CHUYEN DE 13

Chuyên đề : H ệ ph ươ ng trình
CHUYÊN ĐỀ 13: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ bậc nhất hai ẩn số
Câu 1. Cho hệ phương trình:
3
2 1
x my m
mx y m
+ =


+ = +

a) Giải và biện luận hệ (I).
b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất
0 0
( ; )x y
, tìm các giá trị nguyên của
m
sao cho
0 0
vaø x y
đều là những số nguyên.
Câu 2. a) Giải và biện luận theo tham số
a
hệ phương trình:
6 (2 ) 3
( 1) 2
ax a x
a x ay
+ − =



− − =

b) Giả sử
( , )x y
là nghiệm của hệ. Tìm một hệ thức giữa
vaø x y
độc lập đối với
a
?
Câu 3. Cho hệ phương trình:
2
4 4
( 3) 2 3
mx y m
x m y m

+ = +


+ + = +


a) Với các giá trị nào của
m
thì hệ có nghiệm duy nhất
( , )x y
thỏa mãn điều kiện
x y≥

.
b) Với các giá trị
m
tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
x y
+
?
Câu 4. Tìm điều kiện của tham số
m
để hệ phương trình
( 1) 4
3 5
m x my
x y m
+ − =


− =

có nghiệm
( , )x y

thỏa mãn
2x y− <
.
Câu 5. a) Tìm
a
để với mọi
b
luôn tồn tại

c
để hệ có nghiệm:
2
( 6) 1
bx y ac
b x by c

− =


− + = +


b) Tìm
,a b
để hệ sau có nghiệm với mọi
m
:
( 3) 4 5 3
2 2 1
m x y a b m
x my ma b m
+ + = + +


+ = − + −

c) Tìm
a
để hệ có nghiệm với mọi

2 2
2
( 1) ( 1) 2
:
1
a y
x b
b
a bxy x y

+ + + =


+ + =


d) Tìm
,a b
để hệ có nghiệm
2( ) 2 1
3 4.3 3 0
1997
x y x y
ax by
− − + −

− + >


+ =



e) Tìm
a
để hệ có nghiệm với mọi
b R∈
:
2 2
3 3
2 ( 1)
( 1) 1
bx
a by a
a x y

+ + =


− + =


f) Tìm GTNN của
| 3 2 | | 3 |Q x ay x y a= − + + + +
g) Tìm GTNN của biểu thức
2 2
( 2 1) (2 5)Q x y x ay= − + + + +
Câu 6. Tìm
a
để với mọi
b

luôn tồn tại
c
để hệ có nghiệm:
2
2 2
2
) ) )
(1 ) 1
x y a bx y a
bx y ac
a b c
bx b y c c x by ac x by c c
+ = + =
  
+ =
  
  
+ − = + + = + + = +
  
  
II. Hệ đối xứng loại I.
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 3
19
( )(8 ) 2
x y
x y xy

+ =



+ + =


b)
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y

+ + =


+ + =


Bài tập luyện thi Đại học 1
Chuyên đề : H ệ ph ươ ng trình
c)
2 2
4
2
x xy y
x xy y

+ + =



+ + =


d)
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


e)
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y

+ =


+ =



f)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


− + =


g)
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y

+ + =


+ + =


h)
2 2

( 1) ( 1) 4
(1 )(1 ) 6
x x y y
x y

+ + + + + =


− − =


i)
3 3
8
2 2
x y
x y xy

+ =


+ + =


j)
2 2
2 2
1 1
5
1 1

9
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


k)
2 2
2 2
( 1) ( 1) 27
( 1)( 1) 10
x y xy
x y xy

+ + =


+ + =


l)
11

6 6
11
x y xy
xy
x y
+ + =



+ + =


m)
5
6
13
x y xy
x y

+ =



+ =

n)
2 2
2 2
1
( ) 1 5

1 1
( ) 49
x y
xy
x y
x y

 
+ + =

 ÷
 


 

+ + =
 ÷

 

o)
2
3 3 4
x y
x y

+ =



+ + + =


p)
7
1
78
x y
y x
xy
x xy y xy

+ = +



+ =

q)
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =




− + + =

r)
3
3
9
5
x y
x y

+ =


+ =


s)
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y

+ + =


+ =


Câu 2. Cho hệ phương trình:

2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

+ + + =


+ + =


a) Giải hệ phương trình khi
12m =
b) Tìm
m
để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 3. a) Tìm
m
để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm:
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y m
x y

+ = +



+ =


b) Tìm
m
để hệ phương trình
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +



+ =


có nghiệm
0, 0x y> >
.
c) Tìm
m
để hệ sau có nghiệm:
2 2
x xy y m
x y m
+ + =



+ =



Bài tập luyện thi Đại học 2
Chuyên đề : H ệ ph ươ ng trình
d) Tìm
m
để hệ sau có nghiệm:
2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =



+ = −


e) Định
m
để hệ sau có bốn nghiệm phn biệt:



−=+
=++
myx
mxyyx
23
22

f) Định
m
để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm:



+−=++
+=++
)12(
1
22
mxyyx
mxyyx
g) Định
m
để cc hệ phuơng trình sau có nghiệm:
a)



+=+++
=++
1)(4
)4)(4(
22
myxyx
myxxy
b)




=+++
−=++
myxyx
myxxy
2)(2
65)2)(2(
22
h) Cho hệ phương trình:



=+
+=++
myxxy
myx
3)(
4)1)(1(
, định
m
để hệ có 4 nghiệm phn biệt.
i) Tìm
m
để hệ phương trình sau có nghiệm:
1
1 3
x y
x x y y m

+ =



+ = −


Câu 4. a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của
m
, hệ phương trình sau luôn có nghiệm:
2 2 2
2 1x xy y m
x y xy m m
+ + = +



+ = +


b) Tìm
m
để hệ có nghiệm duy nhất.
Câu 5. Cho hệ phương trình
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

+ + + =



+ + =


a) Giải hệ với
12m
=
b) Với những giá trị nào của
m
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm?
Câu 6.. Giả sử
( , )x y
là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −



+ = + −


Xác định
a
để tích
xy
là nhỏ nhất?

Câu 7. Cho hệ phương trình:
1 1 3
1 1 1 1
x y
x y y x x y m

+ + + =


+ + + + + + + =


a) Giải hệ phương trình với
6m =
.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hệ phương trình có nghiệm.
III. Hệ đối xứng loại II
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y


+ =




+ =


b)
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x

= +


= +


c)
3 4
3 4
y
x y
x
x
y x

y

− =




− =


d)
2 2
2 2
x y
x y

+ − =


− + =


e)
1 3
1 3
y x
x y

+ − =



+ − =


f)
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −



= +

Bài tập luyện thi Đại học 3
Chuyên đề : H ệ ph ươ ng trình
g)
2
2
2
2
2
3
2
3
y

y
x
x
x
y

+
=



+

=


h)
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y

+ =





+ =


Câu 2. Tìm các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có nghiệm:
a)
1 2
2 1
x y m
x y m

+ + − =


− + + =


b)
1
1 1
x y m
y x

+ + =



+ + =


c)
3
2
3
2
7
7
a
x y
x
a
y x
y

+ =




+ =


Câu 3. Tìm giá trị của
m
để các hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
a)
2

2
1
2 1
1
2 1
x y m
x
y x m
y

 
− = −
 ÷

 


 

− = −
 ÷

 

b)
2
2
( 1)
( 1)
xy x m y

xy y m x

+ = −


+ = −


c)
2
2
2
2
2
2
a
x y
y
a
y x
x

= +




= +



d)
2 3 2
2 3 2
4
4
x y y ay
y x x ax

= − +


= − +


e)
1 7
1 7
x y a
y x a

+ + − =


+ + − =


f)
1 6 37 6
1 6 37 6
x y a

y x a

+ + − =


+ + − =


III. Hệ phương trình đẳng cấp
Câu 1. Giải các hệ phương trình:
a)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y

+ − =


− − =


b)
3 3
7
( ) 2
x y
xy x y


− =


− =


c)
3 3
7
( ) 2
x y
xy x y

− =


− =


d)
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y

− =



+ =


e)
2 2
2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y

− + = −


− + =


Câu 2. Cho hệ phương trình:
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y m

+ + =


+ + = +



, giải hệ phương trình với
0m
=
và tìm giá
trị của
m
để hệ có nghiệm?
Câu 3. Chứng minh rằng với mọi
m
hệ phương trình:
2 2
2
4
3
x xy y m
y xy m

− + =


− =


luôn có nghiệm.
IV. Một số hệ phương trình khác
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2

3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
− − =



+ − − =


b)
1 9
( ) 2
2
1 5
( ) 2
2
x y
xy
x y
xy

 
+ − =

 ÷
  

 


− + =
 ÷

 

Bài tập luyện thi Đại học 4
Chuyên đề : H ệ ph ươ ng trình
c)
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y

+ − + =


− − − =


d)
2 2 2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y

x y

+ − − + − =


+ + =

−

e)
2 2 2
2
3 5
2 3
x x y y
x y

+ + =


+ =


f)
2 2
2 2
2 5 2 1 0
4 12 12 10 0
x xy y x y
x xy y x y


+ + + + + =


+ + + + + =


g)
2 2
102
69
x y x y
xy x y

+ − − =


+ + =


h)
( )
2
( ) 3
x
x y y
x y x y

− =




+ =

i)
2 2
2
3 2 3 5
3
3 2 5
x
y y x
x y

+ − + = +



− =

j)
6
12
2 2 2
3
x y z
xy yz zx
x y z



+ + =


+ + =



+ + =


k)
2
2
2
5
( )
3
( ) 3
1
( )
3
x y z
y z x
z x y

− = −



− =




− =


l)
2 2
2 2
6 2 11 3
5
x y xy x y
x y

− − − + =


+ =


Câu 2. Cho hệ phương trình:
2 2
2 2
( )
3
x y a x y x y a
x y bxy

− + + = − +



+ + =


a) Giải hệ phương trình với
1a b= =
b) Xác định tấc cả các giá trị của
a
và
b
để hệ phương trình có nhiều hơn bốn nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện thi Đại học 5