skkn một số BIỆN PHÁP dạy học NHẰM CỦNG cố và mở RỘNG GIỚI hạn của dãy số (đại số và GIẢI TÍCH lớp 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM
CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
(ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

Họ và tên: TRẦN HẢI NHÂN
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Quảng Bình, tháng 01 năm 2019


1. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV:
GIỚI HẠN, đã đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số
dưới dạng mô tả.
Giới hạn của dãy số là nội dung quan trọng, làm nền tảng cho Giới hạn của
hàm số, đạo hàm và các ứng dụng.
Học sinh lần đầu tiên tiếp xúc với một khái niệm giải tích, gắn liền với tư
tưởng vô hạn nên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn. Cùng với đó khả năng vận dụng
kiến thức cũ đã học của các em để giải quyết các dạng toán giới hạn còn hạn chế.
Vì vậy, tôi thực hiện viết đề tài: “Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố
và mở rộng giới hạn của dãy số” với mục đích góp phần làm sáng tỏ và giúp học
sinh nắm chắc, hiểu sâu, tổng quát hóa vấn đề trừu tượng của Giải tích gặp phải trong
quá trình dạy học phần Giới hạn nêu trên.
1.2. Điểm mới của đề tài
Trong đề tài sử dụng kiến thức giáo viên và học sinh tìm hiểu được qua sách

giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, §1.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa
giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số một cách tổng quát.
Trên cơ sở đó, định hướng rằng khi học sinh làm bài tập ở phần này khi sử
dụng đến các giới hạn đặc biệt của dãy số, các định lí về giới hạn hữu hạn, định lí
liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số là hoàn có thể chứng
minh được chứ không hoàn toàn thừa nhận một cách bị động.
Trong đề tài, phần phân dạng toán có lồng ghép từ các ví dụ quen thuộc để
mở rộng định nghĩa giới hạn của dãy số và ngay sau đó là các ví dụ để hiểu bản
chất định nghĩa cũng như vận dụng để giải toán, tương đối phù hợp với các đối
tượng học sinh.
Đề tài có thể áp dụng trong giảng dạy nội dung Giới hạn dãy số của môn Đại
số và giải tích 11 (chương trình chuẩn, chương trình nâng cao).
Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trung học phổ thông.

1


2. Phần nội dung
2.1. Thực trạng của nội dung nghiên cứu
Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn).
Chương IV. GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
1
n

Xét dãy số  un  với un  .
Biểu diễn  un  dưới dạng khai triển:

0
u 100

1

1

4

2
u2

u4

1
u1

a) Nhận xét khoảng cách từ un tới 0, tức là un  0 trở nên càng nhỏ khi n trở nên
rất lớn.
b) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un tới 0 nhỏ hơn các số
sau đây: 0,01 và 0,001 ?
Ta có: un  0  0, 01 

1
1

 n  100 .
n 100

Vậy từ số hạng thứ 101 trở đi, khoảng cách từ un tới 0 nhỏ hơn 0,01.
Tương tự: un  0  0, 001 

1
1

 n  1000 .
n 1000

Vậy từ số hạng thứ 1001 trở đi, khoảng cách từ un tới 0 nhỏ hơn 0,001.
1
n

Như vậy ta cũng chứng minh được rằng un  0  có thể nhỏ hơn một số dương bé
tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là un có thể nhỏ bao nhiêu cũng được
miễn là chọn n đủ lớn. Khi đó ta nói dãy số  un  với un 

1
có giới hạn là 0 khi n
n

dần tới dương vô cực.
2


Định nghĩa 1. Dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu un có
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

un  0 hay un  0 khi n   .
Kí hiệu: nlim



 1
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số  un  với un  2 có giới hạn là 0.
n

n

Giải. Ta cần chứng minh un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số
hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn: un 

 1
n

2

n



1
1
1
 0, 01 hay un  2 
2
n
n 100

với mọi n thỏa mãn n2  100 hay n > 10.

Nghĩa là kể từ số hạng thứ 11 trở đi thì un  0,01 . Vậy nlim
un  0 .

Định nghĩa 2. Dãy số  vn  có giới hạn là số a (hay n dần tới a) khi n   ,

 vn  a   0 .
nếu nlim

vn  a hay vn  a khi n   .
Kí hiệu nlim


Ví dụ 2. Cho dãy số  vn  với vn 

2n  1
vn  2 .
. Chứng minh nlim

n

1
 2n  1 
 2   lim  0 .
 n
 n n

 vn  2   nlim
Giải. Ta có nlim




vn  lim
Vậy nlim

n 

2n  1
 2.
n

2. Một vài giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa suy ra các kết quả:
1
n

 0 ; lim
a) nlim
n 


1
 0 với k nguyên dương;
nk

q n  0 nếu q  1 ;
b) nlim


un  c .
c) Nếu un  c (c là hằng số) thì nlim


un  a , ta viết lim un  a .
Chú ý: Thay cho nlim

3


II. Định lí về giới hạn hữu hạn
Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên ta thường dung các công thức
giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí thừa nhận sau
Định lí 1
a) Nếu lim un  a và lim vn  b thì
lim  un  vn   a  b ;

lim  un  vn   a  b ;

lim  un .vn   a.b ;

lim

un a
 (nếu b  0).
vn b

b) Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a .
Ví dụ 3. Tính lim

3n3  n
.
1  n2

1
3n  n
n .
Giải. Chia tử thức và mẫu thức cho n 2 , ta được

2
1 1
1 n
. 1
n n
3

3

Vì lim  3    lim3  lim  3
n
n
1



1



và lim  .  1  lim .lim  lim1  0.0  1  1 .
n
n
n n 

1 1

1

1

1

1
lim  3  
3n  n
3
n

n 
 lim
  3.
nên lim
2
1 1
1 1
1 n
.  1 lim  .  1 1
n n
n n 
3

3

1  4n 2

Ví dụ 4. Tính lim
1  2n
 1

1
1
n2  2  4 
n 2 4
4
2
1  4n
2
n

n
n
 lim
 lim
Giải. Ta có lim
 lim

 1 .
1
1  2n
1  2n

2
1

2

n  2
n
n

2

Trong bài giải ta chú ý:

 A neáu A  0
A2  A  
 A neáu A  0.

Do đó, với mọi số nguyên dương n ta có

n2  n .
4


III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn  un  có công bội q, với q  1 được gọi là cấp số nhân lùi vô
hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  un  là
S  u1  u2  ...  un  ... 

u1
.
1 q

Ví dụ 5
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  un  với un 

1 1 1
1
b) Tính tổng 1     ...    
2 4 8
 2

1
.
3n

n1

 ...

1
1 1
1
1
1
1
1
Giải a) Vì un  n nên u1  , q  . Do đó S    ...  n  ...  3  .
1
3 9
3
2
3
3
3
1

3
1
2

b) Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1, q   .
1 1 1
1
Vậy S  1     ...    
2 4 8
 2

n 1

 ... 

1
2

 1 3
1   
 2

Mặt Trăng

.
IV. Giới hạn vô cực
Xét bài toán: Có nhiều tờ giấy giống nhau,

384000 km

mỗi tờ có bề dày 0,1mm. Ta xếp chồng liên tiếp,
giả sử có thể thực hiện việc này một cách vô hạn.
Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy,
u2 là bề dày của một xếp giấy gồm 2 tờ,
u3 là bề dày của một xếp giấy gồm 3 tờ, …

Trái Đất

un là bề dày của một chồng giấy gồm n tờ.

5


Biểu diễn bảng sau đây, cho ta biết bề dày của một số chồng giấy.
…
…

u1
0,1

u1000
100

…
…

u1000000
100000

…

…

u1000000000
100000000

…
…

un
n
10

…
…

a) Quan sát bảng trên, nhận xét:
giá trị của un tăng lên vô hạn khi n tăng lên vô hạn.
b) Để chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng
(khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384.103 km  384.109 mm ) thì phải
n
9
 384.109 hay n  384.1010 .
có un  384.10 hay
10
1. Định nghĩa
Dãy số  un  có giới hạn + khi n  +, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un   hay un   khi n   .
Dãy số  un  có giới hạn  khi n  +, nếu lim(un )   .
Kí hiệu: lim un   hay un   khi n   .

Nhận xét: lim un    lim  un    .
Ví dụ 6. Cho dãy số  un  với un  n2 .
Biểu diễn các số hạng của  un  trên trục số
0

1
u1

4
u2

n2
un

Ta thấy, khi n tăng lên vô hạn thì un  n2 trở nên rất lớn.
Ta chứng minh được lim un   , nghĩa là un có thể lớn hơn một số dương bất kì,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn, un  10000 , hay n2  10000 khi n  100 tức là kể từ số hạng thứ 101 trở
đi ta có un  10000 .
Tương tự, un  1020 kể từ số hạng thứ 1010  1 .

6


2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk   với k nguyên dương.
b) lim qn   nếu q > 1.
3. Định lí
Ta thừa nhận định lí dưới đây

Định lí 2
a) Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
vn

 0.

b) Nếu lim un  a  0, lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim un   .
vn

c) Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim unvn   .
Ví dụ 7. Tính lim

2n  5
.
n.3n

Giải
5
2n  5
2n  5
 nn .
Chia cả tử và mẫu của
, ta được
n
n
n.3
3
n.3

2

5
2n  5
5
Vì lim  2    0 và lim3n   nên lim
 lim n n  0 .
n
n.3
3
n

2

Ví dụ 8. Tính lim  n2  2n  1 .
Giải. Ta có n2  2n  1  n2 1   2  .
 n n 
2

1

Vì lim n2   và lim 1   2   1  0 nên limn2 1   2    .
n n
n n
2



1

2





1



Vậy lim  n2  2n 1   .

7


2.2. Các giải pháp
I. Củng cố kiến thức
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) lim un  0  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng
nào đó trở đi.
b) lim vn  a  lim(vn  a)  0 .
2. Giới hạn vô cực
a) lim un    un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng
nào đó trở đi.
b) lim un    lim  un    .
3. Các giới hạn đặc biệt
1
n

a) lim  0 ; lim

1
 0 ; lim nk   , với k nguyên dương.
k
n

b) lim q n  0 nếu q  1 ; lim q n   nếu q > 1.
c) limc = c (c là hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu lim un  a và lim vn  b thì
lim  un  vn   a  b ;

lim  un  vn   a  b ;

lim  un .vn   a.b ;

lim

un a
 (nếu b  0).
vn b

b) Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a .
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
a) Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
vn

 0.

b) Nếu lim un  a  0, lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim un   .
vn

c) Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim unvn   .

8


6. Cấp số nhân lùi vô hạn
a) Cấp số nhân vô hạn  un  có công bội q, với q  1 được gọi là cấp số
nhân lùi vô hạn.
b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  un  là
S  u1  u2  ...  un  ... 

u1
.
1 q

II. Phân loại dạng toánvà mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số
Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số.

 1
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số  un  với un  2 có giới hạn là 0.
n

n

Giải. Cách 1
Ta cần chứng minh un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
Chẳng hạn: un 

 1
n

n



2

1
1
1
 0, 01 hay un  2 
2
n
n 100

với mọi n thỏa mãn n2  100 hay n > 10.
Nghĩa là kể từ số hạng thứ 11 trở đi thì un  0, 01 .

un  0 .
Vậy nlim

Cách 2
Theo cách 1, thay 0,01 > 0 bởi một số dương bé tùy ý (cũng có thể lấy   0,01 )

  0 . Khi đó un 

 1
n

2

n



1
1 1
  hay un  2  , với mọi n thỏa mãn n2   hay
2
n
n


n  .

Nghĩa là lấy một số nguyên dương n0   khi đó kể từ số hạng thứ n  n0
 un   .
9


Vậy lim un  lim

(1) n
0.

n2

Ví dụ 2. Cho dãy số  un  thỏa mãn un  n2 với mọi n. Chứng minh lim un   .
Giải: Cách 1
Vì limn2   (theo giới hạn đặc biết) nên n 2 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy
ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số
dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy lim un   .
Cách 2. Nhìn nhận từ cách 1
Đặt dãy số  un  với vn  n2 .
Cho số dương A, khi đó n2  A kể từ số hạng n  A trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số
dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy lim un   .
2. Mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
Định nghĩa mở rộng
a) Dãy số  un  có giới hạn là 0 và viết lim un  0 hay un  0 khi n   , nếu
với mỗi số dương cho trước  , tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho
n  n0  un   .

b) Dãy số  un  có giới hạn là số thực a và viết lim un  a hay un  a khi n  
.
Hay lim un  a nếu lim  un  a   0 .
Như vậy: lim un  a  với mỗi số dương  cho trước, tồn tại một số nguyên
dương n0 sao cho n > n0  un  a   .
Hơn nữa: un  a      un  a    a    un  a   .
Do đó các điểm un 1; un 2 ;... thuộc khoảng  a   ; a    .
0

0

10


c) Dãy số  un  có giới hạn là + và viết lim un   hay un   khi n  
nếu với mỗi số dương A cho trước, tồn tại một số nguyên dương N 0 sao cho
n > N 0  un  A .
3. Nhận xét
Với việc mở rộng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số có giới hạn vô hạn
ta có thể chứng minh được các giới hạn đặc biệt cũng như các định lí thừa nhận
được nêu ở phần trên.
Chẳng hạn:
a) lim un  0  lim un  0 .
b) Cho hai dãy số  un  và  vn  .
Nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0 .
c) Chứng minh lim q n  0 nếu q  1 .
Giải. Nếu q = 0 thì lim q n  lim 0n  0 .
Nếu 0  q  1 . Khi đó

1
1
 1   với   0 .
 1 ; do đó
q
q

Với mọi n nguyên dương, theo bất đẳng thức Bec-nu-li:

1

q

n

 (1   )n  1  n.  n. .

1 1
với mọi n.
n 

Từ đó suy ra q n  .

1 1

1

Vì lim  0 nên theo định lí trên ta có lim  .   0 .
n
n  
Vậy lim q n  0 nếu q  1 .
d) Chứng minh lim
Giải. Đặt un 

1
 0.
n

1
.
n

Cho   0 bất kì. Ta có un 

1
1
1
   n   n2  2 .


n

11


Lấy số nguyên dương n0 
Vậy lim un  lim

1

2

. Khi đó n  n0  un   .

1
0.
n

4. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho dãy số  un  có giới hạn bằng 1. Chứng minh, kể từ số hạng nào đó
trở đi, tất cả các số hạng của  un  đều nằm trong khoảng

a) (0,9; 1,1);

b) (0,99; 1,01).

Giải
lim un  1  lim un  1  0 . Do đó, un  1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể

từ một số hạng nào đó trở đi.
1,1  0,9
a) Lấy số dương này là 0,1 (tức là số dương bé tùy ý   0,1 ) bằng
, ta có
2

un 1  0,1  0,1  un 1  0,1  0,9  un  1,1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy tất cả các số hạng của  un  đều nằm trong khoảng (0,9; 1,1).
1, 01  0,99
b) Lấy số dương này là 0,01 (tức là số dương bé tùy ý   0,01 ) bằng
,
2

ta có un  1  0,01  0,01  un  1  0,01  0,99  un  1,01 kể từ một số hạng nào đó
trở đi.
Vậy tất cả các số hạng của  un  đều nằm trong khoảng (0,99; 1,01).
Ví dụ 2. Biết dãy số  un  thỏa mãn un 

n 1
với mọi n.
n2

Chứng minh rằng lim un  0 .

1 1
 2
n 1
n 1
Giải. Đặt vn  2 . Ta có lim vn  lim 2  lim n n  0 .
n
1
n

Do đó, vn có thể nhỏ hơn một số dương bé túy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác theo giả thiết ta có un  vn  vn .
Suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương bé túy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy theo định nghĩa, ta có lim un  0 .
12


Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số
1. Phương pháp giải
Sử dụng định lí giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn
vô cực.
Muốn vậy, ta thường biến đổi biểu thức xác định dãy số đã cho, tùy từng trường
hợp để vận dụng
- Nếu biếu thức có dạng phân thức mà mẫu thức, tử thức chứa các lũy thừa của n
thì chia cả tử và mẫu cho n k với k là số mũ cao nhất.
- Nếu biểu thức đã cho có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân cả tử và mẫu với
cùng một biếu thức liên hợp. Chẳng hạn:
a b
;
a b

a b
3

a3b

a b
.
3
a  3 ab  3 b

2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính lim

n 2  4n  1
.
2  3n2

Giải


n2 1   2 
1  2 

n  4n  1
n n   lim  n n   1 .
Ta có lim
 lim 
2
2
2  3n

3
 2
n2  2  3 
 3 

2
n

n

4

1

4

1

2

3n2  4n  1  n
.
2  3n2

Ví dụ 2. Tính lim
Giải



4

1



1

4

1



n  3   2  1
 3   2  1
n n
n
n n
3n2  4n  1  n


  0.

lim

lim
Ta có lim
2
2
2

2  3n
3
n2  2  3 
n2
n


Ví dụ 3. Tính lim  2n2 
.
n2
1





13


Giải
4

1

2 2  3
2n3  4n2  1

n n   .
Ta có lim  2n2 


lim

lim

1
2
n2
n2

 3
2
n n
1

Ví dụ 4. Tính lim  n2  n n  1 .
Giải
Ta có lim  n2  n n  1  lim  n2  1 
Ví dụ 5. Tính lim





1



n



1 
  .
n2 



n2  11n  n 10 .

Giải
Ta có lim



n  11n  n 10
2




 lim

n2  11n  n2 10

n 11 





n2  11n  n2 10

n2  11n  n2 10





10 

10
11 
11n  10
n 
11

n
 lim 2
 lim
 lim
 .
2
11
10
11
10 2
n  11n  n 10
n 1 2  n 1 2
1 2  1 2
n

n
n
n

Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi
1. Phương pháp giải
Tìm công thức công thức tổng quát un của dãy số  un  bằng cách dự đoán cho phép
tính un theo n và chứng minh bằng công thức quy nạp.
Sau đó tìm giới hạn của  un  qua công thức tổng quát un .
2. Các ví dụ minh họa
u  2
Ví dụ 1. Cho dãy số  un  xác định bởi  1
un 1  2  un

với n  1. Biết  un  có giới hạn hữu hạn khi n  +. Tính lim un .

14


Giải
Đặt lim un  a . Ta có
un1  2  un  lim un1  lim 2  un

 a  2  a  a2  a  2  0  a  1 a  2 .
Vì un  0 nên lim un  a  0 . Vậy lim un  2 .
Ví dụ 2. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức truy hồi
1

u1  2


un 1  1
2  un


với n  1. Dãy số  un  có giới hạn hay không khi n  +. Nếu có, hãy tính lim un .
Giải

n
1
2
3
4
Ta có u1  ; u2  ; u3  ; u4  . Dự đoán un 
(1).
n 1
3
5
2
4
Chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp:
- Với n = 1, ta có u1 

1 1
 (đúng).
11 2

- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k (k  1), nghĩa là uk 
Khi đó ta có uk 1 

k

.
k 1

1
1
k 1


,
2  uk 2  k
k 2
k 1

nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
- Vậy un 

n
, n  N * .
n 1

Từ đó ta có lim un  lim

n
1
 lim
 1.
1
n 1
1
n

15


Dạng 4. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Các bài toán có yêu cầu tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Ta
dung công thức đó để tìm số hạng đầu và công bội.
Viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng một phân số hữu tỉ: Khai triển
số đã cho dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính tổng S  2  2  1 

Giải. Dãy số vô hạn 2; 2;1;
Vì q  

1 1
  ...
2 2

1 1
1
.
; ;... là cấp số nhân có công bội q  
2 2
2

1
1


 1 nên dãy là cấp số nhân lùi vô hạn.
2
2

Do đó: S  2  2  1 

1 1
2
2 2
  ... 

.
1
2 2
2

1
1
2

Ví dụ 2. Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn  vn  , biết tổng của nó
bằng 32 và v2  8 .

8
v1
 32 . Mặt khác, v2  v1q  8  v1  . Thế vào đẳng
q
1 q
8

1
 32  4q 2  4q  1  0  q  .
thức trên ta có
q 1  q 
2
Giải. Từ giả thiết suy ra

Từ đó: vn  v2 q n2  8.

1
1
 n 5 .
n2
2
2

Vậy dạng khai triển của  vn  là: 16; 8; 4; 2; 1;

1
1
;... n5 ;...
2 2

16


Ví dụ 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a  2;131313... (chu kì 13).

Giải

13
a  2;131313...  2 

= 2
(Vì

13 211
99

13

;



99

13

100 10000

13

13

13


 ... 

 ...  2  100
1
100 10000
100n
1
100

, với mọi n nguyên dương.

;...;

13
100

n

;... các số hạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q 

1
100

).

17


III. Bài tập củng cố
Bài 1. Nếu dãy số  un  có giới hạn là 0. Khi đó dãy số un có giới hạn 0 hay không
? Ngược lại có đúng không ?
Bài 2. Chứng minh dãy số  un  với un   1 không có giới hạn 0. Từ đó chứng

n


minh giới hạn lim    không tồn tại.
 2
n

Bài 3. Cho dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, dãy số  vn  không có giới hạn hữu
hạn. Dãy số  un  vn  có giới hạn hữu hạn không ?
Bài 4. Cho hai dãy số dương  un  và  vn  đều có giới hạn 0. Chứng minh

lim

un2  vn2
0.
un  vn

Bài 5. Chứng minh lim q n   nếu q > 1.
Bài 6. Cho q  1 và dãy số  un  xác định bởi un  q  2q2  ...  nqn
a) Chứng minh lim  nq n   0 .
b) Tính lim un .
Bài 7. Tính giới hạn
3n  2n3  5
a) lim 3 2 ;
n n

2
3  n  1  n 

c) lim

.

3n2  5n  1
b) lim
;
2n  3

n3  4n  9

Bài 8. Tính giới hạn
n

 3n 
3
a) lim     n  ;
   4 



b) lim  2n 


11 
;
n 

c) lim

3n n
.

n  2n  3
2

Bài 9. Tính giới hạn

n 2  n  1  4n 2  2
a) lim
;
n3

b) limn





n2  1  n2  2 .

Bài 10. Tính giới hạn
a) lim  n2  3n  5 ;
c) lim  3n  2n  27  ;
3





b) lim 4n   2 ;
d)

n

 3
lim

 2.5n
.
1  5n
n

18


Bài 11. Tính giới hạn
a) lim

1
1.2  2.3  ...  (2n 1)2n  ;
n3

b) lim

1  2  3  ...  n
.
n2  n  1

Bài 12. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi
u1  2



un  1
un 1  2

với n  1. Dãy số  un  có giới hạn hay không khi n  +. Nếu có, hãy tính lim un .
Bài 13. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi

u1  1, un1 

2un  3
un  2

với n  1. Dãy số  un  có giới hạn hay không khi n  +. Nếu có, hãy tính lim un .
Bài 14. Tính giới hạn của dãy số  un  xác định bởi công thức truy hồi
u1  1

2
n
un 1  u n  a

với 0 < a < 1.

Bài 15. Tính giới hạn của dãy số  un  xác định bởi công thức truy hồi

1
1
4
u1  ; un1   un   .
2
2
un 

n1

1 1 1  1
Bài 16. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1;  ; ;  ;...;    ;...
2 4 8  2
Bài 17. Tính tổng S  1 0,9   0,9  ...   0,9  ...
2

n 1

Bài 18. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công
2
bội q  .
3
Bài 19. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  sin   sin 2   ...  sin n  với


   k . Tính lim un .
2

Bài 20. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn x  34,121212... (chu kì 12). Viết lại x
dưới dạng số hữu tỉ.

19


IV. Phần hướng đáp số, hướng dẫn giải
Bài 1. Vì  un  có giới hạn 0 nên un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, un  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào

đó trở đi. Hay dãy số  un  với un  un có giới hạn 0.
Điều ngược lại cũng còn đúng.
Bài 2. Vì un  1 nên không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng
nào đó trở đi. Chẳng hạn un không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.

n
n 
Do đó lim     lim  1   mà không tồn tại lim  1 .
 2
2
n

n


Vậy lim    không tồn tại.
 2
n

Bài 3. Sử dụng phương pháp phản chứng. Kết quả dãy  un  vn  không có giới hạn
hữu hạn khi dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, dãy số  vn  không có giới hạn hữu
hạn.
Bài 4. Ta có 0 

un
un2
un
 1 với mọi n nên 0 
 un
 un với mọi n.

un  vn
un  vn
un  vn

un2  vn2
0.
Suy ra điều cần chứng minh là lim
un  vn
Bài 5. Đặt p 

1
. Vì q  1 nên 0 < p < 1. Do đó lim pn  0 .
q

Suy ra lim q n  lim

1

pn

  .

Bài 6. a) Ta có nq n  n q  n
n

1
1
với mọi n, và lim n n  0 .
n
a

a

Do đó lim  nq n   0 .
b) Từ un  q  2q2  ...  nqn  qun  q2  2q3  ...  nqn1
 un  qun  q  2q2  ...  nqn   q2  2q3  ...  nq n1 

20


 q  q 2  q3  ...  q n  nq n1 

q(1  q n )
 nq n1
1 q

q(1  q n )
q(1  q n )
q
n 1
 nq ta có lim un  lim
 nq n1 
Do đó: un 
2
2
2 .
1  q 
1  q 
1  q 
Bài 7. a) 2;

b) +;

c) 1 .

Bài 8. a) 0;

b) +;

c) +.

Bài 9. a) 1 ;

b)

Bài 10. a) +;

b) +;

Bài 11. a) un 



4

n

3

n

k
k 1

2



2

n

3

3
.
2

c) ;

d) 2 .

1
1 n
1.2

2.3

...

(2

n

1)2
n

 2k  1 2k 


n3
n3 
k 1
4 n(n  1)(n  2) 2 n(n  1)
 3
3
6
n
2

n

k  n
k 1

2(n  1)(2n  1) n  1
4
 2 . Vậy lim un  .
2
3n
n
3

b) Sử dụng câu a) tính tổng n số nguyên dương, ta có lim

1  2  3  ...  n 1
 .
n2  n  1
2

2n 1  1
Bài 12. Dự đoán công thức un  n1 chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
2

Đáp số lim un  1 .
Bài 13. Chứng minh un1 
Đặt lim un  a , suy ra a 

2un  3
 0, n .
un  2

2a  3
a 3
a2

Do đó lim un  3 .
Bài 14. Quy nạp công thức un2 
Vậy lim  un2  

1  an
, n  2 với a  1 nên lim a n  0 .

1 a

1
1
 lim  un  
1 a
1 a
1

4

Bài 15. Ta có un1   un    2 theo bất đẳng thức Cô-si vì un  0, n  N *
2
u


n



21


Do đó un  2, n  2 suy ra

un1 1 
4
 1  2   1, n  2 hay un1  un .
un
2  un 

Vậy lim un  a  2, n  2 .
a  2

Qua giới hạn hệ thức truy hồi ta có  1  4   a  2
a  2  a  a 




Vậy lim un  2.
Bài 16. S 

2
.
3

Bài 17. S  10 .
2
Bài 18. un   
3

n 1

.

Bài 19. Dãy sin  ;sin 2  ;...;sin n  ... là cấp số nhân vô hạn công bội q  sin  .
Vì sin   1 nên dãy là cấp số nhân lùi vô hạn
S

Bài 20. x 

sin 
.
1  sin 

1126
.
33

22


3. Phần kết luận
3.1. Ý nghĩa của đề tài
Đề tài tóm tắt kiến thức giáo khoa về giới hạn của dãy số nảy sinh vấn đề là
hạn chế về mặt bản chất của định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy
số, định nghĩa được trình bày mức độ mô tả nên hạn chế về mặt tổng quát. Hầu hết
các định lí cụ thể là các phép toán giới hạn cũng như các giới hạn đặc biệt là thừa
nhận. Do vậy, bằng cách nào đó khi truyền đạt được ý tưởng của đề tài đến học sinh
có thể giúp học sinh hiểu rõ kiến thức, các em có thể hiểu, tự chứng minh được các
định lí là các phép toán giới hạn để khi sử dụng trong quá trình giải bài tập không
còn bị động.
Trong quá trình viết, việc đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số
được xuất phát từ các ví dụ trong sách giáo khoa hoặc ví dụ đơn giản làm cơ sở. Mặc
dù sử dụng ngôn ngữ “số dương bé tùy ý” của “Giải tích hiện đại” song học sinh vẫn
có thể tiếp thu và là nền tảng khi các em tiếp tục học chương trình Toán năm đầu
của hầu hết các trường Đại học, cao đẳng.
Song song với đó, đề tài dựa vào kiến thức được tóm tắt là hệ thống dạng toán
được phân loại ở mức độ cơ bản (dành cho học sinh trung bình) và một số bài tập

cần phối hợp nhiều kỹ năng biến đổi (dành cho học sinh khá, giỏi).
Cuối cùng, phần bài tập củng cố được chọn lọc và sắp xếp theo hệ thống kiến
thức đưa ra và có phần giải, hướng dẫn giải.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Trên đây là nội dung đầu tiên nhưng có thể nói rất quan trọng trong chương trình
Toán THPT bởi vì lần đầu tiên học sinh tiếp cận với giải tích, gắn với tư tưởng vô
hạn nên bỡ ngỡ. Bản thân đã đầu tư và sắp xếp chọn lọc kiến thức và các ví dụ bài
tập minh họa cho ý tưởng của đề tài và giúp cho học sinh của mình được nhiều hơn.
Tuy nhiên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Kính mong sự góp ý
phê bình của các thầy cô đã đọc để bản thân tiếp tục hoàn thiện và mở rộng, phát
triển bước tiếp theo của đề tài.

23