MỤC lục(2)

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

MỤC LỤC
A. MỞ ĐÂU.......................................................................................trang
02
I. Lí do chọn đề tài........................................................................trang
......................................................................................................02
II. Đối tượng nghiên cứu................................................................trang
......................................................................................................02
III.Phạm vi nghiên cứu...................................................................trang
......................................................................................................03
IV. Phương pháp nghiên cứu...........................................................trang
......................................................................................................03
B. NỘI DUNG...................................................................................trang
04
I. Cơ sở lí luận..............................................................................trang
......................................................................................................04
II. Cơ sở thực tiễn..........................................................................trang
......................................................................................................05
III.Giải quyết vấn đề......................................................................trang
......................................................................................................07

c. K Ế T

L U Ậ N .....................................................................trang 26


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

A. MỞ ĐẦU

I ■ LÍ DO CHON ĐẺ TẢI
Trong chương trình Đại sô" lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội
dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương pháp này cũng là một
công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình
tích, chia đa thức... không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng
giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một sô" năm dạy tôi thây học sinh sau khi
học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài
tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một sô"
cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn
viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ ” . “Khó” ở đây là
cái khó ở học sinh - các em không nắm được các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử; còn
“dễ” ở đây là khi giáo viên đã đưa ra các phương pháp cụ thể cho học sinh thì với mỗi bài toán cụ
thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác. Đó là các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử được tôi tích lũy trong quá trình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các
em học sinh dễ dàng giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương
trình lớp 8 cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp.
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả, bài học
kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện. Một sô" ví dụ nhận định một
sô" sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh.
II- ĐỔI TƯƠNG NGHIÊN CỨU:
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.


- Không gian : Học sinh lớp 8A7 Trường THCS Phan Bội Châu
- Thời gian : 2 giai đoạn trong năm học 2012 - 2013
Giai đoan 1: Từ tháng 10/ 2012 đến thi học kì I Giai

đoan 2: Từ tháng 01/ 2013 đến giữa học kì II.
IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIỀN CỨU:
1. Đoc tài liêu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan
+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập.
+ Một sô" vâ"n đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Bài tập nâng cao và một sô" chuyên đề Toán 8.
+ Sách bồi duỡng năng lực tự học toán 8.
2. Điểu tra:
a. DƯ giờ:
- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.
- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến phương pháp giảng
dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó giúp tôi tích lũy một sô" kinh nghiệm và
hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học .
b. Đàm thoai:
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyên nhân học sinh
chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng toán cụ thể. Xem học sinh hỏng
kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời.


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện pháp nâng
cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác.
c. Thức nghiêm:
- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành ngay tại lớp, để
thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cô" kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập
và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành
kĩ năng giải toán cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học

ở nhà để học sinh củng cô" lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen tự
học cho học sinh. Ngoài ra đối với học sinh khá giỏi giáo viến nên có thêm những bài tập đỏi hỏi
tính tư duy cao.
d. Theo dõi các bài kiếm tra:
- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật
vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho từng đôi tượng học sinh.

B- NỘI DUNG
L Cơ SỞ LÍ LUÂN:
- ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các môn học khác
và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong chương trình phổ thông
là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thê" được trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì
vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định
trong việc nâng cao châ"t lượng học tập của học sinh.


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú,
đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương
trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược
áp dụng tích chất phân phôi của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với
lượng thời gian phân phôi chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận
dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu
sô" các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,...”
- Vì vậy vâ"n đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người
giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và
đặt biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây

dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm các
cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh.
II- Cơ SỞ THƯC TIẾN:
- Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phôi chương trình chỉ có 6 tiết từ
tuần 5 cho đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa sô" học sinh còn râ"t lúng túng trong việc áp
dụng phương pháp, đôi với học sinh khá giỏi còn nhiều vân đề chưa được đề cập đến. Do đó kết quả
qua các bài kiểm tra của học sinh còn thấp, còn nhiều học sinh yếu, kém, sô" lượng học sinh giỏi
thấp.
- Qua thực tê" giảng dạy tôi nhận thây tình trạng của học sinh khi giải toán như sau:
+ Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? Không biết
liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau.
+ Trình bày không rõ ràng, thiêu khoa học, lôgic.

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

-5-


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa sô" học sinh chưa có
kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau :
* Đỏi vđi giáo viên :
Trong tiết dạy giáo viên thường phôi hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến
thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45 phút nên chưa có được
phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đôi tượng học sinh.
4 Đỏi vởi phu huynh:
Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc
học của học sinh. Đa sô" phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra được việc học

ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp.
4- Đô"i vởi hoc sinh :
+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học.
+ Đa sô" học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán.
Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủ động trong học
tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chây lười trong học tập.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp
bài toán khó.
+ Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài, học bài , soạn bài trước khi đến lớp.
+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi.
- Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ môn. Để giải quyết các
vân đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương pháp cơ bản, phương pháp nâng cao
cho học sinh khá giỏi thông qua những bài tập cụ thể, những tiết dạy bòi dưỡng học sinh giỏi, tiết
dạy buổi hai giúp các em hiểu rõ và vận dụng GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu - 6 -


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

các phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng
học tập cho học sinh.

ĨĨL GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
PHẨN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ từ dễ đến khó..
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đỏi vđi hoc sinh yếu. kém: CỦNG CÔ" KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

2) Đỏi vđi hoc sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
•

Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.

•

Cũng cô" các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành.

• Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.
3) Đỏ"i vđi hoc sinh khá, giỏi: PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử
Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2
Dạng 8: Dạng đối xứng vòng quanh
Dạng 9: Dạng Ẩ3 ± B3
Dạng 10: Đặt biến phụ dạng đa thức
Dạng 11: Đặt biến phụ dạng (x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) + e ( với a + b = c + d )
Dạng 12: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Dạng 13: Đặt biến phụ dạng hồi quy
Dạng 14: Đặt biến phụ dạng (atx + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d,x + d2)(a,b, = c,d, và a2b2 = c2d2) Dạng
15: Dạng đoán nghiệm Dạng 16: Đặt biến phụ dạng khác
Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ dạng hệ số bất định
Dạng 18: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng GV: Nguyễn Trọng Phúc Trường THCS Phan Bội Châu


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

P H Ẩ N 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP PHẦN TÍCH ĐA THỨC THÀNH

NHÂN TỬ

Dang 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đăt nhân tử chung. PHƯƠNG
PHÁP: DÙNG KHI CÁC HẠNG TỬ CỦA ĐA THỨC CÓ NHÂN TỬ CHUNG.
A.B + A.c = A ( B + C).
❖ Tìm nhân tử chung của các hệ sô" (ƯCLN của các hệ số).
❖ Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với sô" mũ nhỏ nhâ"t).
❖ Nhiều khi để làm xuâ"t hiện nhân tử chung ta cần đổi dâ"u các hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 5x2 {x-2y}-\5x{x-2y}
GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số?
HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5
GV: Tìm nhân tử chung của các biến?
HS: x(x-2y)
Giải: 5x2 (x-2y)-l5x(x-2y) = 5^(^-2j)(^:-3)
2)
GV: Tìm nhân tử chung của các hệ sô" 10 và 8 ?
HS: 2
GV: Tìm nhân tử chung của x( X - y) và y( y - x)?
HS: ( X - y) hoặc ( y - x).
GV: Hãy thực hiện đổi dâu tích 10x( X - y) hoặc - 8y( y - x) để có nhân tử chung ( X- y) hoặc ( y - x)?
HS: Đổi dâu tích 10x( X - y) = - 10x( y - x)
Hoặc đổi dâu tích - 8y( y - x) = 8y( X - y).
Giải:
10x( X - y) - 8y( y - x) = 10x( X - y) + 8y( X - y)
= 2( X - y).5x + 2( X - y).4y
= 2( X - y)( 5x + 4y).
2) 9x( X — y) — 10( y — x)2 .
Cách giải sai:

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

-8-


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

9x( X — y) — 10( y — x)2

= 9x( X -

y) + 10( X - y)2

= ( x - y ) [9x + 10( X - y)]
= ( X - y)(19x - lOy).
Sai lẩm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( X - y) - 10( y - x)2 = 9x( X - y) + 10( X - y)2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y - x)2 của tích - 10( y - x)2 Vì10( y - x)2 = - 10( y - x)( y -x).
Cách giải đứng:
9x( X — y) — 10( y — x)2 = 9x( X - y) - 10( X - y)2
= (x-y) [9x - 10(

X-

y)]

= (x-y)(10y-x).
Ị-

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cô" các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.
- Quy tắc đổi dâu và cách đổi dâu của các nhân tử trong một tích.

Bài tâp áp dung:

1) 2axy-4a2xy2+6aĩx2

6) 2á2b(x + y}-4dib{-x-y)

2) -7x2y-14x3y4-21y3
3) 2xyịa-l)-4x2yịl-a)

7) xm+1-xm
8) xM+2-x2

4) 5a2 (x-y) + l0a(x-y)

9) xm+2-xm

5) Zab(x-4) + 9a(4-x)2

10) jc"+1 -jc"+1

Dang 2: Phân tích da thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng dẳng thức. PHƯƠNG
PHÁP: BIẾN ĐỐI ĐẾ XUẤT HIỆN MỘT TRONG 7 HẰNG ĐẮNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1) ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2) ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3) A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4) ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

6) A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) ( a - b Ý - ( a + b Ý
GV: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
HS: Có dạng A2 - B2
Cách giải sai:
( a - b ) 2 - ( a + b ) 2 = ( a - b + a + b ) - ( a - b - a + b ) = 2a.O = 0.
Sai lẩm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.
Cách giải đứng:
(x-y)2 - (x + y)2 = [(x-y) + (x + y )].[(x-y)-(x + y)]
= (x-y + x + y).(x-y-x-y)
= 2x.(-2y) = -4xy.
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp
hơn.
2) lOx-25-x

2

3) 8x3-- 8

4) 8x3 +12x2y + 6xy2 +
y3

5) -x2-64y2 25

Giải:
2) lOx-25-x2 = -(x2-lOx + 25) = -(x-5)2
(

IV 2 n
=2x - — 4jc2 +jc + —
K 2Ẵ 4 J
3
2
2
4) 8x + \2x y + 6xy + y 3 = {2xỴ + 3.ị2xỴ ,y + 3.2x.y 2
+y 5 = (2x + yỴ
3)

25

8jc3

- g=

(2jc)3-[2

(I o; — -(8v)2 = ị^x+*y
x-8v

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

- 10-


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
T Ừ K H Ó Đ Ế N D Ễv5

2) 144«2 - 81

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

- 11 -


7) ± - x * - 1 2 5 y 3
P H Â N T Í C H Đ A T H Ứ C T H À N H N H Â N T Ử 64
T Ừ K H Ó Đ Ế N D2Ễ

8) X3 +15x2 + 75*+ 125
9) 21a3 -54a2b + 36ab2 - 8b3
10) x6-*6

= (x 3+)2 {ya) -( 2x b- f 2-y4-b2 )

4) X2+ỈOX + 25
5 ) 25x2 - 20xy + 4.y2

Dang 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhỏm hang tử.
PHƯƠNG PHÁP: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung
hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.
❖ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
❖ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
❖ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
ì) 3x2-3xy-5x + 5y
2) X 2 +4x-y2 +4
Giải:
1) 3x2 -3xy-5x + 5y

3) X - 2x - 4y2 - 4y
2

Cách giải sai: 3X2 -3XY-X + Y = 3x(x->')-(x->') = (x-Y)3X Sai lẩm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử
chung.
Cách giải đứng: 3X2 -3XY-5X + 5Y = 3x(x->')-5(x->') = (^-j)(3^:-5)
2) X 2 +4x-y2 +4
Sai lầm: HS không biết nhóm các hạng tử nào với nhau.
GV: Nếu như nhóm 2 hạng tử không được ta nhóm ba hạng tử.
Cách giải đứng: X 2 +4x-y2+4 = x2 +4x + 4-y2 ={x + 2ý-y2 ={x + 2-y){x + 2 +y)
3) X - 2x - 4y2 - 4y
2

Cách giải sai:
2

2

X2 - 2x - 4y - 4y = (x

- 4y2) - ( 2x - 4y)
= ( X + 2y )( X - 2y ) - 2( X - 2y )

= (X - 2y )( X + 2y - 2 )
Sai lẩm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.
Cách giải đứng:
2
2
2

X - 2x - 4y - 4y = (x - 4y ) - ( 2x + 4y)
2

= ( X + 2y )( X - 2y ) - 2( X + 2y )

- 12-


À- Qua các ví dụ trên giáo viên củng cô" các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa
thức. Bài tâp áp dung:
1) a x + a y + 2 x + 2 y
2) X 2 - x y - 2 x + 2 y
3) 10< XC - 5 a x - 5 a y + 2 x - y
4) 2 a 2 x - 5 b y - 5 a 2 y + 2 b x
5)
+ Ac

6)
7)
8)
9)
2x2

3a x 2 + 3b x 2 + a x + b x + 5 a + 5 b
a x 1 - b x 2 - 2 a x + 2b x - 3 a + 3 b
ax2 - 5x2 -õ + 5x + a-5
ax + bx + cx-2a-2b-2c
-6xy + 5x-ỉ5y

10) a x - b x - 2 c x - 2 a + 2 b

Dang 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hou nhiều phương pháp PHƯƠNG
PHÁP: LÀ SỰ KẾT HỢP NHUẦN NHUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN:
❖ Phương pháp đặt nhân tử chung
❖ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
❖ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) X - 9x3 + X - 9x
2)8XYI+X{X-ỲF
4

2

Giải:
1) X - 9x3 + X - 9x
Cách giải chưa hoàn chình:
4

2

Cách 1: X - 9x3 + X - 9x = x(x3 - 9x2 + X - 9 )
Cách 2: X - 9x3 + X - 9x = ( X - 9x3) + ( X - 9x)
4

2

4

2

4

2

= x3( X - 9 ) + x( X - 9 )
= ( X - 9) ( X

3

+ X)

Sai lẩm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để. Cách
giải đứng:
3

2

X4 - 9x + X2 - 9x = x( X3 - 9x + X - 9

)

= x[(x3 - 9x2) + ( X - 9 )]= x[x2( X - 9 ) + 1. ( X - 9 )]= x( X - 9 )(x2 + 1)
2) 8XY +x(x-v)3
Cách giải chưa hoàn chỉnh:
GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

8x y 3 + x ( x - y ) 3 = x 8/ + (* - y ) 3

Sai lẩm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để. Cách
giải đứng:
Sxy3+x{x-y)3 =x~Sy3+{x-y)3 = x{2y + x-y)\4y2 + 2y{x-y) + {xy)2 = x{x + y)(4y2 +2xy-2y2 +x2 -2xy + y2J = x(x + y)ị3y2 +

X2)

4- Qua các ví dụ trên giáo viên củng cô" các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta vẫn có thể phân tích được nữa.
- Củng cố các công thức:
( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 =
A3+ B3 + 3AB( A + B)
A3+ B3 = ( A + B )3- 3AB( A + B)
Bài tâp áp dung:
1) ( a 2 + 4 b 2 ) 2 - I 6 a 2 b 2

6) X2 - (2a + b) xy +
2aby2

2) X 2 + 2 x y + y 2 - 2 5

7) abịx2 + y2^ + xyịa2
+b2)
8) 6x2 +\2xy + 6y2
9 ) -X
1 22 x+44yx y ++ 4 y122-xa32y 2+- 2 a b - b 2
10)
2 3
3x y

3) X 2 - 2 x + \ - a 2 - 2 a b - b 2
4) x 2 ( a - b ) - 2 x y ( a - b ) + a y 2 - b y 2
5) X 3 + 2 x 2 y + x y 2 - 9 x
Dang 5: Kĩ thuât bồ sung hằng đẳng thức
PHƯƠNG PHÁP: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức nhằm
xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là xuất hiện hiệu của hai bình
phương.
Đây là một kỹ thuật rất quan trọng liên quan đến dạng toán tìm Min, Max, do đó GV cần
phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp này cho HS.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) X2-2X-3
2) X 2 +4xy-5y2
Giải:
1) X 2 — 2 x — 3
GV: Đối với phương pháp này các em nên tách để đưa về dạng A2 ± 2AB + B2 GV: Theo
em ở câu 1 chúng ta nên tách hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức?
HS: Tách hạng tử -3 = 1 - 4.
GV: Khi đó ta được X2 -2X + ỉ-4. Tới đây ta đưa về dạng nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
HS : X2-2JC + 1-4 = (x-l)2-22

G V: B i ể u t h ứ c t h u đ ư ợ c t h u ộ c h ằ n g đ ẳ n g t h ứ c n à o ?
GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

- 14 -


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

HS: A2-B2

Cách giải đứng:
x 2 - 2 x - 3 = x 2 - 2 x + ỉ - 4 = { x - ỉ ) 2 - 2 2 =( JC -1-2)( JC -1 + 2) = ( JC -3)( JC + 1)

2) X 2 + 4 x y - 5 y 2
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đứng:
x2+4x y - 5 y 2 = x 2 + 4 x y + 4 y 2 - 9 y 2 = ( x + 2 y ) 2 -(3y ) 2 = ( x + 2 y - 3 y ) ( x + 2 y + 3 y ) = ( x - y ) ( x
+ 5 y ) 4- Qua các ví dụ trên giáo viên củng cô" các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức.
- Biết cách nhóm ba hạng tử để xuất hiện hàng đẳng thức.
Bài tâp áp dung:
Dang 6: Kĩ thuât tách hang tử PHƯƠNG PHÁP: CHO ĐA THỨC : a x 2 + b x + c
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
a c = a x c x = a 2 c 2 = a 3 c 3 = =...

- Chọn hai thừa số mà tổng bằng ( b = dj+ Cj)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 3x2 + lx-6
2) lOx2 — 1 1JC — 6
3) 8x2 +10x-3
Giải:
1)
3X2+1X6 GV: Hãy tìm
tích ac.
HS: ac - 3.(-6) = -18.
GV: Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách HS:
3.(-6) = -18 = (-3).6 = (-2).9 = 2.(-9) = (-l).18 = l.(-18)

GV: Hãy chọn hai thừa số a,c mà có tổng bằng 7 HS:
7 = -2 + 9
GV: Như vậy ta có: 7x = -2x + 9x
Cách giải đứng:

3 x 2 + 7 x - 6 = (3x 2 -2x) + (9x-6) = x(3x + 2) + 3(3x + 2) = (3x + 2)(x + 3)

2) 10x2 — 1 1JC — 6
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1
Cách giải đứng:

IOjc 2 -1 ì x -6 = lo* 2 - \ 5 X + 4 X - 6 = 5 x ị 2 x - 3 ) + 2 ị 2 x - 3 ) = (2x-3)(5x + 2)

3) 8x2 +1ÛX-3
Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 GV:
Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

Cách giải đứng:
8x +10x-3 = 8x2-2x + 12x-3 = 2x(4x-l) + 3(4x-l) = (4x-l)(2x + 3)
4- Lưu ý:
2

- Có nhiều cách tách để đi đến kết quả như tách hạng tử thứ nhất, tách hạng thử thứ ba. Tuy
nhiên tách hạng tử thứ hai là dễ dàng giải quyết bài toán.
- Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ sô" tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các
hệ sô" mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được các phương pháp phân tích
cơ bản đã học.

Dang 7: Dang thêm bớt khi số mủ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2
PHƯƠNG PHÁP: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử chung X2 + X + 1
hoặc x 2 - x + l
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) X5 + X +1
2) X4 + 2005x2 - 2004X + 2005
Giải:
1) X5 + X+1 = (x5 + X4 + X3 Ị - (x4 + X3 + X2 Ị+(x2 + X+1)
GV: Bước đầu tiên các em biến đổi giảm dần số mũ như sau: X5 + x4 +X3
GV: Như vậy khi ta thêm X4 + X3 thì ta sẽ bớt X4 + X3 ở phía sau, ta được: X5 + X4 + X3 -X4 -X3
GV: Ta lại tiếp tục thêm bớt như vậy cuối cùng ta được:
X5 + X +1 = X5 + XA + X3, - XA - X3, - X2 + X2 + X + 1
GV: Ta nhóm 3 hạng tử tạo thành một bộ, sau đó sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung ta có:
= x3 (x2 -t-x + lỊ-x2 (x2 + x + lỊ-i-(x2 + X + 1Ị = (x2 + X + lỊ(x3 -X2 +1)
Cách giải đứng:
X5 + X +1 = X5 + X4 + X2 — X4 — X2 — X2 + X2 + X +1 = ^x5 + X4 + X2 ^ — ^x4 + X2 + X2 ^ + ^x2 + X
+1^
=

Ịx + x + l^— X Ịx + x + l^ + Ịx + x + l^ = Ịx + x + l^Ịx —X +1^
2) X4 + 2005x2 - 2004x + 2005
GV: Đối với câu 2 này các em cũng vẫn thực hiện theo cách trên.
Cách giải đứng:
4
X + 2005x2 - 2004x + 2005 = X4 - X3 + X2 + X3 - X2 + X + 2005x2 - 2005x + 2005
X

= (x4 -X3 +x2 ) + (x3 -X2 +x) + (2005x2 - 2005x + 2005Ị = X2 (x2 - x + l) + x(x2 -X + l) + 2005(x2 - x
+ l)
= (x2 - x + l)(x2 +X +

2005Ị 4- Lưu ý:

- Thêm bớt các hạng tử một cách chính xác.
- Nếu như thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là X 2 + X + 1 mà không được thì ta thêm bớt
để xuất hiện đa thức chung là X2 - X +1.


PHÂN
TỪNKHÓ
P H Â TÍCH
N T ÍĐA
C HTHỨC
Đ A THÀNH
T H Ứ CNHÂN
T H ÀTỬ
NH
H Â ĐẾN
N T DỄ
Ử
TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

Bài tâp áp dung:

3 ) F ( xw, y, z ) =

X3 +

y3 + z3 - 3xyz.

1) x + x * + l

6) xn+;c10+l
8
1
2) X + X +1
7) X4 + 2002x2 + 200 ÌX + 2002
11
3) X
+x*
8) X4 + 2 0 0 7 x 2 - 2 0 0 6 x + 2007

2
Dang 8:+1Dang đối xứng
quanh
9) vòng
X4 +1996x
-1995x +1996
11
1
4 nhận xét
2
4) X :D+X
PHƯƠNGPHÁP
ỰA trên
hai
sau: + 1999
10) X +1999X -1998^
+1
❖ Nhận
5)
X8 + Xxét

+1 1: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có
vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa
các nhân tử a - b, b - c và c - a.

Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b).
NHẬN XÉT: Khi a = b ta có :
F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b.
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) - k.
(a - b)(b - c)(c - a).
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : 1 + 1 =k.l.l.(-2) =>k = -l.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).
2) F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b).
NHẬN XÉT: Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a. Nhưng
ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có
một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c).
Do đó :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0;b = l ; c = 2 => k = -1.
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
♦♦♦ Nhận xét 2: Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c
nhưng F(a, b, c) Ỷ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không,
nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

- 17-


NHẬN XÉT: Ta thấy rằng khi X = y hay X = -y thì F(x, y,

z) ^0. Nhưng nếu thay X = -(y + z)
thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử X + y + z. Chia F(x, y,
z) cho X + y + z,ta được
2
2
thương X + y + z - xy - yz - zx và dư là 0. Do đó :
F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx).
2

Bài tâp áp dung:
1) a b ị a - b ) + b c ị b - c ) + c a ị c - a )
2) (a + ò)(ò + c)(c-a) + (ò + c)(c + a)(a-ò) + (c + a)(a + ò)(ò-c)
3) a b ị a + b ) - b c ị b + c ) + a c ị a - c )
4) a 2 ị b - c ) + b 2 ị c - a ) + c 2 ị a - b )
5) a 4 (ò-c) + ò 4 (c-a) + c 4 (a-ò)
6) a 3 ( b 2 - c 2 ) + b 3 ( c 2 - a 2 ) + c 3 ( a 2 - b 2 )
7) x 3 { y + z 2 } + y 3 { z + x 2 ) + z 3 { x + y 2 ) + x y z { x y z + 1)
8) x ( y - z ) 2 + y ( z - x ) 2 + z ( x - y ) 2 - X 3 - y 3 - Z 3 + 4 x y z
9) a b ị a + b ) + b c ị b + c ) + c a ị c + a ) + 2 a b c
10) 3a 2 b + a b 2 + b 2 c + 3b c 2 + 9 c 2 a + 9ca2 + 6abc

Dạng 9: Dạng Ẩ3 + B3
Phương pháp: Đối với dạng toán cỏ chứa bậc ba ta cỏ thể sử dụng hằng đẳng thức Ảĩ ''±B3
A3+B3 =(A+B)[A2-AB+B2)
A3-B3 =(A-B)[A2 +AB + B2)
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) Ả' + ỏ3 + c3 - 3ABC

2) (x + Y - z)3 -X3 -Y3 +Z3

Giải:
1) ầ + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)3 - 3a2b - 3ab2 - 3a2c - 3ac2 - 3b2c - 3bc2 - 6abc -3abc = (a
+ b + cf - 3a2b - 3ab2 -3abc -3a2c - 3ac2 -3abc -3b2c - 3bc2 - 3abc = (a + b + cf - ị3a2b +
3ab2 + 3abc^ - ị3a2c + 3ac2 + 3abc} - {3b2c + 3bc2 +3abc^
= ịa + b + c)ĩ -3abịa + b + c)-3acịa + b + c)-3bcịa + b + c) = ịa + b + c) ịa + b + c)2-3ab-3ac-3bc
=(a + ố + c)(a2 +b2 +c2-ab-bc-caj
2) (x + y-zf -X3-y3+z3 = {x +
y-z)3 -x3^-Ự -z3)
= (y - z)ịx2 +y2 +z2 + 2xy - 2yz- 2zx + X 2 +xy-xz + x2) - ( > ’ - z){y2 + > ’ z +

z2

)


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

= (y-z)ị 3x2 + 3xy-3yz-3zx) = 3(y-z)\_x(x + y)-z(x + yỹị = 3 (y-z)(x +
ỳ ) ( x - z ) Bài tâp áp dung:

1) (ữ- bỴ + (b - cf + (c - àf

2) ự +b2)\{c2 -a2)' -{b2 +C2)'
3 ) ( ữ - ỏ + c)3 - ( ỡ + ỏ-c)3 -(ỏ + c - ỡ ) 3 - ( c + ỡ-ỏ)3
3
3ả ’ - ồ 3 +c 3 + 3ữòc
7)
0 thoả:
4) Cho
Cho a,

ữ -b,ố c+khác
c = -4.
Tính ỮB + 8Ố + 27c — 18ABC
Dang 10: Đăt biển phu dang đa thức
(ữ + ò) +(ò + c) +(c-ữ)
PHƯƠNG PHÁP: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài toán được gọn
2
{ x -bậc
y ) 2 hai
+ {rồi
y - sử
z ) 2dụng
+ { zcác
- x )phương
gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam _thức
pháp cơ
5)
Chứng
minh
rằng:
X
+
y
+
z
x
y
y
z
z

x
và
bản khác và tiếp tục phân 2b
tích. 1 + —
^a )
1+—
Tính K =
2
2
2
22 bj
V
X
+
y
+
z
x
y
y
z
z
Xét Q(x) = ay + by + c. Nếu có xcác=số0 m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m
3
+n)y
6) Cho
+ m.n/a
a, b, chay
khácy20+thoả:
by +ỡc3 =+ a(y

ỏ3 ++cm/a)(y
= 3abc+ n/a) (*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n).
Trong trường hợp này a,bb,^ \c( nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt
1 +đó
— chọn m, n thoả mãn m + n = b.
đối
m và n nhỏ hơn
Tínhcủa
E=
1 + b.
- Sau
V b)
V C J V a)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 6x4 + 19x2 + 15
2 ) Ị x 2 + x ) +4(x2+x)-12
3) (2x2-x-l)(2x2-x-4)-10
Giải:
1) P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 Đặt y = X , ta có:
Q(y) — 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n
= 10, ta có:
2


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐÉN DỄ

6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + lOy + 15 = 3y(2y + 3) +
5(2y +3)
= (2y + 3)(3y + 5)

Do đó :
P(x) = 6x4 + 19x2 + 15
= ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
2)

+ 4ịx2 +x}-12

Đặt X 2 + X = t
[x2 +x)2 +4[x2 +x)-\2 = t2 + 4t-\2 = t 2-2t + 6t-\2 = t{t-2) + 6{t-2) = {t-2){t + 6) =
[ x 2 + x - 2 ) [ x 2 = ( X 2 - x + 2 x - 2 } ( x 2 + X + Ó ) = [ X ( X - L ) + 2( X - L )]Ị X 2 + X + 6) = ( X -1)( X + 2)Ị X 2 + X
+ Ó)

3) (2JC2-JC-1)(2^C2-^C-4)-10
Đặt 2 x 2 - x - l = t
(2x2-x-l)(2x2-x-4)-l0 = t(t-3)-l0 = t 2-3t-l0 = t2-5t + 2t-l0 = t(t-5) + 2(t-5) = (t5)(t + 2) = (2x2-x-l-5)(2x2-x-l + 2) = (2x2-x-6)(2x2-x + l)
= Ị2 x 2 -4* + 3;t-6)(2;c 2 -* + l) = |^2 JC ( JC — 2) + 3( JC — 2)^1 ^2 JC 2 -* + 1) = (*-2)(2;c + 3)
(2;t 2 -* + 1)

Bài tâp áp dung:
1) 4 x ậ - 3 1 X 2 +9
2) (JC2 +3JC)2 +7JC2 +21JC + 10
3) X + 2 x y + y + 2 x + 2 y - l 5
2

2

6) 4 x 2 + 4 x y + y 2 + 10x +
5y-6
Ịx2 + X +

7)

TX + 2^ —12
4) X 2 + 8 x y + l 6 y 2 + 2 x + 8 y - 3
2
8)
(x2+-xd )++3)(x
-JC-2) + 4
Dang
phu
dang
(x
+
a)(x
+
b)(x
+
c)(x
e
2 11: Đăt biển
2
5) X -4xy + 4y -7X + 14 + 6

2
2
+x( v ớ i a +9)b [=2 xc + d+ ìx - 2 ) [ 2 x
2
Phương pháp: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có3 )thể
- \ 2y = (x + c)(x + d) hoặc y = X + (a
+ b) X.

10) (2x2-x-l)(2x2-;c4)-10
Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (x +l)(x + 2)(x +3)(x + 4) - 15
2) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)-24
2

Giải:
1) (x +l)(x + 2)(x +3)(x + 4) - 15 Với a = l , b = 4, c = 2,
d = 3thì a + b = 5=c + d. Biến đổi: P(x) = (x + l)(x + 4)( X +
2)( X + 3) - 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 15 Đặt y = X
+ 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) - 1 = y2+2y 15 = y2 - 3y + 5y - 15 = y(y-3) + 5 ( y - 3 ) = (y-3)(y + 5)
Do đó: P(x) = (x2 +5x + l)(x2 + 5x + 9)
2

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

- 20-


= qd! và atb2 + D^OX = ctd2 +c2dt thì đặt y =(atx + a2)(btx + b2) rồi biến đổi như trên.

Bài tâp áp dung:

6) (X2+4X + 3)(X2+6X + 8)-24

1) jc(;t + 4)(;t + 6)(;t + 10) + 128

7) (x2-6x + 5)(x2-10x + 2l)-20 *)(

2) (jc-l)(;t-3)(;t-5)(;t-7)-20

X 2 + X — 2^x2 + 9x + 18) — 28

— 1)(JC + 1)(JC + 2) — 3

3)

9) ự -5x
+ ó)(x2 -15X + 5ÓỊ-144
2
4) ( x - l ) ( x - 5 ) ( x - A ) ( x - 2 ) - 1 2 5) (JC +8JC + 12)(^C 2 +12JC + 32) + 216 Dang 12: Đăt biển phu
10) (JC -11JC + 28)(JC -7JC + 10)dang đẳng cấp
72
PHƯƠNG PHÁP: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để
thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra nhân tử đối với đa thức mới, thay trở
lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.
Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (x2+l)2+3x(x2+l) + 2x2
2) lữ[x2-2x + ì)ậ-9x2[x2-Ix + Ì)1 -X*
Giải:
1)
(x2+l)2+3x(x2
2

+l) + 2x2 Đặt X2 +l =
t
Ịx 2 +1^ + 3x Ịx 2 +1^ + 2x 2 = t 2 + 3 x t + 2 x 2 = t 2 + 2 x t + x t + 2 x 2
= t{t + 2x) + X [t + 2x) = [t + 2x){t + x) = (x2 +1 + 2xỊ (x2 +1 + xỊ = (x2 +1 + 2xỊ (x2 +1 + xỊ = (x

+1)2

2) lữ[x2 -2x + ì ) ậ -9x2[x2 -2X + Ì)1 - X *
Đặt X2 - 2X + 3 = t
10 (x2 -2x + 3)4 - 9 x 2 [ X 2 - 2 X + Ì ) 1 - X 4 = l ồ t 4 - 9 x 2 t 2 - X 4 =10f4 -10x 2 t 2 + x 2 t 2 - X 4 =
\ữt2{t2-x2) + x2{t2-x2) = {t2-x2){\ữt2+x2)
= (f + x)(f-x)Ịl0f2 + X2Ị = Ịx2-2x + 3 + xỊỊx2- 2x + 3 - x) loỊx2-2x + 3) +X2 =
Ị x 2 - x + 3ỊỊx2-3x + 3) loỊx2-2x + 3) +X2
Bài tâp áp dung:
1) Ịx2+4x + 8) + 3 x ị x 2 + 4 x + Ò } +
2x2
2) 3ị-x2 +2x +3} -26x2 Ị-X2+2X + 3Ị -9x4
3) Ịx2-l) +x(x2-l)-2x2

6) (x2 - X +1Ị - 5 x (x2 — JC +1) + 4x2
7) ị x 2 - x + 2 } - 3 x 2 ị x 2 - x + 2 } + 2 x 4
8) ? > ị - x 2 + 2 x + 3 } - 2 6 x 2 ị ^ - x 2 + 2 x +
3^ -9x4

4) Ịx2+4x + 8) +3xịx2 +4X + Ò} + 2X2

9) -óỊ-x2-x + l) + x2 Ị-X2-x + l) +5x4

5) 4^x2+x + l) + 5XỊX2+x + l) + x2 Dang

10)Ịx2-x-l) + l x 2 ị x 2 - X - Ì } +12x4

13: Đăt biến phu dang hồi quy


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) XA +6xĩ +\\x2 +6x + \
Giải:
1) XA + 6x3 + Ì Ì X

2

+

2) 2XA-5XĨ-21X2+25X + 50

6x +1

Giả sử * * 0, ta viết dưới dạng:
A — X + ôx +1 lx + ôx +1 — ( 6 1 'ì
2 Ỵ 2 n
X
X2 + ỗx + 11 H 1—ỹ = x
X +2
^ XX)
\X)

+6

(^

x + — +11
\ X)

Đãt x + - = t thì X 2 + \ = t 2 - 2 . Do
đó
X

X

í0
= (x2 + 3x + l)
2
X
x
+
+
3x
A = X [t -2 + 6t + \\) = X {t + íf ={xt + 3x)
K X)
2 ) 2 x a - 5 x 3 - 2 1 X 2 + 2 5 x + 5 0 Giả sử * * 0, ta viết dưới dạng:
A = 2xa- 5x3 - 21X2 + 25* + 50 =
2 e 25 50^
( 2 25^
2
( ^—X- -27
X2
2x — 5x — 27 H 1—ỹ = x 2 x2+=y
^ XX)
KX)
\ X)
Đãt x - - = t thì X 2 + = t 2 +10. Do đó
X
X

2

2

2

2(f2 + lo)-5f-27]
= x 2 { 2 t 2 + 2 0 - 5 t - 2 l ) = x 2 { 2 t 2 - 5 t - l ) = x 2 (f + l)(2f-7)

(

2
2
2\ X - — 1 - = (x +x-5^ị2x — 7JC —
10^
7
với a-1 bi = CỊĨIỊ và = c,d,
Bài tâp áp dung:
2
A
2
PHƯƠNG
về X
dạng
phụ
+ 7đặt
x 3 biến
+ 14x
+ dạng
\ 4 x đẳng cấp. Qua ví dụ

1) XA + PHÁP
x3 -4x:Mục
+ Xđích
+ 1 của phương pháp này là đưa5)
2
cụ2)thể
thấy
X Acác
+ em
6x3 sẽ
+ lx
+ được
6x +1phương pháp của dạng này. + 4
3
Ví3)dụXA14:
thành nhân tử:
6) X A - Ì O x 3 + 2 6 x 2
+5XPhân
-\2X2tích
+5Xđa
+ thức
Ì
2
3
1) (3x4)+ 62)(
XX-2 9)(
- ÌOx + l 1) X A
X 3x
+ 5-X5)(
-38

+ 5X9x + 10) + 24x Giải:
Dễ
thấy14:
a^6=Đăt
3.3biền
= 9.1phu
= c^!
và aP(x)
2b2 = 2.(-5) =(-l).10 =c2d-2\ ồ x 3
- \ 5 x 2+ d2l
+
Dang
dang
= (a,x + a,)(bỊX + ỊT,)(CỊX + c,)(dỊX
2
2
2
__ = (9x -__9xr - 10) (9x + 9x - 10) + 24x
P(x)
+ 2 Ồ X + 4 8)
2
Đặt y = (3x +2)(3x - 5) = 9x - 9x - 10 thì P(x) trở thành: 3 x A + 6 x 3 - 3 3 x 2
- 24x +4%
Q(y) = y(y + lOx) = 24x2
Tìm m.n = 24x2 và m + n = lOx ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + lOxy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)

X- —
2 + 1 X
A = x

=X

A

GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

Do đó:

P(x) = ( 9x2 - 3x - 10)(9x2 - 5x - 10).

Bài tâp áp dung:
1) (jc-l)(;t + 2)(;t + 3)(;t-6) + 32;t2
2) (x + l)(;t-4)(;t-l-2)(;t-8)-l-4;t 2

5) (x-2)(;t-4)(;t-5)(;t-10)-54;t 2
6) (jc + 2)(;t-4)(;t + 6)(;t-12) + 36;t2
7) 4(jc + 5)(;t + 6)(;t + 10)(;t +

3) (x-2)(;t-3)(;t-6)(;t-4)-72;t2
4) (JC + 3)(^C — l)(jc — 5)(^c + 15) + 64^c2

12)-3;t 2

Dang 15: Dang đoán nghiêm PHƯƠNG PHÁP: 8) (JC + 2)(JC + 3)+ 8 ) + 1 2 ) —
❖Nếu đa thức /(x) = anxn + AU*"'1 +...
4^+
c 2axx + «0 có nghiệm nguyên là X = x 0 thì x0

là một uớc của hệ số tự do aữ, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử X = x 0.
Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của nó để định
huớng cho việc phân tích ra nhân tử.
❖ Nếu đa thức /(x) = a„xn + oux"'1 +... + axx + «0 có nghiệm hữu tỉ là X = — (dạng tối giản)
q

thì p là một uớc của hệ số tự do aữ còn q là uớc duơng của hệ số cao nhất an. Khi phân tích f(x) ra
nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx - p.
Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2) f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
l) f(x) = x 3 - x 2 - 4 Giải:
1) f(x) = X3 - X2 - 4
Ta lần luợt kiểm tra với X = ±1; ±2; ±4 ta thấy f(2) = 0.
Đa thức f(x) có nghiệm X = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử X - 2.
Từ đó: f(x) = X3 - X2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4)
= x2(x - 2) + X (x - 2) + 2 (x - 2)
= (x - 2)(x2 + X + 2).
2) f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
Theo ví dụ 4, ta thấy các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Nhu vậy đa thức không có
nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
15

'

\

Xét các sô ± -;±-, ta thây - là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân tử, đa thức chứa nhân
tử 3x - 1.
Từ đó: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - X2) - (6x2 - 2x) + (15x - 5)
= X2(3X - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1)

= (3x - l)(x2 - 2x + 5).
Bài tâp áp dung:
1) f(x)=x3- 6x2 +1 lx - 6
2) g(x) = X5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
3) h(x) = 2x4 + 7x3 - 2x2 - 13x + 6.
GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu

-23 -


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ

Dang 16: Đăt biển phu dang khác
Phương pháp: Đối với dạng này chúng ta cần biến đổi thêm một số bước để đưa về dạng trên.
Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (2JC + 1)(JC + 1)2(2JC + 3)-18
2) (4* + 1)(12JC-1)(3JC + 2)(;C + 1)-4
Giải:
1) = (2JC + 1)(^C + 1)2(2JC + 3)-18 = (2JC + 1)(2JC + 3)(^C + 1)2-18 = (4^c2 + 8JC + 3)(JC2
+ 2JC +1)-18 Đặt X 2 + 2 x + l = t

^4 = (4r-l)r-18 = 4/12-r-18 = (r+ 2)(4/‘-9) = (JC2 +2JC + 1 + 2)[4(^C2 +2JC + I)-9~
= (x2 +2x + ì)[4x 2 +8X + 4-9) = (X2 +2x + Ì)[4x2 +8X-5)
2) yí = (4* + 1)(12JC-1)(3JC + 2)(;C + 1)-4 = (4JC + 1)(3JC + 2)
(12;C-1)(JC + 1)-4 = ịỉ2x 2 +1 bc + 2)(l2x 2 +1 bc -1) - 4
Đặt 12x2+lbc + 2 = f
A = t{t-í)-4 = t2 -lt-4 = {t + í){t-4) = [\2x2 +Ux + 2 + l)[\2x2 + I Ì X + 2-À)
= (l2x2 +1 1JC + 3)(12JC2 +1 1JC - 2)

Bài tâp áp dung:

1) (6X + 5)2(3X + 2)(X + 1)-35
2) (2* + 1)(JC-1)(JC-3)(2JC-3) + 9
Dang 17: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đăt biển phu
dang hê số bất đinh
Phương pháp: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức
là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng
nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.

f(x) = a xn + a +... + axx + ct0
g ( x ) = b x n + b xn'A + ... + h x +

bn
oV/

n

n-\

1

0

f ( x ) = g( x ) = > a n = b n ; a n _ l = b n _ l ; . . . .; a l = b l ; a 0 = b 0
Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) f(x) = X2 + 3x + 2
2) g(x) = x3- 19x - 30
3) h(x) = X4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
4) f(x) = X4 - 6x3 + 12x2 - 14x
+ 3 Giải:

1) f(x) = X2 + 3x + 2