KHóa Luận tốt nghiệp Tối UU hóa dạng toàn phương đối với Hệ tuyến tính trong không gian vô hạn

TrườngSuưPhamưI
khoa khoa hưđạiưhọcưọc tự nhiên

Báoưcáoưkhoáưluậnưtốtưnghiệp:
tốiưưuưhoáưdạngưtoànưphương
ưđốiưvớiưhệưtuyếnưtínhư
trongưkhôngưgianưvôưhạnưchiều


Bốưcụcưcủaưkhóaưluậnưbaoưgồm:
Mở đầu
nội dung
ưChơng I. sử dụng phơng trình ricati
đối với bài toán điều khiển toàn phơng.
ưưưưưưưưưưưưưư1.ưGiớiưthiệuưvàưđặtưvấnưđề.
ưưưưưưưưưưưưưư2.ưápưdụngưphươngưtrìnhưricatiưđốiưvớiưbàiưtoánưđiềuư
khiển.
ưưưưưưưưưưưưưư3.ưMộtưsốưkiếnưthứcưcóưliênưquan.
ưchơng II. kết quả của bài toán điều khiển.
ưChơngIII. ví dụ và áp dụng.
ưưưưưưưưưưưưưư1.phươngưtrìnhưsóng.
ưưưưưưưưưưưưưư2.phươngưtrìnhưtruyềnưnhiệt.
ưưưưưưưưưưưưưư3.bàiưtoánưđiềuưkhiểnưtrênưbiên.
kết luận



mở đầu
Lýưthuyếtưđiềuưkhiểnưlàưmộtưtrongưnhữngưlĩnhưvựcưtoánưhọcư
ứngưdụngưquanưtrọng,ưmớiưđượcưxuấtưhiệnưvàưphátưtriểnưtrongưmấyư
thậpưkỷưgầnưđây.ưLàưlĩnhưvựcưcóưnhiềuưứngưdụngưtrongưthựcưtế,ư

lýư thuyếtư điềuư khiểnư toánư họcư ngàyư nayư đãư trởư thànhư mộtư mônư
phổư biếnư trongư nhiềuư trườngư đạiư họcư tổngư hợpư vàư đạiư họcư kỹư
thuật.
.

Tínhưđiềuưkhiểnưđượcưlàưbàiưtoánưnghiênưcứuưcácưlớpưhàmưđiềuư
x f (t , x, u )
x0 , x1
khiểnưchấpưnhậnưđượcưsaoưchoưdướiưtácưđộngưcủaưnóưhệưthốngưđư
ợcư
điềuưkhiểnưvềưcácưvịưtríưmàưtaưmongưmuốn.ưChẳngưhạn,ưchoưhệư
điềuưkhiểnưlàưhệưđộngưlựcưđượcưmôưtảưbởiưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưcácưvịư
tríưmongưmuốnưcầnưđiềuưkhiểnưlàưnhữngưtrạngưtháiưưưưưưưưưưưưưchoưtrư
ớc,ưbàiưtoánưđặtưraưlàưtìmưđiềuưkhiểnưchấpưnhậnưđượcưu(t)ưsaoư
choưdướiưtácưđộngưcủaưnóưhệưthốngưđượcưđiềuưkhiểnưtừưtrạngưtháiưx 0,ư
tớiưx1ưtrongưmộtưkhoảngưthờiưgian(tuỳưýưhoặcưcốưđịnh).ưDựaưvàoư
mụcưđíchưđiềuưkhiểnưcủaưhệưthống,ưngườiưtaưđưaưraưcácưkháiưniệmư
khácưnhauưcủaưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưđượcưnhưưđiềuưkhiểnưvềưkhông,ư
đạtưđượcưtừưmộtưtrạngưtháiưnàoưđó,ưđiềuưkhiểnưđượcưhoànưtoàn,ư
điềuưkhiểnưđịaưphương,ư...
ưưưưưưưưưư
ưPhátưtriểnưtừưcácưbàiưtoánưtốiưưuưhóaưcổưđiển,ưnhưưbàiưtoánưbiếnư


ưưưưưưưư Mụcưđíchưnghiênưcứuưcủaưđềưtàiưnàyưlàưtìmưkếtưquảưcủaưbàiưtoánưtốiưưuưdạngư
toànư phươngư đốiư vớiư hệư tuyếnư tínhư trongư khôngư gianư vôư hạnư chiều.Vìư điềuư kiệnư
khôngưchoưphépưnênưtrongưđềưtàiưnàyưchúngưtôiưchỉưnghiênưcứuưtrườngưhợpưthờiưgianư
hữuưhan.
ưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưNộiưdungưnghiênưcứuưcủaưđềưtàiưđượcưtrìnhưbàyưtrongưbaưchương:

ưưưưưChơng I giới thiệu về bài toán điều khiển toàn phơng; việc sử dụng ph
ơng trình Ricati đối với bài toán điều khiển toàn phơng và một số kiến
thức có liên quan phục vụ cho quá trình nghiên cứu.
Chơng II chứng minh đợc đối với bài toán điều khiển toàn phơng đã
cho thì luôn tồn tại và duy nhất điều khiển tối u; hơn nữa còn chỉ ra
công thức tìm điều khiển tối u và giá trị tối u.
Chơng III đa ra một số ví dụ áp dụng, bao gồm: đối với phơng trình
truyền nhiệt, phơng trình sóng, bài toán điều khiển trên biên.


ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưChơng I
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưSử dụng Phơng trình Ricati
đối với bài toán điều khiển toàn phơng
ở chơng này, chúng tôi giới thiệu về bài toán điều khiển
toàn phơng;
việc sử dụng phơng trình Ricati đối với bài toán điều khiển
toàn phơng và
một số kiến thức có liên quan phục vụ cho quá trình nghiên
cứu.ư

1. Giới thiệu và
vấn+ Bu(t),
đề. t 0
(t) = Ay(t)
y'đặt

Xétư mộtư hệư độngư
lựcư đượcư môư tảư bởiư phươngư trìnhư viư phânư
y(0) x H
sau:

ư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
T
2
2
ưưưưưưưưưưưưưưưư(1.1)
Cy
(
s
)

u
(
s
)
ds P0 y (T ), y (T )




0



TrongưđóưA:ưD(A)ưưưưưHưưưưHư;ưBư:ưưUưưưưưHưưlàưcácưtoánưtửưtuyếnư
P0

tínhưliênưtục.
P0
ChoưTư>ư0,ưbàiưtoánưđặtưraưlàưcựcưtiểuưhoáưhàmưmụcưtiêu:


Giả thiết 1.1.
e tA
(i)AưsinhưraưmộtưnửaưnhómưliênưtụcưmạnhưưưưưưtrongưH;
(ii)ưBưưưưL(H,H);

P0
(iii)ưưưL(H)ưlàưđốiưxứngưvàưkhôngưâm;

(iv)ưCưưưưL(H,Y).
Vớiưcácưđiềuưkiệnư(i)ưvàư(ii)ưtrongưGiảưthiếtư1.1ưthỏaưmãn,ưbàiư
toánư(1.1)ưcóưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưnghiệmư
trungưgianưyưduyưnhấtưxácưđịnhưbởiư
côngưthứcưbiếnưthiênưhằngưsố:
t
y (t ) etA xưưưưưưưưư
e (t s ) A Bu ( s )dsưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
0
ưưưưưưưưưưưưưưư(1.3)




Định nghĩa 1.1.

Mỗiưhàmưsốưu*ưưưL2ư[[0,T];U]ưđượcưgọiưlàưmộtưđiều khiển tối uư
u* , y*
nếu:
ưưưưưưưưưưưJ(u*)ưưưưưưJ(u),ưưưưuưưưưL2ư[[0,T];U]ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưư(1.4)
Trongưtrườngưhợpưđóưnghiệmưy*ưtươngưứngưcủaư(1.1)ưđượcưgọiưlàư
trạng thái tối
uưvàưcặpư(ưưưưưưưư)ưgọiưlàưcặp tối u.
Chúngưtaưcầnưphảiưtìmưđiềuưkhiểnưtốiưưuưquaưđiềuưkhiểnưngược.ư


Bớc 1:ưGiảiưphươngưtrìnhưtoánưtửưRicati:
ưưưưưưưưưưưưư
P' A* P PA PBB * P ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
C *C

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
P(0) P0
ưưưưưưưưưưưư(1.5)

TrongưđóưA*,ưB*,ưC*ưtươngưứngưlàưcácưtoánưtửưliênưhợpưcủaưA,ưB,ưC.
Bớc 2:ưChứngưminhưrằngưđiềuưkhiểnưtốiưưuưu*ưliênưhệưvớiưtrạngưtháiư
0, T
tốiưưuưy*ư
bởiưcôngưthứcưliênưhệưngược:ưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưu*(t)ư=ư-B*P(T-ưt)y*(t),ưưưtư
ưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưư(1.6)
t
tA

y (t ) e x e ( t s ) A Bu ( s )ds
0

ưTrongưđóưy*ưlàưnghiệmưtrungưgianưcủaưphươngưtrình:
ưưưưưưư
ưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưư(1.7)
ưVàưgiáưtrịưtốiưưuưđượcưchoưbởi:ưưưJư*:=ư<P(T)x,ưx>.ư


2. áp dụng phơng trình Ricati cho bài toán điều khiển
toàn phơng.
2.1. Một số ký hiệu.
Trongưphầnưnày,ưchúngưtôiưđưaưraưmộtưsốưkýưhiệuưnhằmưphụcưvụư
choưviệcưgiảiưưưưưư
P0
phươngưtrìnhưRicatiưởưphầnưsau.
2.2. áp dụng phơng trình
Ricati đối với bài toán điều
P ' A* P PA PBB * P C *C
khiển.

P (0) Po
ưưưưChoưA,ưB,ưCưvàưưưưưlàưcácưtoánưtửưthỏaưmãnưGiảưthiếtư1.1.ưXétư

phươngưtrìnhưưưưưư
t
Ricati:

tA
tA
sA
*
sA
P
(
t
)
x

e
P
e
x

e
C
Ce
xds
o

ưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
0
t
ưưư(1.11)
e (t s ) A P( s ) BB* P( s)e (t s ) A xds
(1.12)
0

TrướcưhếtưvớiưAưưưưL(H)ưthìư(1.11)ưlàưtư
ơngưđươngưvớiưphươngưtrìnhư
tíchưphân:
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
*

*

*


ư

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
Định nghĩa 1.2.
(H )
i)ư Mỗiư hàmư sốư Pư
ư ư ư ư ư ư )ư thỏaư mãnư phươngư trìnhư tíchư
C sư ư ư ư ư ư ưư ([a,b];ư
phânư (1.12)ư đượcư gọiư làư ư một nghiệm trung gianư củaư phươngư
Cs
trìnhư(1.11)ưtrongưđoạnư[0,T].
(H )

ii)ưMỗiưhàmưsốưPưưưưưưưư([a,b];ưưưưưưưưư)ưthỏaưmãnưcácưđiềuưkiện:ưưư
P0
ư P(0)ư =ư ư ư ư ;ư vớiư bấtư kỳư x,ư yư ư ư D(A)ư thìư <ư P(.)x,yư >ư làư khảư viư trongư
[0,T];ưđồngưưưthờiưPưthỏaưmãnưphư
ơngưtrình:

d
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
P(t ) x; y P(t ) x; y P(t ) Ax; y
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
dt
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
B * P(t ) x; B * P(t ) y Cx; Cy
(1.13)


Cs

(H )

ưđượcưgọiưlàưmộtưnghiệm yếuưcủaưphươngưtrìnhư(1.11)ưtrongưđoạnư
[0,T].
ư Mệnh đề 1.1.ư' Giả *sử P
([a,b];
). Khi đó P là một
*
*
Pn của
An Pnph
A
Pn BB P(1.11)
n Pn trình
n C Cnếu và chỉ nếu P là
nghiệm trung gian
ơng

nghiệm yếu của
(0)ơng
Po trình (1.11).
Pnph
Từưđóưtaưgiớiưthiệuưbàiưtoánưtươngưtựưsau:
An n 2 R(n, A) nI
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưư(1.14)


Bàiưtoánư(1.14)ưlàưtươngưđươngưvớiưphươngưtrìnhưtíchưphânưsau:
t

t

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
Pn (t ) x e P0 e x e C Ce xds e ( t s ) A Pn ( s ) BB* Pn ( s )e (t s ) A xds
ưưưưưưưưưưưưưưư(1.15) 0
0
tAn*

tAn

sAn*

*

sAn

*
n

n

2
Bổ đề 1.2.ư Giảư sửư Giảư thiếtư
làư thỏaư mãn,ư cốư địnhư Tư >ư 0,ư
2M1.1ư
T P0
đặt:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

1
2
2
2
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
[0, T ] ; ( C 2 B ) P0 ; 2 M T2 B
2
ưưưưưưưưưưưưưưưư(1.16)ư
Pn
vàưchoưưưthỏaưmãn:
ưưưưưưưưưư ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
B , F C u ([0, ]; ( H )) : F
ưưưưưưưưưưưư(1.17)

Khiưđóưbàiưtoánư(1.11)ưvàư(1.15)ưcóưduyưnhấtưmộtưnghiệmưPưvàưưưư
C s a, b ; ( H )
lim Pn P
n
trongưhìnhưcầu:
Ngoàiưra:ư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưtrongư

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư


Định lý 1.4.ưGiả sử Giả thiết 1.1 thỏa mãn. Khi đó bài toán (1.11) có

C s ([nghiệm
0;); (trung
H ))
duy nhấtPmột
gian
và với mỗi n N
Pn Ccó
0;); nhất
nghiệm
thì bài toán (1.15)
lim trung
Pn P gian C s ([0, T ]; ( H ))
( H )một
s [duy
n

thỏa mãn
trong
với bất kỳ T > 0.
Xétưmộtưdãyưcủaưphư
ngưtrìnhưưRicati:
(ơ
P k )' ( Ak )* P k P k Ak P k B k ( B k )* P k (C k )* C k
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
k
P (0) P0k
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư(1.19)
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
T 0
lim e tA x e tA x

k
P0
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
B k ; ( B k )* ; C k ; (C k )* ; P0k
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưVớiưgiảưthiếtưsau:
ư
k
Giả thiết
C s ([0, T ]; ( H ))

lim P1.2.
P
k
(i)ưVớiưbấtưkỳưkưưưN;ư(Ak,ưBk,ưCk,ưPkoưư)ưthỏaưmãnưGiảưthiếtư1.1;
(ii)ưVớiưưưưưưưưưưưưưưvàưưxưưưưH,ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưđềuưtrongư[0,T];
(iii)ưCácưdãyưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưhộiưtụưmạnhưtươngưứngưtớiưB,ư
k


Mệnh đề 1.6.ưCho phơng trình Ricati
Pi ' A* Pi Pi A Pi Bi Bi* Pi C i*C i


Pi (0) Pi ,0 ; i 1 ; 2


Pi , 0
Giả sử (A, Bi, Ci,

) thoả mãn Giả thiết 1.1 và

P1, 0 P2, 0 ; C1*C1 C 2*C 2 ; B2 B2* B1 B1*

P1 (t ) P2 (t ) t 0
Khi đó ta có:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư.
3. Một số kiên thức có liên quan.
3.1.ưNửaưnhómưliênưtụcưmạnh.
3.2.ưGiảiưthứcưcủaưA.
3.3.ưĐịnhưlýưHill-Yosida.
3.4.ưXấpưxỉưYosidaưcủaưưcủaưA.

Chơng II
kết quả của bài toán điều khiển
ưưưưưưTrongưchươngưnày,ưđốiưvớiưbàiưtoánưđiềuưkhiểnư(1.1)-(1.2),ư
chúngưtaưsẽưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
chứngưminhưrằngưtồnưtạiưvàưduyưnhấtưđiềuưkhiểnưtốiưư
u
u * (t ) B * P(T t ) y * (t ), t 0, T
Hơnưnữaưgiáưtrịưtốiưưuưđượcưchoưbởi:ưưưưJ(u*)ư=ư<P(T)x,x>.

Xétư bàiư toánư điềuư khiểnư (1.1)-ư (1.2).ư Giảư sửư Giảư thiếtư 1.1ư
thỏaưmãn.

*
y ' (t ) Ay (t ) BB P (T t ) y (t ), t 0, T
Trướcưhếtưchúngưtaưxétưphư
ơngưtrình:

x H
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư y (0) ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
y C ([0, T ]; H )
ưưưưưưưưưưưưưưưưư(2.1)
t
tA

(t s ) A

*

y (t ) e x e
BB P(T s ) y ( s)ds
Taưnóiưrằngưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưlàưmộtưnghiệmưtrungưgianưcủaưphư
0
ơngưtrìnhư(2.1)ưnếuưnóưlàưnghiệmưcủaưphư
ơngưtrìnhưtíchưphânư


ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

ưưưưưưưưư
Bổ đề 2.1.ưGiả sử Giả thiết 1.1 thỏamãn. Cho x H, khi đó ph
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
0, T nghiệm
; H
y C
ơng trình (2.1) có duy nhất
một
trung gian
u mãn,
L 0, Tcho
;U H
Bổ đề 2.2.ưGiả sử Giả thiết 1.1 thỏa
,x
ưưưưưưưưưưư
2

. Cho y là một nghiệm của phơng trình trạng thái (1.1); P là
nghiệm trung gian của phơng trình Ricati (1.11). Khi đó ta
T
2
có đồng nhấtJ thức
sau:
(u ) u ( s ) B * P (T s ) y ( s ) ds P (T ) x, x


0


ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư.ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưư(2.2)
y * Clý
( 0,2.3.ưGiả
T ; H )
Định
sử giả thiết 1.1 thỏa mãn và x
H. Khi đó tồn
tại duy nhất cặp tối u (u*,y*). Ngoài ra:
(i) u * C ( 0, T ; U ) là nghiệm trung gian của phơng trình (2.1)
u * (t ) B * P(T t ) y * (t ),

(ii)

t 0, T

đợc cho bởi công thức liên hệ ngợc:
;

(2.3)
(iii) Giá trị tối u J(u*) đợc cho bởi:
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưJ(u*)ư=ư<P(T)x,x>.

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư


Chơng III
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưví dụ và áp dụng
Trong chơng này, chúng tôi áp dụng kết quả đã
nghiên cứu ở chơng I và chơng II cho một số trờng
hợp. Bao gồm: đối với phơng trình truyền nhiệt, ph
ơng trình sóng và bài toán điều khiển trên biên.


1. Phơng trình truyền nhiệt.
D
ưưưưưưưưưưưChoưDưlàưmộtưtậpưmởưtrongưRnưvớiưbiênưưưưưưưưư,ưxétưphư
ơngưtrìnhưtrạngư
thái:

Dtưy (t , ) ( c) y (t , ) u (t , ) trong (0, T ] D

ưư
y (t , ) 0 tren (0, T ] D

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

y (0, ) xn( ) trong D

ư(3.1)

x Dz x
k

ư
trongưđóưưưưưưưlàưtoánưtửưlaplace:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưvàưcưlàưhằngưsốưthực.
P0
ưư
2
ưChoưUư=ưHư=ưYư=ưL
(D);ưBư=ưCư=ưưưưưư=ưIưưvàưkýưhiệuưAưlàưtoánưtửưtuyếnưtínhư
( c) y
Ay

trongưHưđượcưưưưưưưư
2
1

D
(
A
)

H
(
D
)

H
( D)
0

ưưưxácưđịnhưbởi:
ưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
L2 ( D)
ek
ư(3.2) k
k
k 1

Ae e

(k viư
Nphânư
)
k
Vìư Aư làư tựư liênư hợp,ư nóưklàư mộtưk hàmư
sinhư
củaư mộtư nửaư nhómư liênư tụcư
mạnhưtrongưư
ưưH=L2(D).ưHơnưnữaưtồnưtạiưmộtưhệưtrựcưchuẩnưưưưưưưtrongưưưưưưưưưvàưmộtưdãyưcácư
sốưdươngưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưsaoưchoưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưvới:
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư ,ưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

Chúngưtaưmuốnưcựcưtiểuưhoáưhàmưgiá:
T
2
2
2
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
J (u ) y (t , ) u (t , ) dtd y (T , ) d
ưưư(3.4)





0 D

Taưviếtưnóưdướiưdạng:

D

T



2

2

J (u ) y ( s) u ( s ) ds y (T )

2

0

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưư(3.5)
TheoưĐịnhưlýư1.3ưtồnưtạiưduyưnhấtưcặpưtốiưư
(t ,.)( ) trong (0, T ] D
Dt y (t , ) ( c) y (t , ) P(T t )uyư(u*,y*),ưtrongưđóưy*ưlàưnghiệmưcủaư

phươngư
y (t , ) 0 tren (0, T ] D
trình:

y (0, ) x( ) trong D


ư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
u * (t , ) P(T t ) y (t ,.)( )
ưưư(3.6)
2

P ' 2 AP P I ,

t 0

P ( 0) I

P(t )ek pk (t )ek

Hơnưnữaưu đượcưchoưbởiưcôngưthứcưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưvàưphươngư
trìnhưricatiư
sẽưlà:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưư(3.8)
p' k (t ) 2 k p k (t ) p k2 (t ) 1
p (0) 1 (k N )
*

pk

k

Vớiưbấtưkìưưưưưưưưưưưtaưcó
Trongưđóưưưưưưưlàưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhưviưphânưthường:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư


Kết luận
Đềưtàiưnghiênưcứuưbàiưtoánưtốiưưuưdạngưtoànưphươngưđốiưvớiưhệưtuyếnưtínhư
trongư khôngư gianư vôư hạnư chiều.ư Kếtư quảư chínhư củaư đềư tàiư là:ư đốiư vớiư hệư
điềuưkhiểnưđượcưchoưbởiư(1.1)ưvàưhàmưmụcưtiêuưJ(u)ư(dạngưtoànưphương)ưđượcư
choưbởiư(1.2)ư(trongưđóưA,ưB,ưC,ưưưưưthỏaưmãnưGiảưthiếtư1.1)ưbaoưgiờưtaưcũngư
P0
*
*
*
*

J
(
u
) P(t ) x, x
tìmưđư
ợ
cưđiềuưkhiểnưtốiưư
u
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
t



0
,
T
u (t ) B P(T t ) y (t )
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư,ưưưưưưưưưưưưưưvàưgiáưtrịưtốiưưuưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
quaưhaiưbước:ư
P ' A* P PA PBB * P C *C

Bớc 1:ưGiảiưphươngưtrìnhưtoánưtửưưRicati:
P (0) P0
ưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưư(1.5)
*

*

*

t 0, T
u (t ) B P(T t ) y (t )
TrongưđóưA*,ưB*,ưC*ưtươngưứngưlàưcácưtoánưtửưliênưhợpưcủaưA,ưB,ưC.
Bớc 2:ưChứngưminhưrằngưđiềuưkhiểnưtốiưưuưu*ưliênưhệưvớiưtrạngưtháiưtốiưưư
ưuưy*ưbởiưcôngưthứcưngược:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
y ' (t ) A BB * P(T t ) . y (t ), t 0
ưưưưư(1.6)ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

y (0) x H
Trongưđóưy*ưlàưnghiệmưtrungưgianưcủaưphư
ơngưtrìnhư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư





J (u * ) P (T ) x, x

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưư(1.7)


Kếtư quảư nàyư đượcư ápư dụngư choư mộtư sốư trườngư hợpư như:ư đốiư vớiư phươngư trìnhư
sóng,ưphươngưtrìnhưtruyềnưnhiệt,ưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtrênưbiên,
Từưkếtưquảưnghiênưcứuưcủaưđềưtàiưcũngưmởưraưmộtưvấnưđềưcóưthểưnghiênư

cứuưtiếpưđóưlàưtrườngưhợpưhệưđiềuưkhiểnưchoưbởi:ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

y ' (t ) Ay (t ) (t ) y (t ) Bu (t ); t 0

y (0) x H