lý thuyết đường thẳng trong mặt phẳng và bài tập

ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1. Véc tơ pháp tuyến –véc tơ chỉ phương cuả đường thẳng :
 
* Vt n  0 : Gọi là vtpt cuảđt (d) ,nếu giácủa nó vuông góc với đt ( d) .
 
* a  0 : gọi là VTCP cuả đt ( d) .nếu giá song song hoặc trùng với đt ( d).


* Nếu đt ( d) có vtpt n  ( A; B) thì đt ( d) có vtcp là a  ( B;  A)
2-Phương trình tổng quát cuả đường thẳng:
*Định nghiã : Pt cuả đường thẳng có dạng :
đt ( d) : Ax + By + C = 0

Với : VTpt n  ( A; B) .

** Định lí : Đường thẳng (d) đi qua M(x0;y0) và có vtpt n  ( A; B) thì PTTQ là :
( d) A(x-x0)+ B(y-y0) = 0
** Chú y:
- Nếu (d  ) qua gốc O: Ax+By = 0.
- Ox :
y =0
- Oy :
x=0
- (d) // Ox : By + C = 0
- (d) // Oy: Ax + C = 0
- đt ( d) qua A(a;0) ; B(0;b) thì:
x y
(d )
 1
a b
- Cho (d) Ax + By+ C = 0 các đt song song với (d) PT đều có dạng:

Ax + By+ m = 0
- Các Đthẳng vuông góc với (d) PT đều có dạng :
Bx - Ay+ m = 0 .
3- Phương trình tham số – phương trình chính tắc của đường thẳng (d) :

*Định lý : (d) qua M(x0;y0) và có vtcp a  (a1; b1 )


PTTS (d)

 x  x0  a1t

 y  y0  a2t

tR

x  x0 y  y0

a1
a2
2- Các dạng khác của phương trình đường thẳng :
a) PT đường thẳng ( d) đi qua M(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng :
(d)
y = k ( x – x0 ) + y
a) PTđường thẳng qua hai điểm : A(xA;yA ) và B(xB;yB):
x  xB
y  yB

(d)
;( xA# xB ; yA# yB )

x A  xB y A  y B


PTCT (d) :

3- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng – chùm đường thẳng :


1- Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Cho hai đường thẳng : (d1) A1x +B1y+C1=0
(d2) A2x +B2y+C2=0
A
B
* (d1) cắt (d2)
 1  1
A2 B2
A B C
*(d1) song song (d2)  1  1  1
A2 B2 C2
A B C
* (d1)  (d2)
 1 1 1
A2 B2 C2
- Dùng định thức biện luận số giao điểm của hai đường thẳng .
2. Chùm đường thẳng :
 Định Nghiã :
 Định lí : Cho hai đường thẳng : (d1) A1x +B1y+C1=0 và(d2) A2x +B2y+C2=0
Mọi đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng trên thì có PTcó dạng :
m.( A1x +B1y+ C1) + n. (A2x +B2y + C2) = 0
với :

m2 + n2  0
6. Góc- khoảng cách .
a) Góc của hai đường thẳng :

- (d1) có vtpt :. n  ( A1; B )

- (d2) có vtpt : n  ( A2 ; B2 )
Gọi :   (d1 , d2 ) thì :

n1.n2
cos    
n1 . n2

 (d1)  (d2)  n1.n2  0
b) Khoảng cách :
+ Khoảng cách giữa hai điểm AB :

AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2
+ Khoảng cách từ một điểm đến đthẳng :

d  d ( M ; ) 

Ax0  By0  C

A2  B 2
+ Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :

A1 x  B1 y  C
A B
2

1

Chú y :

2
1



A2 x  B2 y  C
A22  B22

 
- Phương trình đường phân giác của góc tù cùng dấu với tích n1.n2  0


BÀI TẬP : ĐƯỜNG THẲNG .
BÀI TẬP TỰ LUẬN :
1- Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;1) và C(5; 4) . Viết phương trình tổng quát của :
a- Đường cao hạ từ đỉnh A .
b- Đường trung trực của AB .
c- đường thẳng qua A và ssong với trung tuyến CM của tam giác ABC .
d- Đường phân giác trong AD của tam giác ABC.
ĐS : 2x +3y -8= 0 ; 4x-2y-5= 0 ; 5x-6y+7=0
(AD) y – 2 = 0 .

DB
AB
1
HD :   

   D( 11/3; 2 )
AC
2
DC
2- Cho tam giác ABC có A(-3;6), B(1; -2) và C(6;3. Viết PT:
a-Pt các cạnh của tam giác ABC .
b_ Viết pt các đường cao của tam giác ABC .
c- Tìm toạ độ trực tâm , trọng tâm , tâm d8ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
d- Tính góc A của tam giác ABC .
e- Tính diện tích tam giác ABC .
3- Cho tam giác ABC có pt các cạnh :
(AB) 3x+y-8 = 0 , (AC) x+y – 6 = 0 và ( BC ) x -3y -6 = 0
a- Tìm toạ độ các đỉnh A ; B ; C .
b- CMR : Tam giác ABC vuông .
c- Tính diện tích tam giác ABC .
4- Cho tam giác ABC, biết C( -3; 2) và pt đường cao AH : x + 7y + 19 = 0 , phân giác AD
có PT : x + 3y + 7 = 0 . Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC .
HD: Tìm toạ độ A( 2 ; -3 ) pt BC : 7x-y+23 = 0
Pt AC : x+y+1 = 0 ; AB x-7y – 23 = 0 .
5- Cho (d1) x+ 2y – 6 = 0 và (d2) x- 3y +9 = 0
a- Tính góc tạo bởi d1 và d2 .
b- Viết các pt phân giác của d1 và d2 .
6- Cho 2 đường thẳng (d1)và (d2) đối xứng qua ( d ) có PT : x + 2y – 1 = 0 và (d1) qua
A(2;2) (d2 ) đi qua điểm B(1;-5). Viết PT tổng quát của (d1) ( d2 ) .
ĐS : x – 3y + 4 = o ; 3x + y + 2 = 0
6- Cho tam giác ABC cân tại A có pt :AB: 2x-y+3=0 ; BC : x+y-1 = 0. Viết pt của cạnh AC
biết nó qua gốc O .
HD: PT (AC) có dạng : kx – y = 0




Ta có : cos B  cos C  k= 2 ( loại ) vi //AC
k = ½ ( Nhận)
7- Cho đường thẳng (d) 3x-4y-3= 0 .
a- Tìm trên Ox điểm M cách d một khoảng là 3.
b- Tính khoảng cách giữa d và d/ : 3x-4y +8=0 .
ĐS:a- M(6;0) (-4;0) ; b- 11/5 .
8- Cho hình vuông ABCD có pt cạnh AB:x-3y+1=0 , tâm hình vuông I(0;2)
a- Tính diện tích hình vuông ABCD.
b- Viết PT các cạnh còn lại của hình vuông .
Giải :
a- Cạnh hvuông 2.d(I;AB) = 10 . S = 10


b- CD//AB: (CD)x-3y+m=0 m=11; m=1(L)
* AD và BC vuông góc AB.=> 3x+y+3=0;
3x+y-7=0 .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
x  1 t
Câu 1 : Cho (d) 
điểm nào sau đây thuộc d :
 y  3  2t
A.(-1;-3) B.(-1;2) . C.(2;1)đ D.(0;1)
Câu 2 :Cho đường thẳng d qua A(2;-1) và // 0x Có PT chính tắc là:
x  2 y 1
x  2 y 1
A
B.



1
0
2
1
x  2 y 1
x2
y 1
C.
đ
D.


1
0
0
1
Câu 3
Cho (d) 3x-4y -1 = 0 đường thẳng (d) có :

A. Vectơ chỉ phương ;
B. Vectơ pháp tuyến n  (3; 4) .
C. (d) qua M( 3;0).
D . (d) qua N(-1/3;0) .
 x  2t
Câu 4 :Khoảng cách từ M(4;-5) dến đường thẳng (d) 
bằng :
 y  2  3t
26
22

26
26
A.
;
B.
;
C.
;
D.
.
2
13
12
13
Câu 5 : Cho tam giác ABC có A(7;9), B(-5; 7) và C(12;-3) phương trình trung tuyến từ A
là:
A. 4x-y +19=0 ;
B. 4x-y-19=0 ;
C. 4x+y +19 = 0;
D. 4x+y - 19=0.
Câu 6 : Cho tam giác ABC cóA(7;9); B(-5; 7) và C(12;-3) pt đường cao kẻ từ A là :
A. 5x-12y +59=0;
B. 5x+12y-59=0;
C. 5x-12y -59=0;
D. 5x+12y
+59=0
Câu 7 Toạ độ hình chiếu của M( 4;1) trên đường thẳng (d) : x-2y+ 4 = 0 .
A.(14;-19) ;
B.(14/5;-17/5) ; C.(14/5;17/5)đ ;
D.(-14/5;17/5) .

Câu 8 : Cho tam giác ABC có A(1;3); B(-2; 4) và C(5;3) Trọng tâm của tam giác ABC có
toạ độ là :
A.(4/3;-10/3);
B.(4/3;8/3) ;
C.(4/3;-8/3) ;
D.(4/3;10/3) đ
Câu 9
Góc tạo bởi hai đường thẳng : d1: x +2y -6 = o ; d2: x -3y + 9 = 0 bằng :
A.600 ;
B.300 ;
C.450 đ;
D.900
Câu10
 x  1  3t
x3 y

Cho 2 đường thẳng : d1 : 
; d2:
3
1
 y  1  2t
Toạ độ của giao điểm của d1 và d2 là :
A.(-2;1/3) ;
B.(-1;1/3) ;
C.(1;-1/3) ;
D.(1;1/3) đ
Câu11
Cho hai đ thẳng : d1: 2x +3y -6 = o ; d2: 2x +3y -12 = 0 Khoảng cách giữa d1 vàd2 bằng :
4
3

6
5
A.
;
B.
;
C.
D.
d ;
5
13
13
13