de thi HSG NGHI LOC

Phòng GD-ĐT nghi lộc đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009
kỳ thi học sinh giỏi Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: Chứng minh rằng A =
9
210
32008
+
là số tự nhiên.
Bài 2: Cho
2062825,6M
++=
; N=
2
1
5
+
. Hãy so sánh M và N.
Bài 3: Giải các phơng trình nghiệm nguyên:
a) xy +x - 2y = 3
b) x
2
2y
2
= 5
Bài 4 : Cho a; b; c là các số dơng thoả mãn điều kiện a+b+c = 2008. Tính giá trị bé nhất
của biểu thức
)
2008
1)(
2008

1)(
2008
1(
cba
Q
+++=
.
Bài 5: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB , trên nửa mặt phẳng có bờ AB cùng phía
nửa đờng tròn kẻ các tiếp tuyến Ax , By . Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến
cắt Ax; By tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM và By ; F là giao điểm của BM với Ax.
a) Chứng minh rằng: AB
2
= BE . AF
b) Tìm giá trị bé nhất của diện tích tứ giác CDEF khi M chạy trên nửa đờng tròn đã
cho.
c) Chứng minh trằng : EF , CD, AB đồng quy khi M không phải là điểm chính giữa
cung AB.
Hớng dẫn chấm toán lớp 9
Bài 1: A =
9
810
9
210
200832008
+
=
+

Nhận xét : 10
2008

có tổng các chữ số là 1.
=> 10
2008
+ 8 có tổng các chữ số bằng 9 => ĐPCM
Bài 2:
15252825,62062825,6M
+++=++=

=
)15(2825,6)15(2825,6
2
++=++
=
52625,6
+
=
2
)15(25,6
+
=
1525,6
+
=
2
1
5
2
152
2
152.220

4
5421
525,5
+=
+
=
++
=
+
=+
=> M = N
Bài 3: a) xy +x - 2y = 3 <=> x(y+1) 2(y+1) = 5 <=> (y+1)(x-2) =5
=> Hoặc



=
=+
12
51
x
y
<=>



=
=
3
4

x
y
Hoặc



=
=+
12
51
x
y
<=>



=
=
1
6
x
y
Hoặc



=
=+
52
11

x
y
<=>



=
=
7
0
x
y
Hoặc



=
=+
52
11
x
y
<=>



=
=
3
2

x
y
b) x
2
2y
2
= 5 => x lẻ đặt x = 2k + 1 (k

Z)
<=> 4k
2
+ 4k + 1 5 = 2y
2
<=> 2(k
2
+ k 1) = y
2
=> y chẵn.
đặt y = 2n (n

Z) => 2(k
2
+ k 1) = 4n
2
<=> k
2
+ k = 2n+1
<=> k(k+1) = 2n+1 vế trái chẵn, vế phải lẻ => PT vô nghiệm.
Bài 4:

64
64
)
2008
1)(
2008
1)(
2008
1(
4.4222008
1
4.4222008
1
4.4222008
1
4
222
4
4
4
=+++=>
=
+

+++
=+
=
+

+++

=+
=
+

+++
=+
abc
cba
cba
c
ab
c
abc
c
abc
c
cbac
c
b
ac
b
acb
b
acb
b
cbab
b
a
bc
a

bca
a
bca
a
cbaa
a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=2008/3
Vậy Min Q = 64 .

Bài 5:


a) KÕt luËn ®îc tam gi¸c :
ABF ®ång d¹ng víi tam gi¸c BEA.
 AB
2
= BE.AF.
b)

A
O
B
F
C
E
D
M
J