THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN

THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG
THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN
LỜI MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn và là một trong những nội
rất hay nhưng khá khó của Toán học.
Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó
nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng
được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,.. Trong đó nổi bật
hơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi) bởi
vì đây là bất đẳng thức đơn giản, gần gũi nhưng lại là bất đẳng thức mạnh và có sự
ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên
khác.
Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem là
một nội dung hóc búa nhất. Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu
hết chúng ta đều e ngại và không thật sự cảm thấy thích thú với nó. Tuy nhiên , bài
toán bất đẳng thức lại là một bài toán hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG
cũng như các kì thi tuyển Đại học. Như thế, chẳng nhẽ khi gặp một bài toán BĐT
trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hang nó hay sao? Để
giúp cho học sinh có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại trong việc sử dụng
BĐT Cauchy nhóm em đã tìm hiểu và cùng nhau làm chuyên đề


“THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN”

1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Bất đẳng thức Cosi
1.1.1.

Phát biểu

- Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm:
Cho a1, a2 ≥ 0, ta có:
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2.
- Bất đẳng thức Cosi cho n số thực không âm:
Cho a1, a2 ,…,an ≥ 0, ta có
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2=…=an.
- Bất đẳng thức Cosi mở rộng:
Cho a1, a2 ,…,an là các số thực dương và m 1, m2,..., mn là các số hữu tỷ
dương, ta có:
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2=…=an


Ví dụ : Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:

1.1.2.

Giải:
Áp dụng BĐT Cosi cho bộ ba số (a, b, c) và ta có:
(1)
(2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta được: .
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
1.2. Các kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy
1.2.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “≥ ”. Đánh giá từ tổng
sang tích.
Bài 1: Chứng minh rằng: , với mọi a,b,c.
Giải:
Sử dụng BĐT Cosi: , ta có:



, với mọi a, b, c.

- Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ
khi các vế cùng không âm.
- Cần chú ý rằng: vì x, y không biết âm hay dương.
- Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà
phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT
CôSi.
- Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” => đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến
việc sử dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 cặp số, 3 cặp số.


1.2.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo.
Bài 2: CMR với mọi a > b > 0 ta luôn có:
Giải:
Ta có nhận xét: b+a –b =a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu sẽ được
phân tích như sau: Với mọi a > b > 0

Dấu “=” xảy ra

1.2.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong BDT Cosi và các quy
tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử
dụng để tìm điểm rơi của biên.
Bài 3: Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử

để sao cho khi áp dụng

BDT Cosi dấu “=” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
Vậy ta có:
Dấu “=” xảy ra a = 2.
- Ta sử dụng điều kiện dấu “=” và điểm rơi là a=2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra .


- Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “=” trong việc áp dụng BĐT Cosi cho 2 số ,
và đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi a = 2.
1.2.4: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng
(TBC)
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ
tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu
“ + ” bằng dấu “ . ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là
thay dấu “ . ” bằng dấu “ + ”. Và
cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt
tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.
Bài 4 : CMR:
Giải:
Theo BĐT Cosi ta có:
=>(dpcm)
- Nếu giữ nguyên vế trái thì biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số => ta
có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân
thức có cùng mẫu số.
- Dấu “” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Cosi thì ta phải đánh giá từ TBN sang
TBC.
1.2.5 Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC
Bài 5: CMR:

Giải:
Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab sau đó áp dụng
phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như


phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới: phương
pháp nhân thêm hằng số.
Ta có:


Dấu “=” xả ra  =>
Ta thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tại sao
lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta đã chọn điểm
rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = .
1.2.6 Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau:
Phép cộng:

Phép nhân: (x,y,z0)
1.2.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số
Nội dung cần nắm được các thao tác sau:
1.
2.

.
Bài 7:
Chứng minh rằng :)
Giải:

1.2.8. Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó
giải, khó nhận biết được những phương pháp giải,ta có thể chuyển từ bài tóa từ tình
thế khó biến đổi về trạng thái dễ biến đổi hơn. Phương pháp trên gọi là phương
pháp biến đổi.
Bài 8: Chứng minh rằng:

Giải:
Đặt
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Thật vậy áp dụng BĐT Cosi ta có:

Dấu “=” xảy ra x = y = z a = b = c.
2. NỘI DUNG
2.1. Thời gian – đối tượng học sinh:
- Thời gian, địa điểm: Lớp Toán 11, tiết 6,7, thứ Hai ngày 26 tháng 2 năm 2018.
- Đối tượng: Học sinh lớp chuyên Toán 11 – Trường THPT Chuyên Thái Nguyên.
- Sĩ số: 20 học sinh.
2.2. Kế hoạch dạy học
BỒI DƯỠNG: MỘT SỐ KỸ THUẬT


SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN.
I. Mục tiêu bài học: Qua bài học, HS
1. Về kiến thức:
- Hiểu được nội dung bất đẳng thức Cauchy.
- Nắm được các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong giải toán.
2. Về kỹ năng:

- Biết cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong giải toán và áp dụng vào
bài toán thực tế.
- Phát triển kĩ năng hợp tác nhóm, kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề,
kĩ năng thuyết trình, kĩ năng giao tiếp, kĩ năng tự đánh giá và đánh giá đồng
đẳng.
3. Về tư duy, thái độ:
- Phát triển kĩ năng tư duy lôgic, khả năng khái quát hóa, quy lạ về quen
thông qua việc phát biểu nội dung bất đẳng thức Cauchy và hoạt động giải
toán.
- Rèn luyện thái độ nghiêm túc, tính cẩn thận, chặt chẽ, khoa học thông
qua các hoạt động xét dấu một biểu thức; tinh thần đoàn kết hợp tác cũng như
khả năng làm việc độc lập, tính cẩn thận, trách nhiệm trong các hoạt động làm
việc theo nhóm.
- Tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập.
4. Định hướng phát triển năng lực:


- Qua bài học góp phần phát triển ở người học các năng lực sau: năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy, năng lực hợp tác, năng lực
đánh giá.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
- Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer và Projector, bảng phụ, các câu
hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức.
- Học sinh: Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi,..
III. Tiến trình dạy học:
1. Ổn định tổ chức lớp ( 2 phút ):
- Kiểm tra sĩ số.
- Ổn định tổ chức lớp.
- Chia nhóm học sinh: 4 nhóm, mỗi nhóm 5 học sinh.
2. Bài mới:

* Gợi động cơ, hướng đích: ( 1 phút )
Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn và là một trong những nội
rất hay nhưng khá khó của Toán học.
Các em đã được học một trong số các bất đẳng thức kinh điển trong Toán học đó là
bất đẳng thức Cauchy (Côsi). Đây là bất đẳng thức đơn giản, gần gũi nhưng lại là
bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong
nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên khác.


Để giúp cho các em có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại trong việc sử
dụng BĐT Cauchy hôm nay cô và các em cùng tìm hiểu một số kỹ thuật sử dụng
BĐT Cosi phổ biến trong giải toán.
GV ghi tiêu đề:
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN.


3.1. Hoạt động 1: Phát biểu nội dung BĐT Cauchy ( 4 phút )
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài học

- GV yêu cầu học sinh - Cho a1, a2 ≥ 0, ta có:

1. BĐT Cauchy (Côsi)

nhắc lại nội dung BĐT

- Bất đẳng thức Cosi cho

Cauchy (Côsi) cho hai số Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ hai số thực không âm:
thực không âm.

khi a1 = a2.

Cho a1, a2 ≥ 0, ta có:
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ
khi a1 = a2.
- Bất đẳng thức Cosi cho n
số thực không âm:
Cho a1, a2 ,…,an ≥ 0, ta có

- GV giới thiệu cho học
sinh

nội

dung

BĐT

- GV: Có rất nhiều kỹ
sử

dụng

ghi bài.

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ
khi a1 = a2=…=an.

Cauchy tổng quát.

thuật

- HS theo dõi, lắng nghe và

BĐT

Cauchy trong giải toán
(GV kể tên 8 kỹ thuật
chính), trong đó có 4 kỹ
thuật phổ biến và dễ dàng
sử dụng mà cô sẽ giới
thiệu cho các em ngày
hôm nay, đầu tiên đó là kỹ


thuật đánh giá từ trung
bình cộng sang trung bình
nhân

3.2. Hoạt động 2 : Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy (20 phút )
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài học

*HĐTP1:

2. Một số kỹ thuật sử dụng

- GV: Đánh giá từ TBC

BĐT Cauchy

sang TBN là đánh giá

a, Kỹ thuật đánh giá từ

BĐT theo chiều “≥ ”.

trung bình cộng sang trung

Đánh giá từ tổng sang - HS theo dõi, lắng nghe và bình nhân
tích.
làm theo hướng dẫn của GV.
- GV hướng dẫn giải

VD1: Chứng minh rằng: ,

chậm VD1 cho HS.

với mọi a,b,c.

- GV nêu chú ý cho HS:
+ Chỉ nhân các vế của

Giải:
Sử dụng BĐT Cosi: , ta có:

BĐT cùng chiều ( kết quả
được BĐT cùng chiều)

, với mọi a, b, c.

khi và chỉ khi các vế cùng
không âm.
+ Cần chú ý rằng: vì x, y
không biết âm hay dương.

b, Kỹ thuật đánh giá từ

- Nói chung ta ít gặp bài

trung bình nhân sang

toán sử dụng ngay BĐT

trung bình cộng

Cô Si như bài toán nói
trên mà phải qua một và


phép biển đổi đến tình
huống thích hợp rồi mới

sử dụng BĐT CôSi.
*HĐTP2:
- GV giới thiệu kỹ thuật
đánh giá từ TBN sang
TBC.
Nếu như đánh giá từ TBC
sang TBN là đánh giá với
dấu “ ≥ ”, đánh giá từ
tổng sang tích, hiểu nôm
na là thay dấu “ + ” bằng
dấu “ . ” thì ngược lại
đánh giá từ TBN sang
trung bình cộng là thay
dấu “ . ” bằng dấu “ + ”.

VD2 : CMR:
Giải:
Theo BĐT Cosi ta có:

Và cũng cần phải chú ý
làm sao khi biến tích
thành tổng, thì tổng cũng
phải triệt tiêu hết biến, chỉ
còn lại hằng số.
- GV hướng dẫn giải VD2
cho HS.

=> đpcm.
c, Kỹ thuật tách nghịch đảo
VD3: CMR với mọi a > b >

0 ta luôn có:

- Nếu giữ nguyên vế trái
thì biến tích thành tổng ta
không thể triệt tiêu ẩn số

Giải:Với mọi a>b>0, ta có:
Dấu “=” xảy ra


=> ta có phép biến đổi
tương đương (1) sau đó
biến tích thành tổng ta sẽ

d, Kỹ thuật chọn điểm rơi

được các phân thức có
cùng mẫu số.

*HĐTP3:
- GV giới thiệu kỹ thuật
tách nghịch đảo.
- GV hướng dẫn HS giải
VD3.

VD4: Cho a 2. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
Giải: Ta có:

Ta có nhận xét: b+a –b =a

không phụ thuộc vào biến
b do đó hạng tử đầu sẽ
được phân tích sao cho
tích của các hạng tử mới
là nghịch đảo của hạng tử
thứ 2.
*HĐTP4:
- GV giới thiệu kỹ thuật

Dấu “=” xảy ra a = 2.


chọn điểm rơi.
Trong kỹ thuật chọn điểm
rơi, việc sử dụng dấu “=”
trong BDT Cosi và các
quy tắc về tính đồng thời
của dấu “=”, quy tắc biên
và quy tắc đối xứng sẽ
được sử dụng để tìm điểm
rơi của biên.
- GV hướng dẫn HS giải
VD4.
Ta chọn điểm rơi: ta phải
tách hạng tử a hoặc hạng
tử

để sao cho khi áp

dụng BDT Cosi dấu “=”

xảy ra khi a = 2. Có các
hình thức tách sau:
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ
điểm rơi (1):
- Vậy ta sử dụng điều
kiện dấu “=” và điểm rơi
là a=2 dựa trên quy tắc
biên để tìm ra .


- Ở đây ta thấy tính đồng
thời của dấu “=” trong
việc áp dụng BĐT Cosi
cho 2 số , và đạt giá trị
lớn nhất khi a = 2, tức là
chúng có cùng điểm rơi a
= 2.
3.3. Hoạt động 3: Củng cố( 50 phút )
- Kỹ thuật dạy học: Phòng tranh.
* GV giới thiệu phòng tranh (2’): GV tổ chức vị trí các phòng tranh và thông
báo nhiệm vụ của HS.
- Hình thức: Như nhóm đã chia từ đầu giờ, GV tách 4 nhóm ra 4 góc của lớp
học, tạo thành các phòng tranh được đánh số thứ tự từ 1 đến 4.
- Giai đoạn 1 – Vẽ tranh (12’): Mỗi nhóm được giao một bức tranh được đánh
số thứ tự tương ứng số thứ tự nhóm, mỗi bức tranh ẩn chứa một bài toán thực
tếs. Các nhóm tìm cách giải bài toán của nhóm mình.
- Giai đoạn 2 – Xem tranh (12’x3=36’): Mỗi nhóm cử một thành viên làm
chuyên gia tại phòng tranh, 4 thành viên còn lại di chuyển tới các phòng tranh
mới theo vòng tròn cho tới khi về lại phòng tranh của nhóm mình. Tại mỗi
phòng tranh, các chuyên gia tại phòng tranh giới thiệu nội dung bức tranh (đề

bài toán và cách giải) cho khách xem tranh, đồng thời khách xem tranh cũng
giới thiệu, truyền đạt lại cho chuyên gia phòng tranh đó nội dung bức tranh của
nhóm mình. Mỗi lượt di chuyển xem tranh là 12 phút. Hết 3 lượt di chuyển thì
đóng cửa phòng tranh.


* 4 BÀI TOÁN PHÒNG TRANH:
Bài toán 1: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng. Hai
mặt bên và là hai tấm kình hình chữ nhật dài 20m rộng 5m. Gọi a (m) là độ dài
cạnh . Tìm a sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất.
Trả lời:
Lăng trụ có thể tích là:

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương và ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Thể tích hình lăng trụ lớn nhất bằng 250 khi (m)
Bài toán 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đ ặt m ục
tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nh ất, tức là diện tích toàn
phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1 dm 3 và diện
tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy c ủa hình tr ụ ph ải b ằng
bao nhiêu?
Giải
+ Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bò hình trụ l ần l ượt là r, h (đ ơn v ị
dm)


+ Theo đề ra ta có: (dm)
+ Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất khi: nhỏ nhất.

+ Theo bất đẳng thức Cosi:

Dấu "=" xảy ra khi:

Bài toán 3: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích yêu
cầu là lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là bao nhiêu để tiết
kiệm nguyên vật liệu nhất?
Giải:
Đổi lít =
Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là
Khi đó ta có thể tích thùng phi là:
Vì vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm để diện tích toàn
phần lớn nhất.
Ta có
Vậy đạt GTNN là
Vậy với bán kính đáy là 1(m) và chiều cao 2 (m) thì xưởng cơ khí sẽ tiết kiệm
được nguyên vật liệu nhất.
Bài toán 4: Tại xã Thống Nhất có một trang trại .Chủ trang trại muốn nuôi
thêm một đàn dê và ông đã mua hàng rào để bảo vệ chúng. Các lo ại v ật li ệu
dùng để làm bao gồm: gỗ và tôn lạnh. Nhưng ông ch ỉ còn 1.500.000 đ ồng đ ủ
để mua tôn lạnh loại 61.000 đồng một tấm, mỗi tấm có chiều dài 1m, chi ều
cao 1,6m. Ông muốn xây dựng hàng rào vừa để tạo không gian thông thoáng.
Bạn hãy giúp chủ trang trại tìm cách xây dựng hàng rào?
Giải:
Ta giả sử chọn mô hình chuồng theo hình chữ nhật.


Số tấm tôn mua được từ 1.500.000 đồng là 24 tấm. Chuồng có chu vi 24 m.
Gọi x(m), y(m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của chuồng .
Khi đó ta có: nên . Từ đây ta có bài toán cho hai số x, y dương sao cho và . Tìm

x, y để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Ta có

Dấu "=" xảy ra khi .
Như vậy để đạt được mong muốn thì chủ trang trại xây chuồng theo c ạnh
hình vuông có độ dài 6(m).
3.4. Kiểm tra, đánh giá (10’)
- Hình thức: Mỗi nhóm chọn một học sinh bất kì ở 3 nhóm còn lại lên bảng
giải bài toán của nhóm mình trong vòng 5 phút (4 học sinh đồng thời lên bảng,
mỗi học sinh đại diện lấy điểm cho cả nhóm). GV gọi HS bất kì nhận xét từng
bài làm, nhóm có bài toán đánh giá và cho điểm cho bài giải.
3.5. Củng cố (2’)
- GV nhắc lại một số kiến thức trọng tâm và cho bài tập luyện thêm cho học
sinh.

Nhóm 1:


KẾT LUẬN
Trong chuyên đề này chúng em đề cập đến kiến thức chung về bất đẳng thức
Cosi, các kỹ năng áp dụng bất đẳng thức Cosi trong chứng minh các biểu thức, và
ứng dụng của bất đẳng thức Cosi trong các bài toán thực tế.
Do hạn chế về kiến thức và thời gian, trong chuyên đề còn nhiều thiếu sót chúng
em mong nhận được sự góp ý từ phía cô và bạn đọc.