Day phan so viet theo quy luat (tuân 2018)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.59 KB, 22 trang )
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Chuyên đề 1: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
= = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = =
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
n
1
1
= −
a.(a+ n) a a+ n
- - - Chứng minh - - -
n
( a + n) − a
a+n
a
1
1
=
=
−
= −
a.(a + n)
a.( a + n)
a.( a + n) a.( a + n) a a + n
∗ Bài 1.1: Tính
3
3
3
3
+
+
+ ... +
5.8 8.11 11 .14
2006.2009
10
10
10
10
+
+
+ ... +
c) C =
7.12 12.17 17.22
502.507
a) A =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
6.10 10.14 14.18
402.406
4
4
4
4
+
+
+ ... +
d) D =
8.13 13.18 18.23
253.258
b) B =
∗ Bài 1.2: Tính:
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
b) B =
2.9 9.7 7.19
252.509
10.9 18.13 26.17
802.405
2
3
2
3
2
3
−
+
−
+ ... +
−
c) C =
4.7 5.9 7.10 9.13
301.304 401.405
a) A =
∗ Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
x
1 1
1
1
5
− − − − ... −
=
2008 10 15 21
120 8
1
1
1
1
15
c) 3.5 + 5.7 + 7.9 + ... + (2 x + 1)(2 x + 3) = 93
a)
b)
7
4
4
4
4
29
+
+
+
+ ... +
=
x 5.9 9.13 13.17
41.45 45
∗ Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
1
1
5
5
1
1
n
a) 2.5 + 5.8 + 8.11 + ... + (3n − 1)(3n + 2) = 6n + 4
5
5
5n
b) 3.7 + 7.11 + 11 .15 + ... + (4n − 1)(4n + 3) = 4n + 3
∗ Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ; n ≥ 2 ta có:
3
3
3
3
1
+
+
+ ... +
<
9.14 14.19 19.24
(5n − 1)(5n + 4) 15
∗ Bài 1.6: Cho A =
∗ Bài 1.7:
4
4
4
16
16
+
+ ... +
chứng minh: < A <
15.19 19.23
399.403
81
80
Cho dãy số :
2
2
2
;
;
;...
4.11 11 .18 18.25
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
∗ Bài 1.8:
Cho A =
1
1
1
1
2
8
+ 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh < A <
2
5
9
2
3
4
9
1
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Cho A =
2
2
2
2
1003
+ 2 + 2 + ... +
A<
2
2 . Chứng minh:
2008
3
5
7
2007
∗ Bài 1.10: Cho B =
1
1
1
1
334
+ 2 + 2 + ... +
B<
2
2 . Chứng minh:
2007
4
6
8
2006
∗ Bài 1.11: Cho S =
1
1
1
1
+ 2 + ... +
S<
2
2 . Chứng minh:
12
5
9
409
∗ Bài 1.12: Cho A =
9
9
9
9
3
+ 2 + 2 + ... +
A<
2
2 . Chứng minh:
4
5
11 17
305
∗ Bài 1.9:
8
9
∗ Bài 1.13: Cho B = +
∗ Bài 1.14:
Cho A =
∗ Bài 1.15: Cho B =
24 48
200.202
+
+ ... +
. Chứng minh: B > 99,75
25 49
2012
11 18 27
1766
20
20
+ +
+ ... +
. Chứng minh: 40 < A < 40
9 16 25
1764
43
21
2 2 32
4 2 52
99 2
. Tìm phần nguyên của B.
+
+
+
+ ... +
1.3 2.4 3.5 4.6
98.100
3
4
8
9
∗ Bài 1.16: Cho C = + +
15
2499
+ ... +
. Chứng minh C > 48
16
2500
∗ Bài 1.17: Cho M =
1
1
1
2
+
+ ... +
. Chứng minh M <
1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + .. + 59
3
∗ Bài1.18:
1.4 2.5 3.6
98.101
+
+
+ ... +
. Chứng minh 97 < N < 98.
2.3 3.4 4.5
99.100
Cho N =
• Mở rộng với tích nhiều thừa số:
2n
1
1
=
−
a(a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n)
Chứng minh:
2n
( a + 2n) − a
a + 2n
a
1
1
=
=
−
=
−
a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n)
3n
1
1
=
−
a (a + n)(a + 2n)(a + 3n) a (a + n)(a + 2n) (a + n)(a + 2n)(a + 3n)
∗ Bài 1.19: Tính S =
2
2
2
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
37.38.39
∗ Bài 1.20: Cho A =
1
1
1
1
+
+ ... +
. Chứng minh A <
1.2.3 2.3.4
18.19.20
4
∗ Bài 1.21: Cho B =
36
36
36
+
+ ... +
. Chứng minh B < 3
1.3.5 3.5.7
25.27.29
2
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
∗ Bài 1.22: Cho C =
5
5
5
1
+
+ ... +
. Chứng minh C <
5.8.11 8.11 .14
302.305.308
48
∗ Bài 1.23: Chứng minh với mọi n ∈ N; n > 1 ta có:
A=
∗ Bài 1.24:
1
1
1
1 1
+ 3 + 3 + ... + 3 <
3
4
2
3
4
n
Tính M =
1
1
1
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5
27.28.29.30
1
1
1
+
+ ... +
100
∗ Bài 1.25: Tính P = 1 511 521
1
+
+
+ ... +
1.2 3.4 5.6
99.100
1.3
2.4
3.5
(n − 1)(n + 1)
1002.1004
Bài 1.26:
Tính: Q = 3.5 + 5.7 + 7.9 + ... + (2n − 1)(2n + 1) + ... + 2005.2007
Bài 1. 27:
Tính: R =
2 2 32
42
2006 2
+
+
+ ... +
1.3 2.4 3.5
2005.2007
2
22
23
2 n +1
2 2006
+
+
+ ... +
+ ... +
Bài 1.28: Cho S =
2
n
2005
2005 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1
2005 2 + 1
2005 2 + 1
So sánh S với
1
1002
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Chứng minh rằng:
a)
1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
b)
k
1
1
= k −
÷
n(n + 1)
n n + 1
Áp dụng Tính:
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100
3
3
3
3
3
B=
+
+
+ ... +
+
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100
A=
Bài 2: Chứng minh rằng:
a)
k
1
1
= −
n(n + k) n n + k
b)
1
1 1
1
= −
n(n + k) k n n + k ÷
Áp dụng Tính:
3
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
2
2
2
2
2
+
+
+ ... +
+
1.3 3.5 5.7
95.97 97.99
1
1
1
1
1
B=
+
+
+ ... +
+
1.4 4.7 7.10
94.97 97.100
A=
Bài 3: Tính:
3
3
3
3
+
+
+ ... +
5.8 8.11 11 .14
2006.2009
1
1
1
1
+
+
+ ... +
b) B =
6.10 10.14 14.18
402.406
x
∈
N
Bài 4: Tìm
, biết:
1
1
1
1
44
+
+
+ ... +
=
1.2 2.3 3.4
x(x + 1) 45
Bài 5: Chứng minh rằng ∀n∈ N :
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
2.5 5.8 8.11
(3n − 1)(3n + 2) 6n + 4
Bài6: Tìm x∈ N , biết:
1
1
1
1
15
+
+
+ ... +
=
3.5 5.7 7.9
(2x + 1)(2x + 3) 93
Bài 7: Chứng minh rằng ∀n∈ N :
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
3.7 7.11 11.15
(4n − 1)(4n + 3) 12n + 9
a) A =
Bài 8: Chứng minh rằng ∀n∈ N :
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
3.7 7.11 11.15
(4n − 1)(4n + 3) 4n + 3
Bài 9: Chứng minh rằng:
a
a 1
1
= −
n(n + k) k n n + 1÷
2
1
1
b)
=
−
n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) ( n + 1) ( n + 2)
a)
c)
a
n( n + k) ( n + 2k)
=
a
1
1
.
−
2k n( n + k) ( n + k) ( n + 2k)
Bài 10: Tính:
7
7
7
7
+
+
+ ... +
10.11 11.12 12.13
69.70
6
6
6
6
b) B =
+
+
+ ... +
15.18 18.21 21.24
87.90
3
3
3
3
c) C =
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
49.51
a) A =
Bài 11: Tính S =
4
2
2
2
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
37.38.39
÷
÷
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 12: Cho A =
1
1
1
1
+
+ ... +
. Chứng minh A <
1.2.3 2.3.4
18.19.20
4
Bài 13: Cho B =
36
36
36
+
+ ... +
. Chứng minh B < 3
1.3.5 3.5.7
25.27.29
Bài 14: Cho C =
5
5
5
1
+
+ ... +
. Chứng minh C <
5.8.11 8.11 .14
302.305.308
48
Bài 15: Tìm x∈ N , biết:
a)
1
1
1
1
11
+
+
+ ... +
=
1.6 6.11 11.16
( 5x + 1) ( 5x + 6) 56
b)
1 1 1
2
2
+ + + ... +
=
21 28 36
x( x + 1) 9
Bài 16: Tính:
A=
2
2
2
2
+
+
+ ... +
5.8 8.11 11.14
2006.2009
Bài 17: Tìm x∈ N , biết:
1 1 1
2
1
+ + + ... +
=
15 35 63
(2x + 1) ( 2x + 3) 9
Bài 18: Chứng minh rằng ∀n∈ N :
7
7
7
7
7n
+
+
+ ... +
=
2.5 5.8 8.11
(3n − 1)(3n + 2) 6n + 4
Bài 19: Tìm x∈ N , biết:
1 1 1
1 1 3
+ + + ... +
+ =
10 15 21
120 x 2
Bài 20: Chứng minh rằng ∀n∈ N :
3
3
3
3
n
+
+
+ ... +
=
3.7 7.11 11.15
(4n − 1)(4n + 3) 4n + 3
Bài 21: Tính:
B=
5
5
5
5
+
+
+ ... +
6.10 10.14 14.18
402.406
Bài 22: Cho A =
1
1
1
1
2
8
+ 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh < A <
2
5
9
2
3
4
9
5
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
HD :
8
*cm : A < .
9
1
1
1
1
⇒ A<
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
8.9
1 1 1 1 1
1 1
⇒ A < 1 − + − + − + ... + −
2 2 3 3 4
8 9
1
⇒ A < 1−
9
8
⇒ A<
9
Bài 23: Cho A =
*cm : A >
2
5
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.3 3.4 4.5
9.10
1 1 1 1 1 1
1 1
⇒ A > − + − + − + ... + −
2 3 3 4 4 5
9 10
1 1
⇒ A> −
2 10
2
⇒ A>
5
⇒ A>
2
2
2
2
1003
+ 2 + 2 + ... +
A<
2
2 . Chứng minh:
2008
3
5
7
2007
HD :
A<
2
2
2
2
+
+
+ ...
3.5 5.7 7.9
2007.2009
Bài 24: Cho B =
1
1
1
1
334
+ 2 + 2 + ... +
B<
2
2 . Chứng minh:
2007
4
6
8
2006
Bài 25: Cho S =
1
1
1
1
+ 2 + ... +
S<
2
2 . Chứng minh:
12
5
9
409
Bài 26: Cho A =
9
9
9
9
3
+ 2 + 2 + ... +
A<
2
2 . Chứng minh:
4
5
11 17
305
8 24 48
200.202
+
+ ... +
. Chứng minh: B > 99,75
9 25 49
2012
11 18 27
1766
20
20
Bài 28: Cho A = + + + ... +
. Chứng minh: 40 < A < 40
9 16 25
1764
43
21
Bài 27: Cho B = +
1
2
Bài 29: Tính : A = +
HD :
1
1
1
+ 3 + ... + 100
2
2
2
2
1 1 1
1
⇒ 2A = 1+ + 2 + 3 + ... + 99
2 2 2
2
1
⇒ A = 2A − A = 1− 100
2
1
⇒ A = 1− 100
2
1 1
1
1
Bài 30: Tính: C = + 3 + 5 + ... + 99
2 2
2
2
6
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
HD :
1 1 1
1
⇒ 4C = 2 + + 3 + 5 + ... + 97
2 2 2
2
1
⇒ 3C = 4C − C = 2 − 97
2
⇒C=
2
1
− 97
3 3.2
1
2
1
1
1
1
1
+ 3 − 4 + ... + 99 − 100
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
+ 7 − 10 + ... − 58
4
2
2
2
2
Bài 31: Tính: B = −
Bài 32: Tính: D = −
1 2 3
2001
5
+ 2 + 3 + ... + 2001 Chøng minh r»ng A<
5 5 5
5
16
1 2 3
11 1
Bài 34: Chứng minh rằng: A = 2 + 3 + 4 + ... + 12 <
5 5 5
5
16
1 2 3 4
2001
5
Bài 35: A = − 2 + 3 − 4 + ... + 2001 Chøng minh r»ng A >
5 5 5 5
5
36
Bài 33: Cho
A=
(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa
1
2
Bài 2.1: Tính : A = +
1
n với n tự nhiên.
a
1
1
1
+ 3 + ... + 100
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
+ 3 − 4 + ... + 99 − 100
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
+ 5 + ... + 99
3
2
2
2
1
2
1
1
1
1
+ 7 − 10 + ... − 58
4
2
2
2
2
Bài 2.2: Tính: B = −
Bài 2.3: Tính: C = +
Bài 2.4: Tính: D = −
1
26
3n − 1
+ ... + n . Chứng minh A > n −
2
27
3
2
3
8
9
4
3
10 28
398 + 1
+
+ ... + 98 . Chứng minh B < 100.
9 27
3
Bài 2.5: Cho A = + +
Bài 2.6: Cho B = +
7
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
5
4
Bài 2.7: Cho C = +
Bài 2.8: Cho D =
5
5
5
5
+ 3 + ... + 99 . Chứng minh: C <
2
3
4
4
4
3
5
7
19
+ 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 . Chứng minh: D < 1.
2
1 .2
2 .3
3 .4
9 .10
2
1
3
Bài 2.9: Cho E = +
2
3
100
3
+ 3 + ... + 100 . Chứng minh: E <
2
4
3
3
3
4
3
7 10
3n + 1
11
+ 3 + ... + n với n ∈ N*. Chứng minh: F <
2
4
3
3
3
5
3
8 11
302
5
1
+ 3 + ... + 100 . Chứng minh: 2 < G < 3
2
9
2
3
3
3
7
3
13 19
601
7
+ 3 + ... + 100 . Chứng minh: 3 < H < 5
2
9
3
3
3
Bài 2.10: Cho F = +
Bài 2.11: Cho G = +
Bài 2.12: Cho H = +
Bài 2.13: Cho I =
11 17 23
605
+ 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: I < 7
3 3
3
3
4
3
13 22
904
17
+ 3 + ... + 101 . Chứng minh: K <
2
4
3
3
3
7
3
11 15
403
+ 3 + ... + 100 . Chứng minh: L < 4,5.
2
3
3
3
Bài 2.14: Cho K = +
Bài 2.15: Cho L = +
CHUYÊN ĐỀ 1
DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT - DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUI
LUẬT
A- Kiến thức cần nắm vững:
I. Dóy số viết theo qui luật:
1) Dóy cộng
1.1) Xột cỏc dóy số sau:
a) Dóy số tự nhiờn: 0; 1; 2; 3; 4;...
(1)
b) Dóy số lẻ: 1; 3; 5; 7;...
(2)
c) Dóy cỏc số chẵn: 0; 2; 4; 6;....
(3)
d) Dóy cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 chia cho 3 dư 1: 4; 7; 10; 13;...
(4)
Trong 4 dóy số trờn, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 2, đều lớn hơn số hạng đứng
liền trước nó cùng một số đơn vị:
+) Số đơn vị là 1 ở dóy (1)
+) Số đơn vị là 2 ở dóy (1) và (2)
+) Số đơn vị là 3 ở dóy (4)
Khi đó ta gọi dóy cỏc trờn là "dóy cộng"
1.2) Cụng thức tớnh số hạng thứ n của một dóy cộng (khi biết n và d)
- Xột dóy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an trong đó a2 = a1 + d . Ta cú:
a3 = a1 + 2d ; a4 = a1 + 3d ;...
Tổng quỏt: an = a1 + (n − 1)d (I)
8
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Trong đó : n gọi là số số hạng của dóy cộng
d hiệu giữa hai số hạng liờn tiếp
Từ (I) ta cú: n =
an − a1
+1
d
(II)
Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dóy cộng khi biết : Số hạng
đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d giữa hai số hạng liờn tiếp.
1.3) Để tính tổng S các số hạng của dóy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an . Ta viết:
S = a1 + a2 + L + an −1 + an
S = an + an −1 + L + a2 + a1
Nờn 2S = (a1 + an ) + (a2 + an −1 ) + L + (an −1 + a2 ) + (an + a1 ) = ( a1 + an )n
(a + a )
Do đó: S = 1 n (III)
2
Chỳ ý: Trường hợp đặc biệt tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đàu từ 1 là
S = 1+ 2 + 3 + 4 +L + n =
n(n + 1)
2
B- BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viột liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ
1; 3; 5; 7;...
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số
b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh: S = 1 + 3 + 5 + L + 2n + 1 với (n ∈ N )
d) Tớnh: S = 2 + 4 + 6 + L + 2n với (n ∈ N * )
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;...
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:
n(n + 1)
2
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một
số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dóy số (khụng làm
thay đổi kết quả). Tạm chưa xét số 100. Từ 0 đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp:
0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18. Tổng các chữ số
của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1. ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
S1 = 1 + 2,
S 2 = 3 + 4 + 5,
Bài 5: Cho S3 = 6 + 7 + 8 + 9,
S 4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14,
...
Tớnh S100 ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S100 = 515100
9
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 6: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7 với số
mũ băng bao nhiêu?
Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;...
Bài 8: Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 320 ; B = 321 : 2
Tớnh B − A
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:
a ) A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 2007
b) B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 n
c) C = 1 + 22 + 24 + ... + 22008
d ) D = 1 + 22 + 24 + ... + 22 n
e) E = 2 + 23 + 25 + ... + 22007
f ) F = 2 + 23 + 25 + ... + 22 n +1
Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
c) S2 = a + a 3 + a 5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * )
Bỡa 11: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A <
B
.
3
Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a ) A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
123
50 ch÷sè
b) B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
123
200 ch÷sè
(NCPTT6T1)
SUY NGHĨ TRấN MỖI BÀI TOÁN
Giải hàng trăm bài toán mà chỉ cốt tỡm ra đáp số và dừng lại ở đó thỡ kiến
thức thu lượm được chẳng là bao. Cũn giải ớt bài tập mà lại luụn suy nghĩ
trờn mỗi bài đó, tỡm thờm cỏch giải, khai thỏc thờm những ý của bài toỏn,
đó là con đường tốt để đi lên trong học toán.
Dưới đây là một thí dụ.
Bài toỏn 1 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và
B = A.3. Tớnh giỏ trị của B.
Lời giải 1 : Theo đề bài ta có :
B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) +
2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) +
8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10
- 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990.
Trước hết, ta nghĩ ngay rằng, nếu bài toán yêu cầu chỉ tính tổng A, ta có : A =
B/3 = 330
10
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bây giờ, ta tạm thời quên đi đáp số 990 mà chỉ chú ý tới tớch cuối cựng
9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau
của 10, tạo thành tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp. Ta dễ dàng nghĩ tới kết quả
sau :
Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thỡ giỏ trị của B = A.3 = (n - 1).n.(n
+ 1). Cỏc bạn cú thể tự kiểm nghiệm kết quả này bằng cỏch giải tương tự
như trên.
Bõy giờ ta tỡm lời giải khỏc cho bài toỏn.
Lời giải 2 :
B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3
+ 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 +
6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 +
32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6.
Ta chưa biết cách tính tổng bỡnh phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1,
nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có :
(12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay
(12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6
Hoàn toàn hợp lí khi ta nghĩ ngay đến bài toán tổng quát :
Bài toỏn 2 : Tớnh tổng :
P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2
Kết quả : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6
Kết quả này cú thể chứng minh theo một cỏch khỏc, ta sẽ xem xột sau.
Loạt bài toán sau là những kết quả liên quan đến bài toán 1 và bài toán 2.
Bài toỏn 3 : Tớnh tổng :
Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2.
Bài toỏn 4 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và
C = A + 10.11. Tớnh giỏ trị của C. Theo cỏch tớnh A của bài toán 1, ta được
kết quả là : C = 10.11.12/3
Theo lời giải 2 của bài toán 1, ta đi đến kết quả : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 +
102). Tỡnh cờ, ta lại cú kết quả của bài toỏn tổng quỏt : tớnh tổng bỡnh
phương của các số tự nhiên chẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2.
Bài toỏn 5 : Chứng minh rằng :
22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6
Từ đây, ta tiếp tục đề xuất và giải quyết được các bài toán khác.
Bài toỏn 6 :
Tớnh tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502.
Bài toỏn 7 : Cho n thuộc N*. Tớnh tổng :
n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2.
Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; áp dụng kết quả bài
toán 2, bài toán 5 và cách giải bài toán 3.
Bài toỏn chỉ cú một kết quả duy nhất, khụng phụ thuộc vào tớnh chẵn lẻ của
n.
Bài toỏn 8 : Chứng minh rằng :
12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6
Lời giải 1 :
11
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Xét trường hợp n chẵn :
12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2)
= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6
= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6
Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm.
Lời giải 2 : Ta cú :
13 = 13
23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + 1 )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 +
13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13.
Cộng từng vế của các đẳng thức trờn :
13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 +
… + n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)
=> (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)
=> 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + 2 + 3 + … + n) – (n + 1)
= (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1)
= (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2
= (n + 1).n.(2n + 1)/2
=> 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6
Bài toỏn 9 : Tớnh giỏ trị biểu thức :
A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202.
Lời giải : Đương nhiên, ta có thể tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …
+ 192) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tỡm kết quả của bài toỏn.
Song ta cũn cú cỏch giải khỏc như sau :
A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + …
+ (20 + 19)(20 – 19) = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 +
39).10/2 = 210.
Trở lại bài toán 1. Phải chăng bài toán cho B = A.3 vỡ 3 là số tự nhiờn liền
sau của 2 trong nhóm đầu tiên : 1.2. Nếu đúng như thế thỡ ta cú thể giải được
bài toán sau :
Bài toỏn 10 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 +
8.9.10.
Lời giải :
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 +
2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) +
2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : 4 = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5
+ … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : 4 = 8.9.10.11/4 = 1980.
Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có ngay kết quả tổng quát của bài toán 10 :
Bài toỏn 11 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).
Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4
thể tỡm được nhiều cách giải, đề xuất được những bài toán thú vị, thiết lập
được mối liên hệ giữa các bài toán.
Kết quả tất yếu của quỏ trỡnh tỡm tũi suy nghĩ trờn mỗi bài toỏn, đó là làm
tăng năng lực giải toán của các bạn.
12
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Chắc chắn cũn nhiều điều thú vị xung quanh bài toán 1. Các bạn hóy cựng
tiếp tục suy nghĩ nhộ.
II- Dóy cỏc phõn số viết theo qui luật:
* Các công thức cần nhớ đến khi giải các bài toán về dóy cỏc phõn số viết theo
qui luật:
1
1
1
1) n(n + 1) = n − n + 1 .
k
1
1
= k × −
÷.
n(n + 1)
n n +1
1
1 1
1
= × −
3)
÷.
n( n + k ) k n n + k
k
1
1
= −
4)
÷.
n( n + k ) n n + k
1
1
1 1
1 1 1
1
=
= × −
5)
÷ = × −
÷.
2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2 2n 2n + 2 4 n n + 1
1
1 1
1
= ×
−
6)
÷.
(2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3
1
1
1
7) n.(n + 1) < n 2 < (n − 1).n .
(Trong đó: n, k ∈ N∗ , n > 1 )
2)
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú
hơn chút xíu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
13
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Hơn nữa ta có :
ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1
và khác nhau thỡ
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khú sau :
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... <
a44 < a45 và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toỏn 2: Tớnh nhanh:
1 1 1 1
1 1
+ 3 + 4 +L + 7 + 8 .
2
3 3 3 3
3 3
1 1 1 1
1
1
b) B = + 2 + 3 + 4 + L + 2007 + 2008 .
3 3 3 3
3
3
1 1 1 1
1
1
c) C = + 2 + 3 + 4 + L + n −1 + n ; n ∈ N ∗ .
3 3 3 3
3
3
a) A = +
Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2)
1
a
Tớnh nhanh: S = +
14
1 1 1
1
1
+ 3 + 4 + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) .
2
a a a
a
a
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dóy sau:
a)
1
1
1
1
;
;
;
;...
1.2 2.3 3.4 4.5
1
6
b) ;
1
1
1
;
;
,...
66 176 336
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đó số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tớnh tổng:
1
1
1
1
+
+
+L +
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1
1
1
+
+
+L +
b) S =
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
1
1
1
1
∗
c) S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + L + n.( n + 1).(n + 2) ; (n ∈ N ) .
a) S =
Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1 1
1
1
1+ + +L + +
3 5
97 99
a) A = 1
1
1
1
1 .
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1 1 1
1
1
+ + +L + +
2
b) B = 99 3 984 97 99 100
1 .
+ + +L +
1
2
3
99
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1 +
1
1 1
1 1
1 1
100 100 100
100
) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) =
+
+
+L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95
49.51
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
100 − 1 100 − 2 100 − 3
100 − 99
+
+
+L +
=
1
2
3
99
100 1 2 3
99
100 100 100
b) Biến đổi số chia: = 1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ − 1 + 2 + 3 + L + 99 ÷ =
1
1
1
1 1
1 1
= 100 + 100 + + L + ÷− 99 = 1 + 100 + + L + +
÷
99
99 100
2 3
2 3
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =
.
100
Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiên của dóy:
1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
3 8 15 24 35
Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dóy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;
;
;...
3 8 15 24 35
22 32
4 2 52
62
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
15
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
992
.
98.100
22 32 42 52 62
992
99
A=
× × × × L
=
Ta cần tớnh:
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50
Do đó số hạng thứ 98 có dạng
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
8 15 24
2499
. .....
.
9 16 25
2500
Bài 3.1:
Tính: A = .
Bài 3.2:
Cho dãy số: 1 ,1 ,1
1 1 1 1 1
,1 ,1 ,...
3 8 15 24 35
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
1
1
1
1 1
.
Bài 3.3: Tính: B = 1 − 1 − 1 − 1 − .....1 −
3
6
10
15
1 3 5
2 4 6
199
1
. Chứng minh: C 2 <
200
201
1 3 5
2 4 6
99
1
1
. Chứng minh: < D <
100
15
10
Bài 3.4: Cho C = . . .....
Bài 3.5: Cho D = . . .....
Bài 3.6: Tính: E = + 1 + 1 + 1....
1
2
1
3
1
4
1
+ 1
99
1 1 1 1
− 1 .
Bài 3.7: Tính: F = − 1 − 1 − 1....
2
Bài 3.8: Tính: G =
3
4
100
3 8 15
899
. 2 . 2 ..... 2 .
2
2 3 4
30
1 2 3 4 30 31
.... . .
4 6 8 10 62 64
Bài 3.9: Tính: H = . . .
Bài 3.10: Tính:
16
780
I = 101.10001.100000001.....100
...
000
1
2 n −1c / s
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
−1
1
1
1
1
Bài 3.11: Cho K = 2 − 1 2 − 1 2 − 1.... 2 − 1 . So sánh K với
2
3
4
100
2
1
1
1 1 1
Bài 3.12: So sánh L = 1 − 1 − 1 − ....1 − với
2
3
4
20
21
1
1
11
1 1
với
Bài 3.13: So sánh M = 1 − 1 − 1 − .....1 −
4
9
16
100
19
2 2 32 4 2
50 2
.
.
.....
1.3 2.4 3.5
49.51
Bài 3.14: Tính: N =
1 2 3 10
Bài 3.15: Tính P = 1 − 1 − 1 − .....1 − .
7
7
7
7
2
2 2 2
Bài 3.16: Tính: Q = 1 − 1 − 1 − .....1 −
3
5
7
2007
Bài 3.17: Tính: T = − − − ..... −
1
2
1 1
3 2
Bài 3.18: So sánh: U =
Bài 3.19: Cho V = 1 +
1 1
5 2
1
7
1
2
1
99
1.3.5.7.....39
1
và V = 20
21.22.23.....40
2 −1
1
1
1
1
1 +
1 +
.....1 +
. Chứng minh V < 2.
1.3 2.4 3.5 99.101
2 4 6
1 3 5
Bài 3.20: Cho S = . . .....
200
. Chứng minh: 201 < S 2 < 400
199
1 4 7 10 208
1
....
. Chứng minh: A <
3 6 9 12 210
25
Bài 3.21: Cho A = . . .
Bài 3.22: Tính: B =
12 2 2 3 2
100 2
.
.
.....
1.2 2.3 3.4 100.101
1999 1999 1999 1999
1 +
1 +
1 +
.....1 +
1
2
3 1000
Bài 3.23: Tính: C =
1000 1000 1000 1000
1 +
1 +
1 +
.....1 +
1
2
3 1999
4
4 4
Bài 3.24: Tính: D = 1 − 1 − 1 − .....1 −
Bài 3.25: Cho E = 1 −
1
9
25
1
(2n − 1) 2
, với n ∈ N, n ≥ 1
1
1
1
1 −
.....1 −
1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + ... + n
17
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
và F =
n+2
E
với n ∈ N*. Tính
n
F
1
1
1
1
1 1
....1 + 1024 và H = 2047
Bài 3.26: Cho G = 1 + 1 + 1 + 1 +
2
4
16
256
2
2
Tính: G + H.
n
n
1.3 + 2 3.5 + 2 15.17 + 2 255.257 + 2
(2 2 − 1)(2 2 + 1) + 2
I
=
.
.
.
.....
Bài 3.27: Cho
với n ∈ N.
n
4
16
256
65536
22
Chứng minh: I <
4
3
1 1 1 1
1
;1 4 ;1 8 ;1 16 ;....
2
3 3 3 3 3
Bài 3.28: Cho dãy số: 1 ;1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh
nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của B =
n
5 13 97
32 + 2 2
Bài 3.29: Cho A = . 2 . 4 .....
n
6 6 6
62
a) Chứng minh : M =
1
là số tự
3 − 2A
3
3 − 2A
n
và B =
1
62
n +1
−1
với n ∈ N
A
là số tự nhiên
B
b) Tìm n để M là số nguyên tố.
n
7 37 1297
62 + 1
A
=
.
.
.....
Bài 3.30: Cho
n
3 32 34
32
1
1
1
1
1
B = 1 + 1 + 2 1 + 4 .1 + 8 ....1 + 2 n với n ∈ N
3 3 3 3 3
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45.
n
n
5 13 97 3 2 + 2 2
A
=
. . ....
Bài 3.31: Cho
.( với n ∈ N ) Chứng minh: A < 3.
n
3 32 34
32
(4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
18
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 98)
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99
Bài 4.1:
Tính: A =
Bài 4.2:
Tính: B =
Bài 4.3:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.300 2.301 3.302
101.400
Tính: C = 1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.102 2.103 3.104
299.400
Bài 4.4:
1
1 1
100 − 1 + + + ... +
2 3
100
Tính: D =
1 2 3
99
+ + + ... +
2 3 4
100
Bài 4.5:
1
1
1
1
+
+ + ... +
51 52 53
100
Tính: E = 1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 3.4 5.6
99.100
Bài 4.6:
5 5 5
15 15
+ −
15 − +
3 9 27 :
11 121
Tính F =
8 8 8
16 16
8− + −
16 − +
3 9 27
11 121
Bài 4.7:
2 1 1
1 1
1,2 : 1 .1
3 + : 2
15 5 2 −
5 4
Tính G =
2
1 43
3
0,32 +
5 − 2 : 4
25
4 56
7
Bài 4.8:
1
2
3
98 99
1 2 3
92
+
+
+ ... +
+
92 − − − − ... −
99 98 97
2
1 :
9 10 11
100
Tính H =
1 1 1
1
1
1
1
1
+ + + ... +
+
+
+ ... +
2 3 4
100
45 50 55
500
Bài 4.9:
2
2
2
4
4
4
+
−
4−
+ −
19 43 1943 :
29 41 2941
Tính I =
3
3
3
5
5
5
3− +
−
5−
+ −
19 43 1943
29 41 2941
Bài 4.10:
12 12 12
3
3
3
−
−
3+ +
+
7 289 85 :
13 169 91
Tính K =
4
4
4
7
7
7
4− −
−
7+ +
+
7 289 85
13 169 91
1.98 + 2.97 + 3.96 + ... + 98.1
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99
5−
2−
12 −
19
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10
3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20
Bài 4.11:
Tính L =
Bài 4.12:
2 4
3
1,6 : 1 .1,25 1,08 − :
2
25 7
5
+
+ 0,6.0,5 :
Tính M =
1
1 2
5
5
0,64 −
5 − 2 .2
25
4 17
9
Bài 4.13:
1
94
38 11
−6
:8
Tính N = 8 11
Bài 4.14:
Tính P = 10101.
Bài 4.15:
1 1 1
1
+ + + ... +
3 5 7
99
Tính Q = 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
1.99 3.97 5.95
97.3 99.1
Bài 4.16:
1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
200
Tính R = 1
2
3
198 199
+
+
+ ... +
+
199 198 197
2
1
5
1591
1517
43
5
5
4
+
−
111111 222222 3.7.11 .13.37
1+
1
với tổng A gồm 26 số hạng sau:
1002
2
22
2n+1
22006
A=
+
+ ... +
+ ... +
n
2006
2005 + 1 20052 + 1
20052 + 1
20052 + 1
Bài 1: So sánh
HD:
Với các số tự nhiên m, k lớn hơn 1 ta có:
m
m
mk + m − mk + m
2m
−
=
= 2
k −1 k +1
( k − 1) ( k + 1)
k −1
m
m
2m
⇒
=
− 2
( *)
k +1 k −1 k −1
2
n
Trong đẳng thức (*) lần lượt cho k bằng 2005; 20052 ; 20052 ;...; 20052 ;...; 20052
tương ứng bằng 2; 22 ; 23 ;...; 2n+1;...; 22006 ta được:
20
2006
và m
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
2
2
22
=
−
2005 + 1 2005 − 1 20052 − 1
22
20052 + 1
=
23
2
20052 + 1
...
22
20052 − 1 20052 − 1
2004
+1
22006
20052
2005
23
=
22005
20052
23
−
+1
2
24
−
2
3
20052 − 1 20052 − 1
=
=
22005
20052
2004
22006
20052
2005
−
22006
− 1 20052
−
2005
−1
22007
− 1 20052
2006
−1
Cộng theo từng vế của 26 đẳng thức trên ta được
2
22007
2
2
1
−
<
=
=
2006
2005 − 1 20052 − 1 2005 − 1 2004 1002
1
Bài 2: So sánh
với tổng A gồm 11 số hạng sau:
16
1 2
n
11
A = 2 + 3 + ... + n +1 + ... + 12
5 5
5
5
A=
HD:
Tinh 4 A = 5 A − A
Bài 3: Chứng minh rằng
1
1 1
1
1
1
< 3 + 3 + ... + 3 + ... +
<
3
65 5 6
40
n
2004
HD:
Với n > 1 ⇒ ( n − 1) n ( n + 1) = n3 − n < n3
1
1
1
1
=
−
÷
( n − 1) n ( n + 1) 2 ( n − 1) n n ( n + 1) ÷
n
1
1
1 1
1
=
−
Với n > 1 ⇒ 3 >
n ( n + 1) ( n + 2 ) 2 n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 2 )
n
A
Bài 4: Tính , biết:
B
1
1
1
1
A=
+
+ ... +
+ ... +
2.32 3.33
n ( n + 30 )
1973.2003
Suy ra
B=
1
3
<
1
1
1
1
+
+ ... +
+ ... +
2.1974 3.1975
n ( n + 1972 )
31.2003
HD:
1
1
k
−
=
n n + k n( n + k )
Tính 30A và 1972B
Bài 6: Tính tổng sau:
21
DÃY PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
S=
( n − 1) ( n + 1)
1.3 2.4
+
+ ... +
3.5 5.7
( 2n − 1) ( 2n + 1)
HD:
( n − 1) ( n + 1)
( 2n − 1) ( 2n + 1)
1 3 1
1 4n 2 − 4 1
3
1
= 2
= . 2
= 1 −
−
= −
÷
4n − 1 4 4n − 1 4 ( 2n − 1) ( 2n + 1) 4 8 2n − 1 2n + 1
3 8 15
9999
Bài 7: So sánh giá trị của biểu thức A = + + + ... +
với 98 và 99.
4 9 16
10000
n2 − 1
HD:
n2 − 1
= 1−
1
n2
n2
1
1
1
< 2<
n ( n + 1) n
( n − 1) n
Bài 8: Tìm tỉ số của A và B, biết rằng:
A=
1
1
1
1
+
+ .... +
+ ... +
1.1981 2.1982
n ( 1980 + n )
25.2005
B=
1
1
1
1
+
+ ... +
+ ... +
1.26 2.27
m ( 25 + m )
1980.2005
HD: Tính 1980A và 25B
Bài 9: Xét tổng A gồm 2006 số hạng sau A =
sánh A với 3.
HD:
Cách 1:
n +1
2
n
=
n+2
2
n −1
−
Cách 2: Tính 2A - A
22
n+3
2n
2
1
2
+
3
2
2
+ ... +
n +1
2
n
+ ... +
2007
22006
. Hãy so
