B￀I 1 hệ tọa độ KG

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. MỤC TIÊU:
1) Kiến thức:
Nắm được các khái niệm về tọa độ của một điểm, của một vectơ. Tích vô hướng của hai
vectơ và các ứng dụng của nó. Phương trình mặt cầu.
2) Kĩ năng:
- Tìm được tọa độ của các vectơ, độ dài của đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ.
- Thực hành thành thạo các phép toán về vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm.
- Viết được phương trình mặt cầu khi biết được tâm và bán kính của nó.
3) Thái độ:
- Chủ động, tích cực xây dựng bài, chiếm lĩnh tri thức dưới sự dẫn dắt của Gv, năng
động, sáng tạo trong suy nghĩ cũng như làm toán
- Có đầu óc tưởng tượng tốt để hình dung ra hình dạng của vật thể trên hình vẽ, có tư duy
logic.
4) Xác định nội dung trọng tâm của bài: Nắm được công thức tính tích vô hướng của 2
vectơ, các phép toán vectơ, phương trình mặt cầu và biết vận dụng vào bài tập.
5) Định hướng hình thành năng lực
5.1. Năng lực chung:
Năng lực quan sát.
Năng lực tương tác giữa các nhóm và các cá nhân.
Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Năng lực hợp tác.
Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán.
Năng lực tính toán.
5.2. Năng lực chuyên biệt:
Năng lực tư duy.
Năng lực tìm tòi sáng tạo.
Năng lực vận dụng kiến thức trong thực tiễn.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Chuẩn bị của giáo viên:

Thiết bị dạy học: Thước kẻ, compa, các thiết bị cần thiết cho tiết này. Giáo án, hình vẽ minh hoạ.

2. Chuẩn bị của học sinh:
Chuẩn bị SGK, vở ghi, bảng phụ. Ôn tập các kiến thức về vectơ và toạ độ.
3. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
Nội dung
MĐ1
MĐ2
MĐ3
MĐ4
Tọa
độ Nêu các khái Nắm được biểu Tìm được tọa độ Chứng minh một hệ
của vectơ, niệm tọa độ thức tọa độ của của một vecto dựa thức vectơ
của điểm của
một các phép toán vào điều kiện cho
trong
điểm,
của vectơ
trước
không
một vectơ
gian
tích
vô Nêu
định Nắm được các Tính được độ dài
hướng

nghĩa và viết công thức tính đoạn thẳng, xác
biểu thức tọa khoảng cách giữa định được góc
độ của tích vô hai điểm, góc giữa hai vectơ
hướng
giữa hai vectơ
Mặt cầu
Nắm
được Nắm
được Viết được phương Xác định được tâm
khái
niệm phương trình mặt trình mặt cầu thỏa và bán kính của mặt
mặt cầu
cầu
mãn điều kiện cho cầu.


trước
III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP ( Tiến hành dạy học)
A. KHỞI ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG 1. Giới thiệu bài mới
Mục tiêu: Làm cho học sinh thấy vấn đề cần thiết phải biết được biểu thức tọa độ vectơ
trong không gian và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn.
Phương pháp: Nêu vấn đề, vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Mô hình, phấn, bảng.
Sản phẩm: Nhận biết định nghĩa tọa độ của điểm và vectơ trong mặt phẳng .
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
HOẠT ĐỘNG 2: Tìm hiểu khái niệm hệ toạ độ trong không gian
Mục tiêu: Làm cho học sinh thấy vấn đề cần thiết phải biết được biểu thức tọa độ vectơ
trong không gian và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn.

Phương pháp: Nêu vấn đề, vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Mô hình, phấn, bảng.
Sản phẩm: Nhận biết định nghĩa tọa độ của điểm và vectơ trong mặt phẳng .
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Nội dung kiến thức
I. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA
• GV sử dụng hình vẽ để
VECTƠ
giới thiệu hệ trục toạ độ
1. Hệ toạ độ
trong không gian.
Hệ toạ độ Đề–các vuông góc trong
không gian là hệ gồm 3 trục x ′Ox, y
H1. Đọc tên các mặt
′Oy, z′Oz vuông góc với nhau từng đôi
r r r
phẳng toạ độ?
Lĩnh hội kiến thức
i j k
(Oxy),
(Oyz), một, với các vectơ đơn vị , , .
r TL1.
r
r
r
i (Ozx).
i 2 = j 2 = k2 = 1
H2.
xét các vectơ

TL2. Đôi một vuông góc
r Nhận
r
rr r r rr
j k
i . j = j .k = k.i = 0
với nhau.
, , ?
HOẠT ĐỘNG 3: Tìm hiểu khái niệm toạ độ của một điểm, tọa độ của vectơ.
Mục tiêu: Học sinh cần biết cách tìm tọa độ của một điểm, của vectơ trong không gian.
Phương pháp: Nêu vấn đề, vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Thảo luận cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Mô hình, phấn, bảng.
Sản phẩm: Biết được tọa độ của các điểm và các vectơ trên các hình vẽ trong không gian .
a/ Tìm hiểu khái niệm toạ độ của một điểm
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học
Nội dung ghi bảng
sinh
2. Toạ độ củauumột
• GV hướng dẫn HS phân
ur điểm
tích
r
,

uuur
OM

r

j k

,

theo các vectơ

r
i

M(x; y; z) ⇔

r r r
OM = xi + yj + zk

.
VD1: Xác định các điểm M(0;0;0), A(0;


1; 2), B(1; 0; 2), C(1; 2; 0) trong không
• Cho HS biểu diễn trên • Các nhóm thực hiện.
gian Oxyz.
hình vẽ.
b/Tìm hiểu khái niệm toạ độ của vectơ
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
H1. Nhắc lại định lí phân TL1.
3. Toạ độ của vectơ
r r
r

r
r
r
r
r
r
tích vectơ theo 3 vectơ a = (a1; a2; a3) ⇔ a = a1i + a2 j + a3k a = (a1; a2; a3) ⇔ ar = a1i + a2 j + a3k
không đồng phẳng trong
không gian?
uuur
Nhận xét:
OM
uuur
•
Toạ
độ
của
cũng
là
toạ
• GV giới thiệu định
M (x; y; z) ⇔ OM = (x; y; z)
•
nghĩa và cho HS nhận xét độ điểm M.
mối quan hệ
toạ độ
• Toạ độ của các vectơ đơn vị:
uuugiữa
r
điểm M và

OM

r
r
r
i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)

.

r
0 = (0;0;0)

•

HOẠT ĐỘNG 4: Tìm hiểu biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian.
Mục tiêu:
Học sinh cần biết được các biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian.
Phương pháp: Nêu vấn đề, vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Thảo luận cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Mô hình, phấn, bảng.
Sản phẩm: Biết được tọa độ của các điểm và các vectơ trên các hình vẽ trong không gian .
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
II.
BIỂU
THỨC TOẠ ĐỘ CỦA
• GV cho HS nhắc lại các • Các nhóm thảo luận và
CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
tính chất tương tự trong trình bày.

Định lí: Trong KG Oxyz, cho:
mp và hướng dẫn HS
r
r
r
r
r
r
a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3)
chứng minh.
a = a1i + a2 j + a3k
r
r
r
r
.
b = bi + b j + b k
1

2

3

r r
a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3)
r r
a − b = (a1 − b1; a2 − b2; a3 − b3)

r
ka = k(a1; a2; a3) = (ka1; ka2; ka3)

(k ∈ R)
Hệ quả:
r

a1 = b1

r

TL1.
a = b ⇔ a2 = b2
H1. Phát biểu các hệ quả? • Hai vectơ bằng nhau ⇔
a = b
 3 3
các toạ độ tương ứng •
r r r r
bằng nhau
b ≠ 0 a, b
• Hai vectơ cùng phương • Với
:
cùng phương
⇔ các toạ độ của vectơ
a1 = kb1

⇔ ∃k ∈ ¡ : a2 = kb2
này bằng k lần toạ độ
a3 = kb3
tương ứng của vectơ kia
• Toạ độ vectơ bằng toạ

độ điểm ngọn trừ toạ độ
A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB )
điểm gốc
• Cho

uuu
r
AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA )

• Toạ độ trung điểm đoạn
,M là
thẳng bằng trung bình trung điểm của đoạn AB:
cộng toạ độ hai điểm mút.
 xA + xB yA + yB zA + zB 
M


;

2

2

;

2

÷


Hoạt động 5: Tìm hiểu biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
• GV cho HS nhắc lại các • Các nhóm thảo luận và III. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vô
tính chất tương tự trong trình bày.
hướng
mp và hướng dẫn HS
Định lí: Trong KG Oxyz, cho:
chứng minh.
r
r
a = (a1; a2;a3), b = (b1; b2; b3)

Nhắc lại cách tìm độ dài
của véctơ trong mặt Học sinh trả lời tại chỗ.
phẳng đã học ở lớp 10.
Vậy cách tìm độ dài vectơ
trong không gian như thế
nào ?
Cho học sinh thảo luận

.

rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

2. Ứng dụng

•
•

r
a = a12 + a22 + a32

AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
r r
cos(a, b) =

•

a1b1 + a2b2 + a3b3
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Hoạt động 6: Áp dụng biểu thức toạ độ các phép toán vectơ
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
H1. Xác định toạ độ các TL1.
VD1: Trong KG Oxyz, cho
uuu
r
vectơ?
A(1;1;1), B(–1;2;3), C(0;4;–2).uuur
AB = (−2;1;2)

uuu
r
,
AC
AB
uuur
a)
Tìm
toạ
độ
các
vectơ
,
,
AC = (−1;3; −3)
uuu
r uuur
BC AM
,
uuu
r
,
(M là trung điểm của
BC = (1;2; −5)
BC).
,
b)
uuur 
uuurTìmutoạ
uu

r độ
uuu
rcủa uvectơ:
uur

3
1
AM =  − ;2; − ÷
 2
2
uuur uuu
r
AC + 3AB = (−7;6;3)
uuu
r uuur
AB − 2AC = (0; −5;8)
uuu
r uuur
AB.AC = 0

TIẾT 26
Hoạt động 7: Tìm hiểu phương trình mặt cầu

AC + 3AB AB − 2AC

,
c) Tính các tích vô hướng:
r uuur
uuu
r uuur uuu

AB.AC AB.( 2AC )

,


Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

H1. Nhắc lại phương
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2
trình đường tròn trong TL1.
MP?
TL2.
IM = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

H2. Tính khoảng cách
IM?
TL3.
H3. Gọi HS tính?

Nội dung ghi bảng
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT
CẦU
Định lí: Trong KG Oxyz, mặt cầu
(S) tâm I(a; b; c), bán kính r có
phương trình:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2

VD1: Viết phương trình mặt cầu

có tâm I(1; –2; 3) và bán kính
r = 5.

(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25

Hoạt động 8: Tìm hiểu dạng khác của phương trình mặt cầu
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
Nhận xét: Phương trình:
• GV hướng dẫn HS nhận
xét điều kiện để phương
x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
trình là phương trình mặt
cầu.
a2 + b2 + c2 − d > 0
với
là phương
trình
mặt
cầu
có
tâm
I(–a;
–b; –
• GV hướng dẫn HS cách TL1.
và
bán
kính
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 32 c)

xác định.
H1. Biến đổi về dạng
r = a2 + b2 + c2 − d
.
tổng bình phương?
TL2. a = –2, b = 1, c = –3, r VD2: Xác định tâm và bán kính
=3
của mặt cầu có phương trình:
H2. Xác định a, b, c, r?
x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 6z+ 5 = 0

Hoạt động 9: Áp dụng phương trình mặt cầu
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
H1. Gọi HS xác định?
TL1. Các nhóm thực hiện và VD3: Xác định tâm và bán kính
trình bày.
của mặt cầu có phương trình:
a)
b)
c)
d)

I (2;1; −3), r = 8

I (−1;2;3), r = 3

I (4; −2;1), r = 5
I (−2;1;2), r = 2

(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 64
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 9
x2 + y2 + z2 − 8x + 4y − 2z − 4 = 0
x2 + y2 + z2 + 4x − 2y − 4z + 5 = 0

VD4: Viết phương trình mặt cầu
(S):

H2. Xác định tâm và bán
kính?

3

TL2.
b)

r = IA = 29

a) (S) có tâm I(1; –3; 5), r =
b) (S) có tâm I(2; 4; –1) và đi
qua điểm A(5; 2; 3)
c) (S) có đường kính AB với
A(2; 4; –1), B(5; 2; 3)


c)

7


29
I  ;3;1÷, r =
2

2

C. LUYỆN TẬP
Mục tiêu: Học sinh cần biết cách tìm tọa độ của một điểm, của vectơ trong không gian, các
biểu thức tọa độ vectơ, tìm tâm, bán kính và viết được phương trình mặt cầu trong không
gian.
Phương pháp: Nêu vấn đề, vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Thảo luận cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Mô hình, phấn, bảng.
Sản phẩm: Biết cách tìm được tọa độ của các điểm và các vectơ, tâm, bán kính và phương
trình mặt cầu trong không gian .
TIẾT 27
Hoạt động 10: Luyện tập biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Nội dung ghi bảng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
r
H1. Nêu cách tính ?
Đ1.
1. Cho ba vectơ a = (2; −5;3) ,

H4. Nêu công thức tính ?

r
r
b = (0;2; −1) , c = (1;7;2) . Tính toạ

r  1 55 
d =  11; ; ÷
 3 3
r
e = (0; −27;3)
r  5 11

f =  − ; ; −6÷
 2 2

r  33 17 
g =  4; ; ÷
 2 2

độ của các vectơ:

Đ4.

rr
rr
b) a.b = –21

a) a.b = 6

Đ5.

H5. Nêu công thức tính ?

a)

r r
cos( a, b) =

r r
0
(
a
b) , b) = 90 .

5
26.14

Hoạt động 11: Luyện tập phương trình mặt cầu
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh

r
r 1r r
d = 4a − b + 3c
3
r r
r r
e = a − 4b − 2c
r
r 1r
r
f = −a + 2b − c
2
r
r 1r

r
g = a − b + 3c
2
rr
4. Tính a.b với:
r
r
a) a = (3;0; −6) , b = (2; −4;0)
r
r
a
=
(1
;
−
5
;2),
b
= (4;3; −5)
b)

r r
a
5. Tính góc giữa hai vectơ , b
r
r
a) a = (4;3;1), b = (−1;2;3)
r
r
a

=
(2;5
;4),
b
= (6;0; −3)
b)

Nội dung ghi bảng


H1. Nêu cách xác định ?

6. Tìm tâm và bán kính của các
mặt cầu có phương trình:

Đ1.
a) I (4;1;0) , R = 4
b) I (−2; −4;1) , R = 5
c) I (4; −2; −1) , R = 5

2
2
2
a) x + y + z − 8x − 2y + 1= 0
2
2 2
b) x + y + z + 4x + 8y − 2z − 4 = 0
2
2 2
c) x + y + z − 8x + 4y + 2z− 4 = 0

7. Lập phương trình mặt cầu:
Đ2.
a) Có đường kính AB với A(4; –
a) Tm I(3; –2; 2), bk R = 3
3; 7), B(2; 1; 3).
2
2
2
H2. Nêu cách xác định (x − 3) + (y + 1) + (z − 5) = 9 b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) và có
tâm C(3; –3; 1).
mặt cầu?
b) Bn kính R = CA = 5
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 = 5

TIẾT 28
Hoạt động 12: Luyện tập biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung ghi bảng
Nhắc lại các tính chất của Thực hiện các bài tập trắc Câu hỏi trắc nghiệm
véc tơ
nghiệm
Hướng đẫn kĩ năng đánh
trắc nghiệm và sử dụng
máy tính

r
uu
r

r
a = ( 1,2,1) , b = ( 2,1,2) , c = ( 3,2,1)

Câu 1. Cho các vectơ
một vec tơ có tọa độ bằng:
A. (53, -52, -17)
B. (53, 52, -17)
Câu 2. Tìm câu sai:
A. Ba véc tơ
B. Ba véc tơ
C. Ba véc tơ

.

r 2 r r 2 r r2 r
a .b + b .c + c .a

C. (53, 52, 17)

là

D. (53, -52, 17)

r
uu
r
r
a = ( 1,−1,1) , b = ( 0,1,2) , c = ( 4,2,3)

không đồng phẳng.

r
uu
r
r
a = ( 4,3,4) , b = ( 2,−1,2) , c = ( 1,2,1)
đồng phẳng.

r
uu
r
r
a = ( 4,2,5) , b = ( 3,1,3) , c = ( 4,0,2)

đồng phẳng.
r
uu
r
r
a = ( 3,−1,2) , b = ( 1,4,1) , c = ( 1,−2,1)

D. Ba véc tơ
đồng phẳng.
Câu 3. Cho tam giác ABC với A (1,-4,2), B(-3,2,-1) , C(3,-1,-4). Diện tích tam giác ABC
bằng:

7 5

A.
B.
Câu 4.Kết luận nào sai:

Ba vectơ
Ba vectơ

21 5
2

C.

8 5

r
r
r
a = ( 1,2,3) ,b = ( 3,−1,2) ,c = ( 2,3,−1)

D.

không đồng phẳng.
r
r
r
a = ( 4,−1,2) ,b = ( 2,−1,4) ,c = ( 3,−1,3)
đồng phẳng.

9 5


Ba vectơ
Ba vectơ

r
r
r
a = ( 3,−2,−1) ,b = ( 1,−3,−2) ,c = ( 2,1,4)
r
r
r
a = ( −2,3,2) ,b = ( 1,1,1) ,c = ( 1,2,−1)

không đồng phẳng.
r
r
r
a = ( −1,2,−1) ,b = ( 2,−1,1) ,c = ( −3,4,5)

Câu 5. Cho ba vectơ
là vectơ nào ?
A.
C.

đồng phẳng.

.Vectơ

u
r
d = ( 23,−27,20)

B.

u
r
d = ( −23,−27,20)

u
r
d = ( 23,27,−20)
u
r
d = ( −23,27,20)

r
r D.
r
a = ( 1,−1,−2) ,b = ( 3,2,−1) ,c = ( −2,3,1)

Câu 6. Cho các vectơ

u
r
r r r
d = 2a − 3b + 5c

và
r r r
u
r
a, b ,c
d
thức liên hệ giữa với các vectơ

là hệ thức nào ?
u
r
r
r r
u
r
r
r r
d = 3a + 4b − 5c
d = 3a + 4b + 5c
A.
B.
u
r
r
r r
u
r
r
r r
d = 3a − 4b − 5c
d = 3a − 4b + 5c

u
r
d = ( −19,4,15)

. Hệ

C.
D.
Câu 7. Cho tam giác ABC có A(2,-1,6), B(-3, -1, -4), C(5, -1,0). Trong các nhận định về
hình dạng của tam giác ABC sau đây, nhận định nào đúng ?
A. ABC là tam giác thường
B. ABC là tam giác vuông tại B
C. ABC là tam giác vuông tại C
D. ABC là tam giác vuông tại A
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD với A (-1;0;2), B(3;4;0) D (5;2;6). Tìm khẳng định sai.
uuu
r
AB

A. Tâm của hình bình hành có tọa độ là (4;3;3)

B. Vectơ

C. Tọa độ của điểm C là (9;6;4)
(3;2;2)

D. Trọng tâm tam giác ABD có tọa độ là

Câu 9. Cho
A.

r
r
r
a = (2; −1;0), b = (3,1,1), c = (1, 0, 0)

rr
a.b = 7

B.

Câu 10: Cho 3 rvectơ
r r
gócrvớirvectơ
r

r
v = 2i − j + 3k
r r r
i − j− k

i + 3j − k

.Tìm khẳng định đúng.
r r
a + b = 26

r uu
rr
(a.c)b = (6, 2, −2)
r
i = (1; 0; 0)

,

có tọa độ là (4;-4;-2)

r
j = (0;1; 0)

C.

và

r r
i + 2j

r
k = (0; 0;1)

D.

uu
r urr
a 2 .(b.c) = 15

. Vectơ nào sau đây không vuông

r r
3i − 2k

A.
B.
C.
D.
Câu 11: Cho tam giác ABC có A(0;0;1) , B(– 1;2;1) , C(– 1;0;4). Diện tích của tam giác

ABC là:
A.

7
2

B.

8
3

C. 3

D. 7


→

Câu 12: Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ
→

→

a

→

= (1; 2; 2) và

= (1; 2; -2); khi đó :

→

a a

b

( + ) có giá trị bằng :
A. 10
B. 18

C. 4

D. 8

→

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ
→

b

a

→

= (3; 1; 2) và

b

= (2; 0; -1); khi đó vectơ

→

2 a− b

có độ dài bằng :

3 5

29

5 3

11

A.
B.
C.
D.
Câu 14: Trong không gian Oxyz ; Cho 3 điểm: A(-1; 1; 4) , B(1;- 1; 5) và C(1; 0; 3), toạ độ
điểm D để ABCD là một hình bình hành là:
A. D(-1; 2; 2)
B. D(1; 2 ; -2)
C. D(-1;-2 ; 2)
D. D(1; -2 ; -2)
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A (1;–2;2) và B (–2;0;1). Toạ độ điểm C nằm
trên trục Oz để ∆ ABC cân tại C là :
2
3

A. C(0;0;2)
B. C(0;0;–2)
C. C(0;–1;0)
D. C( ;0;0)
Hoạt động 13: Luyện tập phương trình mặt cầu
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học
Nội dung ghi bảng
sinh
Nhắc lại pt mặt cầu
Thực hiện các bài tập Câu hỏi trắc nghiệm
Hướng đẫn kĩ năng đánh trắc nghiệm
trắc nghiệm và sử dụng máy
tính

2 −1

Câu 16. Cho tứ diện ABCD với A ( 1,0,-1), B (1,2,1) , C (3,2,-1), D( 2,1,
) . Tâm I
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là điểm có tọa độ:
A. I (0,3,-1)
B. I (2,1,-1)
C. I (1,2,-1)
D. I (1,-2,1)
Câu 17. Cho tứ diện ABCD với A ( 3,2,6), B (3,-1,0) , C (0,-7,3), D( -2,1,-1) . Tâm I của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là điểm có tọa độ:

 3 −5 9 
 , , ÷

 2 2 2

 −3 5 −9 
 , , ÷
 2 2 2

 3 5 9
 , , ÷
 2 2 2

 −3 −5 9 
 , , ÷
 2 2 2

A. I
B. I
C. I
D. I
Câu 18. Cho tam giác ABC có A(2,-1,6), B(-3, -1, -4), C(5, -1,0). Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng:
A.

2

Mặt cầu (S):

B.

3

x2 + y 2 + z 2 − 8x + 2z + 1 = 0

A. I (4;-1;0), R=4
(8;0;2); R=4

C.

5

D.

6

có tâm và bán kính lần lượt là:

B. I (4;0;-1); R=4

C. I (-4;0;1); R=4

D. I

Câu 19: Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2z – 4 = 0, (S) có toạ
độ tâm I và bán kính R là:
A. I (–2;0;1) , R = 3 B. I (4;0;–2) , R =1 C. I (0;2;–1) , R = 9.
D. I (–2;1;0) , R = 3


Câu 20: Trong không gian Oxyz ,phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;- 2; 4) và đi qua
A(3;0;3) là :
A. (x-1)2 + (y+2) 2 + (z-4) 2 = 9

B. (x- 1)2 + (y+2) 2 + (z- 4) 2 = 3
C. (x+1)2 + (y-2) 2 + (z+4) 2 = 9
D. (x+1)2 + (y-2) 2 + (z+4) 2 = 3.
Câu 21: Trong không gian Oxyz ,mặt cầu (S) có đường kính OA với A(-2; -2; 4) có phương
trình là:
A. x2 + y2 + z2 + 2x + 2y – 4z = 0
B. x2 + y2 + z2 - 2x - 2y + 4z = 0
C. x2 + y2 + z2 + x + y – 2z = 0
D..x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 4z = 0
D. VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG
Mục tiêu: Học sinh cần biết cách tìm tọa độ của một điểm, của vectơ trong không gian.
Phương pháp: Nêu vấn đề, vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Thảo luận nhóm.
Phương tiện dạy học: Mô hình, phấn, bảng.
Sản phẩm: Biết được tọa độ của các điểm và các vectơ trên các hình vẽ trong không gian .
Bài tập trắc nghiệm

r
r
r
a = ( −1,2,−1) ,b = ( 2,−1,1) ,c = ( −3,4,5)

Câu 1. Cho ba vectơ
Vectơ
A.

u
r
r r r
d = 2a − 3b + 5c

u
r
d = ( 23,−27,20)

là vectơ nào ?
B.

u
r
d = ( −23,−27,20)

.

u
r
d = ( 23,27,−20)
u
r
d = ( −23,27,20)

C.
D.
Câu 2. Cho tam giác ABC có A(2,-1,6), B(-3, -1, -4), C(5, -1,0). Trong các nhận định về
hình dạng của tam giác ABC sau đây, nhận định nào đúng ?
A. ABC là tam giác thường
B. ABC là tam giác vuông tại B
C. ABC là tam giác vuông tại C
D. ABC là tam giác vuông tại A
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S)

x2 + y 2 + z 2 − 2x + 6 y − 8z + 1 = 0
. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt mặt cầu (S).
R =5
R =5
A. I(1; -3; 4) và
B. I(1; 3; 4) và
R =5
R =5
C.
I(1; -3; -4) và
D. I(-1; -3; 4) và
R =3
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(1; 2; 3) bán kính
có
phương trình là
A.

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 3

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3

2

2

2

2

B.

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9

C.
D.
E. HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ.
* Củng cố và dặn dò: Nhấn mạnh:
- Các biểu thức toạ độ các phép toán vectơ trong KG.
- Liên hệ với toạ độ của điểm, của vectơ trong MP.
- Các dạng phương trình mặt cầu.
- Cách xác định mặt cầu.
* Hướng dẫn học tập ở nhà:

2

2

2

2


- Làm các bài tập đã cho.
- Đọc trước bài "Phương trình mặt phẳng"
Bài tập tự luận:
r
Câuur 1: (MĐ
3)Cho ba vectơ
r
r r

r
r
a = (5; 7; 2) b = (3; 0; 4) c = (−6;1; −1)

,r

;

r
r
r

n = 5a + 6b + 4c

m = 3a − 2b + c

. Tìm

a)
b)
Câu 2: (MĐ 3)Trong kguuuOxyz
cho
ba
điểm A(-1;-2;3), B(0;3;1), C(4;2;2).
r uuur
a) Tính tích vô hướng

AB. AC

..

cosBAC

b) Tìm
.
c) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là AB
Câu 3: (MĐ 2) Xác định được tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình là :
x 2 + y 2 + z 2 − 6x + 2 y − 16z − 26 = 0

Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho vectơ

uu
r
Bộ số nào dưới đây là tọa độ của vectơ
A.

( 2;0; −3)

B.

( 2;0;3)

a

uu
r
a

thỏa mãn hệ thức

( 0; 2;1)

B.

( 2; 0;1)

.

?
C.

( 2; −3;0 )

D.

( 2;3; 0 )

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức
. Bộ số nào dưới đây là tọa độ của điểm M .
A.

uu
r
ur uu
r
a = 2 i −3k

C.

( 2;1;0 )

D.

uuuuur
uur uu
r
OM = 2 j + k

( 0;1; 2 )

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-2) và B(4;-5;2). Tọa độ

của vectơ bằng bao nhiêu ?
A. (-3;8;-4)

B. (3;-8;4)

C. (3;2;4)

D. (-3;2;4)

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Tìm độ dài của vectơ
A.

5

3

B.

C.

2

Câu 5. Trong không
gian
với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ
uu
r uu
r
tọa độ của vectơ
A.

( 2;3;5 )

a+b

B.

tọa độ của vectơ
A.

( 1; −1;1)

B.

?

1

uu
r
a = ( 1;1; −2 )

và

uu
r
b = ( 1; 2; −3)

. Tìm

?

( 2;3; −5)

C.

( 2; −1;1)

Câu 6. Trong không
gian
với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ
uu
r uu
r
a−b

D.

uu
r
a = ( 1;0; 2 )

D.

( 2; −1; −5)

uu
r
a = ( 0;1; −2 )

và

uu
r
b = ( 1; 2; −3)

?

( 1; −1; −5)

C.

( −1;1; −1)

D.

( −1; −1;1)

. Tìm


Câu 7. Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ
uu
r
tọa độ của vectơ
A.

( 2; 4; −6 )

b

uu
r
a = ( 1; −2; −3)

và

uu
r
uu
r
b = −2 a

. Tìm

?
B.

( 2; 4;6 )

C.

( −2; 4;6 )

D.

( −2; −4; −6 )

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm khoảng cách giữa hai điểm M(2;1;-3) và

N(4;-5;0) ?
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm
trung điểm I của đoạn thẳng AB ?
I ( 2; 0; −1)

A.

B.

I ( 4; 0; −2 )

C.

A ( 1; 2; −3) , B ( 3; −2;1)

I ( 2; 0; −4 )

D.

I ( 2; −2; −1)

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với

C ( 3; 2; −1)

A.

. Tọa độ

A(−1;0; 4), B ( 2; −3;1)

,

. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ?.

4 1 4
G  ;− ; ÷
3 3 3

B.

 4 1 4
G− ; ;− ÷
 3 3 3

C.

G ( 4; −1; 4 )

Câu 11: Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
uuur uuur
Hãy tính tích vô hướng của

A.10

AB. AC

B.

D.

1 4

G  2; − ; − ÷
3 3


A ( 3; 2;1) , B ( −1;3; 2 ) ; C ( 2; 4; −3)

.

?

−6

C.

−2

D. 2

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên trục Oz ?
A.

A ( 1;0;0 )

B.

B ( 0;1;0 )

C.

C ( 0;0; 2 )

D.

D ( 2;1;0 )

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng
tọa độ (Oxy) ?
A.

A ( 1; 2;3 )

B.

B ( 0;1; 2 )

C.

C ( 0;0; 2 )

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi hình chiếu A’ của điểm

Ox có tọa độ bằng bao nhiêu?
A.

( 3; 2;0 )

B.

( 3; 0;0 )

C.

( 0;0;1)

D.

A ( 3; 2;1)

D.

Câu 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A’ đối xứng với điểm
qua trục Ox. Hỏi tọa độ của điểm A’ bằng bao nhiêu ?
A.

( 3; 0;0 )

B.

( −3;5; 7 )

C.

( 3; −5; −7 )

D ( 2; 0; 0 )

D.

lên trục

( 0; 2;0 )
A ( 3;5; −7 )

( 3; −5; 7 )


Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.

r r r r
a +b+c = 0

B.

r r r
a , b, c

Câu 17: Mặt cầu (S) có tâm
A.

2

C.

C.

và đi qua

2

( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 53
2

2

B.

2

A.
C.

D ( 0;0;0 )

D ( 0;0; −3)

hoặc

AD = BC

D ( 0;0;6 )

hoặc

D.

D.

urr
a .b = 1

có phương trình:

( x + 1) + ( y + 2) 2 + ( z + 3) 2 = 53
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 3) 2 = 53

A ( 3; −4; 0 ) , B ( 0; 2; 4 ) , C ( 4; 2;1)

là:

D ( 0; 0;3 )

A(1;0;4)

urr
6
cos(b,c) =
3

. Trong các

2

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho các điểm
trên trục Ox sao cho

;

đồng phẳng

I (1, 2, −3)

( x + 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 53
2

r
r
r
a = (−1,1, 0) b = (1,1, 0); c = (1,1,1)

B.
D.

D ( 0; 0; 2 )

D ( 0;0;0 )

hoặc
hoặc

D ( 0; 0;8 )

D ( 0;0;6 )

. Tọa độ điểm D