ĐỀ tài BIẾN đổi BIỂU THỨC hữu tỉ

Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

MC LC
Mc Ni dung

Trang
M U

1
2
3
4
5
6
I
1
2
3
4
II
1
2
3
4
5
6
III
1
2

IV
V
1
2
VI
I
II
1
2

Lý do chn ti
iu tra thc trng trc khi nghiờn cu
Nguyờn nhõn
Mc ớch nghiờn cu
Phng phỏp nghiờn cu
Nhim v ca ti
NI DUNG TI
PHN I: Lí THUYT
Khái niệm phân thức:

2
3
5
6
7
7

Khái niệm biểu thức hữu tỉ.

9

9

Giá trị của biểu thức phân.

9

Chú ý:
Phần II: CC dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ
Đơn giản biểu thức

9

Chng minh ng thc
Chng minh giỏ tr ca biu thc khụng ph thuc vo bin
Tớnh giỏ tr ca biu thc hu t
Tỡm giỏ tr nguyờn ca bin giỏ tr ca biu thc l 1 s nguyờn
Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht
KT QU T C
Kt qu chung
Kt qu c th
BI HC KINH NGHIM
IU KN P DNG TI
i vi giỏo viờn
i vi hc sinh
NHNG VN CềN B NG
KT LUN V KIN NGH
KT LUN
KIN NGH
i vi giỏo viờn
i vi nh trng, t chuyờn mụn

TI LIU THAM KHO

9
11
13
14
16
18
19
19
20
20
21
21
21
22
22
22
22
24

....................................................................********************............................................
Trang 1
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

M U
1. Lý do chn ti
Toỏn hc l mụn hc chim v trớ quan trng trong nh trng ph thụng. Dy
hc toỏn tc l dy cho cỏc em phng phỏp suy lun khoa hc. Hc toỏn tc l rốn
kh nng t duy lụgic. Gii cỏc bi toỏn l vic lm tt nht giỳp hc sinh nm
vng tri thc, phỏt trin t duy, hỡnh thnh k nng, k xo.
Trong toỏn hc, cỏc bi toỏn v Bin i biu thc hu t ó cun hỳt v lm
say mờ lũng ngi. Cỏc bi toỏn v Bin i biu thc hu t luụn luụn cú trong
cỏc thi hc sinh gii cỏc cp v nú luụn l thỏch thc i vi cỏc thớ sinh d thi.
Biểu thức hữu tỉ và biến đổi các biểu thức hữu tỉ có vai
trò quan trọng trong việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS
, nó là một phần cơ bản trong chơng trình

Toán

của THCS.

Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho học sinh biết
cách biến đổi một một thức hữu tỉ mà còn phải định hớng mỗi
học sinh phát huy

đợc hết khả năng của mình để tìm tòi ,

khám phá những kiến thức, bài toán liên quan .
Trong chơng trình Toán 8. Sách giáo khoa đã cho học sinh
nghiên cứu rất kĩ về một trong những dạng biến đổi một biểu
thức hữu tỉ, cụ thể là chơng Phân thức đại số. Tuy nhiên bên
cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều các bi toán liên quan
nâng cao

mà

và

có ý nghĩa áp dụng cho học sinh phát huy hết

khả năng tìm tòi, sáng tạo đặc biệt là đối với học sinh khá - giỏi
Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học
sinh. Em xin đa ra một số bài toán cũng nh định hớng về cách
giải một số dạng Toán liên quan đến Biến đổi biểu thức hữu
tỉ của học sinh lớp 8 - THCS.
....................................................................********************............................................
Trang 2
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
....................................................................********************............................................

Để thực hiện được đề tài mà em đã chọn, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến
Ban giám hiệu, các phòng, khoa thuộc Trường Cao đẳng Hải Dương và các thầy cơ
giáo đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em
trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thiện đề tài nghiên cứu khoa học
này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên Phạm Ngọc Hoa
Cơ đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong q trình thực hiện đề tài. Tuy nhiên,
điều kiện về năng lực bản thân còn hạn chế, đề tài nghiên cứu khoa học của em
chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cơ giáo, bạn bè để bài nghiên cứu của em được hồn thiện hơn.
2. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu

Trong thực tế khi giảng dạy toán tôi nhận thấy
rằng: việc làm cho các em hệ thống được kiến thức
và biết vận dụng các kiến thức đã học để giải các
dạng bài toán và nhất là dạng bài toán về biến đổi
biểu thức hữu tỉ là công việc rất quan trọng và không
thể thiếu được của người dạy toán. Vì thông qua đó
có thể rèn luyện được tư duy logic, khả năng sáng tạo,
khả năng vận dụng cho học sinh. Để làm được điều đó
người thầy giáo ngoài việc phải hệ thống cho học sinh
các kiến thức cơ bản liên quan, các phương pháp vận
dụng và biến đổi phù hợp cũng cần giúp cho học sinh
hiểu được thực châùt của vấn đề để từ đó có các
kó năng giải toán một cách thành thạo. Mặt khác các
em vận dụng làm bài tập một cách thụ động chưa
linh hoạt, chưa có kó năng quan sát, nhận xét, phân tích
để tìm ra cách giải đúng và phù hợp, các em đã bò
nhầm lẫn giữa thứ tự các phép toán trong biểu thức,
....................................................................********************............................................
Trang 3
Sinh viên: Bùi Thị Dịu


Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
....................................................................********************............................................

phép toán nào làm trước, phép toán nào làm sau
các em không xác đònh được kể cả đối với các em
có thể nói là đã làm thành thạo các phép toán vẫn
bò lúng túng và mắc phải sai lầm về thứ tự phép

tính. Như vậy dạng bài tập về biến đổi các biểu thức
hữu tỉ có liên quan đến rất nhiều các dạng bài tập
mà học sinh được tiếp tục học trong chương trình toán
lớp 8, điều đó lại càng chứng tỏ rằng nếu các em
không nắm chắc kiến thức về biến đổi biểu thức hữu
tỉ thì nó sẽ ảnh hưởng đến kết quả của cả năm học.
Vậy làm thế nào để các em có khả năng tư duy,
quan sát, phân tích, các em biết xác đònh được đúng thứ
tự phép toán khi làm các dạng bài tập này? Làm thế
nào để các em có thể nắm vững kiến thức và cách
làm bài tập dạng “biến đổi biểu thức hữu tỉ” để vận
dụng vào làm các bài tập có liên quan? Làm thế nào
để nâng cao được chất lượng bộ môn toán? Đó chính là
những câu hỏi mà tôi và các bạn đồng nghiệp đang
muốn tìm được câu trả lời.
Qua các buổi dự giờ mơn Tốn các lớp 8 của trường, tơi thấy các em thường
tỏ ra lúng túng khi gặp các bài tốn về Biến đổi biểu thức hữu tỉ. Các em chỉ làm
được một số bài ở dạng đơn giản, còn những bài tốn ở dạng phức tạp thì các em
trình bày lủng củng, các kết luận khơng có căn cứ và trình bày lời giải khơng khoa
học.
Để đánh giá khả năng giải tốn của các em học sinh, tơi tiến hành kiểm tra 20
em học sinh khá-giỏi lớp 8 ( Lớp chọn) ở trường trong đợt sinh hoạt chun mơn
với thời gian làm bài là 30 phút:
....................................................................********************............................................
Trang 4
Sinh viên: Bùi Thị Dịu


Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ

....................................................................********************............................................

Đề bài:
Chøng minh ®¼ng thøc sau:
Bài 1(3đ)
Bài 2 (3đ)
Bài 3 (4đ)

2
2x
x
x+2
+ 2
+
=
x−3
x − 4x + 3
x −1
x−3
a
b
c
+
+
=o
( a − b)(a − c )
(b − a )(b − c )
(c − a )(c − b)
a 2 + 3ab 2a 2 − 5ab − 3b 2
a 2 + an + ab + bn

+
=
a 2 − 9b 2
6ab − a 2 − 9b 2
3an − a 2 − an + 3ab

Kết quả cụ thể là:
Điểm dưới 5
Sl
%
8
40

Điểm: 5 → 6
Sl
%
7
35

Điểm: 6,5 → 7,5
Sl
%
3
15

Điểm: 8 → 10
Sl
%
2
10

Qua bài kiểm tra tơi thấy nhiều em học sinh khơng làm được bài 3 hoặc một số
em giải dài dòng, phức tạp song lại khơng đầy đủ. Vì vậy việc xây dựng đề tài về
Biến đổi biểu thức hữu tỉ để áp dụng vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh, đặc
biệt học sinh khá giỏi là rất cần thiết và cần được triển khai ngay.
3. Ngun nhân
Chất lượng giáo dục thấp nói chung và chất lượng
học môn toán còn thấp nói riêng không phải là điều
trăn trở của riêng bản thân tôi nhất là đối với đối
tượng học sinh của tôi là học sinh ở vùng nơng thơn, ở đòa
phương có điều kiện kinh tế còn khó khăn, không ổn
đònh, bố mẹ đi làm xa và cơng ti...,.,khơng quan tâm nhiều tới việc học của con
em mình nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của
các em. Một phần ảnh hưởng đến việc học của các em
nữa đó là các tệ nạn xã hội đang dần đi vào trong
trường học như: đánh bài, à nổi trội hơn cả là các trò
....................................................................********************............................................
Trang 5
Sinh viên: Bùi Thị Dịu


Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
....................................................................********************............................................

chơi game online cũng tác động không nhỏ đến việc học
của các em.
Bên cạnh đó, một số học còn có tâm lí chán nản
và sợ học môn toán, một tiết học qua đi trong tâm trạng
nặng nề, các em tiếp thu kiến thức một cách thụ

động, một tiết học mà có em học sinh đã tâm sự với
tôi là “khô khan”, những kiến thức mà các em đã
được học cho dù có liên quan đến kiến thức mới học
hay không các em cũng dường như bò quên hết mà như
chúng ta vẫn nói là “bò hổng kiến thức”, thường thì
các em không có khả năng tư duy, phân tích, tổng hợp
các bài toán mà các em chỉ biết bắt tay vào làm bài
tập mà

không biết “cái gì làm trước, cái gì làm

sau”…

Vậy làm thế nào để có thể kích thích được khả
năng tư duy, phân tích bài toán, làm thế nào để các
em nhớ lâu hơn về các kiến thức mới, dễ dàng tái
hiện được kiến thức cũ và làm thế nào để các em
không còn cảm thấy bò gò bó, nhàm chán, khô khan
trong các giờ học toán, hơn thế nữa làm sao để giúp
các em sẽ có được “niềm tin” trong học tập. Và điều
đặc biệït hơn cả là làm thế nào để tạo được không khí
vui vẻ, nhẹ nhàng, thân thiện giữa thầy và trò, giữa
các em học sinh trong giờ học và có một khoảng thời
gian nào đó để dành cho các em học lực còn yếu?

....................................................................********************............................................
Trang 6
Sinh viên: Bùi Thị Dịu

Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
....................................................................********************............................................

Với thực tế này tơi xác định phải tự tìm cho mình một phương
pháp Hướng dẫn học sinh làm bài tập dạng “Biến
đổi biểu thức hữu tỉ” để qua đó giúp các em nâng cao chất lượng của
bài mơn tốn, các em có tư dy để linh hoạt vào giải toán khi
cần thiết, các em thấy hứng thú và u thích mơn học hơn, giúp các
em có niềm tin để lónh hội tốt, học tốt các kiến thức
sau này và cũng tạo được “môi trường học thân
thiện, học sinh tích cực” trong từng giờ dạy - học.
4. Mục đích nghiên cứu
Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiên
hướng tốt, chưa tốt mà tơi thấy cần phân loại và trang bị một số phương pháp giải
cho các em.
Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rất cần trau dồi tự học và tham khảo nhưng
làm chủ kiến thức.
- Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy.
- Dựa vào căn cứ u cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảng
dạy nói chung.
- Nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cơ bản, dễ hiểu, khoa học, chính xác để
học sinh học tập, vận dụng theo.
- Rèn luyện cho học sinh nền nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện thao tác
tư duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo. Thơng qua đó,
giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức, tư tưởng, lối sống phù hợp với mục
tiêu đào tạo. Đồng thời giúp các em có kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn cuộc sống, giải quyết một số vấn đề thường gặp trong cuộc sống của bản
thân, gia đình và cộng đồng. Và quan trọng nhất là giúp các em tự tin trong
giải tốn.

5. Phương pháp nghiên cứu
....................................................................********************............................................
Trang 7
Sinh viên: Bùi Thị Dịu


Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
....................................................................********************............................................

Nghiên cứu những vấn đề lí thuyết về “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” trong
chương trình Toán lớp 8,9
Nghiên cứu về phương pháp dạy toán đã được học.
Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học
sinh giỏi.
Khảo sát học sinh nên đã nắm vững được những điểm còn hạn chế và những
vướng mắc của học sinh khi gặp những bài toán về Biến đổi biểu thức hữu tỉ.
Trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những người đã có
nhiều năm công tác, có thành tích.
6. Nhiệm vụ của đề tài
- Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải bài tập về Biến đổi biểu thức hữu
tỉ
- Rút ra được một số nhận xét và chú ý với từng dạng bài, cách giải quyết. Từ đó
dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học
sinh.
Đề tài đề cập tới việc phân dạng và hướng dẫn học sinh giải các bài tập về Biến đổi
biểu thức hữu tỉ. Có đi sâu phân tích để tìm ra cách giải và những sai lầm thường
mắc phải của học sinh.
Đề tài này áp dụng được với mọi học sinh bậc trung học cơ sở. Tuy nhiên với mỗi
đối tượng thì giáo viên cần hướng dẫn và lựa chọn bài tập cho phù hợp.

....................................................................********************............................................
Trang 8
Sinh viên: Bùi Thị Dịu


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

Nội dung
I. Phần I : Lý Thuyết
Các khái niệm cơ bản:
1- Khái niệm phân thức:
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng

A
B

trong đó A,B là đa thức , A là tử thức , B làmẫu thức
(* phân thức là một dạng đơn giản của biểu thức hữu tỉ)
2- Khái niệm biểu thức hữu tỉ.
a, Một biểu thức chỉ chứa các phép toán ( cộng ,trừ ,nhân ,chia )
và chứa biến ở mẫu đợc gọi là biểu thức phân.
b, Một đa thức còn đợc gọi là biểu thức nguyên.
c, Khi thực hiện các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia để đa một
biểu thức phân về dạng một phân thức đại số gọi là biến đỏi
biểu thức hữu tỉ.
....................................................................********************............................................
Trang 9

Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

3- Giá trị của biểu thức phân.
- ứng với mỗi giá trị của biến ,biểu thức phân nhận đợc giá trị tơng ứng.
- giá trị của biểu thức phân chỉ đợc xác định với điều kiện giá
trị của mẫu khác 0.
4 - Chú ý:
Một phân thức đại số có thể đợc viết dới dạng tổng của một
đa thức

và một phân thức mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của

mẫu .

II. Phần II: Các dạng toán biến đổi biểu thức hữu
tỉ
1>Đơn giản biểu thức (rút gọn biểu thức).
* Đây là dạng bài tập cơ bản nhất của phần biến đổi Biểu
Thức Hữu Tỉ.
Nó là cơ sở cho hầu hết cho các dạng bài tập khác (tính giá trị
của biểu thức,chứng minh chia hết,...). Về kiến thức của phần
này tuy đơn giản song HS thờng hay nhầm lẫn .Do vậy GV cần
cho HS có kỹ năng trình bày lời giải cho dạng bài tập này.
Lí thuyết :
Trong quá trình rút gọn cần nắm chắc đợc:

1-Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2-Sử dụng các phép toán và tính chất của các phép toán
3-Sử dụng 7 hằng đằng thức đáng nhớ (trong SGK Đại số 8)
và một số hằng đẳng thức mở rộng:
a. (A+B+C)2= A2+B

2

+C 2+2AB +2BC +2CA).

b. An-B n=(A-B)(An-1+ An-2.B +...+B
n

2

n-1

).

n-1

c. 1-x = (1-x)(1+x+x +... +x )
..........
Dạng câu hỏi của phần này thờng là:
....................................................................********************............................................
Trang 10
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc

Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

- Đơn giản (rút gọn)biểu thức
-Viết các biểu thức sau về dạng phân thức
Chú ý:-Ta cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính khi rút
gọn.
A
B = A:C
-Ta có C
B D
D

(A,B,C,D là các đa thức và B,C,D khác 0)

Ví dụ 1.1:
Viết biểu thức P thành phân thức đại số.
4m 2 + 21
6
2 2m
P= 2mn + 3n 4m 6
2 2m 2

Để giải bài toán này HS cần nắm chắc khái niệm phân thức đại
số.
A
trong đó A,B là đa thức ;B 0 ).
B
A
Nếu P viết về dạng phân thức thì P= . Khi A,B là đa thức

B

(

Phân thức có dạng

(B0)
Cách giải:
Để tránh nhầm lẫn ta đặt :
4m 2 + 21
M=
-6
2 2m
2mn + 3n 4m 6
N=
2 2m 2

Biến đôỉ :

4m 2 + 21 12 + 12m
4m 2 + 12m + 9 ( 2m + 3)2
=
=
2(1 m )
2(1 m )
2(1 m )
( 2mn 4m ) + ( 3n 6) 2m ( n 2) + 3( n 2)
N=
=
2(1 m )(1 + m )

2(1 m )(1 + m )
( n 2)( 2m + 3)
=
2(1 m )(1 + m )
M ( 2m + 3)(1 + m )
P= =
N
n2

M=

....................................................................********************............................................
Trang 11
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

* Từ đó ta có một số bài tập tơng tự:
Ví dụ 1.2 Viết biểu thức A, B, C thành phân thức đại số với :
7 x3
4
). 5
3
x + x x + 3x2
A=
;
6 x 24

2x
.
x9 + 6 x6 + 9 x3 3 x3 + 6
x 2 ( z y) y2 ( x z) z 2 ( y x)
+
+
yz
zx
xy
B=
x( z y ) y( x z ) z( y x )
+
+
yz
zx
xy
( x3 1

1+ x
1 3x
1+
1+ x
1
1 3x
C=
1+ x
1+
1 3x
1 3
1+ x

1
1 3x
1+

2>Chứng minh đẳng thức:
* Đây là dạng bài toán khó và hay, nó thờng gặp đối với HS,
đặc biệt là HS lớp 8 học sinh thờng khó khăn khi giải bài tập dạng
này. Qua thực tế đang giảng dạy tôi rút ra kinh nghiệm sau :
Trớc tiên phải dạy cho HS phơng pháp chứng minh, sau đó có
những ví dụ cụ thể minh hoạ (từ đơn giản đến phức tạp).
( Để làm đợc dạng bài tập HS cần có kỹ năng rút gọn biểu thức).
Sau đây tôi đa ra một số phơng pháp chứng minh cùng một
số bài tập minh hoạ.
Phơng pháp chứng minh:
Để chứng minh A=B có thể sử dụng những phơng pháp sau:
1. A=A1=A2=...=B ( VT= .....=VP)
2. A-B =0
A
=1
B
A = C
A=B
4.
B = C

3.

Ví dụ 2.1:
Chứng minh đẳng thức sau:
....................................................................********************............................................

Trang 12
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................
2
2x
x
x+2
a,
+ 2
+
=
x3
x 4x + 3
x 1
x3
a
b
c
b,
+
+
=o
( a b)(a c )
(b a )(b c )
(c a )(c b)

c,

a 2 + 3ab 2a 2 5ab 3b 2
a 2 + an + ab + bn
+
=
a 2 9b 2
6ab a 2 9b 2
3an a 2 an + 3ab

Hớng dẫn:
*Đối với câu a và câu b ta có nhận xét VT còn ở dạng phức tạp,
còn VP là biểu thức đơn giản .Do vậy ta sẽ áp dụng phơng pháp
giải là biến đổi VT (theo kiểu A=...=B)
Đặt VT=

2
2x
x
+ 2
+
x3
x 4x + 3
x 1
2x
2
x
+
+
(

x

1
)(
x

3
)
x3
x 1
2( x 1) + 2 x + x ( x 3)
=
( x 1)( x 3)

Rút gọn VT ta đợc VT=

=
vì VP =

x+2
x3

( x 1)( x + 2) x + 2
x2 + x 2
=
=
( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 3
VT=VP (đpcm)

Với câu b, cũng hớng dẫn HS làm nh vậy .

*Đối với câu c, ta nhận xét vì VT và VP đều ở dạng phức tạp nên
A = C
A=B
B = C
a+b
Rút gọn VT ta đợc VT=
3b a

ta áp dụng phơng pháp

VP=
VT=VP (đpcm).

a+b
3b a

(*Đối với câu a, ta cũng có thể áp dụng phơng pháp : Xét hiệu
A-B)
Ghi chú : Đối với dạng này có rất nhiều bài tập để GV cho HS áp
dụng
Ví dụ 2.2 Chứng minh đẳng thức sau:
....................................................................********************............................................
Trang 13
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................
(16 a )a 3 + 2a 2 3a

a 1
3a
+

a, 2
: 3
=

2
2a
a+2
a + 4a + 4a 1 a
a 4

b,
c,

1 a 2 + 4b 2
1
6b
2
+1
+
=- 2
2a a 4b 2
a 2b 4b 2 a 2 a + 2b
2
2x
x
x+2

+ 2
+
=
x3
x 4x + 3
x 1
x3





3> Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào
biến.
Phơng pháp:
Để chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến (
biến phải thoả mãn điều kiện của bài ), ta phải sử dụng phơng
pháp biến đổi để rút gọn biểu thức về dạng đơn giản mà
không còn có biến trong kết quả đó.
Khi hớng dẫn học sinh thực hiện giáo viên cần phải cho HS
hiểu đợc khái niệm " không phụ thuộc vào biến " là gì, từ đó mới
định hớng đợc cách giải.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho cách giải
(*Để làm đợc dạng bài này đòi hỏi HS phải có kỹ năng rút gọn
biểu thức)
Sơ đồ giải : A =...= k (k R) , trong đó A là biểu thức hữu tỉ.
Ví dụ 3.1:
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau:
a, A= (b-1)2(
1

b, B=
2

1
1
2
+ 2 )+
b 2b + 1 b 1
b+1
2

x
1
1
( x 2) 2
.( 2 - 2
)
x+2
x 4 x 4x + 4
2

không phụ thuộc vào b với b
không phụ thuộc vào x với x

Bài giải:
Ta sẽ đơn giản A nh sau:
A=(b-1)2

1

1
2
2
+
2 +(b-1) .
( b 1)
(b 1)(b + 1) b + 1

....................................................................********************............................................
Trang 14
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................
b 1
2
=1 +
+
=1+1=2 (không phụ thuộc vào b)
b+1
b+1

B=

x
1
1
( x 2) 2

.( 2 + 2
)
x+2
x 4 x 4x + 4
2
x
1
1
( x 2) 2
( x 2) 2
=
. 2 . 2
x+2
x 4
x 4x + 4
2
2
x

2
2
x

x
+
2

x
2
x

1
=
- =
= 0 (không phụ thuộc
2( x + 2)
x + 2 2( x + 2) 2

vào x)
Một số bài tập tơng tự:
Ví dụ 3.3
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau:
P=

2y
2
1
+(y-3)2(
)
2 +
y+3
9 6y + y
9 y2

không phụ thuộc vào y với y

3
3
1
3a
( 5 a )2

Q=(
).
+
không phụ thuộc vào a với a
2 + 2
25 a
a 10a + 25
a+5
2
5

4> Tính giá trị của biểu thức hữu tỉ.
*Đây là dạng bài tập không phải là mới đối với HS lớp 8 .Xong để
làm đợc nó đòi hỏi HS phải có kỹ năng rút gọn biểu thức.
Phơng pháp :
Giả sử biểu thức hữu tỉ ở dạng đã đợc thu gọn;thì ta chỉ
việc thay giá trị của biến vào biểu thức rồi tính toán.
Nếu biểu thức cha đợc thu gọn thì ta cần phải thu gọn
biểu thức rồi mới thay giá trị của biến rồi tính .
Tóm tắt :
Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm nh sau:
B1: -Rút gọn biểu thức (nếu có thể).
B2:-Thay giá trị thích hợp của biến vâo rồi tính
Ví dụ 4.1: Tính giá trị của biểu thức :
x 2 ( z y) y2 ( x z) z 2 ( y x)
+
+
yz
zx
xy

P = x( z y ) y( x z ) z( y x )
+
+
yz
zx
xy
....................................................................********************............................................
Trang 15
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

Tính giá trị của biểu thức sau tại x=2004, y=2005, z=2006
Giải:
Trớc hết ta rút gọn biểu thức P
Ta có:

P=

x 2 ( z y) y2 ( x z) z 2 ( y x)
+
+
yz
zx
xy
x( z y ) y( x z ) z( y x )
+

+
yz
zx
xy

x 3 ( z y) + y3 ( x z) + z 3 ( y x)
=
x 2 ( z y) + y2 ( x z) + z 2 ( y x)
( x y )( y z )( z x )( x + y + z )
= x+ y+z
=
( x y )( y x )( z x )
Tại x=2004 ; y=2005 ; z=2006 P=4015

Ví dụ 4.2: Tính giá trị của biểu thức :
x
2

Q= x xx4 ++ 21 x + 1
x
x3 + 1
2

Trớc hết ta rút gọn P ta có:P =

x( x + 1) 2( x 2 x + 1) x 2 + x 2 x 2 + 2 x 2
=
x 4 + 2 x ( x 3 + 1)
x4 + 2 x4 x
x 2 + 3 x 2 ( x 1)( 2 x )

=
=
=x-1
2 x
2 x

tại x=2006(có thể cho x với giá trị bất kỳ cho phù hợp )
Sau đó thay x=2006 vào rồi tính P=2005.
(*Có rất nhiều bài tập để cho HS vận dụng).
Ví dụ 4.3:
A=

Tính giá trị của biểu thức A , B, P, Q :

7 x
4
). 5
3
x + x x + 3x2
6 x 6 24
2x
. 3
9
6
3
x + 6x + 9x 3x + 6

( x3 1

3

tại x=1000

m 2 + n2 m + n m m + n m
tại m=1 và

+

B = 2 2 :
m

n
n
m

n
n
m

n







2

n=2005.

....................................................................********************............................................
Trang 16
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................
1+ x
1+
1 3x
1+
2x + a
1+ x
1+
1
1 3x
P= 2xx a tại x=2a ;
Q =
1 + x tại x=2005
1
+
x2 + a2
1 3x
1 3
1+ x
1
1 3x

5> Tìm giá trị nguyên của biến để giá trị của biểu thức
là một số nguyên.
*Đây là dạng toán không phải là mới đối với HS nó đã có từ lớp 6
nhng đã đợc phát triển qua từng lớp (6 7 8).ở lớp 8 nó đã đợc
trình bày khoa học hơn và nhiều bài tập hơn ;HS đã có những
công cụ để giải dạng bài tập này,về mặt phơng pháp thì HS
tiếp cận cũng dễ dàng hơn .Để giải bài tập dạng này HS cần nắm
chắc phơng pháp giải ;đặc biệt là kỹ năng rút gọn biểu thức
,phép chia đa thức.
Phơng pháp :Xét biểu thức hữu tỉ P =

A
, giả sử A,B là đa
B

thức của cùng một biến (biến có giá trị là số nguyên).
Dạng1: Nếu A =k (k Z) B Ư(A)
Dạng 2: Nếu A là đa thức có bậc lớn hơn bậc của B, thì sử
dụng phép chia đa thức A cho B để đa về dạng 1 ( thờng là sử
dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử để rút gọn).

Dạng 3: Nếu A là đa thức bậc nhất ,còn B là một số thì cho A
là bội của B.
(Chú ý: Ta có thể rút gọn biểu thức trớc khi đi vào giải chính
thức.)
Ví dụ 5.1:
Cho biểu thức P =

3( x + 1)
x + x2 + x + 1

3

Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
....................................................................********************............................................
Trang 17
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

Bài giải:
Trớc hết ta phải rút gọn A
P=

3( x + 1)
3( x + 1)
3( x + 1)
= 3 2
= 2
2
x ( x + 1) + ( x + 1)
x + x + x + 1 ( x + x ) + ( x + 1)
3( x + 1)
3
=
= 2
2
( x + 1)( x + 1) ( x + 1)

3

Lúc này P đã có dạng1
Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x2+1 Ư(3)= { 1;3 }
Với x2+1=1 x=0
Với x2+1=-1 không có giá trị nào của x thoả mãn
Với x2+1=3 x2= 2 x= 2 Z
Với x2+1=-3 không có giá trị nào của x thoả mãn.
Kết luận: Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên
Ví dụ 5.2: ( Y/c nh VD 5.1)
x+2
2
2 4x
3x + 1 x2
+
-3):
3x
x +1
x +1
3x
x 1
Rút gọn Q ta đợc P=
3
Để Q nhận giá trị nguyên thì (x+1) B(3)

Với biểu thức Q=(

x-1=3k (k Z) x=3k+1
Vậy với x=3k+1 ( k Z ) thì Q có giá trị nguyên.
Sau đây là một số bài tập tơng tự:

Ví dụ 5.3 Tìm giá trị nguyên của của biến x để giá trị của
biểu thức sau đây nguyên
A=

x2 x + 2
x 1

;

B =

x 3 2 x + 41
x2

Nhận xét : Cả 2 biểu thức A,B đều có dạng bậc của tử cao
hơn bậc của mẫu. Về phơng pháp là ta thực hiện phép chia đa
thức cho đa thức (tử chia cho mẫu). Tuy vậy cần hớng dẫn HS linh
hoạt trong quá trình biến đổi . Chẳng hạn khi thực hiện biến
đổi A ta đợc :
A=

x2 x + 2
=
x 1

x ( x 1) + 2
=
x 1

x+

2
x 1

....................................................................********************............................................
Trang 18
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................
Để giá trị A là số nguyên thì (x-1) Ư(2)= { 1;2}
x { 2;3;0;1} .

đối với biểu thức B ta cần thực hiện phép chia đa thức
x 3 2 x + 41
B =
.Thực hiện phépchia đa thức ta đợc
x2
45
B = x2+2x+2+
; với x Z x2+2x+2 Z.
x2
Vậy để B có giá trị là số nguyên thì x-2 Ư(45)
x-2= { 1;5;9;45} x { 3;7;11;47;1;3;7;43}

Ta có một số bài tập tơng tự với các biểu thức
Ví dụ 5.4 Tìm giá trị nguyên của của biến x để giá trị của
biểu thức sau đây nguyên

P=

x3 x2 + 2
x 1

;

Q=

x3 2x + 4
;
x2

R=

x5 2 x4 x 1
x +1

6> Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất .
*Dạng toán này đã có ở lớp 7 tuy nhiên còn ở dạng nhỏ lẻ, cha có
hệ thống. Đối với HS lớp 8 thì đợc đa vào nhiều hơn ,phong phú
hơn .Giáo viên cần đa vào dạy cho HS thành mảng để dạy cho
học sinh (đặc biệt là HS giỏi ). Dới đây tôi đa ra một số phơng
pháp và một số bài tập minh hoạ.
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức P(x); ta cần nắm vững một số kiến thức (phơng pháp)
sau.
+ Nếu x, x R mà P(x) K (K R) thì giá trị nhỏ nhất của
P(x) là K,đặc biệt trong tập hợp số không âm thì 0 là số nhỏ
nhất.

+ Nếu x, x R mà P(x) K (K R) thì giá trị lớn nhất của
P(x) là K, đặc biệt trongtập hợp số không dơng thì 0 là là giá trị
lớn nhất.
+ Nếu một phân thức có tử không đổi thì trị số tuyệt đối
của phân thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu của nó đạt giá trị nhỏ
....................................................................********************............................................
Trang 19
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

nhất và giá trị tuyệt đối của phân thức đạt giá trị nhỏ nhất khi
mẫu của nó đạt giá trị lớn nhất.
Lu ý:
A2k + m m k N *
n - A 2k n k N *
Ví dụ 6.1:
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 5x2 -2x +1
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = -3x2+x-2
Lời giải:
2
5

1
5

a. Ta có A= 5x2-2x+1= 5(x2- x+ )

1
5

1
5

=5. [ x2-2. x+( )2-

1
25

] + 1 = 5(x- 1 )2 + 4

5
1 2
Vì x, x R thì (x- ) 0 nên ta có:
5
1
4
4
A vậy giá trị nhỏ nhất của A là
khi x =
5
5
5
1
2
b. Ta có B= -3x2+x-2 =-3(x2- x+ )
3
3

1
1
1
]+2
=-3 [ x2-2. x+( )26
6
36
3
1 2 3
=-3(x- ) +
6
4
1 2
3
Vì x, x R thì (x- ) 0 nên ta có
B .
6
4
1
3
Vậy giá trị lớn nhất của B là khi x =
6
4

5

5

Ví dụ 6.2 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của

Tìm giá trị lớn nhất của

2x2 2x + 3
P(x) =
x2 x + 2
3 x 2 + 17
q(x) =
x2 + 4

Hớng dẫn
Đối với biểu thức P(x) cần biến đổi dạng P(x) = k + M(x)
với k là số thực
- Cần xác định GTNN của M(x)
- Từ đó sẽ tìm đợc GTNN của P(x)
....................................................................********************............................................
Trang 20
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

Tơng tự tìm đợc GTLN của Q(x) khi và chỉ khi x 2 + 4 nhỏ
nhất mà x2 + 4 nhỏ nhất khi và chỉ khi x 2 nhỏ nhất . Vì vậy x2 +
4 nhỏ nhất bằng 4
Từ đó tìm đợc GTLN của Q(x) = 17/4 khi x = 0
III. KT QU T C
1. Kt qu chung:
Qua quỏ trỡnh ỏp dng chuyờn : Bin i biu thc hu t vo dy bi

dng cho hc sinh khỏ, gii lp 6 ,7, 8 tụi thy rng: a s cỏc em hc sinh tip
thu bi rt tt. Cỏc em coi du hiu nhn bit v tớnh cht ca Bin i biu thc
hu t l chỡa khoỏ gii quyt nhng bi toỏn cú liờn quan n Bin i biu
thc hu t T ú to ng lc thỳc y s tỡm tũi, khỏm phỏ kin thc mi, lm
tng nim am mờ hc toỏn ca cỏc em hc sinh.
2. Kt qu c th:
Qua kim tra kho sỏt 20 em hc sinh lp 8 trong t bi dng hc sinh khỏ
gii trng vi thi gian 30 phỳt:
bi:
Cõu 1( 5) Tìm giá trị nguyên của của biến x để giá trị của biểu
thức sau đây nguyên
P=

x3 x2 + 2
x 1

;

Q=

x3 2x + 4
;
x2

R=

x5 2 x4 x 1
x +1

Cõu 2(5)

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 5x2 -2x +1
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = -3x2+x-2
Lp
6
8

im di 5
Sl
%
0
0
0
0

im 5 6
Sl
%
5
25
2
10

im 6,5 7,5
Sl
%
9
45
11
55

im 8 10
Sl
%
6
30
7
35

Kt qu trờn ó núi lờn nhng thnh cụng trong vic ỏp dng chuyờn vo bi
dng hc sinh.
....................................................................********************............................................
Trang 21
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bài tập nghiên cứu khoa học
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
....................................................................********************............................................

IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Qua việc áp dụng chuyên đề “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” vào bồi dưỡng học sinh
khá giỏi, tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
+Việc xây dựng chuyên đề và phân loại từng dạng toán, mỗi dạng toán có
phương pháp giải phù hợp, điều đó có ý nghĩa rất lớn trong việc hình thành kỹ năng
giải toán của các em học sinh.
+ Hệ thống hoá bài tập từ dễ đến khó giúp các em học sinh phát triển tư duy
lôgic, óc sáng tạo trong học toán.
+Giáo viên cần phải xác định rằng nếu không dạy các bài toán khó thì không có
học sinh giỏi. Vì vậy các dạng bài tập đưa ra phải phong phú và đa dạng.
V. ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Biến đổi biểu thức hữu tỉ là một trong những dạng toán cơ bản trong chương
trình số học lớp 8, Vì vậy đề tài “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” được áp dụng chủ
yếu vào dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp 6 đến lớp 9. Từ những ưu điểm và
cũng từ những hạn chế, khó khăn trong việc áp dụng đề tài tôi tự rút ra những bài
học đồng thời cũng là những điều kiện để áp dụng đề tài như sau:
1. Đối với giáo viên:
- Phải có sự nghiên cứu tìm hiểu kỹ nội dung, chương trình Toán THCS để
áp dụng phù hợp cho từng khối lớp.
- Thường xuyên đổi mới phương pháp giảng dạy tạo cho học sinh hứng thú
tìm hiểu bài toán: Sáng tạo, phát hiện ra nhiều bài toán tổng quát.
- Cần phân loại đối tượng học sinh khá - giỏi trong từng khối lớp để có
phương pháp giảng dạy vận dụng cho phù hợp.
- Chú ý hướng dẫn học sinh phương pháp học, tìm hiểu bài toán, đào sâu suy
nghĩ, tìm mối liên quan với các kiến thức đã học; nhận dạng bài toán…
....................................................................********************............................................
Trang 22
Sinh viên: Bùi Thị Dịu


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

2. i vi hc sinh:
+ Hc sinh lp 8 Sau khi cỏc em c hc v Bin i biu thc hu t
thỡ cỏc em cú th hc c chuyờn ny.
+ Hc sinh lp 9: Sau khi cỏc em c hc v 7 hng ng thỡ cú th ỏp dng ton
b chuyờn ny vo bi dng hc sinh.
VI. NHNG VN CềN B NG
Trong nội dung của ti không tránh khỏi những thiếu sót.

Rất mong đợc sự góp ý nhận xét trân thành của hội đồng khoa
học của trờng và bạn đọc.
ý định của tôi là sẽ tiếp tục áp dụng ti này cho học sinh
khối 9 theo dạng mở rông đối với các biểu thức có chứa CBH, Căn
bậc ba.

KT LUN V KIN NGH
I. KT LUN
Vic hc hi tớch lu kin thc v ỳc rỳt kinh nghim ca bn thõn ỏp dng vo
ging dy l mt trong nhng hot ng tớch cc ca giỏo viờn. Qua vic ỏp dng
ti Bin i biu thc hu t vo bi dng cho hc sinh ó t c nhng
kt qu nht nh trong vic hỡnh thnh k nng gii cỏc bi toỏn v Bin i
biu thc hu t Cỏc em ó hỡnh thnh cho mỡnh phng phỏp gii phự hp cho
tng dng toỏn, ng thi rốn k nng Bin i biu thc hu t Chớnh vỡ vy
....................................................................********************............................................
Trang 23
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

m kt qu hc toỏn ca cỏc em tng lờn rừ rt, t ú ó giỳp cỏc em t tin hn khi
gp nhng bi toỏn khú, c bit l gp nhng bi toỏn v biu thc hu t
II. KIN NGH
hiu qu ging dy ngy cng cao, tụi xin xut mt s vn sau:
1. i vi giỏo viờn:
- Cn tng cng cụng tỏc t hc, t bi dng kin thc v nng lc chuyờn
mụn bng nhiu con ng khỏc nhau.

- Tỡm c cỏc ti liu tham kho cú liờn quan n mụn dy bi dy.
- Tỡm hiu cỏc sỏng kin kinh nghim ca ng nghip v mnh dn ỏp dng
vo ging dy.
- u t thi gian cho vic son ging, ci tin phng phỏp ging dy.
2. i vi nh trng v t chuyờn mụn:
- Cn tng cng cụng tỏc chuyờn mụn, hi tho v phng phỏp dy mụn
Toỏn ( chng trỡnh mi) nhm to iu kin cho giỏo viờn c giao lu hc hi
kinh nghim ln nhau.
- u t kinh phớ cho vic mua ti liu tham kho phc v cho b mụn.
- Trang b y c s vt cht, dựng dy hc phc v cho dy v hc.
Trên đây là ti tôi đa ra với mục đích là để tôi áp
dụng cho việc bồi dỡng HS . Do vậy rất cần đợc sự góp ý rút kinh
nghiệm của các bn trong lp, cỏc thy cụ hng dn để tôi có đợc một
ti hoàn thiện hơn giúp tôi giảng dạy trong thi gian ti.
Bờn cnh nhng kt qu ó t c trong vic ỏp dng ti. Song kinh
nghim ca tụi vn cũn nhng hn ch nht nh, tụi rt mong ban giỏm kho v
....................................................................********************............................................
Trang 24
Sinh viờn: Bựi Th Du


Bi tp nghiờn cu khoa hc
Bin i biu thc hu t
....................................................................********************............................................

cỏc bn ng nghip úng gúp ý kin b sung cho ti ca tụi c hon chnh
hn.
Tụi xin trõn trng cm n v tip thu ý kin!

TI LIU THAM KHO

TT

1

2

Tờn ti liu
Sách giáo khoa và sách bài tập Toán

Tỏc gi

8

Nhà xuất bản giáo
dục)

Những bài toán cơ bản và nâng

Nguyễn Kiếm-

....................................................................********************............................................
Trang 25
Sinh viờn: Bựi Th Du