Chuyên đề khảo sát hàm số nguyễn phú khánh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.96 MB, 177 trang )
ŀ
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Chương 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
Giả sử là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số
trên được gọi là
• Đồng biến trên nếu với mọi
∈
< ⇒
<
• Nghịch biến trên
nếu với mọi
∈
<
xác định
( ) ( );
⇒ ( ) > ( ).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
• Nếu hàm số
đồng biến trên khoảng
• Nếu hàm số
nghịch biến trên khoảng
thì
thì
( ) ≥ với mọi ∈ ;
( ) ≤ với mọi ∈ .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Giả sử là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , là hàm số liên tục
trên và có đạo hàm tại mọi điểm trong của ( tức là điểm thuộc nhưng
không phải đầu mút của ) .Khi đó :
• Nếu
> với mọi ∈ thì hàm số đồng biến trên khoảng ;
• Nếu
• Nếu
( )
( )<
( )=
Chú ý :
• Nếu hàm số
( ) thì hàm số
• Nếu hàm số
( ) thì hàm số
với mọi
∈ thì hàm số
nghịch biến trên khoảng
với mọi
∈ thì hàm số
không đổi trên khoảng
liên tục trên
và có đạo hàm
đồng biến trên
liên tục trên
.
và có đạo hàm
;
.
( )>
trên khoảng
( )<
trên khoảng
nghịch biến trên .
• Giả sử hàm số liên tục trên đoạn .
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng
thì nó đồng biến trên đoạn
( )
.
5
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Nếu hàm số
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
( ) thì nó nghịch biến trên đoạn
nghịch biến trên khoảng
.
Nếu hàm số
không đổi trên khoảng
( ) thì không đổi trên đoạn
.
4. Định lý mở rộng
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
• Nếu
≥ với ∀ ∈ và
= chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc
thì hàm số đồng biến trên khoảng ;
• Nếu
≤ với ∀ ∈ và
= chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc
thì hàm số nghịch biến trên khoảng .
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số .
Xét chiều biến thiên của hàm số
• Tìm tập xác định
• Tính đạo hàm
=
( ) ta thực hiện các bước sau:
của hàm số .
=
.
( )
• Tìm các giá trị của
thuộc
để
( )=
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).
• Xét dấu
=
trên từng khoảng
( )
( ) không xác định
hoặc
thuộc
.
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
+
− +
−
=
=
−
+
Giải:
+
−
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞
=
(
Ta có:
=
(
−
)
<
)∪(
)
+∞ .
∀ ≠
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
−
−
+∞
−∞
6
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞
) và (
+
−
+
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞ −
=
)
+∞ .
−
(
Ta có:
=
−
−
(
+
)
+
=−
⇔
=
Bảng biến thiên :
−∞
) ∪ (−
)
+∞ .
∀ ≠−
=
−
+∞
−
−
+
+∞
+
−
+∞
−∞
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng − − và −
(
(
khoảng −∞ −
) và (
)
(
)
−∞
, nghịch biến trên các
)
+∞ .
Nhận xét:
+
≠
luôn đồng biến hoặc luôn nghịch
+
biến trên từng khoảng xác định của nó.
* Đối với hàm số
=
* Đối với hàm số
=
+
+
luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
+
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên ℝ .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
−
=
+
+
+
=
+
+
=
=
=
=
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
= − −
+
+
=
−
+
−
−
+
+
+
+
−
+
+
+
7
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Giải:
= − −
+
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có :
=−
−
+
=
⇔−
−
+
=−
⇔
=
=
Bảng xét dấu của :
−∞
−
+∞
−
+
−
(
) : > ⇒ đồng biến trên khoảng ( − ) ,
+ Trên mỗi khoảng ( −∞ − ) ( +∞ ) : < ⇒ nghịch biến trên các
khoảng ( −∞ − ) ( +∞ ) .
+ Trên khoảng −
Hoặc ta có thể trình bày :
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có :
=−
−
+
=
⇔−
−
+
=−
⇔
=
=
Bảng biến thiên :
−∞
−
+∞
+∞
−
+
(
)
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng −
( −∞ − ) và (
−
−∞
, nghịch biến trên các khoảng
)
+∞ .
=
−
+
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có:
=
⇔
=
−
−
+
+
=
−
+
=−
⇔
=
=
Bảng xét dấu:
−∞
+∞
−
−
+
+
8
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng − +∞ và nghịch biến trên khoảng
−∞ − .
Nhận xét:
Ta thấy tại = thì = , nhưng qua đó
không đổi dấu.
Đối với hàm bậc bốn =
+
+
+
+ luôn có ít nhất một
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn
không thể đơn điệu trên ℝ .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
=
=
−
+
+
+
= −
=
+
+
+
+
+
=−
−
−
=
−
=
−
+
−
+
+
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
=
−
=
=
−
=
−
+ −
+
+
Giải:
=
−
.
(
)
Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng −∞ ∪ +∞ .
−
Ta có:
=
∀ ∈ −∞ ∪ +∞ .
−
= .
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm =
Cách 1 :
(
(
+ Trên khoảng (
):
+∞ ) :
+ Trên khoảng −∞
Cách 2 :
Bảng biến thiên :
−∞
−
<
>
) (
)
(
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (
),
+∞ ) .
⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng −∞
+
+∞
9
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
) và đồng biến trên khoảng (
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng −∞
=
−
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng −∞
−
=
(
(
Suy ra, trên mỗi khoảng −∞
.
) và ( ) :
= .
=
⇔
=
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
−
||
−
+
và
−
Hàm số đã cho xác định trên đoạn −
−
=
(
.
)
∀ ∈ −
−
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm = −
Ta có:
||
, nghịch biến trên các khoảng −∞
Hàm số đồng biến trên khoảng
.
=
)
) ( ).
∀ ∈ −∞ ∪
−
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm =
Ta có:
+∞
(
Trên khoảng −
):
=
⇔
= .
=±
Bảng biến thiên:
−∞
−
|| −
Hàm số đồng biến trên khoảng −
− −
và
.
+∞
−
+
−
||
, nghịch biến trên mỗi khoảng
10
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
= + −
+
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
+
Ta có:
= −
+
+
=
⇔
+
+
=
≥−
⇔
+
+
Bảng biến thiên :
−∞
+
=
(
+
)
⇔
=−
+∞
−
+
−
Hàm số đồng biến trên khoảng −∞ − , nghịch biến trên khoảng − +∞ .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
=
−
=
+ −
=
−
=
−
=
−
+
=
=
(
)
−
− +
+
+
−
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: =
Giải:
−
−
≤− ∨
≥
=
−
−
=
+
− < <
− +
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
−
<− ∨
>
Ta có:
=
− < <
− +
Hàm số không có đạo hàm tại = − và = .
+ Trên khoảng −
: = ⇔ = ;
( )
+ Trên khoảng ( −∞ − ) :
+ Trên khoảng ( +∞ ) :
+
+
−
−
< ;
>
.
11
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bảng biến thiên:
−∞
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
−
−
+
−
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −
khoảng −∞ − và
.
+∞
+
+∞ , nghịch biến trên mỗi
và
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
=
=−
−
+
+
+
−
+
Ví dụ 5 :
Xét chiều biến thiên của hàm số sau:
=− + −
+
=
+
+
=
−
−
trên đoạn π .
+
Giải :
Hàm số đã cho xác định trên đoạn π
Ta có:
=
Trên đoạn π :
(
=
)
−
∈ π .
∈ π
=
⇔
⇔
=
=
π
∨
=
π
∨
=
π
.
Bảng biến thiên:
π
+
π
−
π
+
π
−
π
Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng
và
π π
π π
π
π .
, nghịch biến trên các khoảng
và
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
12
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
1.
=
π
trên khoảng
.
2.
=
trên khoảng
(
( π ).
)
π
trên khoảng
.
π
π
4. =
− +
+ trên đoạn π .
đồng biến trên đoạn
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số =
+
3.
=
−
−
π
π
và nghịch biến trên đoạn π .
Giải :
Hàm số đã cho xác định trên đoạn π
Ta có:
( π) ⇒
(
−
)
> nên trên
∈
( π)
( π)
⇔
=
π
+ Trên khoảng
: > nên hàm số đồng biến trên đoạn
π
+ Trên khoảng π : < nên hàm số nghịch biến trên đoạn
π
Vì
∈
=
=
⇔
=
Bài tập tương tự :
1. Chứng minh rằng hàm số
( )=(
−
π
đoạn
.
2. Chứng minh rằng hàm số
=
−
3. Chứng minh rằng hàm số
=
đồng biến trên các khoảng
=
+
(π
)(π −
+
−
π
.
;
π
π.
) đồng biến trên
nghịch biến trên ℝ .
( π ) và
π)
4. Chứng minh rằng hàm số
đồng biến trên khoảng
π
và
π π
nghịch biến trên khoảng
13
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Dạng 2 : Tùy theo tham số
khảo sát tính đơn điệu của hàm số .
Ví dụ : Tùy theo
=
khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
(
−
)
+
+
+
+
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
+
Ta có
=
−
=
thì
=
(
)
+
≥
+
và % =
∀ ∈ ℝ và
=
(
−
)
chỉ tại điểm
(
= . Hàm số đồng
)
biến trên mỗi nửa khoảng −∞ và +∞ . Do đó hàm số đồng biến trên ℝ .
+
=
=
thì
(
−
)
≥
∀ ∈ ℝ và
=
(
= . Hàm số
chỉ tại điểm
)
đồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞ và +∞ . Do đó hàm số đồng biến
trên ℝ .
=
+
≠
≠ khi đó
.
= ⇔
=
⋅ Nếu
< hoặc
> thì
<
Bảng xét dấu :
+∞
−∞
+
−
+
(
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng −∞
(
)
(
+∞ , giảm trên khoảng
⋅ Nếu < <
thì
Bảng xét dấu :
).
>
+∞
−∞
+
−
+
(
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng −∞
(
) và
)
+∞ , giảm trên khoảng
(
).
) và
Bài tập tự luyện:
Tùy theo khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
=
=
−
(
−
+
)
−
+
(
−
−
)
+
+
+
14
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên ℝ .
Sử dụng định lý về điều kiện cần
• Nếu hàm số
đơn điệu tăng trên ℝ thì
∀ ∈ ℝ.
• Nếu hàm số
∀ ∈ ℝ.
Ví dụ 1 : Tìm
định .
+
=
( )
( )≥
( ) đơn điệu giảm trên ℝ thì ( ) ≤
để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác
−
=
+
−
+
(
)
+
−
+
−
Giải :
+
=
−
+
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞ −
(
+
=
Ta có :
(
−
+
≠−
)
) ∪ (−
+∞
)
.
Cách 1 :
Bảng xét dấu
−
+∞
+
−
+
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
Nếu − < < thì
< ⇒ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng −∞ −
−∞
(
(−
)
+∞ .
Cách 2 :
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi :
< ∀ ∈ −∞ − ∪ − +∞ ⇔
+
(
=
−
+
(
+
) (
) −
)
+
=−
+
−
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞
(
=− +
Ta có :
+
(
),
≤
⇒
<
−
(
−
)
−
<
⇔− <
<
−
−
∪ +∞ .
+
) (
)
≠
(
≠ , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng −∞
),
)
+∞ .
15
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
+
>
=
khi đó phương trình
biến trên mỗi khoảng
≤
Vậy
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
< <
có hai nghiệm
) và (
⇒ hàm số đồng
) , trường hợp này không thỏa .
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Bài tập tương tự :
Tìm
để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .
−
+
−
−
+
+
=
=
−
+
−
+
+
−
−
+
+ −
=
=
+
−
(
(
)
)
Ví dụ 2 : Tìm
=−
(
để các hàm số sau luôn nghịch biến trên ℝ .
+
=
+
)
(
+
−
)
+
+
−
+
+
(
−
)
+
−
Giải:
=−
+
(
+
)
+
−
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có :
=− +
+
+ và có % =
Bảng xét dấu %
−∞
−
=−
thì
+∞
−
%
+
+
=−
(
−
)
+
≤
∈ ℝ và
với mọi
=
chỉ tại điểm
=
Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ .
+
< − thì
<
∀ ∈ ℝ . Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ .
+
> − thì
=
có hai nghiệm
khoảng
=
(
(
<
) . Hàm số đồng biến trên
) . Trường hợp này không thỏa mãn .
+
−
+
+
(
−
)
+
−
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
16
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Ta có
=
+
+
= − , khi đó
+
+
−
=−
≠ − tam thức
Bảng xét dấu %
≤
=
+ − .
∀ ∈ ℝ ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .
+
−
+
+
−
có % =
+
+
< − thì
−∞
−
+∞
%
−
+
< với mọi ∈ ℝ . Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ .
+
> − thì
=
(
khoảng
(
có hai nghiệm
) . Hàm số đồng biến trên
<
) . Trường hợp này không thỏa mãn .
Vậy
≤ − là những giá trị cần tìm.
Bài tập tương tự :
Tìm
để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .
=
=
+ +
(
)
−
−
Ví dụ 3 : Tìm
=
=
−
+
+
−
−
=
+
−
+
−
để các hàm số sau luôn đồng biến trên ℝ .
+
(
=
−
+
)
+
+
(
+
)
+
+
ɩ
Giải :
=
+
+
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có
=
+
+ và có % =
Bảng xét dấu %
−∞
−
%
+
−
+ Nếu − <
+ Nếu
=
< thì
thì
=
>
(
+
với mọi
)
, ta có :
(
−
+∞
+
∈ ℝ . Hàm số
=
⇔
đồng biến trên ℝ .
=−
>
)
≠ − . Hàm
đồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞ − và − +∞ nên hàm số
biến trên ℝ .
+ Tương tự nếu = − . Hàm số đồng biến trên ℝ .
số
đồng
17
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
+ Nếu
<
< − hoặc
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
>
=
thì
có hai nghiệm phân biệt
. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng
(
) và (
khoảng −∞
)
+∞ . Do đó
(
) ,đồng biến trên mỗi
< − hoặc
>
không thoả mãn yêu
cầu bài toán .
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi − ≤
(
=
)
−
+
(
)
+
+
(
)
+
và có % =
đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi ⇔
Hàm số
+ Xét
i
)
− =
⇔
=±
=
+
⇒
>
∀ ∈ℝ ⇒
= ⇒
toán.
i =− ⇒
=
+ Xét
− ≠ ⇔
Bảng xét dấu %
−∞
%
−
+ Nếu < − ∨ >
+ Nếu
=
⇔
≥−
≥
⇒
=
(−
+
∀ ∈ℝ
+
)
()
không thoả yêu cầu bài
= − thoả mãn yêu cầu bài toán.
≠±
+∞
−
đồng biến trên ℝ .
−
>
thì
(
=
thì
≥
≤ .
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có :
=
−
+
+
(
. Giả sử
)
+
+
với mọi
∈ ℝ . Hàm số
, ta có :
=
⇔
(
=−
>
≠ − . Hàm
)
− +∞ nên hàm số
đồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞ −
đồng biến trên ℝ .
+ Nếu − < <
≠ thì
= có hai nghiệm phân biệt
. Giả sử
số
<
. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng
(
) và (
khoảng −∞
)
+∞ . Do đó − <
<
(
) ,đồng biến trên mỗi
≠
không thoả mãn yêu cầu
bài toán .
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi < − ∨ ≥ .
Vậy với ≤ ≤ thì hàm số đồng biến trên ℝ .
Bài tập tương tự :
Tìm
để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định .
=
=
−
−
+
+
(
(
+
−
)
)
+
−
18
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
=
(
+
)
−
(
=
(
−
)
−
(
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
)
−
−
+
)
−
+
(
)
−
+
Chú ý :
Phương pháp:
* Hàm số =
tăng trên ℝ ⇔
≥
∀ ∈ℝ ⇔
=
giảm trên ℝ ⇔
≤
∀ ∈ℝ ⇔
* Hàm số
≥ .
∈ℝ
≤ .
∈ℝ
Chú ý:
=
1) Nếu
≥
*
+
+
thì
= =
≥
∀ ∈ ℝ ⇔
>
% ≤
= =
≤
*
≤ ∀ ∈ ℝ ⇔
<
% ≤
2) Hàm đồng biến trên ℝ thì nó phải xác định trên ℝ .
Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của ℝ .
Phương pháp:
* Hàm số =
tăng ∀ ∈ ⇔
giảm ∀ ∈
=
* Hàm số
Ví dụ 1 : Tìm
+
=
+
=
+
≥
⇔
≤
∀ ∈
⇔
∀ ∈
⇔
∈
!"
∈
≥ .
≤ .
để các hàm số sau
(
).
luôn nghịch biến khoảng −∞
+
(
+
)
+
(
nghịch biến trên khoảng −
).
Giải :
1.
=
+
(
)
luôn nghịch biến khoảng −∞ .
+
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞ .
(
)
19
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
=
Ta có
−
(
≠−
)
+
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞
)
(
)
< ∀ ∈ −∞
khi và chỉ khi
− ∉ −∞
(
)
− <
− < <
− < <
⇔
⇔
⇔
⇔− < ≤−
−
≥
≤
−
−
∉
−∞
Vậy : với − < ≤ − thì thoả yêu cầu bài toán .
2. =
+
+
+
+
nghịch biến trên khoảng −
.
(
)
(
)
(
(
).
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −
=
Ta có :
+
+
+
Cách 1 :
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −
(
≤
và #
) khi và chỉ khi
∀ ∈ −
Xét hàm số
⇒
( ) hay.
( ) = −(
)
( )=− −
( )=−
→−
+
→
+
(
<
#
+
∀ ∈ −
−
) ∀ ∈ (− )
) ⇒ ( ) nghịch biến trên khoảng ( − )
( )=−
Bảng biến thiên.
( )
( )
−
−
−
−
Vậy
≤−
Cách 2 :
=
( )
thoả yêu cầu bài toán .
+
( ) = là = − <
cho nghịch biến trên khoảng ( − ) khi và chỉ khi
Nghiệm của phương trình
Vậy
≤−
. Do đó, hàm số đã
≤#
→
−
( )=−
.
thoả yêu cầu bài toán .
20
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Bài tập tự luyện:
để các hàm số sau:
Tìm
−
1. =
luôn nghịch biến khoảng
+∞ .
−
−
2. =
luôn nghịch biến khoảng
+
−
(
(
3.
=
4.
=
(
)
−
−
−
(
)
+
+
−
=
luôn nghịch biến khoảng
( ).
để các hàm số sau
−
=
( ).
).
luôn nghịch biến khoảng −∞
+
Ví dụ 2 : Tìm
=
)
+
(
+
−
+
−
đồng biến trên khoảng
)
+∞ .
(
−
)
(
).
đồng biến trên khoảng −
+
(
)
−
+
đồng biến trên khoảng
(
)
+∞ .
Giải :
=
−
+
−
đồng biến trên khoảng
Hàm số đã cho xác định trên khoảng
Ta có :
=
−
(
(
)
+∞ .
)
+∞ .
+
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(
)
+∞ khi và chỉ khi
( +∞ ) ⇔ ( ) = − ≥ − >
Xét hàm số ( ) =
−
liên tục trên khoảng ( +∞ ) , ta có
( ) = − > ∀ > ⇔ ( ) đồng biến trên khoảng ( +∞ )
và #
( ) = # ( − ) = # ( ) = +∞
≥
→
∀ ∈
+
→
→+∞
+
Bảng biến thiên.
( )
+∞
−
+
+∞
( )
−
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
≥−
⇔
≥−
21
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
=
−
+
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
+
(
−
(
).
Hàm số đã cho xác định trên khoảng −
=
Ta có :
−
+
(
) khi và chỉ khi
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −
(
−
Hay
Xét hàm số
+
+
(
≥
+
−
#
(
(
(
∀ ∈ −
)
) , ta có
) ⇒ ( ) nghịch biến trên khoảng ( − )
∀ ∈ −
→
−
≥
liên tục trên khoảng −
<
( )=−
)⇔
∀ ∈ −
( )=
( )= −
→−
≥
).
∀ ∈ −
và #
).
đồng biến trên khoảng −
( ) = −∞
−
Bảng biến thiên.
−
( )
−
−
( )
−∞
≥−
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
=
+
(
)
−
+
(
)
−
Hàm số đã cho xác định trên khoảng
(
đồng biến trên khoảng
⇔
(
+
Xét hàm số
=
+
+
)
( )=
≥
+∞ .
)
(
+∞
)
−
+ ∀ ∈
+
+
(
+∞ .
) + −
Hàm số đồng biến trên khoảng ( +∞ ) khi và chỉ khi
≥ ∀ ∈ ( +∞ ) ⇔
+ ( − ) + − ≥
Ta có :
(
+
+
(
∈
)
+∞ ⇔
(
+∞
≥
∀ ∈
+
+
+
(
+∞
)
∀ ∈
)
)
22
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
( )=
⇒
(
)
+∞ và #
(
+
)
+
+
)
−
(
→
( )=
+
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
<
∀ ∈
(
)
+∞ ⇒
( ) nghịch biến trên khoảng
( )=
#
→+∞
Bảng biến thiên.
+∞
( )
−
( )
≥
Vậy
thoả yêu cầu bài toán .
Bài tập tự luyện:
để các hàm số sau:
Tìm
+
+
−
đồng biến trên khoảng
1. =
−
(
2.
=
khoảng
3.
−
(
−
(
−
+
)
(
+
−
)(
(
)
) đồng biến trên
+∞ .
−
)
+∞ .
=
−
Ví dụ 3 : Tìm
−
−
+
−
+
đồng biến trên khoảng
(
)
+∞ .
để các hàm số sau :
+
+
=
=
)
−
)
nghịch biến trên nửa khoảng +∞ .
+
−
−
+
+
−
đồng biến trên nửa
)
khoảng +∞ .
Giải :
+
−
nghịch biến trên nửa khoảng +∞ .
+
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng +∞
)
=
)
Ta có
=
+
+
+
23
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Hàm nghịch biến trên nửa khoảng $ +∞ ⇔
=
+
+
≤ ,
)()
∀ ∈ +∞
.
Cách 1: Dùng tam thức bậc hai
• Nếu
=
khi đó
( ) không thỏa mãn.
• Nếu
≠ . Khi đó
Bảng xét dấu %
−∞
<
<
≤
⇔
∈
• Nếu
<
−
+
hoặc
Do đó
≤
⇔
>
⇔
−
∀ ∈ ℝ , nếu
có hai nghiệm
=
. Khi đó
⇒
−
<
−
⇔
≤
≤−
−
+
thì
có hai nghiệm
−
≤
≤
⇔
≥
⇔−
≥
⇒
)
≥
≥
+
∀ ∈ +∞ ⇔
+
=
>
−
( ) không thỏa mãn.
=
<
Cách 2:
Ta có
nên
−
<
Vì
>
thì
hoặc
−
+∞
+
%
• Nếu
có % =
≤
−
.
)
∀ ∈ +∞ ⇔
=
=
=−
⇒
≤−
+
−
−
+
≤
≥
.
+
−
đồng biến trên nửa
)
khoảng +∞ .
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng +∞
Ta có
=
−
+
−
−
)
Hàm đồng biến trên nửa khoảng +∞ . ⇔
)
+
≥
∀ ∈ +∞
)
24
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⇔
=
−
+
+ − %
<
Vì
−
−
có % =
Vì tam thức
=
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
−
+ + %
=
≤
⇔
≥
nên
+
+
≥
∀ ∈ +∞
>
∀
∈ ℝ nên
≤
⇔
% ≤
có hai nghiệm
.
.
)
∀ ∈ +∞ ⇔
≤ ⇔ % ≤
≤
⇔
⇔− ≤
−
+ − ≤
≥
Do đó
)
−
≤
Bài tập tự luyện :
để các hàm số sau :
Tìm
+
1.
=
2.
=
3.
=
(
)
−
−
(
đồng biến trên nửa khoảng −∞ .
+
+
(
−
−
(
)
−
−
)
(
)
−
(
+
(
nghịch biến trên nửa khoảng −∞ − .
+
)
−
+
đồng biến trên nửa khoảng
)
+∞ .
4.
=
+
−
+ +
)
đồng biến trên nửa khoảng +∞ .
−
Ví dụ 4 : Tìm tất cả các tham số
biến trên đoạn có độ dài bằng ?.
để hàm số
=
+
+
+
nghịch
Giải :
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có :
=
+
+
có % = −
i Nếu
≥ thì
≥ ∀ ∈ ℝ , khi đó hàm số luôn đồng biến trên ℝ , do đó
≥ không thoả yêu cầu bài toán .
i Nếu
< , khi đó
= có hai nghiệm phân biệt
<
và hàm số
(
nghịch biến trong đoạn
Theo Vidét, ta có :
+
với độ dài =
=−
)
−
=
25
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
⇔ =
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng
⇔
(
)
−
=
(
⇔
)
+
−
=
⇔
−
Bài tập tương tự :
1. Tìm tất cả các tham số
để hàm số =
−
biến trên đoạn có độ dài bằng ?.
2. Tìm tất cả các tham số
để hàm số = − +
biến trên đoạn có độ dài bằng ?.
Ví dụ 5: Tìm
=
để hàm số
+
=
⇔
+
+
=
−
+
+
.
nghịch
+
đồng
đồng biến trên ℝ .
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có
= −
.
Cách 1: Hàm đồng biến trên ℝ
⇔ ≥ ∀ ∈ℝ ⇔ −
*
= thì
luôn đúng
≥
∀ ∈ℝ ⇔
*
>
thì
⇔
≤
∀ ∈ℝ ⇔
*
<
thì
⇔
≥
∀ ∈
Vậy − ≤
≤
=
⇔
⇔− ≥
<
≤ .
⇔− ≤
< .
là những giá trị cần tìm.
Cách 2: Hàm đồng biến trên ℝ ⇔
⇔
≤
≤ ∀ ∈ℝ
% −
+
Bài tập tự luyện:
để hàm số
1. Tìm
=
2. Tìm
=
để hàm số
≥
−
⇔
+
&≥
(
−
∀ ∈ℝ
≥
≥
)+
+
⇔− ≤
≤ .
nghịch biến trên ℝ .
đồng biến trên ℝ .
Dạng 5 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức.
( )≥
( ) ∈( ).
• Đưa bất đẳng thức về dạng
• Xét hàm số
=
∈
( ).
• Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng
( ).
• Dựa vào bảng biến thiên và kết luận.
26
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
π
∈
.Chứng minh rằng :
>
<
Ví dụ 1 : Với
+
π
<
Giải :
+
>
π
liên tục trên nửa khoảng
.
π
Ta có :
=
+
− >
+
− > ∀ ∈
π
π
⇒
là hàm số đồng biến trên
>
∀ ∈
và
π
hay
+
>
∀ ∈
(đpcm).
⊕ Từ bài toán trên ta có bài toán sau : Chứng minh rằng tam giác
có ba
+
+
+ !
+ !
+ !
> π
góc nhọn thì
Xét hàm số
( )=
+
−
( )
( )
π
( )
<
Với
()
<
>
<
thì
(xem ví dụ 2 )
π
liên tục trên nửa khoảng
.
π
−
Ta có
=
∀ ∈
.
π
Xét hàm số
=
−
liên trục trên đoạn
và có
π
liên tục và nghịch biến trên đoạn
=−
< ∀ ∈
⇒
π
π
<
= ∀ ∈
và ta có
Xét hàm số
( )=
( )
( )
( )
( )
( )
()
( )<
π
∀ ∈
liên tục và nghịch
⇒
π
π
π
> =
∀ ∈
biến trên nửa khoảng
.
, ta có
π
Từ đó suy ra
( )=
( )
( )
27
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Bài tập tương tự :
π
∈
ta luôn có:
Chứng minh rằng với mọi
!
>
!
>
+ !
<
+
+
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
π
≤
∀ ∈
>
−
< −
π
∀ ∈
'
≤
π
∀ ∈
Xét hàm số
=
=
Ta có:
>
−
Giải :
>
π
∀ ∈
⇒
⇔
≤
π
∀ ∈
.
π
∈
liên tục trên đoạn
− ≤
π
∀ ∈
+
là hàm nghịch biến trên
π
đoạn
.
≤
Suy ra
>
−
=
'
Ta có:
π
∀ ∈
=
Xét hàm số
=
π
∀ ∈
(đpcm).
−
− +
+
liên tục trên nửa khoảng
⇒ (
=−
+
≥
π
∈
.
π
∀ ∈
(theo
câu 1)
⇒
≥
=
π
∀ ∈
⇒
≥
=
π
∀ ∈
28
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⇒
>
−
π
∀ ∈
(đpcm).
'
< −
2) ⇒
=
+
−
⇒
> −
Vì
>
+
Mặt khác, theo câu 3:
>
Nhận xét: Ta có
−
−
>
⇒
π
∈
⇒ −
Suy ra
π
∈
.
π
∀ ∈
(theo câu
π
∀ ∈
.
Theo kết quả câu 2, ta có:
> −
≤
liên tục trên nửa khoảng
π
∀ ∈
(Đpcm).
+
>
⇒
−
π
∀ ∈
=
< −
− +
=−
≤
⇒
π
∀ ∈
+
Xét hàm số
Ta có:
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
+
−
= −
+
−
−
⇒
>
π
∀ ∈
+
> −
+
π
∀ ∈
>
π
∀ ∈
(đpcm).
<
<
⇒
<
<
∀ ∈
π
nên
29
