Chuyên Hà Nội vòng 2

Đề thi vào lớp 10,Khối THPT chuyên trường ĐHSP Hà Nội năm 2009
Vòng 2
Bài 1.
Các số thực x, y thỏa mãn
xy 2, 2≠ −
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
Bài 2.
a) Cho phương trình x
2
+ bx + c = 0 , trong đó tham số b và c thỏa mãn đẳng thức b+c=4. Tìm các
giá trị của b và c để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
2
1 2 2
x x x= +
b) Giả sử (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình
. Tính A=x+y+z
Bài 3.
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau
i) ap+1 chia hết cho q
ii) aq+1 chia hết cho p
Chứng minh
( )
pq
a
2 p q
>
+

Bài 4.
Cho (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B và trung điểm cung AB).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O
1
) đường kính AH cắt CA tại E,
đường tròn (O
2
) đường kính BH cắt CB tại F
a) Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp
b) Gọi O
3
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng
minh H, O
3
, Dthẳng hàng
c) Gọi S là giao điểm của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với (O).
Chứng minh KE vuông góc với KF
Bài 5.
Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi
bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kì không có điểm chung trong). Ký hiệu P là chu vi của mỗi
hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này
a) Hãy chỉ ra một cách chia để P=2,02
b) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P