Tên đề tài Nghiên cứu ổn định phi tuyến vỏ trụ NanoComposite chịu áp lực ngoài

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017 – 2018
Tên đề tài: Nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ NanoComposite chịu áp lực
ngoài
Mã số: DTSV171837
Sinh viên tham gia:

Cán bộ tham gia:

(1)

Đào Ngọc Nam

(2)

Đỗ Quang Trà

(3)

Nguyễn Vạn Tuế
Vũ Thọ Hưng

HÀ NỘI – 2018


i

MỤC LỤC
Trang
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt.....................................................................ii
Danh mục các hình vẽ, đồ thị ..................................................................................iii
Danh mục các bảng biểu ..........................................................................................iv
MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
1. Tên đề tài............................................................................................................... 1
2. Sự cần thiết của việc nghiên cứu...........................................................................1
3. Mục tiêu nghiên cứu..............................................................................................1
4. Nội dung nghiên cứu của đề tài ............................................................................1
5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................................1
6. Kết quả đạt được....................................................................................................2
Chương 1. Tổng quan về bài toán vỏ trụ NanoComposite chịu áp lực ngoài.............3
1.1. Vật liệu NanoComposite....................................................................................3
1.2. Tình hình nghiên cứu hiện này...........................................................................3
Chương 2. Thiết lập các phương trình chủ đạo và phương pháp giải........................6
2.1. Mô hình kết cấu..................................................................................................6
2.2. Các phương trình cơ bản.....................................................................................8
2.3. Điều kiện biên và phương pháp giải.................................................................12
Chương 3. Kết quả số và thảo luận..........................................................................16
3.1. Kết quả so sánh.................................................................................................16
3.2. Phân tích ổn định phi tuyến..............................................................................16
3.2.1. Thay đổi cấu trúc hình học của CNTRC........................................................16
3.2.2. Thay đổi tỷ phần thể tích CNT......................................................................18
3.2.3. Thay đổi bán kính cong R..............................................................................20
3.2.4. Thay đổi bước................................................................................................22
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................................................24
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................26
PHỤ LỤC................................................................................................................ 30

ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
FG

: Functionally graded

CNT
CNTRC

: Carbon nanotube
: Carbon nanotube-reinforced composit

UD

: Uniformly distributed

SWCNTs : Single-walled carbon nanotubes


iii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Chương 2
Hình 2.1
Chương 3
Hình 3.1

Hình dạng của vỏ trụ tròn và các loại FG-CNTRC trực giao

Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với các loại FG-CNTRC

Hình 3.2

*
= 0.12
khi VCNT
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với các loại FG-CNTRC

Hình 3.3

*
= 0.17
khi VCNT
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với các loại FG-CNTRC

Hình 3.4

*
= 0.28
khi VCNT
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi thể tích CNT thay đổi

Hình 3.5

với vỏ trụ tròn FG-O CNTRC
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi thể tích CNT thay đổi

Hình 3.6

với vỏ trụ tròn UD-CNTRC
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi thể tích CNT thay đổi

Hình 3.7

với vỏ trụ tròn FG-X CNTRC
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi bán kính cong thay đổi

Hình 3.8

với vỏ trụ tròn FG-O CNTRC
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi bán kính cong thay đổi

Hình 3.9

với vỏ trụ tròn UD-CNTRC
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi bán kính cong thay đổi

Hình 3.10

với vỏ trụ tròn FG-X CNTRC
Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi nhảy bước


iv

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Chương 3
Bảng 3.1

So sánh giá trị tải trọng áp lực ngoài q0 (kPa ) của vỏ trụ tròn FG-

Bảng 3.2

CNTRC
Sự thay đổi tỷ phần thể tích CNT tại các loại FG-CNTRC trực giao

Bảng 3.3

khác nhau chịu áp lực ngoài q0 ( MPa )
Sự thay đổi bán kính cong cho các loại CNTRC đối xứng khác nhau
*
= 0.28 chịu áp lực ngoài q0 ( MPa )
với VCNT


5
MỞ ĐẦU
1. Tên đề tài
Nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ NanoComposite chịu áp lực ngoài
2. Sự cần thiết của việc nghiên cứu
Ống nano carbon là vật liệu nano carbon dạng ống với đường kính ở kích thước
nm , chiều dài từ vài nm đến µm. Với cấu trúc tinh thể đặc biệt và các tính chất cơ
học quý ( nhẹ, độ cứng lớn ), tính dẫn điện, dẫn nhiệt tốt, tính chất phát xạ điện từ
mạnh… Ống nano carbon đang được nghiên cứu ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khoa học và công nghệ. Đề tài dự kiến đánh giá sơ bộ ảnh hưởng của cabon
nanotube tới tải tới hạn ổn định và ứng xử sau tới hạn của vỏ.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Thiết lập các phương trình chủ đạo của bài toán vỏ trụ tròn NanoComposite
chịu áp lực ngoài.

- Lựa chọn dạng nghiệm của độ võng, áp dụng phương pháp Galerkin để giải hệ
phương trình chủ đạo nhận được.
- Khảo sát số để đánh giá hiệu quả về tải tới hạn ổn định phi tuyến của vỏ trụ
NanoComposite.
4. Nội dung nghiên cứu của đề tài
Đề tài thiết lập các phương trình chủ đạo cho bài toán vỏ trụ tròn NanoComposite
chịu áp lực ngoài. Đề xuất dạng nghiệm và giải hệ phương trình nhận được bằng
phương pháp Galerkin hoặc phương pháp năng lượng để nhận được hệ phương trình
đại số phi tuyến cân bằng. Giải hệ phương trình này để nhận được tải tới hạn và đường
cong sau mất ổn định của vỏ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng lý thuyết biến dạng cổ điển.

6. Kết quả đạt được


6
Đề tài dự kiến đánh giá sơ bộ ảnh hưởng của cabon nanotube tới tải tới hạn ổn
định và ứng xử sau tới hạn của vỏ. Đánh giá ảnh hưởng của các thông số hình học, vật
liệu tới ứng xử của vỏ.


7

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN VỎ TRỤ NANOCOMPOSITE CHỊU
ÁP LỰC NGOÀI
1.1. Vật liệu NanoComposite
Nano-cacbontubes (CNTs) được biết đến như một ứng cử viên tuyệt vời để củng
cố vật liệu tổng hợp do đặc tính cơ học, nhiệt và điện đặc biệt của chúng [1]. Khi một

ống nano cacbon được đưa vào một ma trận polyme, nó cải thiện đáng kể tính chất cơ
học của vật liệu nanocomposite như độ bền kéo và độ cứng trong khi nó chiếm trọng
lượng của composite thấp hơn từ 3 đến 5 lần so với vật liệu kim loại [2, 3]. Đó là do
cấu trúc của CNT được liên kết một cách độc đáo theo hướng dọc trục với một lớp vật
liệu composite, gọi là vật liệu tổng hợp được gia cường thêm ống nano-cacbon
(CNTRCs). Sự khác biệt chính giữa vật liệu tổng hợp gia cường bằng sợi cacbon thông
thường và vật liệu tổng hợp gia cường bằng ống nano-cacbon nằm ở chỗ trước đây có
thể chứa tỷ lệ sợi cacbon rất cao (thường trên 60% tính theo thể tích), trong khi chỉ có
tỷ lệ phần trăm CNT thấp hơn [4–7]. Điều này là do thực tế rằng phần CNT nhiều hơn
trong CNTRC có thể dẫn đến sự suy giảm tính chất cơ học của chúng [8]. Để sử dụng
hiệu quả tỷ lệ phần trăm thấp của CNT trong vật liệu tổng hợp, Shen [9] đề xuất áp
dụng CNTRC cho vật liệu FG, để CNT tập trung tại các vị trí nhất định để tăng các
hành vi cơ học / nhiệt của cấu trúc CNTRC. Vật liệu FG nanocomposite được thực
hiện trong phòng thí nghiệm đã được báo cáo trong một bài viết gần đây [10], trong đó
một hỗn hợp nhôm gia cường FG-CNT được chế tạo trong một quá trình luyện kim.
1.2. Tình hình nghiên cứu hiện này
Để tiếp tục khám phá khả năng của FG-CNTRC trong việc tăng cường các hành
vi cơ học của cấu trúc, Shen cùng các cộng sự nghiên cứu các dầm FG-CNTRC [11],
các tấm [12, 13] và vỏ [14–17] chống lại quá trình nén và nén nhiệt. Theo xu hướng
này, nhiều nhà nghiên cứu khác cũng đã tiến hành nghiên cứu sâu rộng trong vấn đề
này [18–27]. Tuy nhiên, các nghiên cứu về ổn định và mất ổn định trên các panel trụ
CNTRC là ít thường xuyên hơn. Zhang và cộng sự [28] nghiên cứu độ lệch lớn của các
panel trụ FG-CNTRC chịu áp lực ngoài và/hoặc tải trọng nén bằng phương pháp năng
lượng Ritz. Trong phân tích của họ, các đặc tính vật chất của FG-CNTRCs được giả
định là được phân loại theo chiều dày và được ước tính thông qua một mô hình liên tục


8
tương đương dựa trên phương pháp tiếp cận Eshelby – Mori – Tanaka. Liew và cộng
sự [29] đã tiến hành các nghiên cứu về mất ổn định của các pannel hình trụ FGCNTRC chịu nén dọc trục bằng cách sử dụng phương pháp năng lượng Ritz dựa trên

lý thuyết vỏ biến dạng cắt đầu tiên. Gần đây hơn, dựa trên lý thuyết vỏ biến dạng cắt
bậc cao Shen và Xiang [30-32] nghiên cứu sự uốn cong phi tuyến, nén và mất ổn định
nhiệt của các panel trụ FG-CNTRC nằm trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt. Cần
lưu ý rằng đối với tất cả các nghiên cứu nói trên [28-32], chỉ Shen và Xiang [30-32] là
có xem xét các đặc tính hiệu quả của vật liệu CNTRCs phụ thuộc vào nhiệt độ. Theo
nghiên cứu của nhóm, không có tài liệu nào đề cập đến ổn định phi tuyến của các vỏ
trụ FG-CNTRC chịu áp lực ngoài.
Nghiên cứu sau mất ổn định của vỏ hình trụ chịu áp lực ngoài là một nhiệm vụ
khó khăn hơn so với trường hợp của cùng một vỏ chịu nén trục. Điều này là do vỏ hình
trụ đầu tiên sẽ uốn cong dưới áp lực ngoài trước khi xảy ra hiện tượng vênh. Vấn đề
này đã được báo cáo rằng hành vi sau mất ổn định của tấm [33], vỏ [34] và tấm [36] là
khác nhau. Ví dụ, đường cân bằng sau mất ổn định của vỏ hình trụ FGM dưới áp suất
bên ngoài [34] là loại cứng yếu, trong khi đường cân bằng sau mất ổn định của tấm
hình trụ FGM dưới áp lực bên ngoài [36, 37] là loại cứng mạnh do các cạnh bị hạn
chế.
Trong nghiên cứu hiện tại, nhóm tập trung sự chú ý vào mất ổn định các vỏ hình
trụ CNTRC chịu áp lực ngoài. Các công thức có nguồn gốc trong khuôn khổ lý thuyết
biến dạng cổ điển và các mối quan hệ biến dạng biến đổi Von Karman. Các độ lệch
ban đầu gây ra bởi áp lực ngoài được tính đến. Các phương trình điều chỉnh lần đầu
tiên được suy ra cho một loại lớp ranh giới bao gồm biến dạng mất ổn định phi tuyến
và không hoàn hảo hình học ban đầu của vỏ. Những phương trình này sau đó được giải
quyết bằng phương pháp Galerkin để xác định đường cân bằng sau mất ổn định của vỏ
hình trụ CNTRC.


9

CHƯƠNG 2
THIẾT LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI

2.1. Mô hình kết cấu
Xem xét vỏ nanocomposite có chiều dày h và bán kính cong R được gia cường
bằng liên kết carbon –nanotubes đơn vách (SWCNTs). Vỏ được đặt trong hệ toạ độ
xyz , gốc của nó nằm tại góc mặt phẳng giữa, x và y là các phương dọc và ngang của
vỏ tương ứng, và z hướng theo bề dày của vỏ và z có bề dày từ (−h / 2; h / 2) . Trong
nghiên cứu này vật liệu được gia cố một ma trận đẳng hướng đối xứng thông qua phân
bố đồng đều UD hoặc theo chức năng, trong đó CNT được biến đổi theo hai mẫu đối
xứng là FG-O và FG-X. Cấu trúc có lượng CNT tập trung lớn tại mặt giữa là FG-O và


10
ngược lại cấu trúc tập trung nhiều CNT tại cả trên và dưới là FG-X, như minh hoạ
trong hình 2.1. Các tính chất hiệu dụng của vật liệu composite có thể được xác định
bởi lý thuyết Mori-Tanaka hoặc quy tắc hỗn hợp tuyến tính. Trong đó, quy tắc hỗn hợp
tuyến tính là một quy tắc đơn giản và tiện dụng trong ứng dụng để dự đoán các tính
chất vật liệu tổng thể và đáp ứng của các kết cấu.

UD trực giao

FG-X trực giao

FG-O trực giao

Hình 2.1. Hình dạng của vỏ trụ tròn và các loại FG-CNTRC trực giao
Trong nghiên cứu này, quy tắc hỗn hợp mở rộng được sử dụng để tính toán
mô đun đàn hồi và biến dạng trượt về các vỏ trụ CNTRC
CNT
E11 = η1VCNT E11
+ Vm E m

η2
V
V
= CNT
+ mm
CNT
E22 E22
E

(1)

η3 VCNT Vm
=
+
G12 G12CNT G m
CNT ,
CNT , và
trong đó E11
G12CNT là các mô đun đàn hồi và mô đun trượt tương ứng của
E22

vỏ cacbon-nanotube và có giá trị
CNT
E11
= (6.18387 − 0.00286T + 4.22867 × 10−6 T 2 − 2.2724 × 10 −9 T 3 ) TPa,
CNT
E22
= (7.75348 − 0.00358T + 5.30057 × 10−6 T 2 − 2.84868 × 10 −9 T 3 ) TPa,
CNT
G12

= (1.80126 + 7.7845 × 10−4 T − 1.1279 × 10−6 T 2 + 4.93484 × 10−10 T 3 ) TPa,

E m , G m là hệ số phụ thuộc vào dạng ma trận đẳng hướng

(2)


11
E m = (3.52 − 0.0034T ) GPa,
Em
G =
,
2(1 + ν m )
m

(3)

ν m = 0.34,
trong đó T=0.
Do các yếu tố bề mặt tiếp xúc, biến dạng gradient, các ứng suất kết hợp giữa các phần
tử…chuyển tải giữa ống nano và các pha là không hoàn hảo. Do đó, có các hệ số η j
( j=1, 2, 3), được gọi là các thông số hiệu quả của CNT, và được trình bày trên công
thức để xem xét các thuộc tính vật liệu phụ thuộc và kích thước. VCNT và Vm là các tỷ
phần thể tích CNT và nền tương ứng và có quan hệ
VCNT + Vm = 1

(4)

Các tỷ phần thể tích CNT cho ba loại được giả định là

VCNT


*
VCNT

4z *

= 2 −
VCNT
h

 z *
4 VCNT
 h

(UD)
( FG − O )

(5)

( FG − X )

trong đó
*
VCNT
=

ωCNT

ωCNT
+ (ρCNT / ρm )(1 − ωCNT )

(6)

ở đây ωCNT là phần khối lượng của CNT trong bảng CNTRC, và ρCNT và ρm là mật
độ của CNT và nền, tương ứng. Cần lưu ý rằng, theo cách này, bảng CNTRC phân bố
đồng nhất (UD), và hai trường hợp bảng CNTRC được phân loại chức năng (FG) có
cùng giá trị khối lượng CNT.
*
ứng với mỗi giá trị VCNT
ta lại có các cặp các hệ số η j ( j=1, 2, 3) tương ứng
*
*
VCNT
= 0.12 thì η1 = 0.137, η2 = 1.022; VCNT
= 0.17 thì η1 = 0.142, η2 = 1.626; và
*
VCNT
= 0.28 thì η1 = 0.141, η2 = 1.585; η3 : η2 = 0.7 :1,


12
tương tự, hệ số poison được xác định bởi
*
CNT
ν12 = VCNT
ν12
+ Vmν m ,

ν 21 =

E22ν12
,
E11

(7)

CNT
trong đó ν12
và ν m tương ứng là các hệ số poisson CNT và nền.

2.2. Các phương trình cơ bản
Thành phần biến dạng tại một điểm bất kì thuộc vỏ trụ cách mặt trung bình một
khoảng z được viết dưới dạng
 0
∂2w 
ε x − z 2 
∂x

ε x  
2
   0
∂ w 
ε y  = ε y − z 2  ,
∂y
  

γ
xy

2 
   0
 γ xy − 2 z ∂ w 
∂x∂y 


(8)

0
0
trong đó ε0x và ε y là các thành phần biến dạng của pháp tuyến, γ xy là thành phần biến

dạng trượt tại mặt trung bình.
Quan hệ biến dạng tại mặt trung bình và chuyển vị của vỏ trụ được biểu diễn bởi
 ∂u 1  ∂w  2 ∂w

+
 + 

÷
∂
x
2
∂
x
∂
x





ε0x 

2
   ∂u w 1  ∂w  ∂w 
0
ε y  =  − + 
,
÷ +
∂y 
 0   ∂y R 2  ∂y 
 γ xy   ∂u ∂υ ∂w ∂w

+
+


 ∂y ∂x ∂x ∂y




(9)

với u = u ( x, y ), v = v( x, y ), w = w( x, y ) là các thành phần chuyển vị theo các trục x, y
và z tương ứng
Phương trình tương thích biến dạng được rút ra từ biểu thức (9) như sau
2

2 0

2 0
∂ 2ε0x ∂ ε y ∂ γ xy
1 ∂ 2w  ∂ 2w  ∂ 2w ∂ 2w
+
−
=
−
+
.
÷ − 2
∂x∂y
R ∂x 2  ∂x∂y 
∂y 2
∂x 2
∂x ∂y 2

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất cho vỏ CNTRC

(10)


13
 Q11 Q12
σ x 

 
σ y  = − Q12 Q 22

 
σ xy 

Q16 Q 26
trong đó Q ij = Qij

Q16   ε x 
 
Q 26  ε y  .
 
Q 66   γ xy  (11)

(i, j = 1, 2,6) .

Q11 =

E11
1 − ν12ν 21

Q22 =

E22
1 − ν12ν 21

Q12 =

ν 21E11
1 − ν12ν 21

(12)

Q16 = Q26 = 0
trong đó E11 , E12 , G12 , ν12 , ν 21 , là các mô đun đàn hồi và hệ số poisson của lớp FGCNTRC được trình bày trong phương trình (1) và phương trình (5)

Nội lực của vỏ trụ FG-CNTRC:

 N x   A11
N  
 y   A12
 N xy   0

 

=
 M x   B11
 M y  B

  12
 M xy   0

A12

0

B11

B12

A22

0

B12

B22

0

A66

0

0

B12

0

D11

D12

B12

0

D12

D 22

0

B66

0

0

ε0x

 0

ε


0
 y

 γ0

xy
0


2
B66   ∂ w 
 − 2  ,
0   ∂x 
2

0  − ∂ w 


 ∂y 2 

2 D66  
 ∂2w 
−

 ∂x∂y 

trong đó
( Aij , Bij , Dij ) =

∫

h /2

− h /2

(Qij )(1, z, z 2 ) dz ( i, j = 1, 2, 6 )

Từ biểu thức (13), nhận được liên hệ

(13)


14

*
*
ε0x   A22
− A12
  
0

*
*
ε y  = − A12 A11
 0  
0
0
 γ xy  

0

*
B11

*
B12

0

*
B21

*
B22

0

0

*
A66

Nx 
N 
 y 
N 
 xy 
0  2 
∂ w
  2 
0   ∂x  ,

*  2
2 B66
  ∂ w 
 ∂y 2 
 2 
∂ w
 ∂x∂y 



(14)

Nx

N

 y

N


xy


0  2 
∂
w
  −

0   ∂x 2  ,

* 
2
2 D66
  − ∂ w 
 ∂y 2 
 2 
 ∂ w
− ∂x∂y 



(15)

Thay (14) vào (13), dẫn tới

*
 M x   B11

 

*
M
 y  =  B12

 
 M xy   0

*
B21

0

*
D11

*
D12

*
B22

0

*
D21

*
D22

0

*
B66
0

0

*
*
*
trong đó các hệ số Aij , Bij , Dij được xác định trong phụ lục A

Hệ phương trình cân bằng viết theo nội lực theo lý thuyết vỏ Donnell như sau:
∂N x ∂N xy
+
= 0,
∂x
∂y
∂N xy ∂N y
+
= 0,
∂x
∂y

(16)

∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
∂2w
∂ 2w

∂ 2w N y
+
2
+
+
N
+
2
N
+
N
+
+ qo = 0.
x
xy
y
∂x∂y
∂x∂y
R
∂x 2
∂y 2
∂x 2
∂y 2
Hai phương trình đầu của (16) được thỏa mãn nếu đưa vào hàm ứng suất ϕ thỏa
mãn điều kiện
Nx =

∂ 2ϕ
,
∂y 2

Ny =

∂ 2ϕ
,
∂x 2

N xy = −

∂ 2ϕ
.
∂x∂y

(17)


15
Thay (14) vào phương trình tương thích biến dạng (10) và (15) vào phương trình
thứ ba của hệ (16), trong đó có xem xét tới các liên hệ (9) và (17), nhận được hệ hai
phương trình hai ẩn hàm độ võng và hàm ứng suất:
*
A11

4
4
∂ 4ϕ
∂ 4ϕ
*
*
* ∂ ϕ

* ∂ w
+
(
A
−
2
A
)
+
A
+
B
+
66
12
22
21
∂x 4
∂x 2∂y 2
∂y 4
∂x 4
*
+ ( B11

+

*
B22

*

− 2 B66
)

4
∂4w
* ∂ w
+ B12 4 +
∂x 2∂y 2
∂y

(18)

2

1 ∂2w  ∂2w  ∂2w ∂2w
+
−
= 0.
÷ + 2
R ∂x 2  ∂x∂y 
∂x ∂y 2
*
D11

−

(

4
4

∂4w
∂ 4w
*
*
*
* ∂ w
* ∂ ϕ
+ D12 + D21 + 4 D66
+ D22 4 − B21 4 −
∂x 4
∂x 2∂y 2
∂y
∂x

*
B11

(

+

*
B22

)

*
− 2 B66

)

4
2
2
∂ 4ϕ
∂ 2ϕ ∂ 2 w
* ∂ ϕ ∂ ϕ∂ w
− B12 4 − 2 2 + 2
−
∂x∂y ∂x∂y
∂x 2 y 2
∂y
∂y ∂x

−

(19)

∂ 2ϕ ∂ 2 w 1 ∂ 2ϕ
−
− q0 = 0.
∂x 2 ∂y 2 R ∂x 2
(17)

2.3. Điều kiện biên và phương pháp giải
Xét vỏ trụ NanoComposite có các cạnh được đặt trên tựa đơn, chịu áp lực ngoài
phân bố đều qo trên toàn diện tích bề mặt vỏ
w = 0, M x = 0, N x = 0, N xy = 0, tại x = 0; L.

(20)

Chọn dạng nghiệm của độ võng như sau
w = f 0 + f1 sin

mπx
ny
mπx
sin + f 2 sin 2
,
L
R
L

(21)

trong đó
m, n là số nửa bước sóng theo các phương dọc và vòng tương ứng.
Thế dạng nghiệm độ võng (21) vào phương trình (18) và giải, nhận được biểu
thức của hàm ứng suất ϕ như sau


16
ϕ = ϕ1 cos

2mπx
2ny
mπx
ny
+ ϕ2 cos
− ϕ3 sin

sin +
L
R
L
R
3mπx
ny
x2
+ ϕ4 sin
sin − σ0 y h ,
L
R
2

(22)

trong đó các hệ số ϕi được xác định trong phụ lục B
Thế phương trình (21), (22) vào phương trình (19) và áp dụng phương pháp
Glalerkin, nhận được
σ0 y h = Rq0 ,

(23)


 m 4 π4 n 4λ 4  3
B2 
+
f +
D+
÷ f1 + 

*
* ÷ 1
A
16
A
16
A



22
11 
*

2 2 2 2
n 2λ 2 λL − 4 B21
m 2 π2 
2
Bm
n
π
λ
 f1 f 2 +
+
−
*
A


4 A11



 m 4 n 4 π4λ 4 m 4 n 4 π4 λ 4 
2
2 2 2
+
+
÷ f1 f 2 − σ0 y hn L λ f1 = 0,
A
G



(

)

(24)

4
2
2
2
 
1  mπ   n 2λ 2
1 B  mπ   n   2
*  mπ 
+
  4 B21 
÷ − 

÷

÷  ÷  f1 +
* 2 2
2 A L   R  
m π
 L  R  L   16 A11
 

2

2

1
 mπ   n   1 1  2
+ m 2 n 2 π2λ 2 
÷  ÷  − ÷ f1 f 2 +
2
 L  R  A G
4 
4
2
*

1  mπ   λL − 4 B21
m 2 π2 
*  mπ 
*  mπ 
+ 4 D11 
−

4
B
−
 f2 +
÷  21 
÷

÷
* 2 2
L
L
R
L
4
A
m
π






11




σ0 y h
+

− q0 = 0.
R

(25)

trong đó A, B, C , D được xác định trong phụ lục B
Xét điều kiện chu vi kín như sau
2 πR L

∫∫
0 0

∂υ
dxdy =
∂y

2 πR L

2

w 1  ∂w  
0
ε y + − 
÷ dxdy = 0.
R 2  ∂y  


0

∫∫

0

(26)

Khử σ0 y trong các phương trình (23)-(25) và kết hợp điều kiện chu vi kín (26),
dẫn tới


17
H11 + H12 f 0 + H13 f12 + H14 f 2 + H15 f 22 − H17 q0 = 0,

(27)

H 21 f12 + H 22 f12 f 2 + H 33 f 2 = 0,

(28)

H 31 ( f 2 + 2 f 0 ) − H 32 f12 − H 33q0 = 0,

(29)

trong đó các hệ số H ij được xác định trong các phụ lục C
Thế f 0 và f1 từ phương trình (27) và (29) vào phườn trình (28) nhận được

q0 =

H11 −

H12 H 32 H 23 f 2
H 23 f 2

1
− H12 f 2 − H13
+ H14 f 2 + H15 f 22
2 H 31 ( H 21 + H 22 f 2 )
2
H 21 + H 22 f 2
.
H12 H 33
H17 −
2 H 31
(30)

Từ phương trình (30), bằng cách cho f 2 = 0 , tải áp lưc ngoài vồng cận trên của
vỏ trụ tròn là
q0upper =

H11
.
H12 H 33
H17 −
2 H 31

(31)

từ phương trình (21), độ võng lớn nhất phụ thuộc vào tời gian của vỏ nhận được
Wmax = f 0 + f1 + f 2
tại x =

(32)

iL
j πR
, y=
, trong đó i, j là các số nguyên dương lẻ.
2m
2n

Thế f 0 và f1 từ phương trình (28) và (29) vào phương trình (32) nhận được
Wmax = −

H 32 H 23 f 2
2 H 31 ( H 21 + H 22 f 2 )

−

1


 2
H
1
H 23 f 2
+ 33 q0 + f 2 +  −
÷
2 H 31
2
 H 21 + H 22 f 2 

(33)

18

CHƯƠNG 3
KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN
3.1. Kết quả so sánh
Để chứng minh cho tính chính xác của phương pháp này, bảng 1 so sánh tải trọng
áp lực ngoài q0 (kPa ) của vỏ trụ tròn FG-CNTRC với kết quả của do Shen[35]. Các
*
= 0.17.
tham số đầu vào được lấy như sau: R / h = 30, h = 2 mm, VCNT

Bảng 3.1: So sánh giá trị tải trọng áp lực ngoài q0 (kPa ) của vỏ trụ tròn FG-CNTRC
Loại CNT
UD
FG-X

L2 / ( Rh) = 100
Shen[35]
Đề tài
776.63
792.16
927.40
945.95

L2 / ( Rh) = 300
Shen[35]
Đề tài
433.04
441.7

448.05
457.01

L2 / ( Rh) = 500
Shen[35]
Đề tài
343.81
350.69
382.59
390.24

3.2. Phân tích ổn định phi tuyến
3.2.1. Thay đổi cấu trúc hình học của CNTRC
Bảng 3.2: Sự thay đổi tỷ phần thể tích CNT tại các loại FG-CNTRC trực giao khác
nhau chịu áp lực ngoài q0 ( MPa ) , (h = 0.01m, R = 0.5m, L = 1.5m)
*
VCNT

FG-O

UD

FG-X


19
0.12
0.17
0.28

0.466
0.705
1.92

0.707
1.15
1.75

1.08
1.60
2.48

Hình (3.1-3.3) Trình bày các đường cong lệch hướng cho vỏ trụ tròn FG-CNTRC
*
*
*
= 0.12, VCNT
= 0.17, VCNT
= 0.28 tương ứng và chịu áp lực ngoài.
trực giao với VCNT

Mức độ nguy hiểm của dạng FG-X CNTRC được đảm bảo an toàn hơn so với các
dạng FG-CNTRC còn lại. Độ võng phi tuyến phụ thuộc vào thời gian giảm đi giúp cho
kết cấu có thể chịu được tải trọng lớn hơn và nó cũng sẽ duy trì làm việc trong thời
gian lâu hơn. Đảm bảo kết cấu không bị biến dạng co hóp khi chịu áp lực ngoài. Qua
biểu đồ ta có thể nhận thầy rằng FG-X CNTRC đạt giá trị cao nhất, còn FG-O CNTRC
có giá trị thấp nhất.

Hình 3.1. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với các loại FG-CNTRC khi
*

VCNT
= 0.12


20

Hình 3.2. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với các loại FG-CNTRC khi
*
VCNT
= 0.17

Hình 3.3. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với các loại FG-CNTRC khi
*
VCNT
= 0.28

Qua các kết quả thu được ta có thể thấy rằng tuy thể tích CNT thay đổi nhưng
dạng FG-X CNTRC là dạng FG-CNTRC trực giao có giá trị tốt nhất.
3.2.2. Thay đổi tỷ phần thể tích CNT
Hình (3.4-3.6) Cho thấy sự thay đổi của phần thể tích CNT sẽ làm thay đổi
đường cong áp lực ngoài và độ võng của FG-O CNTRC, UD-CNTRC, FG-X CNTRC
tương ứng với h = 0.01m, R = 0.5m, L = 1.5m. Thay đổi các giá trị CNT lần lượt
*
*
*
VCNT
= ( 0.12;0.17;0.28 ) . Kết quả với VCNT
= 0.28 đạt giá trị cao nhất và VCNT
= 0.12

21
cho giá trị thấp nhất. Biến dạng hóp do độ võng phi tuyến gây ra cũng được tính tới
trong các hình (3.4-3.6) và ở đây giá trị tỷ phần thể tích luôn đảm bảo mức độ an toàn
cao nhất trong các dạng kết cấu FG-CNTRC trực giao.

Hình 3.4. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi thể tích CNT thay đổi với
vỏ trụ tròn FG-O CNTRC

Hình 3.5. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi thể tích CNT thay đổi với
vỏ trụ tròn UD-CNTRC


22

Hình 3.6. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi thể tích CNT thay đổi với
vỏ trụ tròn FG-X CNTRC
*
Qua các kết quả thu được thì ta thấy VCNT
= 0.28 có giá trị cao nhất trên tất cả

các loại vỏ trụ CNTRC
3.2.3. Thay đổi bán kính cong R
Bảng 3.3: Sự thay đổi bán kính cong cho các loại CNTRC đối xứng khác nhau với
*
VCNT
= 0.28 chịu áp lực ngoài q0 ( MPa )

R(m)
0.5

1
2

FG-O
1.02
0.361
0.128

UD
1.75
0.584
0.199

FG-X
2.48
0.747
0.262

Hình (3.7-3.9) Khi bán kính cong thay đổi R=(0.5m;1m;2m) sẽ làm thay đổi
mạnh mẽ đến mối quan hệ giữa áp lực ngoài và độ võng của FG-O CNTRC, UDCNTRC, FG-X CNTRC tương ứng với h=0.01mm, L=1.5m. Khi bán kính tăng thì áp
lực ngoài không bị giảm nhiều sau đó lại đi lên như bình thường mà chỉ giảm nhẹ sau
đó có xu hướng tăng nhanh. Tuy vậy giá trị lớn nhất vẫn là tại bán kính cong R=0.5m
và R=2m có giá trị thấp nhất. Và tại bán kính cong R=0.5m chịu được áp lực ngoài lớn
hơn rất nhiều khi bán kính tăng gấp 2 và 4 lần.


23

Hình 3.7. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi bán kính cong thay đổi
với vỏ trụ tròn FG-O CNTRC

Hình 3.8. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng khi bán kính cong thay đổi
với vỏ trụ tròn UD-CNTRC


24

Hình 3.9. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài - độ võng với bán kính cong thay đổi
với vỏ trụ tròn FG-X CNTRC
Qua các biểu đồ ta nhận thấy khi bán kính cong tăng lên thì khả năng chịu áp lực
ngoài sẽ giảm đi rất mạnh.
3.2.4. Thay đổi mode
*
Hình 3.10 khi thay đổi mode đối với tỷ phần thể tích VCNT
= 0.28 cho vỏ trụ tròn

FG-X CNTRC. FG-X CNTRC được biết như là dạng tối ưu nhất của FG-CNTRC trực
*
giao. Và tỷ phần thể tích VCNT
= 0.28 cũng đạt giá trị cao nhất so với các loại tỷ phần

thể tích CNT hiện có trên thế giới. Khi áp dụng nhảy bước kết quả đường cong sẽ đạt
được các giá trị khác nhau và sẽ giảm sự nguy hiểm đối với từng kết cấu. Qua kết quả
thu được ta có thể thấy được rằng khi tăng các bước theo phương vòng (n) thì kết cấu
sẽ trở nên chắc chắn hơn. Biến dạng co hóp do độ võng phi tuyến ảnh hưởng theo thời
gian sẽ được cải thiện rõ rệt. Độ võng có giá trị nhỏ sẽ giúp cho kết cấu thêm hoàn hảo
để có thể làm việc hiệu quả.