤC
STT Nội dung
1
A.MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
II. Lịch sử đề tài
III. Mục đích nghiên cứu
IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Trang
2
2
2
3
3

B.NỘI DUNG
3
3

I.Cơ sở lý luận
II. Thực trạng của vấn đề
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức khảo sát chất lượng đầu năm
2. Hướng dẫn học sinh
3. Các bước thực hiện
3. 1. Tóm tắt lý thuyết Cực trị của hàm số
3. 2. Các dạng bài tập: Tìm số cực trị của hàm số
3. 3 Bài tập tham khảo
C.KẾT LUẬN

1. Nội dung chính
2. Biện pháp triển khai
3. Áp dụng vào dạy học
4. Những kiến nghị
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. PHẦN MỞ ĐẦU

Trang 1

3
3
3
3
4
4
6
18

22

23


I. Lý do chọn sáng kiến
Năm học 2018 – 2019 là năm thứ ba áp dụng thi THPT quốc gia môn Toán
bằng hình thức trắc nghiệm khách quan . Muốn làm tốt bài tập trắc nghiệm khách
quan thì ngoài khả năng bao quát kiến thức,học sinh phải được rèn luyên,thực
hành nhiều. Mặc dù vậy,trong quá trình giảng dạy toán tại trường THPT tôi thấy
các SGK hiện nay số lượng bài tập khách quan quá ít, chưa đáp ứng nhu cầu rèn

luyện thực hành của các em . Số tiết dạy trên lớp giáo viên cũng có ít thời gian để
giao bài tập trắc nghiệm khách quan. Nên học sinh vẫn có những khó khăn,lúng
túng, hay gặp phải sai lầm khi giải các dạng toán này. Đặc biệt,đối với học sinh
yếu kém, với độ phủ sóng rộng của toàn bộ kiến thức,các em thường mất tự tin khi
làm bài. . Để giúp học sinh,đặc biệt là các học sinh yếu kém có hứng thú học tập,
giải tốt dạng toán này tôi đã nghiên cứu và đưa ra giải pháp là phân chia nhỏ khối
lượng kiến thức,phân loại bài tập từ dể đến khó, cung cấp phương pháp giải và
một số mẹo để học sinh tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ thông qua các tiết
luyện tập trong các giờ học tự chọn, phụ đạo,dạy chuyên đề hay các buổi ôn thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia lớp 12. Đó là lí do tôi chọn đề tài: BIÊN SOẠN HỆ
THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH TÌM SỐ CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ DẠY PHỤ ĐẠO CHO HỌC SINH YẾU KÉM KHỐI 12
II. Lịch sử sáng kiến kinh nghiệm
Tìm số cực trị của hàm số là một dạng toán thường xuất hiện trong các đề
thi thữ THPT Quốc gia các trườngTHPT và đề thi THPT Quốc gia của bộ, vì vậy
chọn được phương pháp giải cụ thể bài toán là một nhu cầu cần thiết của học sinh,
đặc biệt học sinh yếu kém, nội dung này giúp học sinh phần nào giải quyết nhu
cầu đó.
III. Mục đích nghiên cứu
Đánh giá thực trạng kỹ năng tìm số cực trị của hàm số của học sinh lớp 12
trường THCS và THPT Việt Trung.
Đề xuất một số kỹ năng giải bài toán Tìm số cực trị của hàm số.

IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

Trang 2


1. Phạm vi nghiên cứu
Các học sinh yếu kém lớp 12B Trường THCS và THPT Việt Trung.

2. Đối tượng nghiên cứu
Rèn kỹ năng giải dạng toán Tìm số cực trị của hàm số của học sinh yếu
kém.
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Giúp học sinh yếu kém giải được các bài tập trắc nghiệm tìm số cực trị của
hàm số, từ đó tự tin,hứng thú trong học tập.
Giáo viên: biết thêm một số kỹ năng giảng dạy cho đối tượng học sinh yếu
kém giải tốt dạng toán Tìm số cực trị của hàm số
Học sinh: chủ động chiếm lĩnh kiến thức, mạnh dạn, tự tin, phát triển trí tuệ
của bản thân và kĩ năng giải trắc nghiệm nhanh,chính xác.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Xuất phát từ thực tiễn mục tiêu đổi mới căn bản và toàn diệngiáo dục hiện
nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính
nhân văn cao.
II. Thực trạng của vấn đề
Khi giải bài toán trắc nghiệm Tìm số cực trị hàm số,dù không phải quá khó
nhưng học sinh thường giải theo hình thức tự luận nên mất thời gian,nhiều khi còn
nhầm lẫn kiến thức.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức khảo sát chất lượng đầu năm
Vào đầu năm học mới giáo viên đã cho học sinh làm bài khảo sát . Qua kết
quả khảo sát giúp giáo viên nhận biết được khả năng nhận thức của học sinh.
2. Hướng dẫn học sinh
* Để giải bài toán tìm số cực trị hàm số y = f (x) học sinh tuân thủ theo 2
quy tắc sau:
Quy tắc 1:
Bước 1: Lập bảng biến thiên
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu y’ và dựa vào định nghĩa cực trị suy ra số
cực trị của hàm số

Quy tắc 2:
Trang 3


Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y=f(x).
Bước 2: Tính y’ và tìm các nghiệm xi (i = 1,2,3…) của phương trình y’=0.
Bước 3: Tính y” và tính y”(xi):
Nếu y”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Nếu y”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
Nếu y”(xi) = 0 thì ta chưa kết luận được xi có là điểm cực trị hay không khi
đó ta phải sử dụng quy tắc I để tìm cực trị của hàm số y=f(x).
- Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ: Trước tiên
giáo viên hướng dẫn học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót
về kiến thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán.
-Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác: Đó là trong quá trình
thực hiện từng bước có lô gíc chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ. Từ đó
xác định hướng đi, xây dựng được cách giải.
-Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện: Hướng dẫn học sinh không
được bỏ sót khả năng chi tiết nào. Không được thừa nhưng cũng không được
thiếu.
-Lời giải bài toán phải đơn giản,phương pháp nhanh nhất: Bài giải phải đảm
bảo được các yêu cầu trên không sai sót. Có lập luận, mang tính toàn diện và phù
hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và thực hiện được.
Chọn phương pháp giải nhanh nhất. Dùng một số mẹo để tìm đáp án nhanh nhất
có thể.
-Lời giải phải trình bày khoa học: Hướng dẫn học sinh hiểu được mối liên
hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau. Các bước sau
được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc
những điều đã biết từ trước.
-Lời giải bài toán phải rõ ràng,đầy đủ, có thể nên kiểm tra lại

3. Các bước thực hiện
3. 1. Tóm tắt lý thuyết Cực trị của hàm số
3. 1. 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và
điểm x0∈ (a; b).
a) f(x) đạt CĐ tại x0⇔∃h > 0, f(x) < f(x0), ∀x ∈ S(x0, h)\ {x0}.
b) f(x) đạt CT tại x0⇔∃h > 0, f(x) > f(x0), ∀x ∈ S(x0, h)\ {x0}.
Chú ý:
Điểm cực trị của hàm số: x0; Giá trị cực trị của hàm số: f(x0) ; Điểm cực trị
của đồ thị hàm số: M(x0;f(x0) )
b) Nếu y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại x0∈ (a; b) thì f′(x0) = 0.
3. 1. 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Trang 4


Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) và có đạo
hàm trên K hoặc K \ {x0} (h > 0).
a) f′(x) > 0 trên ( x0 − h; x0 ) ,f′(x) < 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm CĐ của f(x).
b) f′(x) < 0 trên ( x0 − h; x0 ) ,f′(x) > 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm CT của f(x).
Định lí 2:
Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong ( x0 − h; x0 + h) (h > 0).
a) Nếu f′(x0) = 0, f′′(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f′(x0) = 0, f′′(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Để tìm cực trị của hàm số y=f(x) ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:
Cách 1 (Sử dụng quy tắc 1):
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x).
Bước 2: Tìm y’ và tập xác định của y’.
Bước 3: Tìm các điểm tại đó y’(x)=0hoặc y’ (x) không xác định.
Bước 4: Từ đó lập bảng biến thiên và suy ra các điểm cực trị.
Để xét dấu y’ thông thường ta sử dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất
hoặc tam thức bậc hai, phương pháp khoảng, giải trực tiếp các bất phương trình

f’(x)>0, f’(x)<0,…Tuy nhiên, trong trường hợp phức tạp ta có thể xét dấu hàm số
f’(x) dựa vào tính liên tục như sau: “Nếu hàm số f’(x) liên tục trên tập xác định
của nó thì giữa 2 điểm tới hạn kề nhau x 1và x2 hàm số f’(x) giữ nguyên một dấu”
(Điểm tới hạn là điểm thuộc tập xác định của hàm số y=f(x) mà tại đó f’(x)=0
hoặc f’(x) không xác định).
Trong trường hợp f’(x) được cho bởi nhiều biểu thức ta sẽ xét dấu từng biểu thức
của f’(x) trong từng khoảng xác định của nó .
Cách 2 (Sử dụng quy tắc 2):
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y=f(x).
Bước 2: Tính y’ và tìm các nghiệm xi (i = 1,2,3…) của phương trình y’=0.
Bước 3: Tính y” và tính y”(xi):
Nếu y”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Nếu y”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
Nếu y”(xi) = 0 thì ta chưa kết luận được x i có là điểm cực trị hay không khi đó ta
phải sử dụng quy tắc I để tìm cực trị của hàm số y=f(x).

Trang 5


3. 2. Các dạng bài tập trắc nghiệm Tìm số cực trị hàm số
Dạng 1

:

Tìm số cực trị của các hàm

y = ax + bx + c (a ≠ 0) ;
4

2

y=

y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ;

ax + b
, ( ab − bc ≠ 0 )
cx + d

MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN:
3
2
4
2
Tìm số cực trị hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) ; y = ax + bx + c (a ≠ 0) ;

y=

ax + b
, ( ab − bc ≠ 0 )
cx + d

a).

Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba

y = ax + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )
3

3

2
+ Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) có cực trị.
2
⇔ y ' = 3ax + bx + c đổi dấu trên R. ⇔ Phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
⇔ ∆ ' = b − 3ac > 0

3
2
+Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) không có cực trị.
2
⇔ y ' = 3ax + bx + c không đổi dấu trên R. ⇔ Phương trình y’= 0 vô nghiệm hoặc

có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0
Lưu ý

Hàm số bậc 3 có 2 hoặc không có cực trị
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0
Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3
Đồ thị có 2 điểm cực trị

y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

a>0

Đồ thị không có điểm cực trị

a>0

Trang 6

a<0

a<0

b. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trịhàm số bậc 4 trùng phương
4
2
y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )
+ Hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0)

y ' = 4 x3 + 2bx = 2 x(2ax 2 + b)
x = 0
⇔  2
b
x =−
y'= 0

2a

+)Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y’ đổi dấu 3 lần trên R.
b
− >0
⇔ Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2a
⇔ ab < 0.
+)Hàm số có đúng một cực trị ⇔ y’ đổi dấu đúng 1 lần trên R.
b
− ≤0
⇔ Phương trình y’=0 có đúng 1 nghiệm x=0⇔ 2a

⇔ ab ≥ 0 .
4
2
Lưu ý: Hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có 3 cực trị ⇔ ab < 0.
4
2
Hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0 .

Trang 7


y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )

Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương
Đồ thị có 3 điểm cực trị
Đồ thị có 1 điểm cực trị

a>0

a>0

a<0

a<0

c. Hàm số nhất biến
Khi ad − bc > 0

y=

ax + b
, ( ab − bc ≠ 0 )
cx + d

Hàm số không có cực trị
Khi ad − bc < 0

Từ câu 1 đến câu số 7. Gv yêu cầu học sinh nhắc lại các tính chất về cực trị của
hàm bậc ba, bậc 4 trùng phương,hàm nhất biến,đặt những câu hỏi gợi ý,học sinh
tìm câu trả lời. Việc làm đúng các câu hỏi học sinh sẽ tự tin,có hứng thú trong học
tâp.
Câu 1. Hàm số bậc bốn trùng phương có thể có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 hoặc 1 hoặc 2.
B. 1 hoặc 2.
C. 0 hoặc 2.
D. 1 hoặc 3.
Lời giải:
Dựa vào tính chất cực trị hàm số bậc bốn trùng phương,chọn đáp án D
Trang 8


Câu 2. Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 hoặc 1 hoặc 2. B. 1 hoặc 2.
C. 0 hoặc 2.

D. 0 hoặc 1.

Lời giải: Đáp án C
4
2

Điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có 3 điểm cực trị khi:
A. ab < 0.
B. ab > 0.
C. b = 0.
D. c = 0.

Câu 3.

Lời giải: Đáp án A
Câu 4. Hàm số nào sau đây có cực trị?
. y = x + 1. B. y = x + 3x + 2. C. y = 3x + 4. D.
A
3

4

2

y=

2x −1
.
3x + 2

Lời giải:
Nhận xét: Rõ ràng hàm bậc 4 trùng phương luôn có cực trị( 1 hoặc 3) chọn B
Câu 5. Hàm số nào sau đây không có cực trị
3
A. y = − x + 3x + 4
4

3
C. y = 3 x − 4 x + 2

y=

x −1
4x + 7

B.
3
2
D. y = x − 6 x + 9 x − 1

Lời giải:
Nhận xét: Rõ ràng hàm bậc

y=

x −1
4 x + 7 không có cực trị. chọn B

Câu 6. Hàm số nào sau đây có 2 cực trị:
A.

y=

2x +1
x +1

4

2
B. y = x − 2 x + 5

3
2
C. y = x + x + 2 x − 1

3
2
D. y = −3x +2 x + 5 x + 1

Lời giải: Ta loại ngay đáp án A(không có cực trị); đáp án B(có 1 hoặc 3 cực trị). Ở
đáp án C ta thấy a=-3; c=5 nên ac<0 hàm số luôn có 2 cực trị trái dấu nên chọn D
Câu 7. Hàm số nào sau đây có 3 cực trị
3
A. y = x − 3x − 1

4
C. y = x − 4 + x

4
2
B. y = x + 3x + 2.
2

4
2
D. y = − x + 4 x + 3

Lời giải:

do

Nhận xét: Ta loại ngay đáp án A(có 0 hoặc 2 cực trị); Đáp án B(có 1 cực trị
ab>0)

Ở đáp án C, sẽ có nhiều em nhầm lẫn a=1;b=-4 nên sẽ chọn đáp án C. Gv
cần phải nhắc học sinh lưu ý vấn đề này. a=1;b=1 nên hàm số có 1 cực trị
Trang 9


Đáp án D có a=-1,b=4 nên có 3 cực trị
Câu 8. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số
có 2 cực trị ?
A.

m ∈ ( −3;1) \ { −2}

C.

.

m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ )

B.
.

D.

y = ( m + 2 ) x3 + 3 x 2 + mx − 6

m ∈ ( −3;1)

m ∈ [ −3;1]

.
.

Lời giải:
[Phương pháp tự luận]: Hàm số có 2 cực trị ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
 m ≠ −2
m ≠ −2
a ≠ 0
⇔ 2
⇔
⇔ m ∈ ( −3;1) \ { −2}

−
3
<
m
<
1
m
+
2
m
−
3
<

0
∆
>
0




[Phương pháp trắc nghiệm] Rõ ràng muốn hàm số có 2 cực trị thì phải
là hàm số bậc 3. Do đó m ≠ −2 mà cả 3 đáp án A,B,D đều chứa phần tữ- 2 nên sẽ
chọn B. Dùng suy luận,sẽ giải bài toán này nhanh hơn.
y = mx 4 − ( m + 1) x 2 + 2m − 1
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
có 3
điểm cực trị ?
 m < −1

A.  m > 0 .

C. −1 < m < 0 .
Lời giải:

B. m < −1 .
D. m > −1 .

[Phương pháp tự luận]:

y ' = 4mx3 − 2 ( m + 1) x = 0

x = 0

⇔ 2 x ( 2mx 2 − m − 1) = 0 ⇔ 
2
 2mx = m + 1

 m < −1
⇔ m ( m + 1) > 0 ⇔ 
m > 0
Hàm số có 3 điểm cực trị
4
2
[Phương pháp trắc nghiệm]: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có 3 cực
trị khi và chỉ khi a và b trái dấu, tức là: ab < 0

 m < −1
m ( m + 1) > 0 ⇔ 
m > 0
Suy ra:
Dạng 2: Tìm số cực trị của hàm số y=f(x) khi biết dấu

y = f ' ( x)

Câu 1.

Cho hàm số với bảng biến thiên sau

Trang 10


Hàm số có mấy cực trị:

A. 5

B. 1

C. 2

D3

Lời giải:
Rõ ràng y’ đổi dấu khi đi qua x=-1 và x=0, nên hàm số có 2 cực trị. Chọn C
Vấn đề ở đây là: nhiều học sinh thấy tại x=0 y’ không xác định nên sẽ đưa
ra lời giải x=0 không phải là điểm cực trị. Đây là một sai lầm rất lớn,Gv cần nhắc
cho học sinh.
Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
x

x0

−∞

y′
y

–

║

x1

+

0

x2

+∞

–

+

Khi đó hàm số đã cho có mấy cực trị?
A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Lời giải:
Rõ ràng y’ đổi dấu khi đi qua x0 , x1 , x2 nhưng tại x= x2 hàm số không xác
định nên hàm số không đạt cực trị tại x=
Chon A

x 2 Vậy hàm số đã cho có 2 cực trị.

Đây là 1 vấn đề học sinh hay nhầm lẫn,khi dạy Gv nên lưu ý.
3 2
5

Câu 3. Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có f ' ( x) = ( x − 1) x ( x + 3) ∀x ∈ R .
Hỏi hàm số đã cho có mấy cực trị

A. 1

B. 2

C3

D. 4

Lời giải:
x = 0
f ( x) = 0 ⇔  x = −3
 x = 1

Bảng xét dấu y'
x
f’(x)

−∞
∞

-3
+

0

0
-

0

1
-

0

+

+

Do hàm số y ' đổi dấu ki đi qua x=-3 và x=1 . Nên hàm số có 2 cực trị. chọn B

Trang 11


Lưu ý: Thường học sinh cư nghĩ khi đạo hàm triệt tiêu thì hàm số đạt cực
trị,nên sẽ chọn x=0 là điểm cực trị. Đây là 1 sai lầm rất lớn. Gv câng nhắc cho
học sinh:
Do x=0 là nghiệm kép nên đạo hàm không đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Do đó
hàm số chỉ có 2 cực trị. Như vậy Gv nhấn mạnh vào f ' ( x0 ) = 0 thì x0 không phải là
điểm cực trị nếu nghiệm x0 là nghiệm bậc chẵn,là điểm cực trị nếu nghiệm x0 là
nghiệm bậc lẽ.
3 2
5 3
Câu 4. Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có f ' ( x) = ( x − 1) x ( x + 3) ( x + 1 − 1)
với ∀x ∈ R . Hỏi hàm số đã cho có mấy cực trị
A. 1
B. 2

C. 3
D. 4
Lời giải:

f ' ( x) = (

x − 1) 3 x 2 ( x + 3) 2

x
3

( x + 1) 2 + 3 x + 1 + 1 =

x − 1) 3 ( x + 3) 2

x3
3

( x + 1) 2 + 3 x + 1 + 1

x = 0
f ' ( x) = 0 ⇔  x = −3
 x = 1

Ta thấy x=0 (nghiệm bội) x=1 (nghiệm bội)x=-3 (nghiệm kép-nghiệm bậc
chẵn)
Do đó hàm số không đặt cực trị tại x=-3 . Vậy hàm số có 2 cực trị,chọn B
4
3
Câu 5. Hàm số y = 3x − 4 x có bao nhiêu cực trị

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải:
y ' = 12 x 3 − 12 x 2 = 12 x 2 ( x − 1)
x = 0

y' = 0 ⇔  x = 1

Bảng xét dấu y’
−∞

x
y’

0
-

0

+∞

1
-

0

+

Rõ ràng x=1 là nghiệm đơn, nên y’ đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Mặt
khác, y (1) xác định nên hàm số đạt cực trị tại x = 1 . Còn x=0 là nghiệm kép nên y’
không đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Do đó hàm số có 1 cực trị. Chọn B
Lưu ý: Với dạng bài như thế này, học sinh thường có 2 nhầm lẫn như sau
Trang 12


+) Nhầm dạng này là hàm số bặc 4 trùng phương với a=3; b=-4 nên sẽ cho
kết quả hàm số có 3 cực trị.
+) Nghĩ hàm số đạt cực trị tại những điểm mà y’ triệt tiêu mà không quan
tâm y’ có đổi dấu hay không. Với bài này,y’ triệt tiêu tại 2 điểm nên sẽ chọn đáp
án có 2 cực trị
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số y = f ( x) có mấy điểm cực trị?
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
Lời giải:
Nhìn vào đồ thị hàm số,rõ ràng thấy hàm số có 2 cực trị
Câu 6. Cho hàm số y = f ' ( x) có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số y = f (x) có bao nhiêu cực trị biết y = f (x) xác định trên R
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải:
Dựa vào đồ thị y = f ' ( x) ta thấy f ' (1) = 0
Khi x>1 thì f’(x) <0 (nằm phía dưới trúc hoành. Khi x<1 thì f’(x) >0 (nằm
phía trên truc hoành)
Bảng xét dấu y' :
Trang 13


x
f’(x)

−∞

∞

1
+

0

-

Nên hàm số y = f (x) đổi dấu 1 lần khi đi qua x=1 và f(1) xác định,nên hàm

số có 1 cực trị x=1
Lưu ý: Nếu học sinh chủ quan,đọc không kỹ đề bài,nhầm lẫn đồ thị trên
hình là y = f (x) thì chọn nhầm phương án nhiễu A là không có cực trị. Đây là một
sai lầm rất lớn . Gv cần nhắc cho học sinh. Nếu là đồ thị hàm số y=f’(x) cần xem
đạo hàm cắt trục hoành tại mấy điểm(f’(x)=0),tại các điểm đó có đổi dấu hay
không, đồ thị y=f’(x) nằm phía dưới trục hoành tức là f’(x)<0; nằm phía trên trục
hoành tức là f’(x)>0
Câu 7. Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
B. Đồ thị hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một điểm có một điểm cực trị.
Lời giải:
Nếu học sinh chủ quan,đọc không kỹ đề bài,sẽ làm sai câu này. Rõ ràng
đồ thị hàm số trên là y=f’(x) .
Ta quan sát đạo hàm đổi dấu 3 lần khi đi qua x=1;x=2;x=3 nên hàm số
có 3 cực trị.
Dạng 3: Dùng phép suy đồ thị tìm số cực trị của hàm số
Lưu ý: Biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) . Khi đó, với số a > 0 ta có:
( )
( )
( )
• Hàm số y = f x + a có đồ thị C′ là tịnh tiến C theo phương của Oy lên
trên a đơn vị.

Trang 14

•
•
•
•
•

Hàm số y = f ( x) − a có đồ thị ( C′ ) là tịnh tiến ( C )
xuống dưới a đơn vị.
Hàm số y = f ( x + a) có đồ thị ( C′ ) là tịnh tiến ( C )
qua trái a đơn vị.
Hàm số y = f ( x − a) có đồ thị ( C′ ) là tịnh tiến ( C )
qua phải a đơn vị.
Hàm số y = − f ( x) có đồ thị ( C′ ) là đối xứng của ( C )
Hàm số y = f ( − x) có đồ thị ( C′ ) là đối xứng của ( C )

 f ( x)
y= f ( x ) = 
 f ( − x)
• Hàm số

khi
khi

theo phương của Oy
theo phương của Ox
theo phương của Ox
qua trục Ox .
qua trục Oy .

x> 0
x≤ 0



có đồ thị ( C′ ) bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần ( C ) nằm



bên trái Oy .
Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
y
(C1 )

(C )

(C2 )

(C1 )

O

x



y

( C2 )

x

(C )

khi
khi

f ( x) > 0
f ( x) ≤ 0

(C )

(C3 )

x

O
(C )

(C 2 ) : y 2 = f ( x )

 f ( x)
y = f ( x) = 
− f ( x)
• Hàm số


(C )

O

(C )

(C1 ) : y1 = f ( x )

y

(C3 )

( C 3 ) : y3 = f ( x )

có đồ thị ( C′ ) bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm trên Ox .
Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị
( C ) nằm dưới Ox .

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ:

Trang 15


f (x )
Đồ thị hàm số y =
có mấy điểm cực trị?
A. 3.
B. 4
C. 6.

D. 5.

Lời giải
y = f (x)

Từ đồ thị y = f (x) suy ra
như sau:
Giữ nguyên phần đồ thị y = f (x) phía trên trục hoành,bỏ phần đồ thị phía
dưới trục hoành,sau đó lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị vừa bị bỏ. Do đó
hàm số có 5 cực trị,chọn D

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ.

y
4

x
O

1

2

3

f ( x)
Đồ thị y =
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 2
C. 3

Trang 16

D. 5


Lời giải:
f ( x)

Từ đồ thị y=f(x) ta suy ra y =
như sau: Giữ phần đồ thị y = f ( x) bên
phải trục oy, bỏ phần đồ thị bên trái,sau đó lấy đối xứng qua oy phần đồ thị vừa
giữ.
y
4

2

x
-3

-2

-1

O

1

2

f ( x)

3

f ( x)

Dựa vào đồ thị y =
ta thấy y =
có 5 cực trị,chọn D
y
=
f
(
x
)
Câu 3. Cho hàm số
có bảng biến thiên:

y = f ( x) − m

Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm
A. 3
B. 4
C. 5
Lời giải:
Dựa vào phép suy đồ thị thì hàm số

y = f ( x) − m

có 5 điểm cực trị?
D. 6
có 5 điểm cực trị khi đồ thị

y = f (x) cắt trục hoành tại 3 điểm hay- 2-m<0<3-m ⇔ −2 < m < 3 . chọn B

Câu 4. Cho hàm số y = f ' ( x) có đồ thị như hình vẽ:

2
Hỏi hàm số g ( x) = f (2 x − x) có bao nhiêu cực trị?
Lời giải:

g ' ( x) = ( ( 4 x − 1) f ' (2 x 2 − x )

Trang 17


1

x
=

4 x − 1 = 0
4
g ' ( x) = 0 ⇔  2
⇔
 x = 1; x = − 1
2 x − x = 1

2

Bảng xét dấu
x
−∞
g ' ( x)

1
2

−

+

1
4

0

-

0

+

1
0 -

+∞

Dựa vào bảng xét dấu g ' ( x) ta thấy g ' ( x) đổi dấu 3 lần nên hàm số g (x)

có 3 cực trị.
3. 1. 3. Bài tập tham khảo
Câu 1: Hàm số nào sau đây có cực trị?
3
y= x
. y = x + 1. B.

y=

C. y = 3x + 4. D.

A

2x −1
.
3x + 2

Câu 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị
3
2
4
A. y = x + 17 x − 24 x + 8
B. y= x + 2
C.

y=

x −1
.
x+2

3
2
D. y = x − 6 x + 9 x − 1

Câu 3: Hàm số nào sau đây có 2 cực trị:
4
2
B. y = x − 2 x + 5

4
2
A. y= x + 2x

3
2
C. y = −3x +2 x + 5 x + 1

D.

y=

x 2 − 2 x11
x−2

Câu 4: Hàm số nào sau đây có 3 cực trị
3
A. y = x − 3x − 1

4

C. y = x + 4 − x

4
2
B. y = x + 3x + 2.
2

4
2
D. y = − x + 3 − 2 x

2
Câu 5: Hàm số y = ln(x − 1) có bao nhiêu cực trị

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4
2
2
Câu 6: Hàm số y = x + 2(m − 2) x + m − 2m + 3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của
m là:

A. m ≥ 2.

B. m < 2.

Trang 18

C. m > 2.

D. m = 2.


1 3
x − 2mx 2 + (4m − 1) x − 3
3
Câu 7: Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
m< .
2
A. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi
m,
B.
Với
mọi
hàm
số
luôn
có
cực
trị.
y=

C.
Hàm
số
có
cực
đại,
D. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m > 1.
y = f ( x)

Câu 8: Cho hàm số
−∞
x
y′

có bảng biến thiên dưới đây:

−1

0

–

–

tiểu

+∞

+

+∞

−1

y

cực

1
m≠ .
2
khi

1

−∞

0

Hàm số có mấy cực trị:
A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
x

y′
y

−∞ x0 x1 x2 +∞

–

║

+

0-

0

+

+

Khi đó hàm số đã cho có mấy cực trị?
A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

2 2
5

Câu 10. Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có f ' ( x) = ( x + 1) x ( x + 3) ∀x ∈ R .
Hỏi hàm số đã cho có mấy cực trị

A. 1
B. 2
C3
D. 4
Câu 11. Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có
( x 2 + 1 − 1) với ∀x ∈ R . Hỏi hàm số đã cho có mấy cực trị

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
y
=
f
(
x
)
Câu 12: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Trang 19

f ' ( x ) = (2 x + 11) 3 x 2 ( x − 3) 7


Đồ thị hàm số y = f ( x) có mấy điểm cực trị?
A. 2.

B. 1.
C. 0.
y
=
f
'
(
x
)
Câu 13: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

D. 3.

Hàm số y = f (x) có bao nhiêu cực trị( y = f (x) xác định trên R)
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Trang 20


y
3

1
-1

x

O
1
-1

Đồ thị hàm số y = f (x) có mấy điểm cực trị?
A. 3.
B. 4
C. 6.
y
=
f
(
x
)
Câu 15. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ.

D. 5.

y

-1

O

1

x

-2

-4

f ( x)
Đồ thị y =
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 2
C. 3

D. 5

Câu 16. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên:

y = f (x)

Hàm số
có mấy điểm cực trị?
A. 3
B. 4
C. 5
f
(
x

)
Câu 17. Bảng biến thiên của
trên R như sau.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m đề
Trang 21

y = f ( x) + m

D. 6

có 5 điểm cực trị.


A. 27

B. 30

C. 31

Câu 18. Cho hàm số y = f ' ( x) có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số g ( x) = f (1 − 2 x) có bao nhiêu cực trị?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Trang 22

D. 29


C. KẾT LUẬN
1. Nội dung chính:
Hướng dẫn giải một số bài tập trắc nghiệm khách quan Tìm số cực trị của hàm
số
2. Biện pháp triển khai
- Triển khai rộng rải đến các thành viên trong tổ bằng cách báo cáo dưới dạng
chuyên đề trong các buổi sinh hoạt tổ, nhóm.
3. Áp dụng vào dạy học
- Sử dụng tài liệu này để dạy các tiết phụ đạo,tự chon hay ôn thi THPT Quốc
gia
- Lồng ghép vào trong các tiết học về cực trị hàm số.
4. Những kiến nghị
- Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng
dạy tại trường THCS và THPT Việt Trung
- Các dạng toán về Cực trị hàm số mà cụ thể là Tìm số cực trị của hàm số là
một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán bậc THPT nói chung. Tuy
không phải là quá khó nhưng học sinh lại hay mắc phải các lổi như chọn cách giải
rườm rà, chưa nắm vững định nghĩa,định lý nên hay chọn phương án nhiễu, nên
đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở

sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
- Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy tại trường,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải trắc nghiệm
khách quan. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em
học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học
sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Trang 23


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.

Sách giáo khoa Giải tích 12 – Chương trình chuẩn – Nhà xuất bản Giáo Dục
Việt Nam.
Sách giáo khoa Giải tích 12 – Chương trình nâng cao – Nhà xuất bản Giáo
Dục Việt Nam.
Sách bài tập Giải tích 12 – Chương trình chuẩn – Nhà xuất bản Giáo Dục
Việt Nam.
Sách bài tập Giải tích 12 – Chương trình nâng cao – Nhà xuất bản Giáo Dục
Việt Nam.

5. Nguyễn Tất Thu– 18 chủ đề Trăc nghiệm 12- Đại học quốc gia Hà Nội2018
6. Nguyễn Phú Khánh– Câu hỏi bài tập Trắc nghiệm Toán 12 - Đại học quốc
gia Hà Nội- 2017
7. Nguyễn Thị Lanh- Học tốt môn Toán 12 – Nhà xuất bản Dân trí- 2016
8-Lê Hồng Đưc
- Bài giảng trọng tâm Toán 12-Đại học quốc gia Hà Nội2017
9. Nhóm tác giả Châu Văn Điệp-Đặng Việt Đông-Ngọc Huyền-Phạn Tuấn
Nghị-Đỗ Thị Thúy Ngoc-Nguyễn Trường Sơn-Nguyễn Tiên Tiến-Công phá đề thi
THPT Quốc gia 2018 môn Toán-Đại học quốc gia Hà Nội- 2018

Trang 24


E.

Trang 25