Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei ejy trong mô hình zee babu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ THỦY

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM
SỐ LEPTON THẾ HỆ ei → ej ek e¯l
TRONG MÔ HÌNH ZEE - BABU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ THỦY

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM
SỐ LEPTON THẾ HỆ ei → ej ek e¯l
TRONG MÔ HÌNH ZEE - BABU
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HÀ THANH HÙNG

HÀ NỘI, 2018


Lời cảm ơn
Đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. HÀ
THANH HÙNG đã trực tiếp hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu
và hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô đã tận tình chỉ dạy cho em trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô trong hội đồng bảo vệ đề
cương, hội đồng bảo vệ luận văn đã nhận xét, góp ý để luận văn của em
được hoàn thiện hơn.
Em xin gửi lời cảm ơn tới ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi để em được học tập, nghiên cứu tại
trường.
Xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Vật lý lý thuyết
và vật lý toán K20 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
cũng như ban lãnh đạo trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
đã tạo điều kiện và luôn khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2018
Học viên

Phạm Thị Thủy


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng những số liệu và kết quả nghiên cứu thu được

trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn
này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2018
Học viên

Phạm Thị Thủy


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu

1

1 Giới thiệu mô hình Zee - Babu

4

1.1

Tổng quan về mô hình chuẩn

. . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu . . . . . . . . . .

4

1.3

Khối lượng và trạng thái vật lý . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Kênh rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ej ek el
2.1
2.2

9

Các đỉnh tương tác của quá trình rã vi phạm số lepton
thế hệ ei → ej ek el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh . . . . . .

14

3 Khảo sát số

31

3.1

Thiết lập giới hạn tham số cho mô hình . . . . . . . . . .

31

3.2

Khảo sát số và so sánh với thực nghiệm . . . . . . . . . .

32

Kết luận

42

Danh mục các công trình

44

Tài liệu tham khảo

45


1

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài

Qua nghiên cứu có thể thấy mô hình chuẩn (SM) là một mô hình
vật lý hạt thành công nhất khi dự đoán khá chính xác các kết quả
thực nghiệm. Tuy nhiên, SM vẫn có một số hạn chế nhất định, các
neutrino đều có khối lượng bằng không và không có sự chuyển hóa
lẫn nhau giữa các thế hệ lepton. Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằng
neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và có sự chuyển hóa
lẫn nhau giữa các neutrino khác thế hệ. Sự chuyển hóa lẫn nhau
của các lepton trung hòa khác thế hệ chính là bằng chứng cho sự vi
phạm số lepton thế hệ trong thế giới hạt cơ bản. Điều này vượt ngoài
dự đoán của mô hình chuẩn vì mô hình chuẩn chỉ có neutrino trái,
hay phản neutrino phải hay số lepton luôn được bảo toàn, neutrino
luôn có khối lượng bằng 0. Năm 1998 các nhà nghiên cứu đã xác
định được sự dao động của neutrino, nghĩa là một neutrino của vị
này (ví dụ τ ) khi đi được một quãng đường đủ lớn có thể chuyển
thành neutrino của vị khác (ví dụ µ). Hiện tượng này chỉ được giải
thích khi neutrino có khối lượng phân bậc và trộn lẫn. Khối lượng
không bằng không của hạt neutrino đòi hỏi phải mở rộng SM. Hơn
nữa, trong quá trình tìm hiểu [4], [6], [7] chúng tôi thấy hệ số đỉnh
tương tác của các cặp lepton mang điện không thống nhất. Vì thế,


2

chúng tôi đã tập trung vào nghiên cứu mô hình đơn giản gọi là mô
hình Zee - Babu với việc bổ sung các trường vô hướng và kết hợp
sử dụng phương pháp lấy đạo hàm theo các toán tử trường để kiểm
nghiệm lại kết quả nghiên cứu trên. Chính vì vậy chúng tôi chọn
đề tài: "CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ

ei → ej ek e¯l TRONG MÔ HÌNH ZEE - BABU" làm đề tài nghiên
cứu cho luận văn.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu về khối lượng và trạng thái vật lý của các hạt lepton
thông qua mô hình đơn giản nhất là mô hình Zee - Babu.
• Tính tỉ lệ rã nhánh của các quá trình rã vi phạm số lepton thế
hệ ei → ej ek e¯l trong mô hình Zee - Babu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu mô hình Zee - Babu.
• Tính tỉ lệ rã nhánh của các quá trình rã vi phạm số lepton thế
hệ ei → ej ek e¯l trong mô hình Zee - Babu.
• Khảo sát số để thiết lập giới hạn tham số cho mô hình và so
sánh với thực nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu
• Các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ej ek e¯l trong
mô hình Zee - Babu.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Lý thuyết trường lượng tử.
• Tính số thông qua phần mềm Mathematica.


3

Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung của luận
văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Giới thiệu mô hình Zee - Babu
1.1. Tổng quan về mô hình chuẩn
1.2. Sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu
1.3. Khối lượng và trạng thái vật lý
Chương 2: Kênh rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ej ek e¯l

2.1. Các đỉnh tương tác của quá trình rã vi phạm số lepton thế
hệ ei → ej ek e¯l
2.2. Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh
Chương 3: Khảo sát số
3.1. Thiết lập giới hạn tham số cho mô hình
3.2. Khảo sát số và so sánh với thực nghiệm


4

Chương 1
Giới thiệu mô hình Zee - Babu
1.1

Tổng quan về mô hình chuẩn

Cách sắp xếp các hạt trong SM như bảng 1.1.
Bảng 1.1: Các quark và lepton trong SM
Thế hệ thứ nhất Thế hệ thứ hai Thế hệ thứ 3 Điện tích

1.2

e

µ

τ

-1

νe

νµ

ντ

0

u

c

t

d

s

b

2
3
- 31

Sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu

Trong SM:
ψaL = (νaL , laL )T ∼ (1, 2, −1), laR ∼ (1, 1, −2)

(1.1)

trong đó a = 1, 2, 3 tương ứng với chỉ số thế hệ e, µ, τ .
So với SM, mô hình Zee-Babu chứa thêm các đơn tuyến mang điện
đơn và đôi, ký hiệu tương ứng là h± ∼ (1, 1, ±1) và k ±± ∼ (1, 1, ±2).
Các thành phần này đủ để sinh các đóng góp bậc 1 vòng vào khối lượng


5

neutrino. Tương tác Yukawa mới trong mô hình có dạng:
j
i
LY = fab ψaL
CψbL

+
ij h

+ gab (laR ClbR ) k ++ + h.c.

(1.2)

trong đó: ψaL và laR lần lượt là lưỡng tuyến lepton trái và đơn tuyến
lepton phải của mô hình Zee - Babu trùng với SM.
Chỉ số a, b là các chỉ số thế hệ. Chỉ số i, j là các chỉ số thành phần
lưỡng tuyến của nhóm SU (2)L .
C là toán tử điện tích định nghĩa thành phần liên hợp điện tích:
T

(ψL )C ≡ CψL . Ta cũng có hệ thức thường sử dụng như sau: (ψL )C ≡

ψL C = ψ C PL .
Hệ số fab là hệ số phản xứng, fab = −fba và gab = gba là hệ số đối
xứng. Vì vậy, dạng khai triển Lagrangian trong phương trình (1.2) viết
được như sau:
LY = 2 feµ νeC µL − νµC eL + feτ νeC τL − ντC eL + fµτ νµC τL − ντC µL

h+

+ gee eC eR + gµµ µC µR + gτ τ τ C τR + 2geµ eC µR + 2gµτ µC τR + 2geτ µC τR k ++
+ h.c.

(1.3)

Như vậy, cách sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu bao gồm: các
lepton, các quark (giống mô hình chuẩn), vô hướng gồm một lưỡng tuyến
Higg giống mô hình chuẩn và mở rộng thêm hai đơn tuyến SU (2)L (một
vô hướng tích điện đơn h+ và một vô hướng tích điện đôi k ++ ), kết hợp
với cặp đôi lepton trái L và lepton đơn phải R của e tương ứng. Phần
lagrangian mới đóng góp cho mô hình Zee-Babu là:
C (iσ ) ψ h+ + g eC e k ++
LZB = Dµ h† Dµ h + Dµ k † Dµ k + fab ψaL
2
bL
ab a b

+ h.c. − VZB ,

(1.4)

trong đó VZB là hàm thế vô hướng, chứa các tương tác mới giữa các

trường vô hướng h, k và lưỡng tuyến Higgs trong SM:


6

VZB = mH2 H † H + mh2 |h|2 + mk2 |k|2 + λH H † H

2

+ λh |h|4

+ λk |k|4 + λhk |h|2 |k|2 + λhH |h|2 H † H + λkH |k|2 H † H
+ µh2 k ++ + h.c.

1.3

(1.5)

Khối lượng và trạng thái vật lý

Lagrangian của mô hình Zee-Babu có thể được phân chia thành 2
phần tương ứng với SM và phần mới thêm vào.
L = LSM + LZB .

(1.6)

Số hạng đầu tiên LSM là Lagrangian của mô hình chuẩn:
LSM = iψL D
/ψL + ieR D
/ laR + Y ψaL lbR H + h.c. + ...,

(1.7)

còn số hạng thứ hai là Lagrangian đặc trưng cho mô hình Zee- Babu có
dạng cụ thể như (1.6) và có hàm thế vô hướng như (1.5).
Trong mô hình chuẩn khi chưa phá vỡ đối xứng, các lepton có khối
lượng bằng không. Để cho chúng có khối lượng ta phải phá vỡ đối xứng
tự phát qua lưỡng tuyến Higgs.
H=

G+
W
ϕ0

∼ (2, 1)

(1.8)

Thực hiện khai triển quanh trị trung bình chân không (VEV) v,
1
ϕ0 = √ [v + h + iξ] ,
2
trong đó

√v
2

là trung bình chân không của trường ϕ0 . Hệ số

(1.9)

√1
2

là cần

thiết cho Lagrangian tự do của trường vô hướng thực h có hệ số bằng 12 .
v
0|ϕ0 |0 = √ .
2


7

Do mô hình Zee-Babu chỉ thêm vào các hạt có VEV bằng không, phổ
khối lượng và trạng thái vật lý của các hạt SM không thay đổi, trừ các
neutrino.
Trạng thái vật lý của các hạt Higgs mang điện mới: Xuất phát từ
biểu diễn hạt, trong mô hình có các Higgs tương ứng:
Higgs trung hòa: h
Các Higgs mang điện: h± , k ±±
Để tìm khối lượng Higgs mang điện, ta có thể viết lại lưỡng tuyến
Higgs như sau:
H=

=

G+
W

=

ϕ0
0
√v
2

+

G+
W
√1
2

G+
w
h+iξ
√
2

[v + h + iξ]
.

Khai triển số hạng thế năng (1.5) với trung bình chân không của
lưỡng tuyến Higgs
1
H =√
2
ta tính được H †

0

v

;

1
H† = √
2

0 v

H = 0 + v 2 = v 2 . Thay vào biểu thức thế Higgs ta

có:
VZB = mH2 v 2 + mh2 |h|2 + mk2 |k|2 + λH v 4 + λh |h|4
+ λk |k|4 + λhk |h|2 |k|2 + λhH |h|2 v 2 + λkH |k|2 v 2
+ µh2 k ++ + h.c. ,
VZB = mH2 v 2 + mh2 + λhH v 2 |h|2 + mk2 + λkH v 2 |k|2 + λH v 4
+ λh |h|4 + λk |k|4 + λhk |h|2 |k|2 + µh2 k ++ + h.c.

(1.10)


8

Từ (1.10), khối lượng vật lý được xác định như sau:
m2h+ = mh2 + λhH v 2
m2k++ = mk2 + λkH v 2
Tất cả các trạng thái riêng khối lượng, hay trạng thái riêng vật lý của
các Higgs đều trùng với trạng thái ban đầu. Chương tiếp theo chúng tôi
sẽ sử dụng các kết quả này để tính các quá trình rã LFV.

9

Chương 2
Kênh rã vi phạm số lepton thế hệ
ei → ej ek el
2.1

Các đỉnh tương tác của quá trình rã vi phạm
số lepton thế hệ ei → ej ek el

Như đã xét ở trên, tương tác Yukawa trong mô hình Zee-Babu được
tách thành 2 phần của SM và phần ngoài SM:
LY = LSM
+ LZB
Y
Y ,

(2.1)

Các lepton đều thuộc SM và được ký hiệu là,
ψaL =

νaL
eaL

∼ (1, 2, −1) ; eaR ∼ (1, 1, −2) .

(2.2)

Trong biểu thức (1.4), phần lagrangian tương tác Yukawa chỉ có trong
mô hình Zee - Babu là:
+
++
C
C
LZB
+ h.c.
Y = fab (ψaL ) (iσ2 ) ψbL h + gab laR lbR k
T

(2.3)

Trong đó: ψaL - lưỡng tuyến của lepton, ψL = Cψ như đã thảo luận
trong phần trên.
laR - đơn tuyến của lepton.


10

a, b - chỉ số thế hệ.
fab - hệ số phản xứng (fab = −fba ).
gab - hệ số đối xứng (gab = gba ).
0 −i
σ2 - ma trận Pauli; σ2 =
.
i 0
Khai triển Lagrangian tương tác trong phương trình (2.3) với:
νeL

Thế hệ 1: ψeL =
; leR ≡ eR ; (ψeL )C = (νeL )C (eL )C
eL

;

(leL )C ≡ (eL )C = eC PL ; (leR )C ≡ (eR )C = eC PR .
νµL
Thế hệ 2: ψµL =
; lµR ≡ µR ; (ψµL )C = (νµL )C (µL )C
µL
(lµL )C ≡ (µL )C ; (lµR )C ≡ (µR )C = µC PR
ντ L
Thế hệ 3: ψτ L =
; lτ R ≡ τR ; (ψτ L )C = (ντ L )C (τL )C
τL

;

;

(lτ L )C ≡ (τL )C ; (lτ R )C ≡ (τR )C = τ C PR
Để giải quyết vấn đề về khối lượng neutrino, trong mô hình Zee Babu thêm hai hạt vô hướng (một tích điện đơn h± và một tích điện đôi
k ±± ). Tuy nhiên, quá trình vật lý đang xét chỉ liên quan đến đóng góp
của hạt vô hướng tích điện đôi k ±± . Vì vậy, khi khai triển phương trình
(2.3) chúng tôi chỉ khai triển các thành phần k ±± .
+
++
C
C

C
C
LZB
Y = fab (ψaL ) ψbL h + gee (eL ) eR + gµµ (µL ) µR + gτ τ (τL ) τR k

+ geµ (eL )C µR + gµe (µL )C eR k ++ + geτ (eL )C τR + gτ e (τL )C eR k ++
+ gµτ (µL )C τR + gτ µ (τL )C µR k ++ + h.c.
Áp dụng các hệ thức: (eL )C eR =

(2.4)

eC PR (PR e) = eC PR e; (eL )C =

eC PR . Khi đó:
+
++
C
C
C
C
LZB
Y = fab (ψaL ) ψbL h + gee e PR e + gµµ µ PR µ + gτ τ τ PR τ k

+ geµ eC PR µ + gµe µC PR e k ++ + geτ eC PR τ + gτ e τ C PR e k ++


11

+ gµτ µC PR τ + gτ µ τ C PR µ k ++ + h.c.

(2.5)

Sử dụng hệ thức ψaC PR ψb = ψbC PR ψa và tính chất đối xứng của ma
trận gab , ta thu được:
+
++
C
C
C
C
LZB
Y = fab (ψaL ) ψbL h + gee e PR e + gµµ µ PR µ + gτ τ τ PR τ k

+ 2geµ eC PR µk ++ + 2geτ eC PR τ k ++ + 2gµτ µC PR τ k ++ + h.c.

(2.6)

Khai triển phương trình (2.6) có xét đến thành phần liên hợp phức
∗
của gab aC PR bk ++ là gab
bPL aC k −− ta thu được:
+
++
∗
C
C
LZB
+ gee
ePL eC k −− + gµµ µC PR µk ++
Y = fab (ψaL ) ψbL h + gee e PR ek

∗
+ gµµ
µPL µC k −− + gτ τ τ C PR τ k ++ + gτ∗τ τ PL τ C k −− + 2geµ eC PR µk ++
∗
∗
µPR eC k −− + 2geτ eC PR τ k ++ + 2geτ
τ PL eC k −− + 2gµτ µC PR τ k ++
+ 2geµ
∗
+ 2gµτ
τ PL µC k −− .

(2.7)

Tiếp theo chúng tôi tính hệ số đỉnh tương tác các trường bằng cách
lấy đạo hàm theo toán tử trường. Vì trong Lagrangian tương tác giữa
các lepton giống nhau chứa ba toán tử trường, nên ta lấy đạo hàm ba
lần theo các toán tử trường. Mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có thêm một
đường tương ứng trong phần đỉnh, đường fermion ra với chỉ số α, đường
fermion vào với chỉ số β [1].
Chúng ta xét đỉnh tương tác trong (2.7)
∗
LeeC k−− = gee
e¯PL eC k −−

Đỉnh tương tác được xác định theo đạo hàm ba trường tương ứng như
sau:
i∂ 3
∂(eC )β ∂(¯
e)α ∂k −−

=
=

∗
gee
e¯PL eC k −−

i∂ 3
∂(eC )β ∂(¯
e)α ∂k −−
∗ 2
igee
∂

∂(eC )β ∂(¯
e)α

∗
gee
(¯
e)α (PL C)αβ (¯
e)β k −−

(¯
e)α (PL C)α β (¯
e)β


12

=

∗
igee

∗
= igee
∗
= igee
∗
= igee
∗
= igee
∗
= igee

e)β
∂ (¯
e)α
α
β
α
β ∂ (¯
(¯
e) (PL C)α β (¯
e) + (¯
e) (PL C)α β (¯
e)
∂ (¯
e)α

(¯
e)α

∂
∂(eC )β
∂

e)β + (¯
e)α (PL C)α β δαβ
δαα (PL C)α β (¯

∂(eC )β
∂

(PL C)αβ (¯
e)β + (¯
e)α (PL C)α α

∂(eC )β
∂
∂(eC )β
∂

[(PL C e¯)α + (¯
ePL C)α ]

∂(eC )β
∂
∂(eC )β

PL e C

α

+ e C PL

(PL )αα eC

α

α

+ eC

α

(PL )α α

∗
= igee
(PL )αβ + (PL )βα

Như vậy, khi xét với trường hợp tương tác của hai hạt giống nhau thì
δαα = 1 (α = α ) ; δαβ = 1 (β = α) và sau khi lấy đạo hàm theo các toán
tử trường chúng tôi xác định được hệ số đỉnh tương tác:
→

i∂ 3
∂(eC )β ∂(¯
e)α ∂k −−

∗
∗
gee
e¯PL eC k −− = 2igee
(PL )αβ .

(2.8)

trong đó có sử dụng một số hệ thức:
eC = C e¯T = C e† γ 0

T

= Cγ 0 e†

T

.

Để vẽ giản đồ Feynman, chúng tôi áp dụng qui tắc Feynman được
định nghĩa trong tài liệu [12]. Theo qui tắc này đường fermion của eC
tương ứng với đường truyền hạt mang điện +e và số lepton −1, ngược
với qui ước thông thường của hàm truyền electron.
Tương tự, chúng ta có thể xác định được hệ số đỉnh của các đỉnh
tương tác sau:
∗
∗
LµµC k−− = gµµ
µ

¯PL µC k −− có hệ số đỉnh là 2igµµ
(PL )αβ

Lτ τ C k−− = gτ∗τ τ¯PL τ C k −− có hệ số đỉnh là 2igτ∗τ (PL )αβ


13

(e )
c



ig

k



(e)



Hình 2.1: Đỉnh tương tác

Từ (2.7), làm tương tự các bước chi tiết như trên, chúng tôi xác định
được các đỉnh và hệ số đỉnh tương tác của các lepton với Higgs mang
điện đôi cho trong bảng 2.1.
Bảng 2.1: Các đỉnh tương tác Yukawa lepton với k ++
Đỉnh

Hệ số đỉnh
Đỉnh
Hệ số đỉnh
gee eC PR ek ++

2igee PR

∗
gee
ePL eC k −−

∗
PL
2igee

gµµ µC PR µk ++

2igµµ PR

∗
gµµ
µPL µC k −−

∗
2igµµ
PL

gτ τ τ C PR τ k ++

2igτ τ PR

gτ∗τ τ PL τ C k −−

2igτ∗τ PL

2geµ eC PR µk ++

2igeµ PR

∗
2geµ
µPL eC k −−

∗
2igeµ
PL

2geτ eC PR τ k ++

2igeτ PL

∗
2geτ
τ PL eC k −−

∗
2igeτ
PL

2gµτ µC PR τ k ++

2igµτ PR

∗
2gµτ
τ PL µC k −−

∗
PL
2igµτ

Nhận xét: Các đỉnh tương tác với hai lepton giống nhau được tính
trong luận văn này trùng với kết quả có trong tài liệu [6], nhưng khác với
tài liệu [4]. Chúng tôi đã kiểm tra bằng cách tính chi tiết hệ số đỉnh theo
phương pháp đã trình bày ở trên. Qui tắc Fyenman được dùng trong
luận văn này cho phép các đường fermion đi theo 1 chiều, thuận lợi cho
các bước tính biên độ theo đúng qui ước ngược chiều đường fermion.


14

2.2

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh

Trong mục này, chúng tôi sẽ tiến hành vẽ chi tiết giản đồ Feynman
cho từng quá trình rã cLFV cụ thể, từ đó tính trực tiếp biên độ và tỉ
lệ rã nhánh cLFV. Cuối cùng, các kết quả sẽ được tổng quát hoá và so
sánh với các kết quả đã công bố.
Giản đồ Feynman

Áp dụng các quy tắc Feynman trong mô hình chuẩn, chúng tôi xác
định được các giản đồ Feynman cho các quá trình cụ thể ở các hình 2.2,
2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, và 2.9.



 

e e

e e


C



P3

P2

 ( )

C



P1

k





 

e e

Hình 2.2: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh τ − → e− e− e+


15



 

e e

e e


C

P3

P2

 ( )



C



k

P1





 

e e

Hình 2.3: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh µ− → e− e− e+



 

e e

e e


C



P3

P2

 ( )

C



P1

k



 

 


Hình 2.4: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh τ − → e− µ− e+


16



 

e e

 


C



P3

P2

 ( )

C



k

P1

 

 





Hình 2.5: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh τ − → µ− µ− e+

 

 


C



C



P3

P2

 ( )

e e



P1

k







e e

Hình 2.6: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh τ − → e− e− µ+


17

 

 


C



C



P3

P2

 ( )

e e



k

P1

 

 





Hình 2.7: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh τ − → e− µ− µ+

 

 


C





C

P3

P2

 ( )

 



P1

k



 

 


Hình 2.8: Giản đồ Feynman cho quá trình rã nhánh τ − → µ− µ− µ+

18

Phần tính biên độ và tỉ lệ rã nhánh được minh hoạ cụ thể
như sau:
Quá trình rã nhánh τ − → e− e− e+

Qui tắc cho xung lượng, spin và spinor tương ứng với các trạng thái
đầu và cuối cho trong bảng 2.2.
Hạt và phản hạt

Xung lượng

Spin

Spinor

−

p1

s1

u1 (p1 , s1 )

e−

p3

s3

v3 (p3 , s3 )

e−

p4

s4

u4 (p4 , s4 )

+

p2

s2

u2 (p2 , s2 )

τ

e

Bảng 2.2: Kí hiệu xung lượng, spin và spinor của quá trình rã nhánh τ − → e− e− e+

Từ giản đồ hình 2.2 ta có:
Hệ số đỉnh 1: 2igeτ PR
∗
PL

Hệ số đỉnh 2: 2igee

Biểu thức hàm truyền Higgs mang điện đôi là:
i
k 2 − m2k++

.

Biên độ tán xạ lúc này viết được như sau:
∗
Mf i = u4 (p4 , s4 ) (2igee
PL ) v3 (p3 , s3 )

i
k 2 − m2k++

× u2 (p2 , s2 ) (2igeτ PR ) u1 (p1 , s1 )
−4i
∗
= 2
[u4 (p4 , s4 ) (gee
PL ) v3 (p3 , s3 )]
2
k − mk++
× [u2 (p2 , s2 ) (geτ PR ) u1 (p1 , s1 )]
∗
−4igee
geτ
= 2
[u4 (p4 , s4 ) PL v3 (p3 , s3 )] [u2 (p2 , s2 ) PR u1 (p1 , s1 )] ,

k − m2k++
∗
(−4igee
geτ )∗
∗
Mf i = 2
[u4 (p4 , s4 ) PL v3 (p3 , s3 )]∗ [u2 (p2 , s2 ) PR u1 (p1 , s1 )]∗
2
k − mk++


19

Chúng ta có thể chứng minh được [10]:
[u4 PL v3 ]∗ = u†4 γ 0 PL v3

†

= v3† (PL )† γ 0 u4 = v3† PL γ 0 u4 ,

= v3† γ 0 PR u4 = v3 PR u4
[u2 PR u1 ]∗ = u†2 γ 0 PR u1

†

= u†1 (PR )† γ 0 u2 = u†1 PR γ 0 u2

= u†1 γ 0 PL u2 = u1 PL u2 .

(2.9)

Ở đây ta đã sử dụng một số hệ thức: ua = u†a γ 0 ; PL = (PL )† ; PR = (PR )†
và PL γ 0 = γ 0 PR ; PR γ 0 = γ 0 PL . Như vậy:
[u4 (p4 , s4 ) PL v3 (p3 , s3 )]∗ = [v4 (p3 , s3 ) PR u3 (p4 , s4 )]
[u2 (p2 , s2 ) PR u1 (p1 , s1 )]∗ = [u1 (p1 , s1 ) PL u2 (p2 , s2 )]
Khi đó:
Mf∗i

∗
geτ
4igee
= 2
[v3 (p3 , s3 ) PR u4 (p4 , s4 )] [u1 (p1 , s1 ) PL u2 (p2 , s2 )]
k − m2k++

|Mf i |2 = Mf∗i Mf i
=

∗
geτ )2
16 (gee

k 2 − m2k++

2

[v3 (p3 , s3 ) PR u4 (p4 , s4 )] [u1 (p1 , s1 ) PL u2 (p2 , s2 )]

× [u4 (p4 , s4 ) PL v3 (p3 , s3 )] [u2 (p2 , s2 ) PR u1 (p1 , s1 )]
=

∗
16 (gee
geτ )2

k 2 − m2k++

2

[u4 (p4 , s4 ) PL v3 (p3 , s3 )] [v3 (p3 , s3 ) PR u4 (p4 , s4 )]

× [u2 (p2 , s2 ) PR u1 (p1 , s1 )] [u1 (p1 , s1 ) PL u2 (p2 , s2 )]
=

∗
16 (gee
geτ )2

k 2 − m2k++

2

[u4 (p4 , s4 ) PL ( p3 − me ) PR u4 (p4 , s4 )]

× [u2 (p2 , s2 ) PR ( p1 + mτ ) PL u2 (p2 , s2 )]
=

∗
16 (gee
geτ )2

k 2 − m2k++

2

[u4 (p4 , s4 ) PL p3 u4 (p4 , s4 ) − me u4 (p4 , s4 ) PL PR u4 (p4 , s4 )]

× [u2 (p2 , s2 ) PR p1 PL u2 (p2 , s2 ) + mτ u2 (p2 , s2 ) PR PL u2 (p2 , s2 )]


20

trong đó ta đã sử dụng các hệ thức p3 PR = PL p3 , p1 PL = PR p1 và
PL PR = 0. Khi đó:
2

|Mf i | =

∗
geτ )2
16 (gee

k 2 − m2k++

2

[u4 (p4 , s4 ) PL p3 u4 (p4 , s4 )]

× [u2 (p2 , s2 ) PR p1 u2 (p2 , s2 )] .

(2.10)

Do mỗi thừa số trong ngoặc vuông là 1 số nên ta có thể thay bằng vết để
thực hiện các phép hoán vị ma trận trong (2.10) mà kết quả tính không
thay đổi. Cụ thể là:
2

|Mf i | =

∗
16 (gee
geτ )2

k2

−

2 Tr [u4 (p4 , s4 ) PL
2
mk++

p3 u4 (p4 , s4 )]

× Tr [u2 (p2 , s2 ) PR p1 u2 (p2 , s2 )]
2

|Mf i | =

∗
geτ )2

16 (gee

k2

−

2 Tr [u4 (p4 , s4 ) u4 (p4 , s4 ) PL
2
mk++

p3 ]

× Tr [u2 (p2 , s2 ) u2 (p2 , s2 ) PR p1 ]
=
=

∗
geτ )2
16 (gee

Tr [( p4 + me ) PL p3 ] Tr [( p2 + me ) PR p1 ]

2
− m2k++
∗
16 (gee
geτ )2
2 Tr [
k 2 − m2k++

k2

p4 PL p3 ] Tr [ p2 PR p1 ]

(2.11)

Ta có:
1 + γ5
1 − γ5
; PR =
,
2
2
1 − γ5
p3 ] = T r p4
p3 = T r
2
1
= 4. .p4 .p3 = 2(p4 .p3 ),
2
1 + γ5
p1 ] = T r p 2
p1 = T r
2
1
= 4. (p2 .p1 ) = 2(p2 .p1 ).
2
PL =

T r [ p4 P L

T r [ p 2 PR

1
γ5
p4 p 3 − T r p4
p3
2
2

1
γ5
p2 p1 + T r p2
p1
2
2