đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 13

Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn (13)
Môn : Toán chung
(Thời gian làm bài 150 phút)
Không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2 điểm)
Cho P =
xy
yx
xxy
y
yxy
x
+


+
+
.
a, Rút gọn P.
b, Chứng minh rằng nếu
5
1
+
+
=
y
x
y
x
thì P có giá trị không đổi.
Bài 2 ( 2 điểm)

Tính giá trị biểu thức Q =
1
22
5
56
+
+
a
aaa
Biết
zxyx
a
+
=
+
5
và
)2)((
16
)(
25
2
zyxyzzx
++
=
+
.
Bài 3 ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 ẩn : x
2

2mx + 2m 1 = 0.
Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài 4 ( 2 điểm)
Xác định a, b để hệ phơng trình :



=+
=
1
2
byax
bayx
a, Có nghiệm là x =1, y = 2
b, Có vô số nghiệm.
Bài 5 ( 2 điểm)
Giải phơng trình :
12221222
++
xxxx
= 2
Bài 6 ( 2 điểm)
Cho hàm số y = ax
2
(a 0)
a, Xác định a biết đờng cong y = ax
2
đi qua điểm A(3;3). Vẽ đồ thị của
hàm số tìm đợc.
b, Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc m (m 0) và đi qua điểm

(1;0). Tìm m để đờng thẳng đó tiếp xúc với parabol y =
3
1
x
2
.
Bài 7 (2 điểm)
Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1.
Tìm GTNN của biểu thức :
E =
)(
1
)(
1
)(
1
333
yxzxzyzyx
+
+
+
+
+
.
Bài 8 ( 2 điểm)
Cho ABC cân (AB=AC, gócBAC = 45
0
). Một điểm M ở trên cạnh
BC sao cho MB < MC. Qua M lần lợt kẻ các đờng thẳng song song với AB,
AC cắt AC, AB tơng ứng tại các điểm H,I. Lấy điểm N đối xứng với M qua đ-

ờng thẳng HI; Gọi giao điểm của các đờng thẳng AN và BC là P.
a, Tứ giác AHMI là hình gì? INB là tam giác gì? Tại sao?
b, Chứng minh tứ giác AHIN là hình thang cân.
Bài 9 (2 điểm)
Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ một điểm M di
động trên đờng thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC
với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lợt tại H và K.
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một
điểm cố định.
b, Chứng minh rằng H di động trên một đờng tròn cố định.
c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác
MBOC nhỏ nhất.
Bài 10 ( 2 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. Gọi M, N, P lần lợt là
trung điểm của các cạnh BB', CC', C'D'.
a, Dựng giao tuyến của mặt phẳng(MNP) với các mặt (A'B'C'D') và mặt
phẳng (AA'B'B)
b, Tính tỷ số thể tích của hai phần hình lập phơng do mặt phẳng (MNP)
cắt ra.
Đáp án - Hớng dẫn chấm
Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán chung
Bài Lời giải Điểm
Bài 1 2 điểm
a,
§iÒu kiÖn xy > 0, x ≠ y
P =
xy
yx
xyxy

yxxyyx
+
−
−
+−+
)(
))((
P =
xy
yx
−
+
0.5 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
b,
Do
y
x
=
5
1
+
+
y
x
⇒ y = 5x
Ta cã P =
xy
yx

−
+
=
x
x
4
6
=
2
3
⇒ P cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi
0.5 ®iÓm
0.5 ®iÓm
Bµi 2 2 ®iÓm
Ta cã
zyx
a
yz
a
zxyx
a
++
+
=
−
−
=
+
=
+

2
555
Suy ra
2
)(
25
zx
+
=
)2)((
)5)(5(
zyxyz
aa
++−
+−
=
=
)2)((
25
2
zyxyz
a
++−
−
=
)2)((
16
zyxyz
++−
Suy ra 25 – a

2
= 16 ⇒ a
2
= 9 ⇒ a= ±3
MÆt kh¸c Q =
1
22
5
56
+
−+−
a
aaa
=
1
)2()2(
5
5
+
−+−
a
aaa
=
=
1
)1)(2(
5
5
+
+−

a
aa
= a – 2, víi a ≠ - 1
Víi a = 3 th× P = 1
víi a = -3 th× P = -5
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
Bài 3 2 điểm
Giả sử x
1
= 2x
2




=
=
)2(122
)1(23
2
2
2
mx
mx

2x
2
2
3x
2
+ 1 = 0




=
=
2
1
1
2
2
x
x
Với x
2
= 1 x
1
= 2 m =
2
3
Với x
2
=

2
1
x
1
= 1 m =
4
3

0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 4 2 điểm
a,
Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 khi



=
=+
12
22
ba
ba
a =
3
5

; b =
3

4

0.5 điểm
0.5 điểm
b,




=+
=
)2(1
)1(2
byax
bayx
Từ (1) x =
2
ayb
+
thay vào (2) ta có a.
2
ayb
+
+ by = 1
y(a
2
+ 2b) = 2 ab (3). Phơng trình (3) có vô số nghiệm khi

=
=+
02
02
2
ab
ba




=
=
3
3
2
4
b
a
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 5
Điều kiện : x
2
1
Phơng trình
12

x
+ 1 + |

12

x
- 1 | = 2
|
12

x
- 1 | = 1 -
12

x
Đặt y =
12

x
, y 0
Phơng trình: | y 1 | = 1 y y 1.
Kết hợp với điều kiện 0 y 1 0
12

x
1
2
1
x 1
Đáp số :
2
1
x 1

0.5 điểm
0.5 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 6 2 điểm
a,
Đờng cong y = ax
2
đi qua A(3;3) a =
3
1

y =
3
1
x
2
0.5 điểm
0.5 điểm
b, Đờng thẳng có hệ số góc m có dạng y = mx + b
qua (1;0) b = - m đờng thẳng y = mx m
Đờng thẳng y = mx m tiếp xúc với (P) y =
3
1
x
2
khi phơng trình
3

1
x
2
= mx m (1) có nghiệm 1 nghiệm kép m =
3
4
đờng thẳng y =
3
4
x -
3
4
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 7 2 điểm
Đặt a =
x
1
, b =
y
1
, c =
z
1
abc =
xyz
1
= 1

x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)
E =
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ba
c
+
2
Dễ dàng chứng minh đợc
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+

2
3
Nhân hai vế với a + b + c > 0

cb
cbaa
+
++
)(
+
ac
cbab
+
++
)(
+
ba
cbac
+
++
)(

2
3
(a+b+c)

cb
a
+

2
+
ac
b
+
2
+
ba
c
+
2

2
cba
++

2
3
3
abc

=
2
3
E
2
3
Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1
Vậy min E =
2

3
khi a = b = c = 1
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm