DE THI THU LAN 2

ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2009
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
23
23
+−=
xxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
theo tham số m.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình
( )
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
b) Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .− + =
Câu III ( 2 điểm)

a) Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π
−
=
∫
b) Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng minh
rằng
0)(
=
xf
có đúng hai nghiệm.
Câu IV (2 điểm) Trong không gian

Oxyz
cho đường thẳng d:
3
2
12
1
−
+
==
−
zyx
và mặt phẳng
012:)(
=−++
zyxP
a) Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương trình
của đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm

)0,0,1(I
tới
)(Q
bằng
3
2
.
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng
Oxy
cho
ABC
∆
có
( )
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Viết phương
trình ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
( )
60
3
2 3 .+

Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
b) Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam giác đều.
Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2009
Câu I 2 điểm
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

3 2
3 2y x x .= − +
• Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.=
• Sự biến thiên:
2
3 6y' x x.= −
Ta có
0
0
2
x
y'
x
=

= ⇔

=

0,25
•
( ) ( )
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .= = = = −
0,25
• Bảng biến thiên:
x
−∞

0 2
+∞
y'


+
0
−
0
+

y

2
+∞
−∞

2−
0,25
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx

theo tham số m.
• Ta có
( )
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m, x .
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−
Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của
( )
( )
2
2 2 1y x x x , C'= − − −
và
đường thẳng
1y m,x .= ≠
0,25
• Vì
( )
( )
( )
2
1
2 2 1
1
f x khi x

y x x x
f x khi x
>

= − − − =

− <


nên
( )
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x .
=
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x
=
qua Ox.
0,25
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Dựa vào đồ thị ta có:
+
2m :
< −
Phương trình vô nghiệm;
+
2m := −

Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
2 0m :
− < <
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0m :≥
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
0,25
Câu II 2 điểm
a) Giải phương trình
( )
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
• Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )
2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x+ − + =
0,75
• Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 2
2 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ; x k ; x ; x
π π π π π π
π π
= − + = + = + = +
0,25
b)

Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .− + =
• Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ; x ; x ; x .> ≠ ≠ ≠

• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
• Với
1x ≠
. Đặt
2
x
t log=
và biến đổi phương trình về dạng
0,5
2 42 20
0
1 4 1 2 1t t t
− + =
− + +
• Giải ra ta được
1 1

2 4
2
2
t ;t x ; x .= = − ⇒ = =
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ; x .= =
0,25
Câu III
a)
Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π
−
=
∫
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 3
3
3
3 3
1 4

3
x dx
I xd J ,
cosx cosx cosx
π π
π
π
π π
π
−
− −
 
= = − = −
 ÷
 
∫ ∫
với
3
3
dx
J
cosx
π
π
−
=
∫
0,25
• Để tính J ta đặt
t sin x.=

Khi đó
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
1 2 1
2 3
dx dt t
J ln ln .
cosx t t
π
π
−
−
−
− −
= = = − = −
− +
+
∫ ∫
0,5
• Vậy

4 2 3
3
2 3
I ln .
π
−
= −
+
0,25
b)
Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng
minh rằng
0)(
=
xf
có đúng hai nghiệm.
• Ta có
x
f ( x ) e x cos x.

′
= + −
Do đó
( )
0
x
f ' x e x cos x.= ⇔ = − +
0,25
• Hàm số
x
y e=
là hàm đồng biến; hàm số
y x cosx
= − +
là hàm nghịch biến vì
1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀
. Mặt khác
0
=
x
là nghiệm của phương trình
x
e x cos x= − +
nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25
• Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
(học sinh tự làm) ta đi đến kết luận
phương trình

0)(
=
xf
có đúng hai nghiệm.
• Từ bảng biến thiên ta có
( )
2 0min f x x .= − ⇔ =
0,5
Câu IV
a)
Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương
trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
• Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;
 
−
 ÷

 
0,25
• Ta có
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 1 1 1 2 0
d P d p
u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;
∆
 
= − = ⇒ = = −
 
uur uur uur uur uur
0,5
• Vậy phương trình đường thẳng
∆
là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t; z .∆ = + = − = −
0,25
b) Viết
)(Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
)0,0,1(I
tới
)(Q
bằng
3
2

.
• Chuyển d về dạng tổng quát
2 1 0
3 2 0
x y
d :
y z
− − =


+ + =

0,25
• Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
( ) ( )
2 2
2 1 3 2 0 0m x y n y z ,m n− − + + + = + ≠

( )
2 3 2 0mx m n y nz m n⇔ − − + − + =
0,25
•
( )
( )
( ) ( )
1 2
2
1 0 7 5 3 0
3
d I ; Q Q : x y z , Q : x y z .= ⇒ + + + = + + + =

0,5
Câu VIa
a)
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
ABC
∆
có
( )
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
• Ta có
( )
1 2
2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .= ∩ ⇒ − − ⇒ − + =
0,25
• Gọi
A'
đối xứng với A qua
( ) ( )
1
2 3 4 1d H ; , A' ; .⇒

0,25
• Ta có
3 1 0A' BC BC : x y .∈ ⇒ − − =
0,25
• Tìm được
( )
28 9 7 35 0C ; AC : x y .⇒ − + =
0,25
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
( )
60
3
2 3 .+
• Ta có
( )
60
60
60
3
3
2
60
0
2 3 2 3
kk
k
k
C .
−
=

+ =
∑

0,5
• Để là số hữu tỷ thì
( )
60 2 2
6
3
k k
k .
k
− ⇒

⇒



M M
M
M
Mặt khác
0 60k≤ ≤
nên có 11
số như vậy.
0,5
Câu Vb
a)
Giải phương trình
12

9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
• Biến đổi phương trình đã cho về dạng
2 2 2 2
9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .+ = −
0,5
• Từ đó ta thu được
3
2
3 2 2
2
39 39
x
x log
 
= ⇔ =
 ÷
 

0,5
b)
Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam
giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.⊥
Gọi
I AC' SO.= ∩

0,25
• Kẻ
B' D'
//
BD.
Ta có

2
1 1 2 3 3
2 2 3 2 6
AD' C' B'
a a
S B' D' .AC' . BD. .= = =
0,5