skkn hướng dẫn hs lớp 8 giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8
“ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”
1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Toán học và khoa học tự nhiên là những ngành khoa học giữ vai trò quan trọng
trong sự phát triển của xã hội loài người. Một đất nước có nền Toán học và khoa học
tự nhiên phát triển là nước giàu mạnh. Trong công cuộc công nghiệp hóa hiện đại hóa
đất nước , giáo dục nói chung, toán học nói riêng có một vai trò quan trọng trong đời
sống hàng ngày. Do đó học sinh cần học tốt bộ môn toán, từ đó học sinh phải biết giải
các dạng toán.
Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước đã có nhiều những quan tâm và đầu
tư nhằm phát triển chất lượng GD toàn diện. Bên cạnh những kết quả mà nghành đã
đạt được thông qua các cuộc vận động do bộ GD và ĐT phát động như: Cuộc vận
động học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh,tiếp tục cuộc vận động hai
không với 4 nội dung…., đã đem đến cho các nghành học,các cấp học nhiều khởi sắc
và chuyển biến mạnh mẽ. Sự chuyển biến đó tác động đến từng cán bộ giáo viên,
nhân viên nghành giáo dục và cả học sinh các cấp học .Đặc biệt hơn, cuộc vận động
“Mỗi thầy ,cô giáo là một tấm gương tự học và sáng tạo” đã được triển khai sâu rộng
và thấm nhuần vào đội ngũ nhà giáo , cuộc vận động như thôi thúc tâm trí của mỗi
thầy cô hãy cố gắng tìm tòi, tự học, tự sáng tạo để tạo ra những tiết dạy có hiệu quả,
để học sinh tích cực hơn và say mê học tập hơn.
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công
việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc
lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động
sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy logic
giải các bài toán.
Khi dạy học môn toán 8,tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi “ Giải
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ”.
Đa số học sinh khi giải còn lúng túng chưa có phương pháp tối ưu thiếu lô
gíc,chặt chẽ,thiếu trường hợp. Lí do là học sinh hiểu định nghĩa,tính chất giá trị tuyệt
đối chưa chắc. Các em chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vào

bài toán khác . Mặt khác nội dung kiến thức ở lớp 6, 7 và 8 ở dạng này để áp dụng
còn hạn chế nên không thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống
và phong phú được. Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Tôi đã suy nghĩ , tìm tòi và áp dụng vào trong giảng dạy thấy có hiệu quả cao.
Nên tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải
phuwownh trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ” ,với mục đích giúp cho học sinh tự tin
hơn trong làm toán và để chia sẻ kinh nghiệm nhỏ bé của mình cùng đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
1


a.Đối với giáo viên:
Có phương pháp để hướng dẫn học sinh biết giải các dạng toán giải phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối để gây hứng thú học và làm bài tập của học sinh góp phần
nâng cao chất lượng bộ môn toán.
b. Đối với học sinh:
Nắm được phương pháp giải các dạng toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối và làm được các bài toán ứng dụng.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Các bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Áp dụng với học sinh khối 8 của trường THCS Thiệu Quang có học lực dưới mức
giỏi.
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Để làm đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp:
- Điều tra thống kê.
- Quan sát so sánh.
- Tham khảo các tài liệu có liên quan đến nội dung về các bài toán giải phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối ….để phân loại định dạng cho học sinh.
- Bằng kinh nghiệm được đúc rút qua thực tế giảng dạy.

- Tham khảo, trao đổi với các đồng nghiệp, tổ chuyên môn, bạn bè.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế qua quá trình giảng dạy của bản thân,học hỏi
kinh nghiệm của đồng nghiệp và qua bài kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tra vấn đáp
những kiến thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã được học. Qua đó giúp tôi nắm được
những ''lỗ hổng” kiến thức của các em. Rồi tìm hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch
khắc phục.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Dạy toán trong chương trình THCS, phải đi tới một trong những cái đích là
học sinh phải biết giải các dạng toán. Nhưng những năm vừa qua, tôi được giảng dạy
môn toán gần như hầu hết ở tất cả các khối lớp 6,7,8,9. Nhìn lại kết quả học sinh làm
các dạng toán về giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chưa cao. Phải chăng các
em chưa biết cách giải dạng toán này.
Qua khảo sát ban đầu tôi nhận ra rằng: do các em không nắm bắt được các dạng,
không hiểu cách làm, không biết cách giải, không có sự gắn kết tư duy lô gíc trong
giải toán, nên bài làm của các em sai nhiều, nhầm lẫn cả những kiến thức cơ bản hoặc
giữa các kiến thức này với các kiến thức khác. Cách tư duy, phân loại định dạng ở các
em rất yếu, gặp bài toán là các em giải, giải vướng thì dừng lại, dần dần các em có
thói quen gặp các bài toán phức tạp là ngại làm, lâu dần thành thói ỷ lại. Do đó người
giáo viên không sáng tạo trong khi giảng dạy để phát triển năng lực tư duy, sáng tạo
của học sinh để các em độc lập nhận thức thì khó có những tài năng về môn toán.
Sách dạy học môn toán ở trường THCS của bộ GD-ĐT có viết: “ Không có thuật
toán tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải
một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức kinh nghiệm tiến tới
nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán”.Việc đổi mới phương
2


pháp dạy học hiện nay là coi học sinh làm trung tâm, giáo viên là người hướng dẫn để
các em tự tìm tòi phát hiện và chiếm lĩnh kiến thức. Trong khi dạy học người giáo

viên cần tập cho học sinh không chỉ lĩnh hội kiến thức mà cần biết nhìn nhận vấn đề
dưới nhiều góc độ khác nhau, với nhiều dạng bài tập vận dụng khác nhau của nội
dung kiến thức đó.Thông qua các dạng bài tập các em sẽ hiểu sâu sắc hơn vấn đề vừa
được tiếp nhận từ đó khơi gợi hứng thú học tập, tìm tòi và phát triển năng lực tư duy
của học sinh.
Từ những cơ sở trên, ngay sau khi học xong bài “phương trình chưa dấu giá trị
tuyệt đối” trong khi dạy tôi đã phân dạng và hướng dẫn học sinh giải các dạng toán
thật chi tiết. Từ đó để học sinh biết giải những bài toán phức tạp, cồng kềnh.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trình giảng dạy nhiều năm trong nghề tôi được phân công giảng dạy môn
toán ở tất cả các khối lớp từ 6 đến 9. Khi dạy học môn toán 8, tôi nhận thấy học sinh
còn nhiều vướng mắc khi giải phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối đặc biệt là các
học sinh có học lực dưới mức giỏi, các em học sinh khi giải còn chưa khoa học, lô
gíc, thiếu chặt chẽ, thiếu trường hợp. Chất lượng môn toán của học sinh còn hạn chế
nhiều, học sinh giỏi còn ít.
Với học sinh lớp 8 ở trường THCSThiệu Quang đa số các em là con nông dân nên
điều kiện dành cho các em học tập còn khó khăn nhiều gia đình chưa quan tâm đến
việc học tập của con em. Dạng toán giải “phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ”
trong chương trình lớp 6,7,8 còn ít chưa có tài liệu nào chuyên sâu về dạng toán này.
Nên gặp bài toán này các em làm được rất ít, hoặc làm thì thường mắc những sai lầm
sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x 1  3

Một số học sinh chưa nắm được đẳng thức luôn xảy ra vì (3> 0 ) mà vẫn xét hai
trường hợp x-1 >0 và x -1 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng .Cách làm này
chưa gọn rượm ra.
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3 x  3 -7 = 5
Có rất nhiều học sinh chưa đưa về dạng cơ bản A x  = B để giải mà nhanh chóng xét
hai trường hợp giống như ví dụ 1

x  1 -2x = 4 (1)
Ví dụ 3 : Giải phương trình:
Học sinh đã làm như sau:
Ta có |x-1|= x-1 khi x-1 �0 suy ra x-1 -2x =4 => x= - 5
| x-1|= 1-x khi x-1<0 suy ra 1-x-2x=4 => x= -1
- Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x nên đã kết luận x=-5 và
x=-1 là nghiệm của phương trình.
Có em đã thực hiện (1) suy ra x  1 =2x+ 4  x-1=2x+4
hoặc x-1= -2x-4
Trong trường hợp này các em mắc sai lầm không xét điều kiện của 2x+4
Như vậy trong các cách làm trên các em làm chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện
hoặc làm bài còn chưa ngắn gọn
3


Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x  5 > 3
- Học sinh đã làm như sau:
Thử các giá trị của x vào biểu thức x-5 ta có với x=  9,10,11,12 thì x  5 > 3
- với loại này các em không biết cách làm mà chỉ nhẩm được một số giá trị của x thỏa
mãn mà không tìm hết được tất cả các giá trị của x
Ví dụ 5: Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó:
A= x  5 + x  2
Học sinh đã làm như sau:
Vì x  5 �0 và x  2 �0 nên giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Với cách làm này học sinh không thể tìm được giá trị của biến để A đạt giá trị nhỏ
nhất.
*Kết quả điều tra khảo sát
Khi chưa áp dụng sáng kiến tôi ra đề cho học sinh lớp 7 trường THCS Thiệu Quang
như sau :
Câu 1: Giải phương trình và bất phương trình

a, x  1 = 3
( 1 điểm)
b, 3 x  3 - 7 = 5
( 2 điểm)
c, x  1 - 2x= 4
( 2 điểm)
d, x  2 + x  1 = 8
( 2 điểm)
x5 > 3
e,
( 2 điểm)
Câu 2: Tìm x để biểu thưc sau đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó:
A= x  5 + x  2
(1 điểm)
Kết quả đạt được như sau :
Yếu-kém
Trung bình
Khá giỏi
Tổng số học
Số
%
Số
%
Số
%
sinh
lượng
lượng
lượng
30

13
43,3
14
46,7
3
10
Qua kết quả khảo sát có thể thấy học sinh điểm yếu kém còn rất nhiều,có nhiều
em không làm được bài nào, mặc dù tôi ra mấy bài ở dạng này đều không khó, nhưng
vì các em chưa nắm được dạng, không hiểu cách làm, không biết cách giải, không có
sự gắn kết tư duy lô gíc trong giải toán. Cách tư duy, phân loại , định dạng ở các em
rất yếu.
Trước tình hình trên tôi thấy rất cần thiết phải hướng dẫn các em giải dạng toán
này, dạy cho các em một số phương pháp, các bước giải và phải dạy cho các em ngay
từ lớp 6, lên lớp 7,8,9 tiếp tục hướng dẵn cho các em thành thạo.
2.3. Các giải pháp thực hiện:
* Cung cấp kiến thức có liên quan đến bài toán:
2.3.1.Định nghĩa
a, Định nghĩa 1( lớp 6) :
4


Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc 0 trên trục số ( hình 1).
-a

0

a

-a

a
Hình 1

Ví dụ 1:
3

a = 3  a 
 3
Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với hai điểm trên
trục số ( hình 2)
-3

0

3

Hình 2
 a b

b
b
 a   ; a  b  a 
 b
 b
b  0

Tổng quát: 
Ví dụ 2:

a  3 nếu a  0
a 3 

0  a 3
 -3  a  3



a - 3 nếu a < 0
-3 a < 0
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn   3;3 và trên
trục số thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn   3;3 ( hình 3)
-3

0

3

Hình 3
Ví dụ 3:
a  3 nếu a  0
a  3

 a  -3 hoặc a  3

a  -3 nếu a < 0
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (-  ; 3]
và [3; +  ) và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tương ứng với các
khoảng số đó. (hình 4)
-3

0

3

Hình 4
5


Tổng quát:

 a b
a b  
 a  b

b, Định nghĩa 2 ( lớp 7-9):
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là:
a nếu a  0
a =
-a nếu a < 0
15 15
 32 32
0 0
Ví dụ1:
 1 1

 17 17

*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu A(x)
là:

A(x) nếu A(x)  0
A(x) =
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1  0
2x  1 =

2x - 1 nếu x 

1
2

=
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0

1 - 2x nếu x <

1
2

2.3.2Các tính chất
Tính chất 1: a  0  a
Tính chất 2: a = 0  a = 0
Tính chất 3: - a  a  a
Tính chất 4: a =  a
Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy được các tính chất trên
Tính chất 5: a  b  a  b
Thật vậy: - a  a  a ; - b  a  b  -( a + b )  a + b  a + b
Tính chất 6:
a - b  a  b a  b

Thật vậy: a = a  b  b  a  b  b  a  b  a  b

(1)

a  b  a  (  b)  a   b  a  b  a  b  a  b (2)
Từ (1) và (2)  đpcm.

Tính chất 7:
a  b  a b
6


Thật vậy: a  b  a  b

(1)

b  a  b  a   (b  a)  a  b   ( a  b )  a  b
a  b
a  b 
(3)
 ( a  b )
Từ (1), (2) và (3)  a  b  a  b

(2)

(4)

a  b  a   b  a  (  b)  a  b  a  b  a  b

(5)

Từ (4) và (5)  đpcm.
Tính chất 8:
a.b  a . b

Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0
 a.b  a . b (1)
a > 0 và b > 0  a = a, b = b và a.b > 0
(2)
 a.b  a.b  a . b  a.b  a . b
a < 0 và b < 0  a = -a, b = -b và a.b > 0
 a.b a.b ( a)(  b)  a . b  a.b  a . b (3)
a > 0 và b < 0  a = a, b = -b và a.b < 0
 a.b  a.b a.( b)  a . b  a.b  a . b (4)
Từ (1), (2), (3) và (4)  đpcm.
Tính chất 9:
a
a
 (b 0)
b
b

Thật vậy: a = 0 

a
a
a
0 
 0
b

b
b

(1)

a > 0 và b > 0  a = a, b = b và

a
a a a
0
 
b
b b b

a < 0 và b < 0  a = -a, b = -b và
a > 0 và b < 0  a = a, b = -b và

(2)

a
a a  a a
0
 
 (3)
b
b b b b

a
a
a

a
a
0
 
 (4)
b
b
b b b

Từ (1), (2), (3) và (4)  đpcm.
III. CÁC DẠNG CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trước tiên học sinh cần nắm chắc được các tính chất của giá trị tuyệt đối. Làm
các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên. Sau đó làm các bài tập nâng cao
và bài tập đòi hỏi sự tư duy của học sinh.
7


Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định
nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đưa bài toán trên về bài toán trong
đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số quen
thuộc.
Xuất phát từ kiến thức trên người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hướng dẫn cho học
sinh quan tâm tới 3 dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Giải phương trình: f(x)  k , với k là hằng số không âm.
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần).
f(x)  k
�

� nghiệm x.
Bước 2: Khi đó f(x)  k � �
f(x)   k
�
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
x1
-2=0
x
2x  3  1
2x  4
x 2
�
�
�
��
��
a, ta có 2x  3  1� �
2x  3  1 �
2x  2
x1
�
�
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b, Điều kiện xác định của phương trình là x �0.
x1
�
x1
�
�x  2

x  1 2x
x  1 �
�
�
x1
 2� �
��
��
�
1
�
x
x

1
x

1


2x
3x


1
x
�
�
�
 2

� 3
�x
1
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
và x = 1.
3
Bài tập củng cố:
Giải các phương trình sau:
a, 2 x  3 5
b, 2  7 x 12
a, 2x  3  1

b,

c, 0,5 x 3

d,  2 x 

1
4

8


Dạng 2: Giải phương trình: f(x)  g(x)
Phương pháp giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:
Cách 1: (Bỏ dấu giá trị tuyệt đối) thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định nếu cầ
Bước 2: Xột hai trường hợp:

-Trường hợp 1: Nếu f(x) �0
(1)
Phương trỡnh cỳ dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1)
-Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0
(2)
Phương trỡnh cỳ dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đỳ đưa ra kết luận nghiệm cho phương trỡnh.
Cỏch 2: Thực hiện cỏc bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xỏc định (nếu cần) và g(x) �0.
f(x)  g(x)
�
� Nghiệm x
Bước 2: Khi đỳ: f(x)  g(x) � �
f(x)  g(x)
�
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đỳ đưa ra kết luận nghiệm cho phương trỡnh.
Ví dụ 1:iải phương trình: x  4  3x  5.
Cách 1: Xét hai trường hợp:
-Trường hợp 1: Nếu x + 4 �0 � x �-4

(1)

1
thoả mãn điều kiện (1)
4
-Trường hợp 2: Nếu x + 4 < 0 � x < - 4
(2)
9
Phương trỡnh cú dạng: -x - 4 + 3x = 5 � 2x = 9 � x = không thoả mãn tra
2

điều kiện (2).
1
Vậy phương trình có nghiệm x = .
4
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng x  4  3x  5
Phương trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 � 4x = 1 � x =

Với điều kiện - 3x + 5 �0 � - 3x �- 5 � x �
Khi đó phương trình được biến đổi:

5
3

� 1
x
x  4  3x  5 � 4
�
x  4  3x  5 � �
��
x  4  3x  5 � 9
�
x  kh�ng tho�m�
n  *
� 2
1
Vậy phương trình có nghiệm x = .
4
9

Lưu ý1:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp
như nhau. Vậy trong trường hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngược lại?
Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi
sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn.
Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách 1 vì
sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phương trình f(x) �0 và f(x) < 0.
Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực
hiện các bước biến đổi phươnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu.
Ví dụ 2 Giải các bất phương trình:
2
2
a, x  1  x  x
b, x  2x  4  2x
Giải:
a, Xét hai trường hợp.
-Trường hợp 1:
Nếu x + 1 �0 � x �-1
(1)
Khi đó phương trình có dạng: x + 1 = x2 + x
� x2 = 1
� x = �1 (thoả mãn đk 1)
-Trường hợp 2:
Nếu x + 1 < 0 � x < -1
(2)
Khi đó phương trình có dạng: - x - 1 = x2 + x
� x2 + 2x + 1 = 0
� (x+1)2 = 0
� x = -1 ( không thoả mãn đk 2).
Vậy phương trình cób hai nghiệm x = �1

b, Viết lại phương trình dưới dạng:
x2  2x  2x  4 với điều kiện 2x - 4 �0 � 2x �4 � x �2
(*)
�
x2  2x  2x  4 �
x2  4x  4  0
x  2x  2x  4 � �2
� �2
Ta có:
x

2x


2x

4
x 4
�
�
x 2
�
(x  2)2  0 �
��
��
x  2 kh�ng tho�m�
n  *
x  �2
�
�

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2

Lưu ý 2: - Đối với một số dạng phương trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những
cách giải khác phù hợp chẳng hạn như phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng
thức Côsi.
2
Ví dụ 6: Giải phương trình 2 x  1  x  2x  2
Viết lại phương trình dưới dạng

10


(x2  2x  1)  2 x  1  3  0
� (x  1)2  2 x  1  3  0

(1)

Đặt x  1 = t ( t �0)
Khi đó từ (1) ta có phương trình
2
t - 2t - 3 = 0
� t2 + t - 3t - 3 = 0
� t(t + 1) - 3(t + 1) = 0
� (t + 1)(t - 3) = 0
� t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m)
Với t = 3 ta được x  1 = 3
x  1 3 �
x 4
�

��
��
x  1 3 �
x  2
�
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2 và x = 4.


Bài tập củng cố:
Bài 1: Giải các phương trình:
a, x  7 2 x  3
b, 4  2 x  4 x
2
c, x  3 ( x  3)
2
2
d, x  3 x  2 3 x  x  2
2
e, 3  x  x  (4  x ) x 0

Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau
1). 3x  m  x  1
2). x 2  4 x  2 x  m  2  m 0

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x2 - 2x + m| = x2 + 3x - m - 1

11

Dạng 3: Giải phương trình: f(x)  g(x)
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
f(x)  g(x)
�
� nghiệm x.
Bước 2: Khi đó f(x)  g(x) � �
f(x)


g(x)
�
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
x2  x  2
 x  0.
a, 2x  3  x  3
b,
x1
Giải:
a, Biến đổi tương đương phương trình:

2x  3  x  3
2x  x  3 3 �
x  6
�
�
2x  3  x  3 � �
��
��

2x  3  x  3 �
2x  x  3 3
x 0
�
�
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.
b, Điều kiện xác định của phương trình là x �0.
Biến đổi tương đương phương trình:
x2  x  2
x2  x  2
 x  0�
x
x1
x1

�
x2  x  2
� x1  x
2x  2
�
x2  x  2  x(x  1) �
� �2
� �2
�� 2
� x1
2x


2
v�

nghi�
m
x  x 2
x

x

2


x(x

1)
�
�
 x �
�
� x1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x  3m = x  6 , với m là tham số.
Giải :
Biến đổi tương đương phương trình:
2x  3m  x  6 �
2x  x  3m 6 �x  3m 6
�
�
2x  3m  x  6 � �
��
��
2x


3m


x

6
2x

x

3m

6
3x  3m 6
�
�
�
x  3m 6
�
� �
x  m 2
�
12


Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m – 2
Bài tập củng cố:
Giải các phương trình sau:
a, 2 x  1  2 x  3

b, x - 3,5 = 4,5 - x
c, x  6   5 x  9
d,  2 x  3  x

Bài toỏn 4: Giải phương trỡnh: f(x) + g(x) = a.
Phương phỏp giải: Bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối
Ở dạng này phải lập bảng xột dấu để xột hết cỏc trường hợp xảy
ra (lưu ý học sinh số trường hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa đấu giỏ
trị tuyệt đối cộng thờm 1).
x1
3

 2 (1)
Ví dụ 7: Giải phương trình
x1
3
Điều kiện xác định của phương trình là x �-1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
x1
Cách 1: Đặt t =
điều kiện t > 0
3
1
Khi đó (1) �  t  2 � t2  2t  1 0 � t  1
t
x  1 3 �
x 2
x1
�
�

 1� x  1  3 � �
��
3
x  1  3 �
x  4
�
� Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
x1
3
3 x1

�2
.
VT =
=2
x1
3
x1 3

13


Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là

x1
3

 2)
x1

3

x1
x  1 3 �
x 2
�
3

� 9  (x  1)2 � �
��
x1
3
x  1 3 �
x  4
�
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
khi

Đối với những phương trình có từ giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt
điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để
xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. Những giá trị x này sẽ chia
trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đối là 1. Khi đó ta xét
giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình tìm được.
Ví dụ 8: Giải phương trình x  1 + x  3 = 2
Ta thấy x - 1 �0 � x �1
x - 3 �0 � x �3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp.
+Trường hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó phương trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2 � -2x = - 2 � x = 1 (không t/m đk)

+Trường hợp 2: Nếu 1 �x < 3.
Khi đó ta có phương trình:
x - 1 - x + 3 = 2 � 0x = 0 luôn đúng => 1 �x < 3 là nghiệm.
+Trường hợp 3: Nếu x �3
Khi đó phương trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2 � 2x = 6 � x = 3 (t/m đk)
Vậy nghiệm của phương trình là 1 �x �3


Bài tập củng cố:
Giải các phương trình sau:
1). 2 x  1  2 x  1  4
2). x  2  x  3  4
3). 2 x  2  2 x  1  5
2
4). x  1  x 1
5). 4 x  1  2 x  3  x  2 0
6). x  2  x  x  2 4

14


PHẦN III:
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn đối với HS lớp 8 và truyền thụ
cho học sinh hệ thống các dạng và phương pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số học
sinh nắm vững dược kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phương trình chứa
đấu giá trị tuyệt đối. Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phương pháp giải được
xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy đã hình thành cho học

sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Đương nhiên hệ thống kiến thức trên
chỉ dừng lại đối với đối tượng học sinh có học lực trung bình và khá, còn đối với học
sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu hơn và bổ sung các dạng toán phong phú hơn.

PHẦN IV: KẾT LUẬN
Như vậy, từ chỗ học sinh còn lúng túng trong kiến thức và phương pháp giảI,
thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu
trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối ở mức cơ bản. Khi nắm vững kiến thức và phương pháp giải học sinh sẽ có được
sự hứng thú góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập từ đó nâng cao được chất
lượng đại trà trong dạy học bộ môn Toán. Với hệ thống kiến thức cơ bản được xây
dựng và truyền thụ như trên học sinh sẽ chủ động để tiếp thu những kiến mới hơn
trong chương trình ở các lớp trên.

15


Có thể nói, trên đây là một số điều mà bản thân tôi đã rút được qua dạy học,
qua tìm tòi từ các tài liệu, sách báo và học hỏi từ đồng nghiệp. Tuy vậy vẫn còn có
những hạn chế nhất định do năng lực kinh nghiệm của bản thân.
Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của các thầy cô để đề tài được hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Duy Minh, ngày 28/ 03 / 2011
Người làm đề tài

Vũ Thị Kim Quý

TÀI LIỆU THAM KHẢO
16

1 Sách giáo khoa Toán 8

NXB Giáo Dục

Phan Đức Chính
Tôn Thân

2 Sách bài tập Toán 8 - Tập 2

NXB Giáo Dục

Tôn Thân
Nguyễn Huy Đoan

3 Sách giáo viên Toán 8

NXB Giáo Dục

Phan Đức Chính
Tôn Thân

4 Để học tốt Toán 8

NXBĐạihọc
quốc gia Hà Nội

Hoàng Chúng

5 Tài liệu bồi dưỡng Toán 8

NXB Giáo Dục

Bùi Văn Tuyển

6 Chuyên đề nâng cao Toán 8.

NXB Giáo Dục

Vũ Dương Thuỵ Nguyễn Ngọc Đạm

7 Các dạng toán và phương
pháp giải toán 8 tập 2

NXB Giáo Dục

Tôn Thân
Vũ Hữu Bình
Nguyễn Vũ Thanh
Bùi Văn Tuyển

17


2.3.1. Yêu cầu học sinh nắm vững cách giải bài toán tìm x dạng cơ bản A(x) = B(x)
dạng này học sinh cần nắm vững quy tắc bỏ dấu ngoặc ,chuyển vế
2.3.2. Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối .
A = A khi A 0 hoặc -A khi A<0
A =  A ,

A 0 với mọi giá trị của A.
2.3.3, Định lí về dấu nhị thức bậc nhất. ax + b
*.Hướng dẫn học sinh giải từng dạng toán:
Để giải bài toán tìm giá trị của biến để xãy ra đẳng thức hoặc bất đẳng thức mà biểu
thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối .Tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản như định
nghĩa,tính chất,định lí về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng
bài,phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khác. Từ phương pháp giải dạng cơ bản,dựa
vào định nghĩa tính chất,định lí về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các
dạng khác đối với mỗi dạng bài,loại bài. Biện pháp cụ thể như sau:
**.Một số dạng cơ bản:
1.1 Dạng cơ bản A x  = B với B 0
a. Phân tích tìm phương pháp giải:
Đẳng thức có xảy ra không ? Vì sao ? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng kiến thức
nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau
thì bằng nhau )
b. Phương pháp giải:
Ta lần lượt xét A(x) = B hoặc A(x) = -B
c.Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 :( Bài 4 (a) sách giáo hướng dẫn học toán 7 trang 21 tập 1)
x  1,7 = 2,3
Tìm x , biết
GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán :
Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao?
( Đẳng thức có xảy ra vì x  1,7  0 và 2,3 0 ) Cần áp dụng kiến thức nào để
giải , để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số
đối nhau thì bằng nhau )
Bài giải
x  1,7 = 2,3  x-1,7= 2,3 ; hoặc x-1,7 = -2,3
+ Xét
x-1,7= 2,3  x= 2,3 + 1,7  x= 4

+ Xét
x-1,7 = -2,3  x = -2,3 +1,7  x=-0,6
Vậy x=4 hoặc x=-0,6
Từ ví dụ đơn giản ,phát triển đưa ra ví dụ khó dần
Ví dụ 2 : (Bài 4 (a) sách giáo hướng dẫn học toán 7 trang 21 tập 1)
Tìm x biết

x

3 1
 0
4 3

Với bài này ta hỏi học sinh‘Làm sao để đưa về dạng cơ bản đã học ‘
18


Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng x 

3 1

4 3

(áp dụng quy tắc chuyển vế) để đua

về dạng cơ bản.
Bài giải
3 1
 0
4 3

3 1
 x 
4 3
x

3 1
3
1
=
hoặc x - = 4 3
4
3
3 1
13
+ Xét x - =  x =
4 3
12
3
1
5
+ Xét x - = -  x =
4
3
12
13
5
Vậy x =
hoặc x =
12
12

x-

Ví dụ 3

Tìm x ,biết
4 9  2 x - 31 =13
Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học ?
Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học 9  2 x = 11
Bài giải
4 9  2 x -31 =13
 4 9  2x
= 44
 9  2x
= 11
 9-2x =11 hoặc 9-2x = -11
+ Xét 9-2x =11  -2x = 2  x= -1
+ Xét 9-2x = -11 
-2x = - 20  x= 10
Vậy x = -1 hoặc x = 10
1.2 Dạng cơ bản A(x) = B(x) ( trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x
a, Phân tích tìm phương pháp giải :
Khi nào thì đẳng thức xảy ra,khi nào thì đẳng thức không xảy ra ?
(Học sinh thấy được nếu B(x) <0 thì đẳng thức không xảy ra). Vậy cần áp dụng kiến
thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế suy luận tìm ra cách giải bài toán trên
không ? Có thể tìm ra mấy cách ?
b, Phương pháp giải :
Cách 1 : ( Dựa vào tính chất )
A(x) = B(x)
Với điều kiện B(x) 0 => x ? ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai
trường hợp với điều kiện của x để xảy ra B(x) 0



19


Cách 2 : Dựa vào định nghĩa xét dấu của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối với
các giá trị của biến co thể có.
A(x) = B(x)
+Xét A(x) 0  x?
Ta có A(x) = B(x) (giải tìm x để thoả mãn A(x) 0 )
+ Xét A(x) < 0  x?
Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận : x = ?
Lưu ý : Qua hai dạng cơ bản trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau giữa
hai dạng cơ bản (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau
( A(x) =m 0 dạng đặc biệt của dạng hai)
Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một
dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng A =B (Nếu B 0 đó là dạng đặc biệt,còn
B<0 thì đẳng thức không xảy ra . Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng hai và giải
bằng cách 1 ) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị
tuyệt đối giải bằng cách hai.
c, Các ví dụ:
Ví dụ 1 Tìm x ,biết : 9  7x = 5x- 3
Cách 1: Với 5x-3 0  x 3/5 ta có 9-7x =5x-3 hoặc 9-7x =-(5x-3 )
+ Nếu 9-7x=5x-3  -12x = -12  x = 1 (Thoả mãn điều kiện)
+ Nếu 9-7x=-(5x-3)  9-7x = -5x +3  x= 3 (Thoả mãn điều kiện)
Vậy x =1
9
ta có 9-7x = 5x-3  x= 1(Thoả mãn)
7

9
+ Xét 9-7x < 0  x >
ta có -(9-7x) = 5 x-3  x= 3 (Thoả mãn)
7

Cách 2 :+ Xét 9-7x  0  x 

Vậy x = 1 hoặc x = 3
Ví dụ 2 Tìm x ,biết x  3 -2x = 5
Cách 1 : x  3 -2x = 5
 x  3 = 2x+5
Với x+5  0  x -5 ta có x-3 =2 x+5 hoặc x-3 =-( 2x+5)
+ Nếu x-3 = 2x+5  x = -8 ( loại )
+ Nếu
Vậy x = -

x-3 =-( 2x+5)  x-3 = -2x-5  3x= -2  x=-

2
( Thoả mãn)
3

2
3

Cách 2 : x  3 -2x = 5
+ Xét x-3 0  x  3 ta có x-3 -2x= 5  x= -8 ( loại )
2
3

+ Xét x-3<0  x< 3 ta có -(x-3) -2x = 5  -x+3 -2x=5  -3x= 2  x=- ( Thoả
mãn)
20


Vậy x= -

2
3

1.3 Dạng A x  + B x  =0
a. Phân tích tìm phương pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt
đối của một số ( giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ) . Vậy tổng của hai
số không âm bằng không khi nào ? ( cả hai số đều bằng không ) . Vậy ở bài này tổng
trên bằng không khi nào ? ( A(x) =0 và B(x)=0 ) Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều
kiện : A(x) =0 và B(x)=0
b. Phương pháp giải:
Tìm x thoả mãn cả hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0
c. Các ví dụ:
Tìm x , biết
2
1, x  2 + x  2 x =0
2
2, x  x +  x  1 x  2 =0
Bài giải
2
1, x  2 + x  2 x =0



x  2 =0 và x 2  2 x =0

+ Xét x  2 =0  x+2=0  x=-2 (1)
2
+ Xét x  2 x =0  x2 +2x=0  x(x+2) =0  x=0 hoặc x+2 =0  x=-2 (2)
Kết hợp (1)và (2)  x=-2
2
2, x  x +  x  1 x  2 =0
 x 2  x =0 và  x  1 x  2  =0
2
+ Xét x  x =0  x2 + x=0  x(x+1) =0  x=0 hoặc x+1 =0  x=-1 (1)
+ Xét  x  1 x  2 =0  ( x+1)(x-2) =0  x+1=0 hoặc x-2 =0
 x=-1 hoặc x=2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được x= -1
Lưu ý : Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh khi ghi kết luận giá trị tìm được thì giá
trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức A x  =0 và B x  =0
1.4.Dạng mở rộng
A x  = B  x  hay A x  - B  x  =0
a.Phân tích tìm phương pháp giải:
Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt ( vì đẳng thức luôn
xảy ra vì cả hai vế đều không âm) , từ đó các em tìm tòi hướng giải .
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được đấu giá trị tuyệt đối và
cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn . Có hai cách giải : Xét các trường hợp xảy ra
của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa ) và cách giải dựa vào tính chất 2 số đối nhau
có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) =-B(x) ( vì ở đây cả

21

hai vế đều không âm do A x  0 và B x  0). Để học sinh lựa chọn cách giải
nhanh ,gọn ,hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được
b. Phương pháp giải
Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá tị tuyệt đối ở cách
này ta đi lập bảng xét dấu của hai biểu thức A(x) và B(x)
Cách 2 : Dựa vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả
mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x)
c. Các ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm x ,biết x  4 = 2 x  1
Bài giải
Cách 1:
Bước 1 : Lập bảng xét dấu :
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức bậc nhất :
X +4 =0  x=-4 và 2x-1 =0  x=

1
2

Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn .
Ta có bảng sau:
1
x
-4
2

2X-1

-

X+4

-

0

0
+

+
+

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:
+,Với x<-4 ta có x+4 <0 và 2x-1<0
Nên x  4 =-(x+4) và 2 x  1 =-(2x-1)
Đẳng thức trở thành -(x+4)=-(2x-1) => x=5 ( không thỏa mãn)
1
2

+,Với -4 x< ta có: x+4 0 và 2x-1<0
Nên x  4 =x+4 và 2 x  1 =-(2x-1)
Đẳng thức trở thành
x+4 = -(2x-1) => x=-1 (thỏa mãn)
1
ta có x+4>0 và 2x-1>0
2
Nên x  4 =x+4 và 2 x  1 =(2x-1)

+, với x 

Đẳng thức trỏ thành : x+4 = 2x-1 => x=5 (thỏa mãn)

Vậy x=5 hoặc x=-1
x  4 = 2x  1
Cách 2:
 x+4 = 2x-1 hoặc x+4 =-(2x-1)
+ Xét x+4 = 2x-1  x=5
+ Xét x+4 =-(2x-1)  x+4 = -2x +1  x=-1
22


Vậy x=5 hoặc x=-1
Lưu ý: Qua hai cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi
cách giải . Ở cách giải 1, thao tác giải sẽ nhanh hơn , dễ dàng xét dấu trong các
khoảng giá trị hơn , nhất là các dạng chứa 3 ; 4 dấu giá trị tuyệt đối ( nên ý thức lựa
chọn cách giải)
Bài tập học sinh áp dụng
x 2 + x4 = 8
Ví dụ 2: Tìm x , biết
Bước 1 : Lập bảng xét dấu :
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức bậc nhất :
x-2=0  x=2 và x+4 =0  x=-4
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn .
Ta có bảng sau:

x

-4

x-2

-

X+4

-

2
-

0

0
+

+
+

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của
biến .Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp
với điều kiện để A >0 ( ví dụ -4  x<2)
Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau :
+ Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0
nên x  2 = 2-x và x  4 = -x-4
Đẳng thức trở thành 2-x -x-4 = 8
 -2x = 10
 x=-5 ( thoả mãn x< -4)
+ Nếu -4  x<2 ta có x  2 = 2-x và x  4 = x+4
Đẳng thức trở thành 2-x +x+ 4 = 8
0x= 2 (vôlí )
+ Nếu x 2 ta có x  2 =x-2 và x  4 = x+4
Đẳng thức trở thành

x-2 + x+4 = 8
2x = 6
x = 3 (thoả mãn x 2 )
Vậy x=-5 ; x=3
Ví dụ 3 : Tìm x ,biết
x  1  3 x  3  5 x  6 8 (1)
Với bài này ta không thể giải theo cách 2 được vì có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
nên ta phải giải giải bằng cách 1 (lập bảng xét dấu ).
x

1

3

6
23


x-1

-

x-3

0

+

-

x-6

-

0
-

+

+

+
-

+
+

0

+ Nếu x<1 thì (1)  1-x +3x-9 +30 -5x =8  x=14/3 (loại)
+ Nếu 1 x<3 thì (1)  x-1 +3x-9 +30 -5x =8  x=6 (loại)
+ Nếu 3 x<6 thì (1)  x-1 -3x+9 +30 -5x =8  x=30/7 (thoả mãn )
+ Nếu x 6 thì (1)  x-1 -3x +9 +5x -30 =8  x=10 (thoả mãn )
Vậy x= 30/7 ; x=10
Tuy nhiên với cách 1 sẽ dể mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng ,nên khi xét dấu
các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng quy
tắc lập bảng . Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp “ ” trong
khi xét các trường hợp xảy ra để thoả mãn biểu thức 0 (tôi đưa ra ví dụ cụ thể để
khắc phục cho học sinh ).
x  4  x  9 5

Ví dụ 4 : Tìm x biết
Lập bảng xét dấu
4
9
x
x-4

-

x-9

0
-

+
-

+
0

+

+ Xét các trường hợp xảy ra , trong đó với x 9 thì đẳng thức trở thành
x-4 + x-9 =5
x = 9 thoả mãn x  9 , như vậy nếu không kết hợp với x = 9 để x-9 = 0 mà chỉ xét
tớí x > 9 để x-9 > 0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 9
Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này:
dạng lồng dấu ,dạng chứa từ ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
+ Xét 4  x <9 ta có x-4 +9-x = 5  0x = 0 thoả mãn với mọi x sao cho 4 x<9
 x = 4 (loại)

+ Xét x < 4 ta có 4-x+9-x = 5
Vậy 4 x 9
1.5. Dạng : A( x) < a (a là hằng số dương)
a. Phân tích tìm phương pháp giải :
Với những giá trị nào của A(x) thì thỏa mãn bất đẳng thức trên, từ đó học sinh biết
được rằng với –a< A(x) và A(x) b.Phương pháp giải : Để A( x) < a thì –a< A(x) và A(x) c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết: 10 x  7 < 37
10 x  7 < 37

x  7 37
�  10
10 x  7 37

=>



x 4,4
x 3

Vậy -4,4 < x< 3
24


Ví dụ 2: Tìm x biết: 3  8x �19
=> -19 �3-8x �19 => -2 �x �11/4
1.6. Dạng : A( x) > a (a là hằng số dương)
a. Phân tích tìm phương pháp giải :

Với những giá trị nào của A(x) thì thỏa mãn bất đẳng thức trên, từ đó học sinh biết
được rằng với A(x) < -a hoặc A(x) > a thì A( x) > a
b. Phương pháp giải : Để A( x) > a thì A(x) < -a hoặc A(x) > a
c.Các ví dụ:
Ví dụ: Tìm x biết: 15 x  1  31
-Áp dụng cách giải trên
15 x  1  31 => 15x-1< -31 hoặc 15x-1>31
=> x<-2 hoặc x> 32/15
1.7.Dạng tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất :
* Dạng f(x) = M - A(x)
Vì A(x)  0 nên f(x)  M. Do đó maxf = M. Khi A(x) = 0.
*Dạng f(x) = A(x) + m ,
Vì A(x) nên f(x)  m. Do đó minf = m. Khi A(x) = 0.
Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự.
* Dạng f(x) = mx  a + mx  b
Áp dụng tính chất 2 ta có mx  a + mx  b = mx  a + b  mx 
mx  a  b  mx = b  a
Suy ra minf = b  a khi (mx – a) (b – mx)  0.
M ( x)

* Dạng f(x) = A( x)  b , f(x) = A(x) + B(x).
Ta nên xét từng khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức
trong các khoản ấy để tìm GTLN, GTNN.
Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 100 - x  5 có giá trị lớn nhất. Tìm
GTLN đó.
Giải: Với mọi x ta có x  5  0 nên 100 - x  5  100
Do đó maxA = 100 khi x + 5 = 0 hay x = - 5.
Vậy maxA = 100 khi x= -5.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 2 3x  6 - 4
Giải: Với mọi x, ta có 3x  6  0. Suy ra 2 3x  6  0 nên 2 3x  6 - 4  - 4.
Do đó min B = - 4 khi 3x – 6 = 0  x = 2.
Vậy minB = - 4 khi x=2
25