CHUYEN DE VEC TO (KHOI 10).doc

Trường THPT Lộc Thái GV: Hồng An Dinh
CHUYÊN ĐỀ VECTƠ
Dạng toán 1: Chứng minh hai véc tơ bằng nhau.
Phương pháp: Có thể dùng một trong những cách sau:
 Hai véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau
 Hai véc tơ có cùng độ dài và cùng hướng
 Hai véc tơ cùng bằng một véc tơ thứ ba
Câu 1. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR :
→
MQ
=
→
NP
Câu 2. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác đònh các vectơ cùng phương với
→
MN
b/ Xác đònh các vectơ bằng
→
NP
Câu 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→
EH
và
→
FG
bằng

→
AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
Câu 4. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ
→
CI
=
→
DA
. CMR : a/ I là trung điểm AB và
→
DI
=
→
CB
b/
→
AI
=
→
IB
=
→
DC
Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức véc tơ
Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức véc tơ ta cũng tiến hành như chứng minh
một đẳng thức đại số: Biến đổi VT thành VP hoặc biến đổi VP thành VT hoặc biến đổi
đẳng thức về một đẳng thức hiển nhiên đúng. Trong quá trình biến đổi chúng ta có thể
sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, các tính chất của phép cộng, trừ các
véc tơ, biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.

Câu 5. Với các điều kiện đã cho, chứng minh các đẳng thức sau:
a) Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AC
+
→
BD
=
→
AD
+
→
BC
b) Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR :
→
AB
+
→
CD
+
→
EA
=
→
CB
+
→
ED
c) Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
→

AD
+
→
BE
+
→
CF
=
→
AE
+
→
BF
+
→
CD
d) Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR :
→
AC
+
→
BF
+
→
GD
+
→
HE
=

→
AD
+
→
BE
+
→
GC
+
→
HF
Câu 6. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
→
DO
+
→
AO
=
→
AB
b/
→
OD
+
→
OC
=
→
BC

c/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

d/
→
MA
+
→
MC
=
→
MB
+
→
MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
Câu 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR :
→

OD
+
→
OC
=
→
AD
+
→
BC
Câu 8. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB
,
→
'CC
CMR :
→
'AA
+
→
'BB
+
→
'CC
=
→

'BA
+
→
'CB
+
→
'AC
.
Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối AB và
CD, O là trung điểm của cạnh EF. CMR :
Bài tập Hình học 10
1
Trường THPT Lộc Thái GV: Hồng An Dinh
a)
0OA OB OC OD+ + + =
uuu uuu uuu uuu 
.
b)
4MA MB MC MD MO+ + + =
uuu uuu uuuu uuuu uuuu
(với M bất kỳ)
Câu 10. Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và
A'B'C' thì
3 ' ' ' 'GG AA BB CC= + +
uuuu uuu uuu uuuu
Câu 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 
→→
+
ADAB
 theo a

Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính 
→→
+
ADAB
 b/ Dựng
u

=
→→
+
ACAB
. Tính 
u


Câu 13. Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng
v

=
→→
+
ACAB
. b/ Tính 
v

Câu 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuu uuu uuu uuu

có độ dài bằng nhau và
OA OB OC OD+ + +
uuu uuu uuu uuu
= 0. Chứng minh ABCD là
hình chữ nhật
Câu 15. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm
tùy ý.
a/ CMR :
→
AM
+
→
BN
+
→
CP
=
0

b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
=
→

OM
+
→
ON
+
→
OP
Câu 16. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M∈BC sao cho
→
BM
= 2
→
MC
a/ CMR :
→
AB
+ 2
→
AC
= 3
→
AM
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→

MC
= 3
→
MG
Câu 17. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung
điểm của EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF
b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0


c/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
= 4
→
MO
(với M tùy ý)
d/ Xác đònh vò trí của điểm M sao cho
→−
MA
+
→−
MB
+
→−
MC
+
→−
MD
 nhỏ nhất
Câu 18. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M

là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG
+
→
CH
+
→
DE
=
0

b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
=
→

ME
+
→
MF
+
→
MG
+
→
MH
c/ CMR :
→→
+
ACAB
+
→
AD
= 4
→
AG
(với G là trung điểm FH)
Câu 19. Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR :
→
AD
+
→
BE
+
→

CF
= 3
→
GH
Câu 20. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
a/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

b/
→
EA
+
→
EB
+ 2
→
EC
= 3

→
AB
c/
→
EB
+ 2
→
EA
+ 4
→
ED
=
→
EC
Câu 21. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AB
−
→
CD
=
→
AC
+
→
DB
Câu 22. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/*
→
CD

+
→
FA
−
→
BA
−
→
ED
+
→
BC
−
→
FE
=
0

b/
→
AD
−
→
FC
−
→
EB
=
→
CD

−
→
EA
−
→
FB
Bài tập Hình học 10
2
Trường THPT Lộc Thái GV: Hồng An Dinh
c/
→
AB
−
→
DC
−
→
FE
=
→
CF
−
→
DA
+
→
EB
Câu 23. Cho ∆ABC. Hãy xác đònh điểm M sao cho :
a/
→

MA
−
→
MB
+
→
MC
=
0

b/
→
MB
−
→
MC
+
→
BC
=
0

c/
→
MB
−
→
MC
+
→

MA
=
0

d/
→
MA
−
→
MB
−
→
MC
=
0

e/
→
MC
+
→
MA
−
→
MB
+
→
BC
=
0


Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính 
→
AD
−
→
AB
 b/ Dựng
u

=
→
CA
−
→
AB
. Tính 
u


Câu 25. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính 
→→
−
ACAB
 b/ Tính 
→
BA
−

→
BI

Câu 26. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính 
→→
−
ACAB

Câu 27. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm
tùy ý.
a/ CMR :
→
AM
+
→
BN
+
→
CP
=
0

b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→

OC
=
→
OM
+
→
ON
+
→
OP

Câu 28. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M ∈ BC sao cho
→
BM
= 2
→
MC
a/ CMR :
→
AB
+ 2
→
AC
= 3
→
AM
b/ CMR :
→
MA
+

→
MB
+
→
MC
= 3
→
MG
Câu 29. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung
điểm của EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF
b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→

OD
=
0

c/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
= 4
→
MO
(với M tùy ý)
Câu 30. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M
là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG
+
→

CH
+
→
DE
=
0

b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
=
→
ME
+
→
MF
+
→
MG
+
→

MH
c/ CMR :
→
AB
+
→
AC
+
→
AD
= 4
→
AG
(với G là trung điểm FH)
Câu 31. Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR :
→
AD
+
→
BE
+
→
CF
= 3
→
GH
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
→

OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

b/
→
EA
+
→
EB
+ 2
→
EC
= 3
→
AB
c/
→
EB
+ 2
→

EA
+ 4
→
ED

=
→
EC
Dạng toán 3: Xác đònh một điểm nhờ một đẳng thức véc tơ
Phương pháp: Để xác đònh điểm M nhờ một đẳng thức véc tơ, ta biến đổi đẳng thức
đó về dạng
PM v=
uuuu 
, trong đó P là một điểm cố đònh,
v

là một véc tơ đã biết. Khi
đó ta vẽ được điểm M.
Câu 33. Cho tam giác ABC. Hãy xác đònh điểm M thỏa mãn điều kiện
0MA MB MC− + =
uuu uuu uuuu 
(vẽ hình minh họa)
Câu 34. Cho hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M, N thỏa mãn:
Bài tập Hình học 10
3
Trường THPT Lộc Thái GV: Hồng An Dinh
a)
0MA MB MC− − =
uuu uuu uuuu 
b)

NC ND NA AB AD AC+ − = + −
uuu uuu uuu uuu uuu uuu
c)
MN BA=
uuuu uuu
Câu 35. Cho tứ giác ABCD. Xác đònh vò trí của điểm G sao cho
0GA GB GC GD+ + + =
uuu uuu uuu uuu 
.
Câu 36. Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K sao cho
2KA KB CB+ =
uuu uuu uuu
b) Tìm điểm M sao cho
2 0MA MB MC+ + =
uuu uuu uuuu 
Câu 37. Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác đònh các điểm G,P,Q,R,S sao cho:
0 ; 2 0 ; 3 2 0
0 ; 5 2 0
GA GB GC PA PB PC QA QB QC
RA RB RC SA SB SC
+ + = + + = + + =
− + = − − =
uuu uuu uuu  uuu uuu uuu uuu uuu uuu 
uuu uuu uuu  uu uu uuu 
b) Với điểm O bất kỳ và các điểm G,P,Q,R,S ở trên, chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
;
3 3 3 2 4 4

1 1 1 5 1
; ;
6 2 3 2 2
OG OA OB OC OP OA OB OC
OQ OA OB OC OR OA OB OC OS OA OB OC
= + + = + +
= + + = − + = − −
uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
Dạng toán 4: Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương
Phương pháp: Để phân tích véc tơ
OC
uuu
theo hai véc tơ không cùng phương
a

và
b


ta vẽ hình bình hành OACB sao cho
OA
uuu
cùng phương với
a

,
OB
uuu
cùng phương với

b

. Vì
;OA ha OB kb= =
uuu  uuu 
nên
OC ha kb= +
uuu  
.
Câu 38. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC. Hãy phân tích
AM
uuuu
theo hai
véc tơ
,AB AC
uuu uuu
.
Câu 39. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.
a) Hãy phân tích
AG
uuu
theo hai véc tơ
;AB AC
uuu uuu
b) Gọi E, F là hai điểm xác đònh bởi điều kiện
2 ; 3 2 0EA EB FA FC= + =
uuu uuu uuu uuu 
Hãy tính
EF
uuu

theo
;AB AC
uuu uuu
Câu 40. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm
trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính
, ,AI AJ theo AB AC
uu uu uuu uuu
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG
uuu
theo
AI
uuu
và AJ
uu
Câu 41. Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh
AC sao cho
→
AN
=
2
1
→
NC
. Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :
→
AK
=
4

1
→
AB
+
6
1
→
AC
b/ CMR :
→
KD
=
4
1
→
AB
+
3
1
→
AC
Câu 42. Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
→
AD
= 2
→
DB
,
→
CE

= 3
→
EA
. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/
→
AM
=
3
1
→
AB
+
8
1
→
AC
b/
→
MI
=
6
1
→
AB
+
8
3
→
AC

Dạng toán 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài tập Hình học 10
4
Trường THPT Lộc Thái GV: Hồng An Dinh
Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh
( 0)AB k AC hay BC k BA k= = ≠
uuu uuu uuu uuu
.
Câu 43. Cho 4 điểm A,B,C,M thỏa mãn hệ thức
2 3 0MA MB MC+ − =
uuu uuu uuuu 
. Chứng minh rằng
ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Câu 44. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là
điểm trên cạnh AC sao cho
1
3
AK AC=
. Chứng minh rằng B, I, K thẳng hàng.
Câu 45. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho
2
5
BD BC=
uuu uuu
. Gọi E là điểm
thỏa mãn điều kiện:
4 2 3 0EA EB EC+ + =
uuu uuu uuu 
.
a) Phân tích

;ED theo EB EC
uuu uuu uuu
b) Chứng minh A, E, D thẳng hàng
Câu 46. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn:
1
3 4 0 ;
2
MA MB CN BC+ = =
uuu uuu  uuu uuu
.
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Câu 47. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
→
AB
+ 3
→
AC
= 5
→
AD
. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Câu 48. Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho
→
MB
= 3
→
MC
;
→
NA

+3
→
NC
=
0

và
→
PA
+
→
PB
=
0

a/ Tính
→
PM
,
→
PN
theo
→
AB
và
→
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Câu 49. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng
với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và

A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Câu 50. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng
của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Câu 51. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/
MA MB=
uuu uuu
. b/
MA MB MC O+ + =
uuu uuu uuuu u
c/ |
CΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ 
uuuu uuuu uuuu uuuu
d/
C
3
ΜΑ + Β  = ΜΑ − ΜΒ
2
uuuu uuu uuuu uuuu
e/ |
C ΜΑ + Β  =ΜΑ − ΜΒ
uuuu uuu uuuu uuuu

Thầy mong các em cố gắng !
Bài tập Hình học 10
5
Trường THPT Lộc Thái GV: Hồng An Dinh
1. . TRỤC - TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.

1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của
→
AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2
→
MA
+ 5
→
MB
=
0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= −1
2. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho
→
MA
+
→
MB
−
→

MC
=
0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
→
NA
− 3
→
NB
=
→
NC
3. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA
− 2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3
NB
=
AB
4. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+

AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
IAID.IC
=
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
AJ.ABAD.AC
=
F. TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
5. Viết tọa độ của các vectơ sau :
a

=
i

− 3
j

,
b

=
2
1
i


+
j

;
c

= −
i

+
2
3
j

;
d

=
3
i

;
e

= −4
j

.
6. Viết dưới dạng
u


= x
i

+ y
j

, biết rằng :
u

= (1; 3) ;
u

= (4; −1) ;
u

= (0; −1) ;
u

= (1, 0) ;
u

= (0, 0)
7. Trong mp Oxy cho
a

= (−1; 3) ,
b

= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :

a/
u

= 3
a

− 2
b

b/
v

= 2
a

+
b

c/
w

= 4
a

−
2
1
b

8. Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ
→
AB
,
→
AC
,
→
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
→
CM
= 2
→
AB
− 3
→
AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :
→
AN
+ 2
→
BN
− 4
→
CN
=
0


9. Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a/ CMR : ∆ABC cân. Tính chu vi ∆ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
Bài tập Hình học 10
6