Giải đề Toán TS 10 - 9 (9)

THPT Võ Minh Đức
GIẢI ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 9
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho P =
2 2
1 1x y y x+ + +
. Hãy tính giá trị của P theo a, biết a =
2 2
(1 )(1 )xy x y+ + +
Bài 2.
a) Giải phương trình :
2 2 2
( 3) 6 3 5 0x x− − − + =
b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình :
3 2
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y y
x x y y

+ − + =


+ − =


Hãy tính giá trị biểu thức :
2 2

x y+
Bài 3.
Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
1 1
x y
+
Bài 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A (ab < ac) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường
tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A)
a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng.
b) Chứng minh :
·
·
MAE ADE=
và MA ⊥ DE.
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tam là O. Tứ giác
AMOH là hình gì ?
d) Cho góc
·
ACB
= 30
o
và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a.
GIẢI :
Bài 1.
Cho P =
2 2
1 1x y y x+ + +
. Hãy tính giá trị của P theo a, biết a =

2 2
(1 )(1 )xy x y+ + +
Ta có P
2
=
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) 2 (1 )(1 )x y y x xy x y+ + + + + +
a
2
=
2 2 2 2 2 2
(1 )(1 ) 2 (1 )(1 )x y x y xy x y+ + + + + +
P
2
– a
2
=
2 2 2 2
(1 ) (1 )x y y x+ + +
2 2 2 2
(1 )(1 )x y x y− − + +
=
2 2 2 2 2 2
(1 ) ( 1 )(1 )x y y y y x+ − + − − + +
= – 1
Bài 2.
a) Giải phương trình :
2 2 2
( 3) 6 3 5 0x x− − − + =
(1)

Đặt t =
2
3x −
≥ 0
Pt (1) ⇔ t
2
– 6t + 5 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 5
+ Với t = 1 ⇔
2
3x −
= 1 ⇔ x
2
– 3 = 1 hoặc x
2
– 3 = – 1 ⇔ x = ±2 hoặc x = ±
2
+ Với t = 5 ⇔
2
3x −
= 5 ⇔ x
2
– 3 = 5 hoặc x
2
– 3 = – 5 ⇔ x = ±2
2

Vậy phương trình có nghiệm : x = ±2 ; x = ±
2
hoặc x = ±2
2

Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên
THPT Võ Minh Đức
b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình :
3 2
2 2 2
2 4 3 0 (1)
2 0 (2)
x y y
x x y y

+ − + =


+ − =


Hãy tính giá trị biểu thức :
2 2
x y+
Từ (2), ta có : x
2
(1 + y
2
) = 2y ⇔ x
2
=
2
2
1

y
y+
≤ 1 vì 1 + y
2
≥ 2y , với mọi y
Nên : – 1 ≤ x ≤ 1
Từ (1) , ta có : – x
3
– 1 = 2(y – 1)
2
≥ 0 ⇒ x
3
≤ – 1
Vậy x = -1 và y = 1
Do đó : x
2
+ y
2
= 2
Bài 3.
Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
1 1
x y
+
Ta có : S =
1 1
x y
+
=

x y
xy
+
=
5
xy
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi xy đạt giá trị lớn nhất
Do x + y = 5 (không đổi) nên tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
x + y ≥ 2
xy
⇔ xy ≤
2
( )
4
x y+
=
25
4
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y =
5
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là :
4
5
Bài 4.
Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn
tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A)
a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng.
b) Chứng minh :
·

·
MAE ADE=
và MA ⊥ DE.
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tâm là O. Tứ giác
AMOH là hình gì ?
d) Cho góc
·
ACB
= 30
o
và AH = a. Tính diện tích ∆HEC theo a.
O
E
D
H
C
M
B
A
Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên
a) Từ gt ⇒
·
DAE
= 90
o
( góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn tâm H) do đó DE là đường
kính , hay D, H, E thẳng hàng
b) Trong ∆ABC vuông tại A, AH đường
cao nên

·
·
ABH HAE=
(1)
∆AHE cân tại H (HA = HE = bk)
·
·
HAE HEA=
(2)
(1) , (2) ⇒
·
·
ABH HEA=
mà
·
·
MCA MAE=
(∆MAC cân tại M)
⇒
·
·
ADE MAE=
(4)(cùng phụ
·
·
ABH HEA=
)
Mà DA ⊥ AE nên AM ⊥DE (2góc nhọn có
cạnh tương ứng vuông góc)
THPT Võ Minh Đức

c) ∆BDH∼∆CEH (do (4) và
·
·
BHD CHE=
: đối đỉnh)
nên :
·
·
DBC CED=
: cùng nhìn CD dưới một góc bằng nhau, nên tứ giác DBEC nội tiếp
được trong đường tròn tâm O.
Với O là giao điểm của hai đường trung trực của BC và DE , nên AH // OM , AM // OH
Do đó AMOH là hình bình hành
d) Cho góc
·
ACB
= 30
o
và AH = a
suy ra ∆vuông AHC là nửa tam giác đều và AC = 2AH = 2a và HC =
3a
và
·
ADE
=
·
ACB
= 30
o
nên ∆AHE đều ⇒ E là trung điểm AC do đó diện tích tam giác HEC

bằng
1
3
diện tích tam giác vuông AHC
S
HEC
=
1
3
S
AHC
=
1
3
.
1
2
.AH.HC =
2
3
6
a
(đvdt)
Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên