de kiem tra HSG lop 8 chương 3

Phòng GD Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn
Trờng PTDT Nội Trú toán năm học 2006 - 2007
(thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Bài 1: ( 4 điểm )
a, Phân tích thành nhân tử:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
a b c a b c b c a c a b+ + + + +
b, Xác định các hằng số a, b sao cho:
3 3
5 50ax bx x+ +
chia hết cho
2
3 10x x+
Bài 2: ( 4 điểm )
a, Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n:
2 1
2 1
n
n
+

b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

2 4 5xy x y+ =
Bài 3: (2,5 điểm )
a, giải phơng trình:
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x

+ + =
+ + + + + +
b, tìm giá trị nhỏ nhất của:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 4 6 10
x
A x x x x= +
Bài 4: ( 4 điểm )
Cho hình vuông ABCD . Điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi EF theo thứ tự
là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a,
BM EF
b, Các đờng thẳng BM, AF, CE đồng qui.
Bài 5: ( 3 điểm )
Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Chứng minh rằng
2A C
=
-------Hết------
Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 8
Nội dung Điểm
Bài 1
a,
Đặt
a b c x
+ =
,
b c a y+ =
,
c a b z

+ =
x y z a b c + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + =
( )
3
3 3 3
x y z x y z= + +
( ) ( ) ( )
3 x y y z z x= + + +
suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + =
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
b, Dùng phơng pháp hệ số bất định
( )
( )
3 2 2
5 50 3 10 5ax bx x x x ax+ + = + +
Ta có:
( )
( )
2
3 10 5x x ax+ +
=

( ) ( )
3 2
5 3 15 10 50ax a x a x+ + +
5 3 1
15 10 8
a b a
a b b
+ = =



= =

Vậy a = 1, b = 8
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 2
a,
Gọi c ( 2n +1; 2n
2
- 1) + d
=> [ n (2n +1) (2n
2
-1) ] chia hết cho d.
n +1
[(2n +1) 2 (n +1)] chia hết cho d.
-1 chia hết cho d.
d = 1 ; d = - 1

( 2n + 1; 2n - 1 ) = 1 điều này chứng tỏ phân số

2
2 1
2 1
n
n
+

tối giản
với mọi số tự nhiên n
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5đ
0,5 điểm
b,
(2điểm)
2xy + 4x - y = 5

2x( y + 2) - ( y +2 ) = 3

( y + 2 )( 2x - 1 ) = 3
Vì x, y

Z

y + 2

Z; 2x - 1

Z
Ta có các trờng hợp sau:

2 1 1 1
2 3 1
x x
y y
= =



+ = =


2 1 1 0
2 3 5
x x
y y
= =



+ = =

2 1 3 2
2 1 1
x x
y y
= =



+ = =

2 1 3 1
2 1 3
x x
y y
= =



+ = =

Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 1;1 ; 2;1 ; 0; 5 ; 1; 3x y
1 điểm
0,5 điểm
0,5 đ
Bài 3
a,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
ĐKXĐ:
4; 5; 6; 7x
1 1 1
4 7 18x x

=
+ +
( ) ( ) ( )
2
2
18 7 4 7 4
18 3 11 28
11 26 0
x x x x
x x
x x
+ = + +
ì = + +
+ =

x = -13 hoặc x = 2
x = -13 hoặc x = 2 thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy tập nghiệm của phơng trình là
{ }
13;2S =
1điểm
1 điểm
1 điểm
b,
( )
( ) ( )
2 2
7 6 7 12 10
x
A x x x x= + + +

Đặt
2
7 6x x +
= t
( )
( )
( )
2
2
6 10
6 9 1 3 1 1
t
A t t
t t t
= + +
= + + + = + +
( )
1
Min
t
A =
đạt đợc khi t = -3
( )
1
x Min
A =
đạt đợc khi
2
7 6x x +
= -3

x
2
- 7x + 9 = 0 =>
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4:
a
b
K
H
A
B
D
C
E
M
F
Gọi H là giao điểm BM và EF
K là giao điểm EM và BC
Chứng minh đợc
( )
. .EMF BKM g c g
MFE KMB
=
=
Mà
KMB EMH =
( đối đỉnh )

MFE EMH =
và
0
0
90
90
EMF MEF
MEF HME
+ =
+ =
hay
BH EF
b) chứng minh đợc EC BF, AF BE
+ xét BEF có các đờng cao BH; EC;
FA nên các đờng BM, AF, CE đồng
quy tại một điểm.
0,5đ
0,5 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bµi 5:
a
6
5
5
4
B
C
A

E
Trªn tia ®èi cña tia AE lÊy ®iÓm E sao
cho : AE = 5 cm
XÐt
ABC∆
vµ
EBC∆
ta cã:
Gãc B chung
4 2 6 2
;
6 3 9 3
AB BC
BC BE
= = = =
ABC
⇒ ∆
®ång d¹ng víi
( )
. .CBE c g c∆
1
C E⇒ ∠ = ∠
(hai gãc t¬ng øng)
mµ
ACE∆
c©n t¹i A nªn
2
2
2
E C BAC E

BAC BCA
∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
⇒ ∠ = ∠
0,5®
1 ®iÓm
0,5®
1 ®iÓm