Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM
CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội – Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM

CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 9440107

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên
2. PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành

Hà Nội - Năm 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả
được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ
công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Trần Thị Thơm

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn
Đình Kiên và PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến
các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện Luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo

điều kiện của tập thể Lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Học viện
Khoa học và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; tập thể
Ban lãnh đạo, cán bộ Viện Cơ học. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về những
sự giúp đỡ đó.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn,
Viện Cơ học; anh chị em trong nhóm Seminar đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho
tôi trong quá trình thực hiện Luận án.
Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia
sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này.
Tác giả Luận án
Trần Thị Thơm

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2.1. Phương pháp CPVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2.2. Phương pháp PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Phân tích dầm 2D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4. Nghiên cứu dầm FGM trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5. Định hướng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6. Điểm mới của Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1. Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Lý thuyết dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Phương trình dựa trên FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.3. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

iii


iv

2.4. Phương trình dựa trên ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.5. Ứng suất nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.6. Thế năng của lực ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.7. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.8. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.8.1. Điều kiện biên về lực và mô-men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.8.2. Điều kiện biên về chuyển vị và góc quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Chương 3. Mô hình phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1. Mô hình phần tử dầm FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.1. Mô hình phần tử FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1.2. Mô hình phần tử FBHi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4. Phương trình chuyển động rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.5. Thuật toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.5.1. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.5.2. Phương pháp gia tốc trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.5.3. Véc-tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.5.4. Quy trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.1.3. So sánh các mô hình phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71


v

4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.2.1.4. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.2.1.5. Mode dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.2.2. Dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2.2.1. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2.2.2. Ảnh hưởng của tham số thiết diện và dạng thon. . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.3. Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.3.1. Ảnh hưởng của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.3.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Danh mục công trình liên quan tới Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123


DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Các kí hiệu thông thường
A0

Diện tích thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

A(x)

Diện tích thiết diện ngang

A11

Độ cứng dọc trục

A12

Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22

Độ cứng chống uốn

A33

Độ cứng chống trượt (Dùng trong FSDT)

A34

Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo

A44

Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn

A66

Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao

B11 , B22 , B44

Các độ cứng chống trượt (Dùng trong ITSDT)

b(x)

Chiều rộng dầm thon

c

Tham số thiết diện

Dd

Tham số động lực học

EC1

Mô-đun đàn hồi của gốm 1

EC2

Mô-đun đàn hồi của gốm 2

EM1

Mô-đun đàn hồi của kim loại 1

EM2

Mô-đun đàn hồi của kim loại 2

E(x, z)

Mô-đun đàn hồi hiệu dụng

GC1

Mô-đun trượt của gốm 1

GC2

Mô-đun trượt của gốm 2

GM1

Mô-đun trượt của kim loại 1

GM2

Mô-đun trượt của kim loại 2

G(x, z)

Mô-đun trượt hiệu dụng

h

Chiều cao dầm

h(x)

Chiều cao dầm thon
vi


vii

I

Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I0

Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

I(x)

Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I11

Mô-men khối lượng dọc trục

I12

Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay

I22

Mô-men khối lượng xoay của thiết diện ngang

I34 , I44 , I66

Mô-men khối lượng bậc cao

l

Chiều dài một phần tử

L

Chiều dài dầm

n

Tham số vật liệu của dầm 1D-FGM

nx

Tham số vật liệu theo chiều dài

nz

Tham số vật liệu theo chiều cao

nE

Số lượng phần tử rời rạc của dầm

P

Độ lớn lực di động

P

Tính chất hiệu dụng

PC1

Tính chất vật liệu của gốm 1

PC2

Tính chất vật liệu của gốm 2

PM1

Tính chất vật liệu của kim loại 1

PM2

Tính chất vật liệu của kim loại 2

T

Động năng

U

Năng lượng biến dạng

UB

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

UT

Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt

V

Thế năng của lực di động

L

Phiếm hàm Lagrange

VC1

Tỷ phần thể tích của gốm 1

VC2

Tỷ phần thể tích của gốm 2

VM1

Tỷ phần thể tích của kim loại 1


viii

VM2

Tỷ phần thể tích của kim loại 2

s

Quãng đường lực P đi được

T

Nhiệt độ môi trường

T0

Nhiệt độ tham chiếu (300K ∼ 27◦ C)

u(x, z,t)

Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì

u0 (x,t)

Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt giữa

v

Vận tốc lực di động

w(x, z,t)

Chuyển vị ngang của điểm bất kì

w0 (x,t)

Chuyển vị ngang của điểm trên mặt giữa

wst

Độ võng tĩnh tại giữa dầm

Véc-tơ và ma trận
d

Véc-tơ chuyển vị nút phần tử

D

Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể

˙
D

Véc-tơ vận tốc nút tổng thể

¨
D

Véc-tơ gia tốc nút tổng thể

Fex

Véc-tơ lực nút tổng thể

Fef

Véc-tơ lực nút hiệu dụng

Nu

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ

Ma trận các hàm nội suy cho góc quay θ

Nγ

Ma trận các hàm nội suy cho góc trượt ngang γ0

K

Ma trận độ cứng tổng thể

Kef

Ma trận độ cứng hiệu dụng

M

Ma trận khối lượng tổng thể

Chữ cái Hy Lạp

α

Hệ số giãn nở nhiệt của dầm

αC1

Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 1


ix

αC2

Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 2

αM1

Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 1

αM2

Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 2

γ0

Góc trượt ngang

θ (x,t)

Góc quay của thiết diện ngang

ψ

Hệ số điều chỉnh trượt

ωi

Tần số tự nhiên thứ i của dầm

ω1

Tần số tự nhiên cơ bản

µi

Tham số tần số thứ i

µ1

Tham số tần số cơ bản

∆T

Sự tăng của nhiệt độ

∆t

Bước thời gian

∆T ∗

Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

εxx

Biến dạng dọc trục

γxz

Biến dạng trượt

σxx

Ứng suất dọc trục (ứng suất pháp)

T
σxx

Ứng suất nhiệt ban đầu

τxz

Ứng suất trượt (ứng suất tiếp)

ρ

Mật độ khối (khối lượng riêng) hiệu dụng của dầm

ρC1

Mật độ khối của gốm 1

ρC2

Mật độ khối của gốm 2

ρM1

Mật độ khối của kim loại 1

ρM2

Mật độ khối của kim loại 2

νC1

Hệ số Poisson của gốm 1

νC2

Hệ số Poisson của gốm 2

νM1

Hệ số Poisson của kim loại 1

νM2

Hệ số Poisson của kim loại 2

Chữ viết tắt

x

CBT

Lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory)

CPVP

Cầu phương vi phân

FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material)

FSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất
(First-order Shear Deformation Theory)

ITSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến
(Improved Third-order Shear Deformation Theory)

FBHi

Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy thứ bậc
(First-order Beam element using Hierarchical shape functions)

FBKo

Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy Kosmatka
(First-order Beam element using Kosmatka interpolation)

PTHH

Phần tử hữu hạn

TBSθ

Mô hình phần tử ITSDT sử dụng θ là hàm độc lập
(Third-order Beam element based on Shi theory using θ )

TBSγ

Mô hình phần tử ITSDT sử dụng γ0 là hàm độc lập
(Third-order Beam element based on Shi theory using γ0 )

TSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba
(Third-order Shear Deformation Theory)


Danh sách hình vẽ
Hình 2.1

Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Hình 2.2 Sự thay đổi tỷ phần thể tích của C1 và C2 theo chiều cao và

chiều dài dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Hình 2.3

Biến thiên của mô-đun đàn hồi theo chiều cao và chiều dài dầm . . . 21

Hình 2.4

Biến thiên của mật độ khối theo chiều cao và chiều dài dầm . . . . . 22

Hình 2.5 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm 2D-FGM
với nx = nz = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Hình 2.6

Mô hình dầm thon 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Hình 3.1

(a) Các hàm dạng thứ bậc, (b) Các bậc tự do của phần tử dầm thứ bậc 48

Hình 3.2 Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong
môi trường nhiệt độ sử dụng mô hình TBSγ . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Hình 3.3 Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM chịu
lực di động sử dụng mô hình FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Hình 4.1 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên
của dầm S-S với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Hình 4.2 Sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa
giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Hình 4.3 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên
của dầm C-C với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Hình 4.4 Tham số tần số cơ bản của dầm C-C với các giá trị khác nhau

của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Hình 4.5 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên
của dầm C-F với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Hình 4.6 Tham số tần số cơ bản của dầm C-F với các giá trị khác nhau
của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá
trị L/h khác nhau (∆T = 50K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.8 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với
∆T = 0K: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0.5) . . . . . . . . . . 85

xi


xii

Hình 4.9 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với
∆T = 50K: (a) (nx , nz ) = (1, 0.1), (b) (nx , nz ) = (1, 2) . . . . . . . . . . . 85
Hình 4.10 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với
∆T = 50K: (a) (nx , nz ) = (0.1, 1), (b) (nx , nz ) = (2, 1) . . . . . . . . . . . 86
Hình 4.11 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-F
với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Hình 4.12 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon S-S
với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.13 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-C
với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản
của dầm thon C-F: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c)
(nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Hình 4.15 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản
của dầm thon S-S: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c)

(nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Hình 4.16 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản
của dầm thon C-C: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c)
(nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Hình 4.17 Mối liên hệ của độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm theo
thời gian với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu: (a) (nx , nz ) =
(1/3, 1/3), (b) (nx , nz ) = (3, 3), (c) (nx , nz ) = (0, 3), (d) (nx , nz ) = (3, 0) . 97
Hình 4.18 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc lực di động:
(a) nz = 1/3, nx thay đổi; (b) nx = 1/3, nz thay đổi . . . . . . . . . . . . . 98
Hình 4.19 Sự thay đổi của tham số động lực học với các tham số vật liệu . . . . 98
Hình 4.20 Phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại
giữa dầm với v = 100 m/s: (a) nz = 1/3, nx thay đổi, (b) nx = 1/3, nz
thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Hình 4.21 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc của lực di
động với các giá trị L/h khác nhau: (a) nx = nz = 1/3, (b) nx = nz = 3. . . 101


Danh sách bảng
Bảng 2.1

Tính chất các vật liệu thành phần của dầm 2D-FGM . . . . . . . . . 22

Bảng 2.2

Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của vật liệu thành phần . . . . . . 23

Bảng 4.1 Sự hội tụ của các mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần
số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bảng 4.2 Sự hội tụ của mô hình phần tử TBSθ trong đánh giá tham số
tần số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bảng 4.3 Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ
bản của dầm thon 2D-FGM (Dạng thon C) . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và
Al2 O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Bảng 4.5 So sánh tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm, max(Dd ),
và vận tốc tương ứng của dầm 1D-FGM tạo bởi SUS304 và Al2 O3 . . . . 68
Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM trong môi
trường nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Bảng 4.7 So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm thon 1D-FGM với cơ
tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Bảng 4.8 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm S-S 2D-FGM dựa trên
các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bảng 4.9 So sánh tham số động lực học của dầm S-S 2D-FGM dựa trên
các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Bảng 4.10 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên tham số tần số cơ bản µ1
cho dầm S-S với ∆T = 0K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bảng 4.11 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 20K . . . . . . . . 76
Bảng 4.12 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 40K . . . . . . . . 76
Bảng 4.13 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 80K . . . . . . . . 77
Bảng 4.14 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 0K . . . . . . . . 78
Bảng 4.15 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 20K . . . . . . . 79
Bảng 4.16 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 40K . . . . . . . 79
Bảng 4.17 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 80K . . . . . . . 79
Bảng 4.18 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 0K . . . . . . . . 81
xiii


xiv

Bảng 4.19 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 20K . . . . . . . 81

Bảng 4.20 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 40K . . . . . . . 81
Bảng 4.21 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 50K . . . . . . . 82
Bảng 4.22 Tham số tần số µ1 của dầm thon C-F với các giá trị khác nhau
của (nx , nz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Bảng 4.23 Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị khác nhau
của (nx , nz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bảng 4.24 Tham số tần số µ1 của dầm thon C-C với các giá trị khác nhau
của (nx , nz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bảng 4.25 Ảnh hưởng của sự thay đổi tham số vật liệu tới tham số tần số
của dầm đều và dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Bảng 4.26 Tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F với các giá trị L/h0
khác nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Bảng 4.27 Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị L/h0 khác
nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bảng 4.28 Tham số động lực học của dầm 2D-FGM với các giá trị khác
nhau của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Bảng 4.29 Tham số động lực học lớn nhất và tốc độ của lực di động với
các giá trị khác nhau của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM), một
loại composite thế hệ mới, được sử dụng ngày càng nhiều để chế tạo các phần tử kết
cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, có tính mài mòn và
ăn mòn lớn. Sự kết hợp giữa gốm có độ bền cao, tỷ trọng thấp với kim loại có độ
dai và khả năng chịu va đập tốt giúp FGM có nhiều ưu điểm so với các loại vật liệu
truyền thống. Đặc biệt, FGM không có các nhược điểm thường gặp trong các vật liệu
composite phân lớp như sự tách lớp và tập trung ứng suất. Các nghiên cứu gần đây chỉ
ra rằng các đáp ứng động lực học của dầm FGM được cải thiện đáng kể nhờ việc lựa

chọn hợp lý tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần.
Dao động của kết cấu là bài toán quan trọng trong lĩnh vực cơ học, được nhiều
nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều kết quả nghiên cứu về dao động của
dầm FGM, sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, đã được công bố
trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, phần lớn các công bố này liên quan tới dầm có cơ
tính biến đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài dầm. Trong nhiều tình huống
thực tế, kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có thể chịu các tải trọng cơ,
nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Tối ưu hóa độ bền và trọng lượng kết
cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của FGM theo nhiều
hướng không gian khác nhau là vấn đề có ý nghĩa thực tế, được các nhà khoa học trên
thế giới, đặc biệt ở Nhật Bản thực hiện trong những năm gần đây. Phân tích kết cấu có
cơ tính thay đổi theo nhiều phương khác nhau nói chung và dao động của dầm FGM
có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, vì
thế có ý nghĩa khoa học, được đặt ra từ nhu cầu thực tế.
Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong
phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ không gian dọc theo
trục dầm. Các phương pháp giải tích, vì thế thường gặp khó khăn trong phân tích dao
động của dầm 2D-FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh
trong phân tích kết cấu, là lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích
truyền thống trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH, tức là xây
1


2

dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích dao động của
dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng của vật
liệu FGM vào thực tế.
Từ những phân tích nêu trên, tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu
hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài

nghiên cứu cho Luận án của mình.
Mục tiêu của Luận án
Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động
của dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và sự thay đổi của thiết diện
ngang dọc theo trục dầm là các yếu tố thường xuất hiện trong thực tế được xem xét
trong mô hình PTHH phát triển trong Luận án. Các mô hình này cần có độ tin cậy
cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số hình
học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc
trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án được giới hạn cụ thể như sau:
1. Đối tượng:
Đối tượng nghiên cứu là các dầm FGM có cơ tính biến thiên theo hai chiều,
chiều cao và chiều dài dầm. Vật liệu FGM của dầm giả định được tạo từ bốn vật
liệu thành phần khác nhau, trong đó hai vật liệu là gốm và hai vật liệu là kim
loại. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm số lũy
thừa. Thiết diện ngang của dầm có dạng hình chữ nhật với chiều cao và chiều
rộng có thể thay đổi tuyến tính dọc theo chiều dài dầm.
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Luận án chỉ nghiên cứu bài toán dao động tuyến tính của dầm 2D-FGM. Như
vậy, độ võng và góc quay của thiết diện ngang được giả thiết là nhỏ, cho phép
bỏ qua số hạng phi tuyến trong biểu thức của biến dạng dọc trục. Vật liệu dầm
được giả thiết là đàn hồi tuyến tính, tức là mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng tuân theo định luật Hooke.
- Mặc dù phương pháp trình bày trong Luận án có thể sử dụng để phân tích dầm


3

chịu các tải trọng động khác nhau nhưng để tập trung vào nội dung chính là phát

triển mô hình PTHH, trong bài toán dao động cưỡng bức Luận án chỉ xét trường
hợp dầm chịu một lực di động với vận tốc không đổi. Như vậy, ảnh hưởng của
lực Coriolis và lực ly tâm sinh ra khi tính tới ảnh hưởng của khối lượng di động
được bỏ qua.
- Lời giải cho trường nhiệt độ phân bố không đồng nhất sinh ra từ sự chênh lệch
nhiệt độ giữa các mặt và hai đầu của dầm 2D-FGM, theo hiểu biết của tác giả,
là chưa có. Vì thế Luận án chỉ xem xét trường nhiệt độ tăng đều khi nghiên cứu
ảnh hưởng của nhiệt độ tới các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGM. Các tính
chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ được xét tới trong Luận án.
- Các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM được viết trên cơ sở coi trục dầm
nằm trên mặt giữa dầm làm trục quy chiếu, tức là ảnh hưởng của vị trí mặt trung
hòa không xét tới trong Luận án.
Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp giải tích truyền thống dùng trong Cơ học Vật rắn và Cơ học
Kết cấu được sử dụng trong Luận án để xây dựng các biểu thức năng lượng của dầm.
Nhằm kế thừa và phát huy các nghiên cứu trước đây của Phòng Cơ học Vật rắn, Viện
Cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Luận án sử dụng phương
pháp PTHH như là công cụ chính để xây dựng các phương trình chuyển động dưới
dạng rời rạc hóa. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, một phương pháp phổ
biến trong nghiên cứu động lực học kết cấu, được sử dụng để tính toán đáp ứng động
lực học của dầm.
Do tính phức tạp về mặt toán học khi nghiên cứu dầm 2D-FGM sử dụng lý
thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến, phần mềm tính toán symbolic Maple cũng
được sử dụng để hỗ trợ cho các biến đổi toán học cũng như việc xây dựng mô hình
PTHH và chương trình tính toán số.
Bố cục của Luận án
Ngoài phần Mở đầu, Luận án được chia làm Bốn Chương và phần Kết luận
cùng với các Tài liệu kham khảo. Các Công trình công bố của tác giả liên quan tới
Luận án được liệt kê ở cuối Luận án. Nội dung chính của các Chương như sau:
Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về

4

kết cấu dầm FGM. Một số kết quả liên quan tới dầm 2D-FGM nhận được bởi một số
tác giả trong thời gian gần đây được thảo luận chi tiết. Việc trình bày nhấn mạnh tới
phương pháp nghiên cứu để thấy rõ vì sao Luận án lựa chọn phương pháp PTHH để
phân tích dao động của dầm 2D-FGM.
Chương 2 trình bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm
2D-FGM. Các phương trình cho mô hình toán học được xây dựng dựa trên hai lý
thuyết biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order Shear
Deformation Theory - FSDT) và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (Improved
Third-order Shear Deformation Theory - ITSDT). Chương này cũng tiến hành
thiết lập các biểu thức năng lượng tương ứng với hai lý thuyết trên để làm cơ sở cho
việc xây dựng các mô hình PTHH. Đặc biệt, ngoài cách biểu diễn các phương trình
cơ bản theo góc quay của thiết diện ngang như trong phần lớn các nghiên cứu, các
phương trình cơ bản dựa trên ITSDT còn được xây dựng dựa trên cách biểu diễn theo
góc trượt ngang. Hệ phương trình vi phân chuyển động cho dầm dựa trên ITSDT với
cách biểu diễn các phương trình cơ bản theo γ0 được xây dựng từ nguyên lý biến phân
Hamilton. Ảnh hưởng của ứng suất nhiệt ban đầu và sự tăng nhiệt độ cũng được đề
cập trong Chương 2.
Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô hình PTHH trên cơ sở các lý thuyết
dầm và các hàm nội suy khác nhau. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai
mô hình dầm dựa trên FSDT sử dụng hàm dạng Kosmatka và các hàm dạng thứ bậc
được trình bày chi tiết. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai mô hình phần
tử dầm dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở các hàm dạng tuyến tính và các hàm
dạng Hermite.
Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ việc phân tích các bài toán
khác nhau. Chương này cũng đưa ra một số nhận xét về ưu, nhược điểm của các mô
hình PTHH xây dựng trong Luận án trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Ảnh

hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện ngang, nhiệt độ môi trường và tải
trọng ngoài tới các đặc trưng dao động cũng như các đáp ứng động lực học của dầm
cũng được trình bày chi tiết trong Chương 4.
Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo
được tóm lược trong Phần Kết luận của Luận án.


Chương 1
TỔNG QUAN
Chương này tóm lược các kết quả nghiên cứu trong phân tích dầm 1D-FGM
của các tác giả trên thế giới. Kết quả được thảo luận trên cơ sở hai phương pháp phân
tích, phương pháp giải tích và phương pháp số. Kết quả nghiên cứu liên quan tới dầm
2D-FGM, đối tượng nghiên cứu của Luận án, được thảo luận chi tiết. Các nghiên cứu
trong nước về dầm FGM cũng được đề cập. Cuối chương trình bày định hướng nghiên
cứu và một số điểm mới của Luận án.
1.1. Dầm FGM
Vật liệu có cơ tính biến đổi (FGM), do các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần
đầu tiên vào năm 1984 [1], có thể xem như là thế hệ vật liệu composite mới. FGM
được tạo bằng cách thay đổi liên tục tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần, thường
theo các tọa độ không gian. Vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong
các vật liệu composite phân lớp và gia cường sợi như sự tách lớp hay tập trung ứng
suất. Với các ưu điểm này cùng khả năng chịu nhiệt cao của gốm, độ dai và va đập tốt
của kim loại, FGM ngày càng được sử dụng nhiều để chế tạo các phần tử kết cấu và
chi tiết máy trong các lĩnh vực công nghệ cao như công nghiệp hạt nhân, hàng không,
vũ trụ, truyền thông, năng lượng,...
Luật thay đổi tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần đóng vai trò quan trọng
nhất tới tính chất hiệu dụng và ứng xử của kết cấu FGM. Dầm FGM phổ biến và được
quan tâm nhiều nhất được tạo từ hai vật liệu thành phần, gốm và kim loại, với tỷ phần
thể tích thay đổi theo chiều cao dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa [2]:
Vc =

z 1
+
h 2

n

, Vm = 1 −Vc , với −

h
h
≤z≤
2
2

(1.1)

trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ phần thể tích của gốm và kim loại; z là tọa độ theo
chiều cao dầm, tính từ mặt giữa; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham số
vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần. Trong phương trình (1.1) và
dưới đây, các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ được dùng để chỉ các pha gốm và kim loại.
Dầm với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật (1.1)
5


6

được gọi là dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang (transverse FGM beam). Các tính
chất hiệu dụng của dầm này chỉ là hàm của tọa độ z.
Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc (axially FGM beam) cũng được một số

tác giả quan tâm nghiên cứu. Dầm được thiết kế để tăng khả năng ổn định và cải thiện
ứng xử sau tới hạn, trong đó tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của dầm thay đổi
theo chiều dài dầm, chẳng hạn bằng quy luật hàm số lũy thừa:
Vc = 1 −

x
L

n

, Vm = 1 −Vc , với 0 ≤ x ≤ L

(1.2)

trong đó L là chiều dài dầm, x là tọa độ theo chiều dài dầm. Dao động của dầm FGM
với quy luật hàm số lũy thừa (1.1) và (1.2) đã được nhiều tác giả trong nước và trên
thế giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Alshorbagy và cộng sự [3], Shahba và cộng
sự [4, 5], Gan và cộng sự [6, 7, 8], Lê Thị Hà [9], Wang và Wu [10], Nguyễn Ngọc
Huyên [11], Nguyễn Tiến Khiêm [12], Vũ Thị An Ninh [13], Bùi Văn Tuyển [14].
Ngoài quy luật hàm số lũy thừa, dầm với cơ tính biến đổi theo quy luật hàm số
mũ [15, 16], quy luật sigmoid [17, 18, 19] cũng được một số tác giả quan tâm nghiên
cứu. Phân tích dầm FGM với các tính chất vật liệu thay đổi theo hai quy luật này tương
tự như phân tích dầm có các tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa.
Dầm FGM với tính chất cơ-lý chỉ thay đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài,
được ký hiệu là "dầm 1D-FGM" trong Luận án này.
Ngoài dầm FGM hai pha với các tính chất cơ-lý của các vật liệu thành phần chỉ
thay đổi theo chiều cao hoặc chiều dài, một số tác giả còn nghiên cứu dầm FGM với cơ
tính biến đổi theo hai chiều (two-dimensional functionally graded material
beam - dầm 2D-FGM), chiều cao và chiều dài dầm. Chẳng hạn, S¸ims¸ek [20] nghiên
cứu dầm 2D-FGM với tính chất vật liệu được giả sử thay đổi theo cả chiều cao và

chiều dài dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa, trong đó tỷ phần thể tích của hai vật
liệu thành phần được cho bởi [20, 21]:
V2(x, z) =

x 1
+
L 2

ku

z 1
+
h 2

kw

, V1(x, z) +V2(x, z) = 1

(1.3)

với ku và kw là các tham số vật liệu xác định sự thay đổi của các vật liệu thành phần
tương ứng theo chiều dài và chiều cao của dầm.
Quy luật hàm số mũ sử dụng cho sự thay đổi tính chất vật liệu của dầm 2D-


7

FGM cũng được S¸ims¸ek khảo sát trong [22, 23]:
P(x, z) = PLB ek1 α (x)+k3 β (z)
x 1

z 1
với α (x) = + , β (z) = +
L 2
h 2

(1.4)

Trong (1.4), k1 và k3 là các tham số không thứ nguyên.
Tỷ phần thể tích của hai vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm số lũy thừa
tương tự như (1.3) được Shafiei và cộng sự sử dụng trong nghiên cứu dầm nano/micro
làm từ 2D-FGM [24]:
Vc(x, z) =

1 z
+
2 h

nz

x
L

nx

, Vc +Vm = 1

(1.5)

trong đó nx và nz tương ứng là tham số vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm.
Trong các nghiên cứu về dầm 2D-FGM nói trên, dầm được giả định được tạo

từ hai vật liệu thành phần. Gần đây, một số tác giả nghiên cứu kết cấu FGM được tạo
từ hơn hai vật liệu thành phần [25, 26, 27, 28]. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành
phần trong phần lớn các nghiên cứu này được giả định tuân theo quy luật hàm số lũy
thừa theo hai hướng không gian. Theo hiểu biết của tác giả, trước Luận án chưa có
nghiên cứu nào về dầm 2D-FGM được tạo từ hơn hai vật liệu thành phần.
Số lượng các công trình công bố liên quan đến dầm FGM ngày càng tăng
nhanh. Dưới đây tóm lược một số kết quả liên quan trực tiếp đến hướng nghiên cứu
của Luận án.
1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới
Cả hai phương pháp, phương pháp giải tích và phương pháp số, được sử dụng
rộng rãi trong nghiên cứu ứng xử của dầm 1D-FGM. Với dầm có cơ tính biến đổi
ngang, các hệ số của phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động của dầm FGM
với thiết diện ngang không đổi là các hằng số, vì thế phương pháp giải tích có thể phát
huy các ưu điểm như trong nghiên cứu dầm thuần nhất.
1.2.1. Phương pháp giải tích
Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng Navier được Aydogdu và Taskin [29] sử
dụng để thu nhận tần số và mode dao động của dầm FGM tựa giản đơn với tính
chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa hoặc quy luật hàm số mũ. Lý
thuyết dầm Euler-Bernoulli và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao được các tác giả sử


8

dụng để thiết lập phương trình chuyển động cho dầm. Benatta và cộng sự [30] xây
dựng nghiệm giải tích cho bài toán uốn của dầm Euller-Bernoulli và dầm Rayleigh
làm từ FGM có tính tới ảnh hưởng của sự oằn (warping effect). Trong [31], dao
động riêng, sự phân bố ứng suất và lan truyền sóng trong dầm FGM có tính chất vật
liệu thay đổi tùy ý theo chiều cao dầm được nghiên cứu bằng một phương pháp giải
tích mới. Phương pháp không gian trạng thái (State space method) được Ying và
cộng sự [16] sử dụng để thu nhận nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng

cho bài toán uốn và dao động tự do của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi WinklerPasternak. Sina cùng đồng nghiệp [32] thiết lập phương trình chuyển động cho dao
động tự do của dầm FGM trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt mới và sử dụng phương
pháp giải tích để thu nhận tần số dao động riêng. Nghiệm giải tích cho phương trình
chuyển động của bài toán dao động tự do của dầm FGM, thiết lập trên cơ sở mô hình
dầm thứ bậc (Hierarchical beam models), được Giunta và đồng nghiệp [33] xây
dựng. Mô hình dầm Euler-Bernoulli và dầm Timoshenko có thể nhận được như là
trường hợp riêng của mô hình dầm thứ bậc do các tác giả đề nghị. Wei và Liu [34]
sử dụng phương pháp Ritz–Galerkin để nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến của dầm
Euler-Bernoulli FGM. Sử dụng phương pháp ma trận truyền, Wei và cộng sự [35] thu
nhận được phương trình tần số cho dầm FGM có vết nứt chịu lực dọc trục. Phương
pháp Galerkin được Lai và đồng nghiệp [36] sử dụng để nghiên cứu dao động phi
tuyến của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM. Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên
độ dao động tới tần số dao động riêng của dầm được các tác giả khảo sát chi tiết.
Birsan và cộng sự [37] đưa ra biểu thức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm
sandwich FGM có lõi xốp. Ảnh hưởng của sự tách lớp được Liu và Shu [38] xét đến
trong nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có tính chất cơ-lý thay đổi theo quy
luật hàm số lũy thừa sử dụng phương pháp giải tích.
Phương pháp giải tích cũng được một số tác giả sử dụng để nghiên cứu ảnh
hưởng của nhiệt độ tới ứng xử của dầm FGM. Trong [39], Kiani và Eslami xây dựng
nghiệm giải tích cho bài toán mất ổn định nhiệt của dầm Euler-Bernoulli FGM với
các điều kiện biên khác nhau. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, Mahi cùng
cộng sự [18] trình bày phương pháp giải tích để đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt
độ tới tần số dao động riêng của dầm FGM. Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba mới do
Shi đề nghị [40] được Wattanasakulpong và đồng nghiệp [41] sử dụng để thiết lập các


9

phương trình cơ bản cho nghiên cứu mất ổn định nhiệt và dao động tự do của dầm
FGM trong môi trường nhiệt độ. Kết quả số của các tác giả chỉ ra rằng tần số dao động

cơ bản của dầm giảm dần về 0 khi nhiệt độ môi trường tăng dần tới nhiệt độ tới hạn.
Ma và Lee [42] đưa ra nghiệm giải tích cho bài toán ứng xử phi tuyến của dầm FGM
chịu tải trọng nhiệt. Phương pháp giải tích cũng được Eroglu sử dụng trong nghiên
cứu dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ [43]. Ảnh hưởng của
nhiệt độ được xem xét bởi một số tác giả trong nghiên cứu dao động tự do phi tuyến
của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi [44, 45]. Kiani và đồng nghiệp [46] khảo sát ảnh
hưởng của nhiệt độ môi trường tới đáp ứng va đập với vận tốc thấp của dầm FGM.
Mất ổn định tĩnh và động của dầm Euler-Bernoulli FGM chịu tải trọng nhiệt tăng đều
được Ghiasian và cộng sự [47] nghiên cứu bằng phương pháp Galerkin.
Đáp ứng động lực học của dầm FGM cũng được một số tác giả nghiên cứu
bằng phương pháp giải tích. Sử dụng phương pháp Galerkin, Apetre và cộng sự [48]
nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm sandwich có lõi là FGM chịu tác động của
tải trọng va đập với vận tốc thấp. Kết quả nhận được cho thấy kết cấu dầm sandwich
có lõi là FGM đem lại hiệu quả cao và có thể sử dụng một cách hữu hiệu để giảm bớt
hoặc tránh hoàn toàn các hư hỏng va đập của dầm. Sankar [15] đưa ra nghiệm đàn
hồi chính xác cho ứng suất và chuyển vị của dầm FGM chịu tải trọng ngang hình sin
tác động lên mặt dầm. Tác giả chỉ ra rằng sự tập trung ứng suất ở mặt chất tải của
dầm FGM cao hơn so với dầm thuần nhất nếu tải trọng tác dụng trên mặt cứng hơn và
ngược lại. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, S¸ims¸ek và Kocat¨urk [49] nghiên
cứu dao động của dầm Euler-Bernoulli FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao, chịu
tải trọng điều hòa di động. Phương trình vi phân chuyển động của dầm được rời rạc
hóa và đưa về dạng ma trận nhờ xấp xỉ trường chuyển vị bằng các đa thức. Phương
pháp này được S¸ims¸ek và cộng sự mở rộng cho nghiên cứu đáp ứng động lực học của
dầm FGM chịu khối lượng tập trung di động [50], dầm Timoshenko FGM phi tuyến
chịu lực điều hòa di động, dầm Euler-Bernoulli FGM với cơ tính thay đổi dọc chịu tác
dụng của lực điều hòa di động [51], dầm sandwich FGM dưới tác động của nhiều lực
di động [52]. Phương pháp giải tích được Yang và cộng sự [53] sử dụng để thu nhận
tần số dao động riêng và độ võng động lực học của dầm FGM có vết nứt với cơ tính
biến đổi theo quy luật hàm số mũ, chịu kích động bởi lực di động. Phương pháp Ritz
kết hợp với phương pháp cầu phương vi phân được Khalili và đồng nghiệp [54] sử