CD- Dai so 8 - Bien doi bieu thuc huu ti

Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ
A. lí do chọn đề tài
Biểu thức hữu tỉ và biến đổi các biểu thức hữu tỉ có vai trò quan trọng trong
việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là một phần cơ bản trong chơng
trình Toán của THCS. Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho học sinh biết
cách biến đổi một một thức hữu tỉ mà còn phải định hớng mỗi học sinh phát huy đ-
ợc hết khả năng của mình để tìm tòi , khám phá những kiến thức, bài toán liên quan .
Trong chơng trình Toán 8 Sách giáo khoa đã cho học sinh nghiêm cứ rất kĩ
về một trong những dạng biến đổi một biểu thức hữu tỉ, cụ thể là chơng Phân thức
đại số. Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều các baìu toán liên quan
và nâng cao mà có ý nghĩa áp dụng cho học sinh phát huy hết khả năng tìm tòi,
sáng tạo đặc biệt là đối với học sinh khá - giỏi
Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học sinh. Tôi xin đa ra
một số bài toán cũng nh định hớng về cách giải một số dạng Toán liên quan đến biến
đổi Biểu thức hữu tỉ của học sinh lớp 8 - THCS.
B. Nội dung
Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ
Phần I : Lý Thuyết
Các khái niệm cơ bản:
1- Khái niệm phân thức:
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng
B
A
trong đó A,B là đa thức , A là tử thức , B làmẫu thức
(* phân thức là một dạng đơn giản của biểu thức hữu tỉ)
2- Khái niệm biểu thức hữu tỉ.
a, Một biểu thức chỉ chứa các phép toán ( cộng ,trừ ,nhân ,chia ) và chứa biến ở mẫu
đợc gọi là biểu thức phân.
b, Một đa thức còn đợc gọi là biểu thức nguyên.
c, Khi thực hiện các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia để đa một biểu thức phân về dạng
một phân thức đại số gọi là biến đỏi biểu thức hữu tỉ.

3- Giá trị của biểu thức phân .
- ứng với mỗi giá trị của biến ,biểu thức phân nhận đợc giá trị tơng ứng.
- giá trị của biểu thức phân chỉ đợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu khác 0.
4 - Chú ý:
Một phân thức đại số có thể đợc viết dới dạng tổng của một đa thức và một
phân thức mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu .
Phần II:
Các dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ

1>Đơn giản biểu thức (rút gọn biểu thức).
* Đây là dạng bài tập cơ bản nhất của phần biến đổi Biểu Thức Hữu Tỉ.
Nó là cơ sở cho hầu hết cho các dạng bài tập khác (tính giá trị của biểu thức,chứng
minh chia hết,...). Về kiến thức của phần này tuy đơn giản song HS thờng hay nhầm
lẫn .Do vậy GV cần cho HS có kỹ năng trình bày lời giải cho dạng bài tập này.
Lí thuyết :
Trong quá trình rút gọn cần nắm chắc đợc:
1-Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2-Sử dụng các phép toán và tính chất của các phép toán
3-Sử dụng 7 hằng đằng thức đáng nhớ (trong SGK Đại số 8)
và một số hằng đẳng thức mở rộng:
Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ
a. (A+B+C)
2
= A
2
+B
2
+C
2
+2AB +2BC +2CA).

b. A
n
-B
n
=(A-B)(A
n-1
+ A
n-2
.B +...+B
n-1
).
c. 1-x
n
= (1-x)(1+x+x
2
+... +x
n-1
)
..........
Dạng câu hỏi của phần này thờng là:
- Đơn giản (rút gọn)biểu thức
-Viết các biểu thức sau về dạng phân thức
Chú ý:-Ta cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính khi rút gọn.
-Ta có
D
C
B
A
D
C

B
A
:
=
(A,B,C,D là các đa thức và B,C,D khác 0)
Ví dụ1.1:
Viết biểu thức P thành phân thức đại số.
P=
2
2
22
6432
6
22
214
m
mnmn
m
m

+


+
Để giải bài toán này HS cần nắm chắc khái niệm phân thức đại số.
( Phân thức có dạng
B
A
trong đó A,B là đa thức ;B 0 ).
Nếu P viết về dạng phân thức thì P=

B
A
. Khi A,B là đa thức (B0)
Cách giải:
Để tránh nhầm lẫn ta đặt :
M=
m
m
22
214
2

+
-6
N=
2
22
6432
m
mnmn

+
Biến đôỉ :
M =
)1(2
1212214
2
m
mm

++
=
)1(2
9124
2
m
mm

++
=
)1(2
)32(
2
m
m

+
N =
)1)(1(2
)63()42(
mm
nmmn
+
+
=
)1)(1(2
)2(3)2(2
mm
nnm
+

+
=
)1)(1(2
)32)(2(
mm
mn
+
+
P =
N
M
=
2
)1)(32(

++
n
mm

* Từ đó ta có một số bài tập tơng tự:
Ví dụ 1.2 Viết biểu thức A, B, C thành phân thức đại số với :
Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ
A =
63
2
.
96
246
3
4

).
7
1(
3369
253
3
3
+++

++


x
x
xxx
x
xxxx
x
x
;
B =
xy
xyz
zx
zxy
yz
yzx
xy
xyz
zx

zxy
yz
yzx
)()()(
)()()(
222

+

+


+

+

C =
x
x
x
x
x
x
x
x
31
1
1
31
1

1
31
31
1
1
31
1
1
1

+


+
+


+


+
+
+
2>Chứng minh đẳng thức:
* Đây là dạng bài toán khó và hay, nó thờng gặp đối với HS, đặc biệt là HS lớp 8
học sinh thờng khó khăn khi giải bài tập dạng này. Qua thực tế đang giảng dạy tôi rút
ra kinh nghiệm sau :
Trớc tiên phải dạy cho HS phơng pháp chứng minh, sau đó có những ví dụ cụ thể
minh hoạ (từ đơn giản đến phức tạp).
( Để làm đợc dạng bài tập HS cần có kỹ năng rút gọn biểu thức).

Sau đây tôi đa ra một số phơng pháp chứng minh cùng một số bài tập minh
hoạ.
Ph ơng pháp chứng minh :
Để chứng minh A=B có thể sử dụng những phơng pháp sau:
1. A=A
1
=A
2
=...=B ( VT= .....=VP)
2. A-B =0
3.
B
A
=1
4.



=
=
CB
CA


A=B

Ví dụ 2.1:
Chứng minh đẳng thức sau:
a,
3

2

x
+
34
2
2
+
xx
x
+
1

x
x
=
3
2

+
x
x
b,
))(( caba
a

+
))(( cbab
b

+
))(( bcac
c

=o
Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ
c,
22
2
9
3
ba
aba

+
+
22
22
96
352
baab
baba


=
abanaan
bnabana
33
2
2

+
+++
H ớng dẫn:
*Đối với câu a và câu b ta có nhận xét VT còn ở dạng phức tạp, còn VP là biểu
thức đơn giản .Do vậy ta sẽ áp dụng phơng pháp giải là biến đổi VT (theo kiểu
A=...=B)

Đặt VT=
3
2

x
+
34
2
2
+
xx
x
+
1

x
x
Rút gọn VT ta đợc VT=
3
2

x
+

)3)(1(
2

xx
x
+
1

x
x

=
)3)(1(
)3(2)1(2

++
xx
xxxx
=
)3)(1(
2
2

+
xx
xx
=
3
2
)3)(1(

)2)(1(

+
=

+
x
x
xx
xx
vì VP =
3
2

+
x
x


VT=VP (đpcm)
Với câu b, cũng hớng dẫn HS làm nh vậy .
*Đối với câu c, ta nhận xét vì VT và VP đều ở dạng phức tạp nên ta áp dụng phơng
pháp



=
=
CB
CA

A=B
Rút gọn VT ta đợc VT=
ab
ba

+
3
VP=
ab
ba

+
3



VT=VP (đpcm).
(*Đối với câu a, ta cũng có thể áp dụng phơng pháp : Xét hiệu A-B)
Ghi chú : Đối với dạng này có rất nhiều bài tập để GV cho HS áp dụng
Ví dụ 2.2 Chứng minh đẳng thức sau:
a,






+

+
+


2
32
2
23
4
)16(
2
a
a
a
a
a
aa
:
aaa
a
44
1
23
++

=
a

a

1
3
b,
ba 2
1

+
22
4
6
ab
b

-
ba 2
2
+
=-








+

+
1
4
4
2
1
22
22
ba
ba
a
c,
3
2

x
+
34
2
2
+
xx
x
+
1

x
x
=
3

2

+
x
x

3> Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.